1

Sveučilište u Zagrebu

Fakultet prometnih znanostiSpecijalistički doktorski studij 2007/08

Sustavi neizrazite (fuzzy) logike i

približno računanje

010 Inteligenti transportni sustavi u

gradskom prometu

prof. dr. sc. Hrvoje Gold

Zagreb, 09.05.2008.

Pojam skupa

• Skup je cijelina sastavljena od dijelova, koji se zovu članovi ili elementi skupa

• Članovi pridruženi skupu imaju zajednička obilježja

• Prema mjeri zajedničkih obilježja neki objekt pripada ili ne pripada skupu

a X

b X

2

Zadavanje izrazitih skupova

Nabrajanjem članova:

A = 1, 2, 3, ... , 98, 99, 100

Navođenjem zajedničkog svojstva članova:

A = x 1 x 100 i x je cijeli broj

Unija skupova A i B:

A B = xx A ili x B

A B

X

A B

X

Presjek skupova A i B:

A B = xx A i x B

A

X

A

Komplement skupa A:

A = xx A

Osnovne operacije sa skupovima

3

Mala Srednja Velika

170 180

1

0

Visina Mala Srednja Velika168 cm 1 0 0

171 cm 0 1 0

179 cm 0 1 0

Visina cm

179168 171

x1 = 168 cmx2 = 171 cmx3 = 179 cm

Članstvo u izrazitom skupu

Mala Srednja Velika

170 180

1

0

Visina Mala Srednja Velika168 cm 0.8 0.3 0.0

171 cm 0.4 0.7 0.0

179 cm 0.0 0.7 0.4

Visina cm

179

168

1710.8

0.3

x1 = relativno malax2 = niža srednjax3 = viša srednja

Članstvo u neizrazitom skupu

4

Stupanj pripadnosti elementa x neizrazitom skupu

A je zadan realnom vrijednošću između 0 i 1.

Izričaju stupnja pripadnosti odgovara funkcija

članstva neizrazitog skupa.

1,0: AxA

Neizraziti (fuzzy, n-) skupovi

ISTINA

STUPNJEVI CELSIUSA

LAŽ

VRUĆI MOTOR

Uglavnomneistinito

Uglavnomistinito

Općenitoistinito

Funkcija članstva

5

60 Brzina km/h

1

0

70 80 90 100 120

Brzo(Cesta )

Brzo(Autoput )

Japanka Japanac Hrvat

160 170 Visina cm

1

0

180

Zavisnost neizrazitog skupa o okolnostima

Univerzalni skup X je diskretan skup:

n

i

iiA

nnAAA

xx

xxxxxxA

1

2211

/)(

/)(/)(/)(

Univerzalni skup X je neprekidan skup:

iiA xxA /

Označavanje n-skupova (Zadeh)

6

-2

1

0

0 2

A

x

A

Neprekidni skup

0

2

2

02

2

2

2x

xx

xA

Trokutna funkcija članstva ...

-2

1

0

0 2

A

x

A

Diskretan skup

0.5

X = -2, -1, 0, 1, 2

A = 0.5/-1 + 1.0/0 + 0.5/1

Trokutna funkcija članstva

7

-4

1

0

0 4

B

x

B

0.5

-2 2

X = -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5

B = 0.5/-3 + 1/-2 + 1/-1 + 1/0 + 1/1 +1/2 + 0.5/3

4

2

2

2

2

42

41

2

4x

xxx

xB

Trapezna funkcija članstva

Prikaz znanja neizrazitom logikom

• Znanje ekspertnog sustava izraženo

pravilima općeg oblika

AKO x je A I y je B ONDA z je C

pretpostavke, premise zaključak

x, y, z - varijable

A, B, C - neizraziti skupovi, brojevi

8

Primjer neizrazitog pravila

AKO je sobna temperatura “malo viša”

I vlaga je “dosta visoka”

ONDA postaviti regulator klima ureĎaja

u položaj “jako vlažno”

AKO x je “oko 20 stupnjeva”

I y je “oko 80 %”

ONDA z je “oko 8”

x: sobna temperatura (C) A: malo viša

y: vlaga (%) B: dosta visoka

z: položaj regulatora (0,...,10) C: jako vlažno

Postupci zaključivanja

• U logici sudova (izrazitoj logici)

– Od općeg prema pojedinačnom

• Modus ponens – dedukcija

– Od pojedinačnog prema općem

• Modus tollens - indukcija

9

Izrazito zaključivanje

• Izraziti modus ponens

1. Premisa: AKO x je A ONDA y je B2. Premisa: x je A

Zaključak: y je B

1. Premisa: AKO temperatura je manja od 10 CONDA uključiti grijač

2. Premisa: Temperatura je 5 C

Zaključak: Uključiti grijač

Neizrazito zaključivanje

• Neizraziti (poopćeni) modus ponens

1. Premisa: AKO x je A ONDA y je B2. Premisa: x je A’

Zaključak: y je B’

A, A’, B, B’: neizraziti skupovi

n- skupovi u premisama (A, A’) mogu biti slični.

n- skup u premisi (B) i zaključku (B’) može biti sličan

10

Neizrazito zaključivanje

1. Premisa: AKO sobna temperatura je niskaONDA uključiti grijanje

2. Premisa: temperatura je dosta niska

Zaključak: Prilično pojačati grijanje

Za ostvarenje približnog zaključivanja u

1. premisi nužno navesti višestruka pravila.

