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Departamento de Matemática da Universidade de Coimbra
FUNDAMENTOS E ENSINO DA ÁLGEBRA
Trabalho realizado por:
Carina Isabel Lourenço dos Santo
Marta Luísa Campos Quaresma
Ricardo Jorge Chambel Martins
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Índice
Introdução ..................................................................................................................... 3
Capítulo I - Métodos de votação .......................................................................... 4
1. Conceitos Básicos................................................................................................................. 4
2. Métodos de Contagem de Votos........................................................................................... 6 2.1 Método da Pluralidade ..................................................................................................................7 2.2 Método da Contagem de Borda ..................................................................................................11 2.3 Método da Pluralidade com eliminação......................................................................................14 2.4 Método da Comparação aos pares...............................................................................................20
3. Conclusão sobre os métodos de contagem de votos .......................................................... 26
4. Rankings............................................................................................................................. 27
Capítulo II - Eleições em Portugal ..................................................................... 32
Capítulo III - Sistema de voto com peso ........................................................ 35
1. Introdução .......................................................................................................................... 35
2. Conceitos Básicos............................................................................................................... 36
3. Índice de Poder de Banzhaf............................................................................................... 37
4. Índice de Poder de Shappley- Shubik................................................................................ 42
5. Conclusões.......................................................................................................................... 45
Capítulo IV - Teoria das eleições na escola.................................................... 46
Conclusão ...................................................................................................................... 47
Bibliografia .................................................................................................................. 48
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Introdução
Votar é expressar a nossa opinião. Como vivemos numa democracia, todos nós
temos o direito de mostrar o nosso agrado ou desagrado perante uma situação. Por outro
lado, cada pessoa tem a sua preferência e a sua ideia, logo dificilmente existe consenso
entre todos. Quando assim acontece, é necessário proceder a uma eleição.
Mas a eleição, não é, como a maioria das pessoas pensa, apenas a contagem dos
votos.
Para tal, é necessário uma teoria das eleições. É nesse contexto que vamos
desenvolver o nosso trabalho.
Vamos analisar os diversos métodos de contagem de votos, como funcionam,
quais os critérios que seguem e quais as suas falhas. O processo eleitoral em Portugal,
os sistemas de voto com peso e, ainda, a teoria das eleições na escola serão também
temas abordados durante o nosso trabalho.
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Capítulo I - Métodos de votação
1. Conceitos Básicos
Começamos por apresentar alguns conceitos fundamentais para uma melhor
compreensão de todo o nosso trabalho.
Antes de se falar em votação, importa conhecer os vários tipos de boletins de
voto que podem ser utilizados:
Boletim de voto simples
Neste caso, o boletim apresenta várias opções das quais, a pessoa que vai exercer
o direito de voto, só pode escolher uma delas. Se, eventualmente assim não acontecer, o
voto será anulado. Este tipo de boletim de voto é o mais utilizado no nosso dia-a-dia,
quando queremos fazer uma votação para decidir alguma coisa que não tenha consenso.
Um exemplo deste tipo de boletim é o apresentado na figura 1.
Figura 1
Boletim de voto com ordem de preferência
Este tipo de boletim permite ao utilizador expressar a sua opinião, segundo todos
as opções, ordenando-as pela sua preferência.
Lista A X Lista B
Lista C
Lista D
Lista E
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Para exemplificar esta forma de votação vejamos as figuras 2 e 3.
Figura 2 Figura 3
A utilização de boletins de voto com ordem de preferência requer o estudo de
dois factores importantes:
☼ Transitividade de preferência individual: Se um eleitor tem preferência pela
opção A em detrimento de B e por sua vez prefere B quando comparado com C, de
forma automática existe preferência de A em relação à hipótese C.
☼ Eliminação de candidatos: Se numa determinada votação uma ou mais das
possíveis escolhas deixa de ser opção a preferência relativa de um eleitor não é afectada.
Para exemplificar consideremos o seguinte boletim de voto:
Voto
1º A
2º B
3º C
4º D
5º E
Após o preenchimento do boletim suponhamos que a opção C desiste. Então este
boletim deve ser considerado da seguinte forma:
Voto
1º A
2º B
3º D
4º E
Candidato A 5ª Opção
Candidato B 1ª Opção
Candidato C 2ª Opção
Candidato D 3ª Opção
Candidato E 4ª Opção
1ª Opção Candidato B
2ª Opção Candidato C
3ª Opção Candidato D
4ª Opção Candidato E
5ª Opção Candidato A
1ª Opção Candidato B
2ª Opção Candidato C
3ª Opção Candidato D
4ª Opção Candidato E
5ª Opção Candidato A
1ª Opção Candidato B
2ª Opção Candidato C
3ª Opção Candidato D
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2. Métodos de Contagem de Votos
Quando se realiza uma eleição e depois de consumado o acto de votar, ainda
muito à que fazer. A utilização de um ou outro método de contagem de votos pode
determinar o vencedor.
Para ilustrar os vários métodos de contagem de votos vamos
utilizar o seguinte exemplo:
Ao chegar ao fim mais um mandato é
necessário eleger um novo presidente para o
Departamento de Matemática da
Universidade de Coimbra.
Perfilam-se cinco candidatos com o
intuito de chegar à presidência: Dra. Maria
Celeste Gouveia, Dr. Jaime Carvalho Silva,
Dr. Alexander Kovacec, Dra. Maria da
Piedade Vaz, Dr. Simões Pereira, que serão representados, respectivamente, pelas letras
C, J, K, P, S.
O eleitorado é constituído por 55 professores que, através de um boletim,
indicam as cinco opções, que por ordem de preferência gostariam de ver como
Presidente do Departamento.
Realizado o acto eleitoral os resultados são os seguintes:
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção K J C P S S
2ª Opção P S J C J C
3ª Opção S P S S P P
4ª Opção C C P J C J
5ª Opção J K K K K K
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2.1 Método da Pluralidade
O método da pluralidade é o método mais usado para encontrarmos um vencedor
numa eleição.
