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1. Geometría Vectorial
Ciertas aplicaciones matemáticas con frecuencia se relacionan con
magnitudes que poseen tanto cantidad como dirección, así tenemos: la
velocidad, la fuerza o el desplazamiento. Por lo que el uso de vectores se
vuelve absolutamente necesario.
El estudio de los vectores puede abordarse en forma analítica o geométrica.
Si este estudio es geométrico entonces es primero necesario definir los
sistemas de coordenadas que van a ser usados para el análisis vectorial.
1.1. Sistemas de Referencia
Es un sistema que utiliza uno o más números llamados coordenadas, para
localizar la posición de un punto u otro objeto geométrico. Tal es el caso del
conocido plano cartesiano.
Los sistemas de referencia pueden ser:
Unidimensionales
Bidimensionales
Tridimensionales
1.1.1 Unidimensional
Es básicamente una línea en la que las magnitudes son mostradas como
puntos marcados separados uniformemente entre sí.
Sobre esta recta, comúnmente llamada recta numérica , se representa
el conjunto de los números reales, siendo cero su origen o punto central y
hacia la derecha e izquierda se encuentran los límites infinitos negativos
- y positivos + respectivamente.
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1.1.2. Bidimensional
Es un sistema de coordenadas formado por dos rectas perpendiculares
entre sí que se cortan en un punto de origen.
El sistema de referencia bidimensional más usado es el plano cartesiano,
en el que las rectas son llamadas ejes. Al eje horizontal o eje x se lo
denomina de las abscisas mientras que al eje vertical o eje y se lo conoce
como el de las ordenadas.
Las coordenadas cartesianas se usan por ejemplo para definir un sistema
cartesiano o sistema de referencia respecto ya sea a un solo eje (línea
recta), respecto a dos ejes (un plano) o respecto a tres ejes en el espacio
tridimensional.
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1.1.3. Tridimensional
Es el sistema de referencia que permite localizar la posición de cualquier
punto en el espacio.
Si este sistema de referencia está formado por tres rectas
perpendiculares entre sí (X, Y, Z) que se intersecan en un punto de origen
(0, 0, 0) , cada punto del espacio puede medirse mediante tres números
(x,y,z).
A (Ax,Ay,Az) A(4,5,7)
A los números que definen la posición de un punto en el espacio se les
denomina terna ordenada. Una terna ordenada (x,y,z) se asocia con cada
punto del espacio tridimensional. La distancia dirigida de un punto P al
plano yz es la coordenada x, su distancia dirigida al plano xz es la
coordenada y, y la coordenada z es la distancia dirigida de P al plano xy.
Los tres planos coordenados dividen al espacio en ocho partes
denominadas octantes. El primer octante es aquel donde las coordenadas
son positivas.
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EJEMPLO
Grafique el punto A (2,7,6) cm y determine los triángulos principales y
secundarios.
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Al graficar el punto y las proyecciones de los elementos de su terna
ordenada, se ha formado un paralelepípedo, del que se puede notar varios
triángulos. De estos; el número 1, 5 y 6 son los llamados triángulos
principales porque tienen la misma hipotenusa la cual es, al mismo tiempo la
distancia desde el origen hacia el punto localizado en el espacio. Y al resto de
triángulos se los denomina secundarios.
Además existen varios ángulos que serán posteriormente de mucha utilidad,
los cuales son:
Ángulo Polar
Es el ángulo medido desde el eje x positivo el cual
puede estar comprendido entre 0 y 360
Ángulo Director Z
Es el ángulo medido desde el eje z positivo, el cual
puede estar comprendido entre 0 y 180
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La distancia desde el origen hacia el punto es de suma importancia para
varios cálculos, por lo que su cálculo es absolutamente importante. Uno
de los métodos más útiles para hacerlo es mediante la aplicación de la
fórmula para la distancia no dirigida entre dos puntos y
la cual está dada por:
Aplicación
Determine el perímetro, los ángulos internos y la superficie del triángulo
formado por los puntos: A (4,-3,5)cm , B (3,5,2)cm y C (-2,8,4)cm.
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1.2. Vector
Un vector, sobre un espacio tridimensional, es un segmento de recta dirigido
y definido por una terna ordenada (x,y,z) . Además posee características
fundamentales como:
Módulo.- Es la distancia medida
sobre el segmento del vector,
simboliza una magnitud.
Dirección.- Es el ángulo del vector
con respecto a un sistema de
referencia.
Sentido.- Indica cual es el origen y
cual es el extremo final del
segmento. Se lo denota con la
punta de la flecha del vector.
Los vectores representan magnitudes de carácter físico o vectorial como: la
velocidad, el desplazamiento, la fuerza, la
tensión, el torque, etc.
Si el origen del vector coincide con el del
sistema de referencia, se dice que se trata
de un vector de posición absoluta ( ),
mientras que si no lo hace, es decir su
origen se encuentra en cualquier punto
arbitrario en el espacio excepto en el
origen del sistema, se dice que se tiene a
un vector de posición relativa ( ).
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1.3. Expresiones Vectoriales Los vectores tienen distintas formas de representación tanto en el plano
como en el espacio que dependen de los parámetros de medidas con
respecto al sistema de referencia.
1.3.1 Coordenadas Cartesianas.
También conocido como perpendicular o rectangular. Es el sistema en el que
a cada una de las componentes de la terna ordenada del vector ,
se le asigna un valor sobre los ejes x, y y z respectivamente.