Metode neizrazitog/približnog

zaključivanja

Metode n-zaključivanja

Izravne metode

Neizravne metode

Izvorna izravna metoda

(Mamdani)

Fuzzy modeliranje

(Tagaki-Sugeno)

Metoda pojednostavljenog

zaključka

11

Mamdami-jeva metoda

A. Odrediti vrijednosti premisa pravila

B. Izvesti zaključak pojedinog pravila

C. Izvesti rezultantni zaključak

1. Pravilo: AKO x je A1 I y je B1 ONDA z je C1

2. Pravilo: AKO x je A2 I y je B2 ONDA z je C2

A1, A2, B1, B2, C1, C2: neizraziti skupovi

OdreĎivanje premisa pravila (x0, y0)

Ulazne varijable x i y su konačne vrijednosti x0 i y0

Premisa 1. pravila:

Premisa 2. pravila:

)()( 001 11

yxW BA

)()( 002 22

yxW BA

x1 je A1 I ... I xm je Am

Opći slučaj - m ulaza

)()( 11 mAA xxm

12

Grafički prikaz (x0, y0)

)()( 001 11yxW BA

)()( 002 22yxW BA

IzvoĎenje pojedinačnog zaključka

Zaključak 1. pravila:

Zaključak 2. pravila:

110' )()(11

CzzWx CC

220' )()(22

CzzWx CC

13

Grafički prikaz

110' )()(11

CzzWx CC

220' )()(22

CzzWx CC

IzvoĎenje rezultantnog zaključka

Rezultantni zaključak:

)()()(21 '' zzz CCC

Opći slučaj - n pravila

)()()()( ''' 21

zzzznCCCC

14

Grafički prikaz

)()()(21 '' zzz CCC

„Defuzifikacija‟ neizrazitog skupa

• Pretvorba neizrazitog skupa u konačnu vrijednost

– Težišta skupa (centroid)

– Najveća vrijednost pripadnosti n-skupu

dzz

zdzzz

C

C

)(

)(

0

))(max(0 zz Cz

15

Grafički prikaz „defuzifikacije‟

Ekspertni sustav vozila

• Logika vožnje automobila na temelju

udaljenosti i brzine vožnje izmeĎu vozila

• Znanje se izražava u obliku pravila

zaključivanja

16

Pravila vožnje

Pravilo 1: AKO udaljenost izmeĎu vozila je mala

I brzina je mala

ONDA papučicu gasa pustiti (održavati brzinu).

Pravilo 2: AKO udaljenost izmeĎu vozila je mala

I brzina je velika

ONDA pritisnuti kočnicu (smanjiti brzinu).

Pravilo 3: AKO udaljenost izmeĎu vozila je velika

I brzina je mala

ONDA pritisnuti papučicu gasa (povečati brzinu).

Pravilo 4: AKO udaljenost izmeĎu vozila je velika

I brzina je velika

ONDA papučicu gasa pustiti (održavati brzinu).

Fuzifikacija pravila vožnje

Izražavanje linguističkih pravila n-skupovima– funkcijama članstva prilagoĎenim okolnostima primjene

x: udaljenost izmeĎu vozila

y: brzina vozila

z: prilagoĎenje (promjena) brzine (ubrzanje)

X: x 0 x 40 m

Y: y 0 y 100 km/h

Z: z -20 z 20 km/h2

17

Zadavanje neizrazitih skupova

A1: “blizu” (udaljenost izmeĎu vozila)

A2: “daleko” (udaljenost izmeĎu vozila)

B1: “mala” (brzina)

B2: “velika” (brzina)

C1: “održavanje” (brzine)

C2: “smanjenje” (brzine)

C3: “povećanje” (brzine)

Grafički prikaz n-skupova

blizu

smanj. održ.

daleko

pove.

mala velika

ubrzanje

brzinaudaljenost

18

Baza znanja

• Pravilo 1: AKO x je A1 I y je B1 ONDA z je C1

• Pravilo 2: AKO x je A1 I y je B2 ONDA z je C2

• Pravilo 3: AKO x je A2 I y je B1 ONDA z je C3

• Pravilo 4: AKO x je A2 I y je B2 ONDA z je C1

B1 B2

C1

A2

A1 C2

C3 C1

yx

Tablični prikaz (pravila) baze znanja

Pravilo 1

Pravilo 2

Pravilo 3

Pravilo 4

donekle smanjiti brzinu

19

Rezultantni zaključak

• Ako je udaljenost izmeĎu vozila 15 m i

brzina 60 km/h, zaključak glasi “donekle

smanjiti brzinu” (“održavati brzinu” i

“smanjiti brzinu”)