Neste método o vencedor de uma eleição é aquele com maior número de votos
em primeiro lugar.
Aplicando o método ao nosso exemplo vejamos quem é o nosso vencedor.
Consideremos então a primeira opção:
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção K J C P S S
2ª Opção P S J C J C
3ª Opção S P S S P P
4ª Opção C C P J C J
5ª Opção J K K K K K
O candidato C obteve 18 votos;
O candidato J obteve 12 votos;
O candidato K obteve 10 votos;
O candidato P obteve 9 votos;
O candidato S obteve 6 votos.
Constatamos deste modo que o vencedor, de acordo com este método é o
candidato K, ou seja, Dr.Alexander Kovacec.
Através deste método a contagem dos votos numa eleição torna-se simples.
Quando existe apenas dois candidatos o método baseia-se na regra da maioria: numa
eleição entre dois candidatos o que tiver a maioria dos votos, isto é, mais que metade
dos votos, vence a eleição. Por outro lado, se existirem mais do que dois candidatos esta
regra poderá não ser verificada como acontece no nosso exemplo: o candidato K obteve
18 votos que é menor que metade do total dos votos e, no entanto, é considerado
vencedor.
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Temos então que:
Pluralidade ≠> Maioria
Maioria => Pluralidade
Sendo assim se um candidato tem mais de metade dos votos deve
automaticamente ser o vencedor.
Chegamos assim ao seguinte critério:
Critério da Maioria
Se numa eleição existe uma opção que tem a maioria dos votos em primeiro lugar,
então deve ser considerada a vencedora.
Deste modo podemos concluir que o método da pluralidade satisfaz o critério da
maioria.
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Falhas do Método da Pluralidade:
Este método, embora muito utilizado, apresenta alguma falhas quando numa
eleição constam mais do que dois candidatos. O facto de não considerar todas as
preferências dos eleitores conduz a resultados menos justos.
Consideremos o exemplo inicial:
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção K J C P S S
2ª Opção P S J C J C
3ª Opção S P S S P P
4ª Opção C C P J C J
5ª Opção J K K K K K
O candidato S, Dr. Simões Pereira, quando comparado com qualquer um dos
outros, é sempre o preferido.
Vejamos: comparando-o com o candidato K reparamos que S é preferido em 37
votos enquanto que K é favorito em apenas 18. Se compararmos agora o candidato S
com o candidato P temos que S é preferível a P para 28 votos contra 27. Utilizando o
mesmo raciocínio, comparando o candidato S com os candidatos C e J verificamos que
o mesmo acontece, S é o preferido em qualquer um dos casos.
Então, embora o Dr. Simões Pereira seja o preferido quando comparado com
qualquer um dos outros pelo método da pluralidade não é considerado o vencedor.
Concluímos então que este método não verifica o critério seguinte:
Critério de Condorcet
Se houver uma opção, quando comparada par a par é sempre a preferida, então
esta deve ser considerada vencedora.
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Este problema nem sempre se coloca uma vez que em muitos casos não existe
um candidato que comparado individualmente com os outros seja sempre o preferido.
Nestes casos o critério não é aplicado.
Nos casos em que o candidato vencedor é preferido a todos os outros, este
designa-se por candidato condorcet.
◙ Outra falha do método da pluralidade é a existência de votos que não revelam
a verdadeira preferência do eleitor podendo assim influenciar o resultado
da eleição.
Consideremos novamente o nosso exemplo inicial:
Os nove eleitores que optaram para primeira opção, a Dra. Maria da Piedade
Vaz, reconhecendo que seria difícil a sua vitória bastava-lhes trocar a segunda opção
pela primeira fazendo assim com que o candidato K não vencesse.
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção K J C P S S
2ª Opção P S J C J C
3ª Opção S P S S P P
4ª Opção C C P J C J
5ª Opção J K K K K K
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2.2 Método da Contagem de Borda
Este método, ao contrário do anterior, considera todas as posições do boletim de
preferência. Assim numa eleição todos os n candidatos são pontuados da seguinte
forma:
· n pontos para a primeira opção;
· n -1 pontos para a segunda opção;
· · ·
· 2 Pontos para a penúltima opção;
· 1 Ponto para a ultima opção.
Os pontos de cada candidato são contados separadamente e aquele que tiver o
maior número de pontuação será o vencedor.
Vamos novamente analisar o nosso exemplo
inicial aplicando este método. Temos a seguinte tabela
onde se apresentam as pontuações que cada opção
recebe em cada um dos casos.
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção: 5 ptos K: 90 ptos J: 60 ptos C: 50 ptos P: 45 ptos S: 20 ptos S: 10 ptos
2ª Opção: 4 ptos P: 72 ptos S: 48 ptos J: 40 ptos C: 36 ptos J: 16 ptos C: 8 ptos
3ª Opção: 3 ptos S: 54 ptos P: 36 ptos S: 30 ptos S: 27 ptos P: 12 ptos P: 6 ptos
4ª Opção: 2 ptos C: 36 ptos C: 24 ptos P: 20 ptos J: 18 ptos C: 8 ptos J: 4 ptos
5ª Opção: 1 pto J: 18 ptos K: 12 ptos K: 10 ptos K: 9 ptos K: 4 ptos K: 2 ptos
Somando as pontuações temos que:
Candidato C obtém: 18x2 + 12x2 + 10x5 + 9x4 + 4x2 + 2x4 = = 36 + 24 + 50 + 36 + 08 + 08 = 162 Candidato J obtém: 18x1 + 12x5 + 10x4 + 9x2 + 4x4 + 2x4 = = 18 + 60 + 40 + 18 + 16 + 04 = 156 Candidato K obtém: 18x5 +12x1 + 10x1 + 9x1 + 4x1 + 2x1 = = 90 + 12 + 10 + 09 + 04 + 02 = 127
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Candidato P obtém: 18x4 + 12x3 + 10x2 + 9x5 + 4x3 + 2x3 = = 72 + 36 + 20 + 45 + 12 + 06 =191 Candidato S obtém: 18x3 + 12x4 + 10x3 + 9x3 + 4x5 + 2x5 = = 54 + 48 + 30 + 27 + 20 + 10 = 189 Verificamos, então, que pelo Método da Contagem de Borda o vencedor é o candidato P, Dra. Maria da Piedade Vaz.
