![Page 2: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/2.jpg)
Materi
� Fungsi ( definisi, daerah asal dan daerah hasil )
� Fungsi Surjektif, Injektif, Bijektif danInversInvers
� Operasi Pada Fungsi dan Fungsi Komposisi
� Grafik Fungsi Dalam Sistem KoordinatKartesius ( 1 )
![Page 3: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/3.jpg)
Hubungan atau Relasi
� Dalam berbagai aplikasi, hubungan/relasiantara dua himpunan ( sering disederhanakanmenjadi variabel ) sering terjadi.
� Misalnya, volume bola dengan jari-jari r diberikanoleh relasioleh relasi
� Definisi : Diketahui R relasi dari A ke B. Apabilasetiap berelasi R dengan tepat satu
maka R disebut fungsi dari A ke B.
3
3
4rV π=
Ax ∈By ∈
![Page 4: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/4.jpg)
Fungsi
� Fungsi dinyatakan dengan huruf-huruf: f, g, h, F, H, dst.
� Apabila f merupakan fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka dituliskan:
f : A → Bf : A → B
� Dalam hal ini, himpunan A dinamakan domain atau daerah definisi atau daerah asal, sedangkan himpunan Bdinamakan kodomain atau daerah kawan fungsi f.
![Page 5: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/5.jpg)
Daerah Asal dan Nilai
� Domain fungsi f ditulis dengan notasi Df,
� Himpunan semua anggota B yang
{ })ikanterdefinis(ada)(: xfxD f R∈=
� Himpunan semua anggota B yang mempunyai kawan di A dinamakanrange atau daerah nilai fungsi f, ditulisatau Im(f) → Perhatikan gambar berikut
fR
![Page 6: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/6.jpg)
Fungsi : Daerah Asal dan Nilai
![Page 7: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/7.jpg)
Fungsi
• Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen • Jika pada fungsi f : A → B , sebarang elemen x ∈ A mempunyai kawan y ∈ B, maka dikatakan “y merupakan nilai fungsi f di x” dan ditulis y = f(x).
• Selanjutnya, x dan y masing-masing dinamakan variable bebas dan variabel tak bebas.
• Sedangkan y = f(x) disebut rumus fungsi f.
![Page 8: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/8.jpg)
Daerah Asal dan Nilai
� Daerah asal (Df)
{ }RxfRxD f ∈∈= )(:
{ })ikanterdefinis(ada)(xfxD f sehingga R∈=
� Daerah nilai (Rf)
{ })ikanterdefinis(ada)(xfxD f sehingga R∈=
{ }ff DxRxfR ∈∈= :)(
{ }ff DxsemuauntukRxfberapaR ∈∈= )(
![Page 9: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/9.jpg)
Contoh mencari daerah asal
dan daerah nilai
1)( dan1)( 2 −−=+= xxgxxf
01
),(0akarbawah Di
∞<<∞−≥+=
∞−∞=≥= gf
xx
DD
[ ) ]1,(,0
1)(
11
1011
0
0),1[
01
2
2
2
2
−−∞=∞=−≤<∞−
−≤−−<∞−−≤−−<−∞−
≤−<∞−
∞<≤∞−=∞<<∞−≥+=
gf
f
RR
xg
x
x
x
xD
xx
![Page 10: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/10.jpg)
Hubungan Df dan Rf
dengan Grafik Fungsi
Ilustrasi grafik fungsi f
![Page 11: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/11.jpg)
Hubungan Dg dan Rg
dengan Grafik Fungsi
Ilustrasi grafik fungsi g
![Page 12: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/12.jpg)
Fungsi Surjektif
Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai kawan anggota himpunan A, maka f disebut fungsi surjektif
![Page 13: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/13.jpg)
Fungsi Injektif
Apabila setiap anggota himpunan B mempunyai yang kawan di A, kawannya tunggal, maka f disebut fungsi injektif
![Page 14: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/14.jpg)
Fungsi Bijektif
� Jika setiap anggota himpunan B mempunyai tepat satu kawan di A maka f disebut fungsi bijektif atau korespodensi 1-1.
� Mudah dipahami bahwa korespondensi 1-1 adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.adalah fungsi surjektif sekaligus injektif.
![Page 15: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/15.jpg)
Fungsi Invers
� Apabila merupakan korespondensi 1 – 1, maka mudah ditunjukkan bahwa invers f juga invers f juga merupakan fungsi.