Falhas do Método da Contagem de Borda:
O problema deste método é que não satisfaz o critério da maioria, ou seja, um
candidato pode obter uma maioria não sendo porém o vencedor, o que implica que
também não satisfaça o critério da condorcet.
Para ilustrar esta falha vejamos o seguinte exemplo:
Onze amigos resolvem ir passar a passagem do ano a um local
diferente do habitual. Para isso terão de escolher uma destas cidades:
Barcelona, Londres, Paris ou Rio de Janeiro.
Não havendo consenso entre eles, de
modo a realizar a viagem de acordo com o desejo de todos,
resolvem realizar uma votação. Após todos terem escolhido, por
ordem de preferência os vários locais possíveis ficamos então com a
tabela de preferências seguinte:
Nº de Votos 6 3 2
1ª Opção: 4 ptos Paris Londres Barcelona
2ª Opção: 3 ptos Barcelona Rio de Janeiro Londres
3ª Opção: 2 ptos Londres Barcelona Rio de Janeiro
4ª Opção: 1 ptos Rio de Janeiro Paris Paris
De imediato se apercebem que mais de metade dos alunos tem como primeira
opção a Capital de França, como destino preferido para passar a passagem de ano.
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Mas, somando as pontuações temos que:
Paris: 6x4 + 3x1 + 2x1 = 29
Barcelona: 6x3 + 3x2 + 2x4 = 32
Londres: 6x2 + 3x4 + 2x3 = 30
Rio de Janeiro: 6x1 + 3x3 + 2x2 = 19
Segundo o método de Borda, a passagem de ano será em
Barcelona, embora Paris tenha mais de metade dos votos e, sendo
assim, comparada com qualquer um dos outros destinos seja sempre
a vencedora.
Concluímos assim que este método não segue nem o critério da maioria nem de
Condorcet.
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2.3 Método da Pluralidade com eliminação
Neste método o vencedor é encontrado através da eliminação dos candidatos até
que um obtenha a maioria dos votos.
Vejamos o algoritmo que este método segue:
1º Passo: Considera-se a primeira opção dos eleitores;
• Se um candidato tem a maioria dos votos então este é o vencedor da eleição;
• Caso contrário, elimina-se o candidato que obtenha o menor número de votos.
2º Passo: Retira-se da lista de preferência os candidatos eliminados e
reconta-se os votos;
• Se um candidato tem a maioria dos votos então este é o vencedor da eleição;
• Caso contrário, elimina-se novamente o candidato que obtenha o menor número
de votos.
3º Passo: Repete-se o processo até se encontrar um candidato com a maioria
dos votos em primeiro lugar.
Apliquemos este método ao nosso exemplo inicial:
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção K J C P S S
2ª Opção P S J C J C
3ª Opção S P S S P P
4ª Opção C C P J C J
5ª Opção J K K K K K
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1º Passo:
Consideramos a primeira opção.
Nenhum dos candidatos tem a maioria, elimina-se portanto o candidato com
menos votos. O candidato S é retirado da tabela.
2º Passo: Uma vez que o candidato S foi eliminado, surge uma nova tabela:
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção K J C P J C
2ª Opção P P J C P P
3ª Opção C C P J C J
4ª Opção J K K K K K
Mais uma vez, nenhum dos candidatos tem a maioria, elimina-se portanto o
candidato com menos votos em primeiro lugar. Neste caso o candidato P.
3º Passo:
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção K J C C J C
2ª Opção C C J J C J
3ª Opção J K K K K K
Continua a não existir um candidato com a maioria dos votos, logo procede-se à
eliminação do candidato com menos votos, o candidato J.
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção K J C P S S
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4º Passo:
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção K C C C C C
2ª Opção C K K K K K
O candidato C tem a maioria dos votos em primeiro lugar, logo o vencedor da
eleição segundo o método da pluralidade é a Dra. Celeste Gouveia.
Falhas do Método da Pluralidade com Eliminação:
Este método viola os dois critérios já mencionados:
● Critério de Condorcet
Se houver uma opção, quando comparada par a par é sempre a preferida, então
deve ser considerada vencedora.
● Critério da Monotonia
Se a opção X vence uma eleição e numa reeleição as únicas alterações nas
preferências dos eleitores, são a favor de X, então X deve permanecer o vencedor da
eleição.
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Vejamos estas falhas através de um novo exemplo:
Ao chegar a Coimbra um grupo de 29 turistas,
pretende visitar a cidade, mas só tem uma tarde para o fazer e
assim tem que decidir qual o monumento que irão ver. Para isso, realizam uma votação
de acordo com as suas preferências. O guia do grupo refere que as
possibilidades são: Sé Velha, Igreja de Santa
Cruz e Museu Machado de Castro. Depois de
feita a votação ficamos com a seguinte tabela:
Nº de votos 10 8 7 4
1ª opção Sé Velha Igreja de Santa
Cruz
Museu Machado
de Castro
Museu Machado
de Castro
2ª opção Igreja de Santa
Cruz Sé Velha
Igreja de Santa
Cruz Sé Velha
3ª opção Museu Machado
de Castro
Museu Machado de
Castro Sé Velha
Igreja de Santa
Cruz
Aplicando este método, a Igreja de Santa Clara é o primeiro local a ser
eliminado, por ser aquele que obteve menos votos em primeira opção. Ficamos então
com outra tabela:
Nº de votos 10 8 7 4
1ª opção Sé Velha Sé Velha Museu Machado
de Castro
Museu Machado
de Castro
2ª opção Museu Machado
de Castro
Museu Machado
de Castro Sé Velha Sé Velha
Assim, através deste método o monumento que se iria visitar era a Sé Velha com
15 votos contra 14 do Museu Machado de Castro.
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Agora, suponhamos que os quatro turistas da última coluna, decidiam que a sua
preferência seria a Sé Velha e só depois o Museu Machado de Castro. Uma alteração
que seria, à partida, a favor da Sé Velha.
Vejamos, com esta reeleição, qual o monumento a ser visitado:
O primeiro monumento a ser eliminado é o Museu Machado de Castro por ter
apenas 7 votos em primeiro lugar.
Ficamos então com uma nova tabela:
Finalmente, o vencedor desta votação é a Igreja de Santa Cruz, e não a Sé Velha.
Mostrámos assim que este método não satisfaz o critério da monotonia.
Nº de votos 10 8 7 4
1ª opção Sé Velha Igreja de Santa
Cruz
Museu Machado
de Castro
Sé Velha
2ª opção Igreja de Santa
Cruz Sé Velha
Igreja de Santa
Cruz
Museu Machado
de Castro
3ª opção Museu Machado
de Castro
Museu Machado
de Castro Sé Velha
Igreja de Santa
Cruz
Nº de votos 10 8 7 4
1ª opção Sé Velha Igreja de Santa
Cruz
Igreja de Santa
Cruz Sé Velha
2ª opção Igreja de Santa
Cruz Sé Velha Sé Velha
Igreja de Santa
Cruz
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Vejamos que esta eleição tem um candidato condorcet, isto é, existe uma opção
que quando comparada com as outras tem mais votos de preferência.
Nº de votos 10 8 7 4
1ª opção Sé Velha Igreja de Santa
Cruz
Museu Machado
de Castro
Museu Machado
de Castro
2ª opção Igreja de Santa
Cruz Sé Velha
Igreja de Santa
Cruz Sé Velha
3ª opção Museu Machado
de Castro
Museu Machado de
Castro Sé Velha
Igreja de Santa
Cruz
Se compararmos a Igreja de Santa Cruz com a Sé Velha notamos que 15 turistas
preferem visitar a Igreja de Santa Cruz contra os restantes 14 que preferem o contrário.
Comparando agora a Igreja de Santa Cruz com o Museu Machado de Castro,
novamente existem mais turistas a preferir visitar a Igreja de Santa Cruz.
Neste exemplo, a Igreja de Santa Cruz é o candidato Condorcet e como vimos, o
vencedor da votação é a Sé Velha.
Mostrámos assim que este método não satisfaz o critério de Condorcet
Existem duas variantes deste método:
Método da Corrida Final: Se não houver um candidato com maioria então
eliminam-se todos os candidatos excepto os dois que têm maior número de votos em
primeira opção.
Método de Combs: Se não houver um candidato com maioria então elimina-se o
candidato com maior número de votos em última opção.
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2.4 Método da Comparação aos pares
Como vimos, os três métodos anteriores violam o Critério de Condorcet mas
este novo método que iremos analisar segue este critério.
Todos os candidatos são comparados dois a dois.
Em cada comparação, a opção que esteja em melhor posição num maior número
de boletins de preferência, ganha um ponto.
Em caso de empate, é atribuído meio ponto a cada uma das opções.
O vencedor da eleição é o candidato que, após todas as comparações efectuadas,
tenha o maior número de pontos.
Mais uma vez analisemos o exemplo das
eleições para presidente do Departamento de
Matemática:
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção K J C P S S
2ª Opção P S J C J C
3ª Opção S P S S P P
4ª Opção C C P J C J
5ª Opção J K K K K K
Comparando o candidato C com o candidato J notemos que 39 eleitores
preferem a eleição do candidato C ao candidato J e 16 eleitores preferem J a C. Assim,
atribui-se um ponto ao candidato C.
Fazendo a comparação entre o candidato C e o candidato K concluímos que 37
eleitores preferem o candidato C ao candidato K. Novamente é atribuído um ponto ao
candidato C.
Efectuando a comparação entre C e P, 43 preferem o candidato P enquanto que
apenas 12 são a favor de C. Logo, ao candidato P é atribuído um ponto.
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Vejamos agora a comparação entre C e S. O vencedor nesta comparação é o
candidato S, com 36 votos contra 19. É atribuído um ponto ao candidato S
Através da comparação entre J e K concluímos que 37 eleitores preferem o
candidato J ao candidato K. É, por isso, atribuído um ponto ao candidato J.
Ao compararmos o candidato J com o P, vemos que 29 professores preferem o
candidato P e 26 são de opinião contrária. Ao candidato P é atribuído um ponto.
Em relação à comparação entre J e S, constatamos que 22 eleitores preferem a
eleição do candidato J e 33 são de opinião contrária. É dado um ponto ao candidato S.
Comparemos agora K com P e S. Em ambos os casos, 18 eleitores dão
preferência ao candidato K e os restantes preferem P e S respectivamente. Logo um
ponto é atribuído a P e outro a S.
Finalmente a comparação entre P e S atribui um ponto a S, uma vez que 28
professores preferem S e 27 são de opinião contrária.
Após todas as comparações e soma dos pontos atribuídos, os resultados estão
expressos na seguinte tabela:
Dr. Alexander Kovacec 0 pontos
Dr. Jaime Carvalho e Silva 1 ponto
Dra. Celeste Gouveia 2 pontos
Dra. Maria da Piedade Vaz 3 pontos
Dr. Simões Pereira 4 pontos
Concluímos pela análise da tabela anterior que o candidato com maior número
de pontuação é o candidato C, logo vencedor pelo método da comparação aos pares é o
Dr. Simões Pereira.
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Verificamos que este método satisfaz todos os critérios de justiça até agora
mencionados:
• Critério da Maioria
• Critério de Condorcet
• Critério da Monotonia
É este, então, o método perfeito?!
NÃO !