� Fungsi ini disebut fungsi invers, ditulis dengan notasi . 1−f
)()(1 xfyyfx =⇔= −
ffffDRRD == −− 11 dan
dengan
![Page 16: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/16.jpg)
Operasi Pada Fungsi
Diberikan skalar real α dan fungsi-fungsi f dan g. , maka :
,
![Page 17: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/17.jpg)
Operasi Pada Fungsi
Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisandomain f dan domain g, kecuali untuk gf
{ }0)(: ≠∩∈= xgDDxD gfgf
,
![Page 18: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/18.jpg)
Operasi Pada Fungsi
Contoh
,
![Page 19: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/19.jpg)
Fungsi Komposisi
foggof
![Page 20: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/20.jpg)
Fungsi Komposisi
fog
![Page 21: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/21.jpg)
Fungsi Komposisi
gof
![Page 22: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/22.jpg)
Syarat Fungsi Komposisi
fog φ≠∩ fg DR
![Page 23: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/23.jpg)
Syarat Fungsi Komposisi
gof φ≠∩ gf DR
![Page 24: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/24.jpg)
Daerah asal dan daerah nilai
Fungsi Komposisi
{ }fggf DxgDxD ∈∈= )(:o
{ }gfgf RttfyRyR ∈=∈= ),(:o
fog
{ }gfgf RttfyRyR ∈=∈= ),(:o
{ }gffg DxfDxD ∈∈= )(:o
{ }fgfg RttgyRyR ∈=∈= ),(:o
gof
![Page 25: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/25.jpg)
Contoh
� Daerah asal dan daerah nilaiFungsi Komposisi
1)(dan 1)( 2 −−=+= xxgxxf
a.
b.
1)(dan 1)( −−=+= xxgxxf
gfgf RDoo
dan
fgfg RDoo
dan
![Page 26: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/26.jpg)
Contoh Daerah asal dan daerah nilai
Fungsi Komposisi
gfgf RDoo
dan
![Page 27: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/27.jpg)
Contoh Daerah asal dan daerah nilai
Fungsi Komposisi
gfgf RDoo
dan
![Page 28: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/28.jpg)
Contoh Daerah asal dan daerah nilai
Fungsi Komposisi
fgfg RDoo
dan
![Page 29: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/29.jpg)
Contoh Daerah asal dan daerah nilai
Fungsi Komposisi
fgfg RDoo
dan
![Page 30: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/30.jpg)
Selingan
Asal ulet yang Mustahil pasti bisaAsal ulet yang Mustahil pasti bisa
![Page 31: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/31.jpg)
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius
� Dalam sistem koordinat kartesius fungsi dapat dibagi menjadi:
� Fungsi Aljabar
� Fungsi Transenden
� Fungsi f disebut fungsi aljabar jika f dapat dinyatakan sebagai jumlahan, selisih, hasil kali, hasil bagi, pangkat, ataupun akar fungsi-fungsi suku banyak.
![Page 32: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/32.jpg)
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius
� Contoh fungsi aljabar :
1
)1(3)(
2
322
+
+−=x
xxxxf
� Fungsi yang bukan fungsi aljabardisebut fungsi transenden.
� Beberapa contoh fungsi transendenadalah fungsi trigonometri, fungsilogaritma, dsb.
12 +x
![Page 33: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/33.jpg)
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius
� Fungsi Aljabar meliputi :
� Fungsi rasional :
� Fungsi bulat (fungsi suku banyak)
� Fungsi pecah.� Fungsi pecah.
� Fungsi irasional.
![Page 34: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/34.jpg)
Grafik Fungsi
Dalam Sistem Koordinat Kartesius
� Fungsi suku banyak berderajat nmempunyai persamaan
f(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xnf(x) = Pn(x) = a0 + a1x + . . . + an xn
dengan n bilangan bulat tak negatif , a1, . . . , an bilangan-bilangan real dan an ≠ 0.
![Page 35: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/35.jpg)
Grafik Fungsi Suku Banyak
a. Fungsi konstan cxf =)(
b. Fungsi linear: f(x)= mx + n
Grafik fungsi ini berupa garis lurus dengan gradien m dan melalui titik .
c. Fungsi kuadrat 0,)( 2 ≠++= acbxaxxf
d. Fungsi kubik 0,)( 3012
23
3 ≠+++= aaxaxaxaxf
![Page 36: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/36.jpg)
Grafik Fungsi Pecah
� Fungsi f(x) yang dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dua fungsi suku banyak
nn xaxaa
xf+++
=...
)( 10
disebut fungsi pecah.
mm
n
xbxbb
xaxaaxf
+++
+++=
...
...)(
10
10
![Page 37: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/37.jpg)
Grafik Fungsi Pecah
� Contoh grafik f(x) = 1
)(dan1
−=
x
xxf
x
![Page 38: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/38.jpg)
Grafik Fungsi Irasional
� Contoh
![Page 39: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/39.jpg)
Grafik Transenden
( Fungsi Trigonometri )
� Contoh
![Page 40: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/40.jpg)
Grafik Transenden
( Fungsi Trigonometri )
Pelajari hubungan fungsi trigonometri
![Page 41: FUNGSI DAN GRAFIK FUNGSI - Belajar Kalkulus Yoo · Diberikan skalar real αdan fungsi-fungsi f dan g. , maka :, Operasi Pada Fungsi Domain masing-masing fungsi di atas adalah irisan](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022082205/5adb2c557f8b9aee348db724/html5/thumbnails/41.jpg)
Kata inspirasi pertemuan ini
Berfikir
Banyak orang yang berfikir. Tapi, sedikit yang bertindak. Ingat, tak sedikit yang bertindak. Ingat, tak
seorangpun akan sukes hanya dengan berfikir, tanpa bertindak. Semua
fikiran, harus diikuti oleh tindakan.