Falhas do Método da Comparação aos Pares:
Ilustremos a falha mais importante deste método através de
um novo exemplo:
Pretende-se escolher o novo capitão da Académica. Para tal
os 22 jogadores do clube reúnem-se para o eleger. Os candidatos são:
Nuno Luís (L), Tonel (T), Dário (D), Pedro Roma (P) e Rocha (R).
Vejamos a respectiva tabela de resultados:
Nº de Votos 6 4 4 4 2 1 1
1ª opção T T P R L D D
2ª opção L L L D P T P
3ª opção D P R P D L L
4ª opção P R D T T P T
5ª opção R D T L R R R
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O quadro seguinte mostra, todas as comparações possíveis, seus resultados e
pontuações atribuídas em cada caso:
Comparações Resultados Pontuações
L↔ T 6 ↔ 15 L: 0 pts; T: 1 pt
L↔D 16 ↔ 6 L: 1 pt; D: 0 pts
L ↔P 13 ↔ 9 L: 1 pt; P: 0 pts
L ↔R 18 ↔ 6 L: 1pt; R: 0 pts
T↔D 10 ↔ 12 T: 0 pts; D: 1 pt
T ↔P 11 ↔ 11 T: ½ pts; P: ½ pts
T↔ R 14 ↔ 8 T: 1 pt; R: 0 pts
D ↔P 12 ↔ 10 D: 1 pt; P: 0 pts
D↔ R 10 ↔ 12 D: 0 pts; R: 1 pt
P↔ R 18 ↔ 4 P: 1 pt; R: 0 pts
Somando todos os pontos atribuídos a cada candidato, os resultados estão
expressos na seguinte tabela:
Nuno Luís 3 pontos
Tonel 2 + ½ pontos
Dário 2 pontos
Pedro Roma 1 + ½ pontos
Rocha 1 ponto
O vencedor da votação é o jogador Nuno Luís.
Com a badalada transferência de Dário para um clube dos Emirados Árabes
Unidos, o Al Jazira, o jogador fez questão de deixar bem claro aos restantes
companheiros de que não pretendia ser hipótese para este cargo, sendo o seu nome
retirado da lista.
Irá este facto contribuir para a alteração da escolha do capitão da Académica,
uma vez que a eleição já estava realizada?
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Com a saída do jogador, a tabela de preferências é alterada, passando a ser a
seguinte:
Nº de Votos 6 4 4 4 2 1 1
1ª opção T T P R L T P
2ª opção L L L P P L L
3ª opção P P R T T P T
4ª opção R R T L R R R
Ficamos então com um novo quadro de comparações:
Comparações Resultados Pontuações
L↔ T 6 ↔ 15 L: 0 pts; T: 1 pt
L ↔P 13 ↔ 9 L: 1 pt; P: 0 pts
L ↔R 18 ↔ 6 L: 1pt; R: 0 pts
T ↔P 11 ↔ 11 T: ½ pts; P: ½ pts
T↔ R 14 ↔ 8 T: 1 pt; R: 0 pts
P↔ R 18 ↔ 4 P: 1 pt; R: 0 pts
Sendo assim, os resultados finais são:
Tonel 2 + ½ pontos
Nuno Luís 2 pontos
Pedro Roma 1 + ½ pontos
Rocha 0 pontos
O novo capitão de equipa da Académica é o Tonel.
O resultado da votação foi assim alterado, através do conhecimento de que Dário
não queria ser eleito capitão de equipa. Se os jogadores não conhecessem este facto
quem iria ser o capitão era o Nuno Luís.
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Deste modo constatamos que este método, apesar de satisfazer todos os critérios
até aqui referidos, não verifica o seguinte critério:
Critério da Independência de
Alternativas Irrelevantes (IAI)
Se um candidato X é o vencedor de uma eleição e um (ou mais) dos outros
candidatos é eliminado, recontando-se assim os votos, então X deverá continuar a
vencer a eleição.
◙ Outra falha deste método é o facto de conduzir muitas vezes a situações de
empate, que devem ser ponderadas antes da eleição.
26
3. Conclusão sobre os métodos de contagem de votos
Vimos que para diferentes métodos existem diferentes vencedores, para o
cargo de Presidente do Departamento de Matemática da Universidade de
Coimbra.
Em suma, concluímos que:
O método escolhido para uma eleição influencia o seu resultado.
Dos métodos apresentados até agora todos apresentam falhas não havendo
nenhum que satisfaça todos os critérios até agora referidos.
Surge assim a seguinte questão:
Haverá algum método perfeito?
A resposta a esta pergunta é dada através do seguinte teorema:
Teorema da impossibilidade de Arrow
Para eleições envolvendo três ou mais candidatos é matematicamente impossível
encontrar um método, democrático e justo, para determinar o vencedor.
Dr. Alexander Kovacec
Dra. Celeste Gouveia
Dr. Simões Pereira
Método da Pluralidade
Método da Pluralidade com Eliminação
Método da contagem de Borda
Método da Comparação aos Pares
Dra. Maria da Piedade Vaz
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4. Rankings
Em muitas eleições não chega conhecer apenas o vencedor, mas encontrar a
ordem de classificação dos candidatos.
Existem dois tipos de métodos para fazer esta ordenação:
◊ Método de Ranking Alargado
É uma extensão natural dos métodos até agora estudados encontrando-se não só
o vencedor mas também a classificação dos outros candidatos.
Vejamos como se pode obter um ranking alargado, no caso
da eleição para presidente do Departamento de Matemática,
aplicando o método da pluralidade:
Recordemos a tabela de preferências:
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção K J C P S S
2ª Opção P S J C J C
3ª Opção S P S S P P
4ª Opção C C P J C J
5ª Opção J K K K K K
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Considerando então apenas a primeira opção de cada eleitor, chegamos aos
seguintes resultados:
Posição Candidato Votos em 1º lugar
1º Lugar K 18
2º Lugar J 12
3º Lugar C 10
4º Lugar P 9
5º Lugar S 6
◊ Método de Ranking Recursivo
Para este método usamos uma estratégia de ordenação dos candidatos designada
por aproximação recursiva.
• Utilizamos um determinado método X para eleger o vencedor;
• Removemos o nome do vencedor da lista de preferências e aplica-se novamente
o método. O novo vencedor é o segundo classificado da eleição;
• Aplicando sucessivamente o ponto anterior, encontram-se os restantes lugares da
eleição.
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Vejamos agora como obter um ranking recursivo, no caso
da eleição para presidente do Departamento de Matemática,
aplicando novamente método da pluralidade:
1º Passo
Considera-se a primeira opção dos eleitores e verifica-se qual tem maior número
de votos.
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção K J C P S S
2ª Opção P S J C J C
3ª Opção S P S S P P
4ª Opção C C P J C J
5ª Opção J K K K K K
Uma vez que é o candidato K que obtém o maior número de votos na primeira
opção, é-lhe atribuído o primeiro lugar.
2º Passo
Remove-se o candidato K e surge uma nova tabela de preferências:
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção P J C P S S
2ª Opção S S J C J C
3ª Opção C P S S P P
4ª Opção J C P J C J
O segundo lugar da eleição é ocupado pelo candidato P, visto que é aquele que
obtém maior número de votos em primeira opção, nesta nova tabela.
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3º Passo
Procede-se de modo análogo ao passo anterior, eliminando-se desta vez o
candidato P.
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª Opção S J C C S S
2ª Opção C S J S J C
3ª Opção J C S J C J
O terceiro lugar da eleição é ocupado pelo candidato S.
4º Passo
Neste caso elimina-se o candidato S, surgindo uma última tabela:
Nº de votos 18 12 10 9 4 2
1ª opção C J C C J C
2ª opção J C J J C J
O quarto lugar da eleição é ocupado pelo candidato C.
A classificação geral segundo o Método da Pluralidade Recursivo é então:
1º lugar Dr. Alexander Kovacec
2º lugar Dra. Maria Piedade Vaz
3º lugar Dr. Simões Pereira
4º lugar Dra. Maria Celeste Gouveia
5º lugar Dr. Jaime Carvalho e Silva
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Note-se que os resultados deste método são diferentes dos obtidos para o
método da pluralidade alargado.
Método Recursivo Método Alargado
1º lugar Dr. Alexander Kovacec Dr. Alexander Kovacec
2º lugar Dra. Maria Piedade Vaz Dr. Jaime Carvalho e Silva
3º lugar Dr. Simões Pereira Dra. Maria Celeste Gouveia
4º lugar Dra. Maria Celeste Gouveia Dra. Maria Piedade Vaz
5º lugar Dr. Jaime Carvalho e Silva Dr. Simões Pereira
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Capítulo II - Eleições em Portugal
O método mais utilizado nas eleições, em Portugal, é o método de Hondt.
Este método consiste no
seguinte algoritmo:
1º Passo: Determina-se o
número de votos que cada lista
obteve no respectivo círculo
eleitoral;
2º Passo: Divide-se o
número de votos de cada lista por
1,2,3, etc (até ao número N de
mandatos a atribuir), construindo
assim uma tabela em que se
colocam estes valores por ordem decrescente;
3º Passo: Selecciona-se os N maiores valores da tabela;
4º Passo: Distribui-se os mandatos pelas listas, conforme o número de valores
seleccionados anteriormente.
Note-se que, se para a última selecção houver dois ou mais valores iguais,
escolhe-se aquele pertencente à lista com menor número de votos na eleição.
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Vejamos um exemplo para ilustrar este algoritmo:
Nas eleições legislativas de 2002, no distrito de Coimbra, existiam 10 mandatos
para atribuir. Seguiremos o algoritmo descrito anteriormente para este exemplo:
1º Passo
Distribui-se os votos pelas listas:
Lista Votos
PS 96795
PPD/PSD 89245
CDS-PP 22405
PCP-PEV 19359
2º Passo
Efectua-se a divisão e representa-se numa tabela:
Dividir por: PS PPD/PSD CDS-PP PCP-PEV
1 96795 89245 22405 19359
2 48397,5 44622,3 11202,5 9679,5
3 32265 29784,3 7648,3 6453
4 24198,8 22311,3 5601,3 4839,8
5 19359 17849 4481 3871,8
6 16132,5
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3º Passo
Selecciona-se os dez maiores valores.
Dividir por: PS PPD/PSD CDS-PP PCP-PEV
1 96795 89245 22405 19359
2 48397,5 44622,3 11202,5 9679,5
3 32265 29784,3 7648,3 6453
4 24198,8 22311,3 5601,3 4839,8
5 19359 17849 4481 3871,8
6 16132,5
4º Passo
Distribui-se os mandatos pelas listas. Como existe uma situação de empate
quando se pretende atribuir o último mandato, então este é atribuído ao PCP-PEV, uma
vez que, entre os dois, é o partido com menor número de votos absolutos.
Lista Mandatos
PS 4
PPD/PSD 4
CDS-PP 1
PCP- PEV 1
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Capítulo III - Sistema de voto com
peso
1. Introdução
Numa sociedade diversificada, os eleitores, sejam eles
indivíduos ou instituições, não são todos iguais e é, por vezes,
recomendável reconhecer as suas diferenças, atribuindo diferentes
pesos a cada um dos seus votos nas eleições. Este método, no qual os
eleitores não têm o mesmo poder de voto, designa-se por sistema de
votação com peso. Temos como exemplo de um sistema de voto com peso a eleição do presidente
dos Estados Unidos da América, nos quadros governamentais locais e regionais, nos
quadros da escola, no consulado de segurança das nações unidas, nas sociedades de
accionistas em que os votos estão de acordo com o número de acções que cada um
possui, entre outros. Neste sistema de votação, apenas temos duas hipóteses de escolha, aceitar ou
recusar o que está a ser discutido na votação. Senda assim, não é necessário escolher um
método de votação a utilizar, pois todos eles seguem o critério da maioria. Vamos estudar dois processos para determinar o poder de cada um dos
participantes: • Índice de poder de Banzhaf
• Índice de poder de Shapley- Shubik
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2. Conceitos Básicos
O sistema de votação com peso é caracterizado por três elementos: os jogadores,
o peso dos jogadores e a quota.
Os jogadores são os próprios eleitores, usando a notação P1, P2,…, PN para
denominar N jogadores.
Cada jogador detém um certo número de votos ao qual chamamos peso e
representamos cada um deles por w1, w2,…, wN.
A moção é a apresentação de um assunto para ser discutido em assembleia.
A quota é o número mínimo de votos que são necessários para uma moção ser
apresentada e representamos por q.
A forma de descrever um sistema de votos com peso é:
[q: w1, w2,…, wN].
A quota surge em primeiro lugar seguida do peso dos jogadores. É normal pôr os
diferentes pesos por ordem decrescente de grandeza.
Ditador é todo o jogador que tiver peso de voto igual ou superior à quota.
Quando existir um ditador, chamamos jogadores neutros aos outros participantes
porque não têm influência no resultado.
Analisemos os dois exemplos seguintes:
c No sistema de votação com peso [11:12,5,4], o jogador que tem quota 12 é
ditador, enquanto que os outros designam-se por jogadores neutros.
c Consideremos o sistema de voto com peso, [12:9,5,4,2]. O jogador que tem
quota 9 tem poder de impedir que qualquer moção seja aprovada. Mesmo que todos os
outros jogadores estivessem de acordo, a soma dos seus votos não seria suficiente para
fazer passar a moção contra a vontade desse jogador.
Neste caso, diz-se que esse jogador tem poder de veto.
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3. Índice de Poder de Banzhaf
Iremos introduzir alguns conceitos, que serão necessários no decorrer deste
método.
Ao conjunto de jogadores que unam forças para votar em conjunto designa-se
por coligação.
As coligações dividem-se em coligações vencedoras se reúnem o número
suficiente de votos para aprovar uma moção, caso contrário designam-se por coligações
perdedoras.
Uma coligação formada por todos os jogadores chama-se grande coligação.
Jogador crítico é aquele jogador que ao abandonar uma coligação vencedora a
torna perdedora.
A notação usada para designar a coligação formada pelos jogadores P1, P2 é a
seguinte:
{P1,P2}
Ideia chave do índice de poder de Banzhaf
O poder do jogador é proporcional ao número de coligações para as quais ele é
crítico, quantas mais vezes ele é um jogador crítico mais poder ele tem.
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Determinemos o índice de poder de Banzhaf para o sistema de votação com peso
[101;99,98,3].
Algoritmo:
1º Passo
Fazer a lista de todas as coligações:
Coligações
{P1}
{P2}
{P3}
{P1, P2}
{P1, P3}
{P2, P3}
{P1, P2, P3}
2º Passo
Determinar as coligações vencedoras:
Coligações Peso da Coligação Ganha / Perde
{P1} 99 Perde
{P2} 98 Perde
{P3} 3 Perde
{P1, P2} 197 Ganha
{P1, P3} 102 Ganha
{P2, P3} 101 Ganha
{P1, P2, P3} 200 Ganha
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3º Passo
Determinar os jogadores críticos em cada coligação:
Coligações vencedoras Jogadores críticos
{P1, P2} P1 e P2
{P1, P3} P1 e P3
{P2, P3} P2 e P3
4º Passo
Determinar o número de vezes que cada jogador é crítico:
P1 é crítico duas vezes (B1=2);
P2 é crítico duas vezes (B2=2);
P3 é crítico duas vezes (B3=2).
5º Passo
Contar o número de vezes que todos os jogadores são críticos (T):
B1+B2+B3= 6=T
O índice de poder de Banzhaf é dado por: T
BN
O poder de P1 é 2/6;
O poder de P2 é 2/6;
O poder de P3 é 2/6.
É comum escrever os índices de poder em termos de percentagem:
O poder de P1 é 33,(3)%;
O poder de P2 é 33,(3)%;
O poder de P3 é 33,(3)%.
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Exemplo:
O Sr. João, o Sr. Carlos e a D. Rosa são proprietários de um café. Quando é
necessário decidir sobre algum assunto, nem todos têm o mesmo
poder de decisão. O Sr. João tem direito a três votos, a D. Rosa a
dois votos e o Sr. Carlos tem direito a um voto.
Num determinado dia surgiu a hipótese de mudarem de
instalações, mas nem todos estavam de acordo, por isso,
procedeu-se a uma votação.
Estamos perante um sistema de voto com peso da forma [4:3,2,1].
Determinemos o índice de poder de Banzhaf deste sistema de votação, seguindo
o algoritmo descrito anteriormente.
1º Passo
Existem 7 coligações possíveis:
{João}, {Rosa}, {Carlos}, {João, Rosa}, {João, Carlos}, {Rosa, Carlos},
{João, Rosa, Carlos}
2º Passo
As coligações vencedoras são:
{João, Rosa}, {João, Carlos}, {João, Rosa, Carlos}
3º Passo
Os jogadores críticos são:
Coligações vencedoras Jogadores críticos
{João, Rosa} João e Rosa
{João, Carlos} João e Carlos
{João, Rosa, Carlos} João
41
4º Passo
O Sr. João é jogador crítico três vezes;
A D. Rosa é jogador crítico uma vez;
O Sr. Carlos é jogador crítico uma vez.
O índice de poder de Banzhaf de cada um dos participantes é:
O poder do Sr. João é 3/5;
O poder da D. Rosa é 1/5;
O poder do Sr. Carlos é 1/5.
Ou seja, em percentagem o poder é:
Sr. João - 60%;
D. Rosa - 20%;
Sr. Carlos - 20%.
42
4. Índice de Poder de Shappley- Shubik
A principal diferença entre a interpretação do poder de Shapley- Shubik e do
poder de Banzhaf centra-se no conceito de coligação sequencial.
No índice de poder de Shapley- Shubik as coligações assumem-se de forma
sequencial: a coligação é constituída por vários jogadores que vão entrando
sucessivamente. E temos de ter em atenção que, a ordem pela qual os jogadores entram
na coligação é muito importante. Pois, neste índice de poder, três jogadores podem
formar seis coligações sequenciais diferentes.
<P1,P2,P3>
<P1, P3, P2>
<P2, P1, P3>
<P2, P3, P1>
<P3, P1, P2>
<P3, P2, P1>
A notação <., ., .> indica que estamos perante uma coligação sequencial, ou seja,
interessa a ordem pela qual os jogadores entram na coligação.
<P1,P2,P3> significa que P1 iniciou a coligação à qual se juntou a seguir P2 e
por último P3.
Num sistema de voto com peso, com N jogadores existem N! coligações
sequenciais diferentes contendo todos os jogadores, visto que para ocupar o primeiro
lugar temos N hipóteses de escolha, para ocupar o segundo lugar temos (N-1) hipóteses e,
assim sucessivamente até que para preencher o último lugar temos apenas uma opção.
Em todas as coligações há um jogador que inicia a coligação e os outros
jogadores vão entrando sucessivamente. Aquele que no momento em que se associa a
uma coligação perdedora a torna vencedora designa-se por pivot.
Ideia chave do índice de poder de Shappley- Shubik
O poder de cada jogador é proporcional ao número de coligações para o qual ele
é pivot, quantas mais vezes o for, mais poder ele tem.
43
A descrição formal do procedimento para encontrar o índice de poder de
Shapley- Shubik, para um jogador num sistema de voto com peso, é dado pelo seguinte
algoritmo:
1º Passo: Fazer uma lista de todas as coligações sequenciais que contêm N
jogadores. Existem N! Coligações;
2º Passo: Em cada coligação sequencial, determinar o pivot. Existe um em cada
coligação;
3º Passo: Contar o número de vezes que o jogador é pivot e denominar esse
número por S.
O índice de poder de Shapley- Shubik é dado por: !N
S
Retomemos o exemplo do café do Sr. João, da D. Rosa e do Sr. Carlos. Estamos
perante um sistema de votação da forma [4:3,2,1].
Vamos seguir o algoritmo descrito anteriormente para
determinar o índice de poder de cada um dos jogadores.
1º Passo
Fazer a listar de todas as coligações sequenciais:
Coligações sequenciais
<João, Carlos, Rosa>
<João, Rosa, Carlos>
<Carlos, João, Rosa>
<Carlos, Rosa, João>
<Rosa, João, Carlos>
<Rosa, Carlos, João>
44
2º Passo
Determinar o pivot em cada coligação:
Coligações sequenciais Pivot
<João, Carlos, Rosa> Carlos
<João, Rosa, Carlos> Rosa
<Carlos, João, Rosa> João
<Carlos, Rosa, João> João
<Rosa, João, Carlos> João
<Rosa, Carlos, João> João
3º Passo
Contar o número de vezes que cada jogador é pivot:
O Sr. João é pivot quatro vezes;
A D. Rosa é pivot uma vez;
O Sr. Carlos é pivot uma vez.
A distribuição de poder de Shapley- Shubik é a seguinte:
O poder do Sr. João é 4/6;
O poder da D. Rosa é 1/6;
O poder do Sr. Carlos é 1/6.
Em percentagem, vem que:
Sr. João tem 66,(6)% de poder;
D. Rosa tem 16,(6)% de poder;
Sr. Carlos tem 16,(6)% de poder.
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5. Conclusões
Neste capítulo estudámos a noção de poder quando aplicado a situações de
votação designadas por sistemas de votação com peso.
Analisámos dois tipos de índice de poder e, como vimos os índices têm
diferentes medidas de poder, por vezes ambos estão de acordo mas noutras situações
xistem discrepâncias.
Qual será, então, o que está mais próximo da realidade?
Não existe uma resposta simples, pois a ideia subjacente a cada um dos índices é
diferente.
No índice de poder de Banzhaf, um jogador entra e sai quando quer enquanto
que no índice de poder de Shapley- Shubik um jogador entra na coligação para assumir
um compromisso de permanência.
Na prática, deve-se escolher aquele que se adequa melhor às características da
situação.
A matemática não nos dá uma resposta, apenas uma ferramenta para ajudar a
tomar a decisão certa.
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Capítulo IV - Teoria das eleições
na escola
A teoria das eleições fará parte de uma nova disciplina designada por
Matemática aplicada às ciências sociais, do 10º ano de escolaridade,destinada aos
cursos:
• Geral de ciências sociais e humanas,
como opcional
• Tecnológico do ordenamento do
território, como obrigatório
Esta disciplina pretende ser direccionada para situações reais, para que os alunos
possam desenvolver a capacidade de formular e resolver matematicamente problemas e
desenvolver a capacidade de comunicação de ideias matemáticas.
Não se pretende desenvolver uma teoria matemática das eleições, mas apenas
alertar os alunos para uma área de importância fundamental na sociedade actual e como
a matemática é uma ferramenta incontornável.
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Conclusão
Com este trabalho ficamos a conhecer melhor a diversidade de métodos de
votação e a sua aplicação. É importante, compreendermos como se processam as
eleições de uma maneira geral e termos em atenção que os resultados de uma eleição
diferem consoante o método que for aplicado.
48
Bibliografia • Arnold, Robert; Tannenbaum , Peter - “Excursions in Modern Mathematics”
Prentice Hall, Inc; 2001
• Solomom, Gargunkel and Lymn Steen, “for all pratical purposes”
Pesquisa na Internet http://www.mich.com/~donald/dispute.html http://www.ben.boulder.co.us/government/approvalvote/center.html http://www.ctl.ua.edu/math103/voting/4popular.html