Cada una de las componentes de la terna, es también asociada a un vector
normalizado o vector base que equivale siempre a 1 unidad. Los ejes x, y, z,
poseen cada uno un vector base característico, así:
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Al combinar las coordenadas de una terna ordenada como la proyección
entre sus componentes con la de los vectores normalizados tenemos:
Segmentos dirigidos expresados por las coordenadas espaciales de sus puntos iniciales y finales Segmentos dirigidos asociados a los vectores base
Vector en el espacio tridimensional
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1.3.2. Coordenadas polares en
Es un sistema de referencia en el que un
punto dado, está determinado por un
ángulo, y una distancia.
Por lo tanto cada punto del espacio
corresponde a un par ordenado ,
donde es la distancia de al origen o
polo y es el ángulo formado entre el eje
polar y la recta dirigida .
Como generalización de las coordenadas polares para un espacio
tridimensional, tenemos a las coordenadas cilíndricas y a las coordenadas
esféricas.
a. Coordenadas cilíndricas
Es una extensión de las coordenadas polares para tres dimensiones. La
representación en coordenadas cilíndricas de un punto es ,
donde y son las coordenadas polares de la proyección de en el
plano polar, y es la distancia dirigida desde el plano polar hasta .
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Al adaptar a un vector a este sistema
de coordenadas, entonces tendremos:
Donde
b. Coordenadas Esféricas
Es una generalización tridimensional de las coordenadas polares. En un
sistema de coordenadas esféricas se tiene un plano polar y un eje
perpendicular al plano polar, con el origen como el polo. Un punto es
localizado mediante tres números , donde , es la
medida del ángulo polar de la proyección de en el plano polar, y es la
medida no negativa del ángulo medido desde la parte positiva del eje a
la recta .
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Entonces al expresar un vector en coordenadas esféricas tenemos:
Donde:
1.3.3. Coordenadas Geográficas
Las coordenadas geográficas son un sistema de referencia mediante el cual
se localiza un punto por medio de tres números , donde
el rumbo es el ángulo medido entre el eje y y la proyección del segmento
dirigido sobre el plano xy .
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EJERCICIO
Determinar las expresiones vectoriales del vector posición relativa de un
avión situado en el punto con respecto a un barco situado en
el punto .
Coordenadas rectangulares
Coordenadas Cilíndricas
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Coordenadas Esféricas
Coordenadas Geográficas
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Clasificación de los Vectores
1. Vector Deslizante.- Es el vector que puede ser trasladado a través de su
línea de acción sin modificar su módulo, dirección y sentido.
2. Vector Libre.- Son aquellos que su punto de aplicación puede trasladarse
libremente por el espacio manteniendo sus condiciones originales.
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3. Vectores Opuestos.- Son vectores colineales con igual módulo pero
sentido contrario.
4. Vectores Fijos.- Son vectores que no pueden cambiar su punto de
aplicación, es decir están ligados a un punto en particular.
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Vector Unitario
Es un vector que tiene por módulo a la unidad, es decir, su módulo es igual a
1.
Características
1.- Lleva la información de la dirección del
vector al que se pertenece y de otros
vectores que compartan su línea de acción.
2.-No tiene unidad de medida
3.- Su módulo es igual a 1
4.- Sus coeficientes directores se llaman
cosenos directores
Los ángulos directores se obtienen de los cosenos directores. Los vectores
unitarios permiten direccionar o expresar en forma vectorial a los módulos
de otros vectores colineales.
Ejercicio
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Determinar los vectores aceleración, velocidad y desplazamiento si se
tiene que: , , ,
, y que todos los vectores son colineales.
Ilustración Bidimensional
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Operaciones Vectoriales
Suma y Resta. Existen dos métodos para realizar estar operaciones
vectoriales: el método gráfico y el método analítico.
Método gráfico.- Consiste en una interpretación geométrica de la suma de
vectores. Algunas de las variantes del método gráfico son: método del
paralelogramo, método del polígono y método del triángulo (un caso
especial del método del polígono).
1.- Método del paralelogramo.- Permite solamente sumar dos vectores.
Consiste en disponer gráficamente los dos vectores de manera que los
orígenes de ambos coincidan en un punto, trazando rectas paralelas a cada
uno de los vectores, en el extremo del otro y de igual longitud, formando así
un paralelogramo. El vector resultado o resultante es la diagonal del
paralelogramo que parte del origen de ambos vectores
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2.- Método del Polígono.- Consiste en disponer gráficamente un vector a
continuación de otro, ordenadamente: el origen de cada uno de los
vectores coincidirá con el extremo del siguiente. El vector resultante es aquel
cuyo origen coincide con el del primer vector y termina en el extremo del
último.
Método Analítico.- Consiste en sumar los vectores entre sus respectivas
componentes para obtener un vector resultante mediante procedimientos
algebraicos.
Ejemplo
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Productos
1. Multiplicación por un Escalar
El producto de un vector por un escalar es otro vector cuyo módulo es el
producto del escalar por el módulo del vector, cuya dirección es igual a la del
vector.
Una de las aplicaciones de este producto es la representación de un vector
como su módulo por su unitario.
2.-Producto Escalar o Punto
También conocido como producto interior, es una operación vectorial entre
dos vectores que tiene como resultado un escalar.
Si son dos vectores de ,
el producto escalar entre ambos está definido por:
La fórmula no contiene los vectores unitarios debido a:
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Ángulos entre dos vectores
La expresión geométrica del producto escalar permite calcular el coseno del ángulo existente entre los vectores, mediante la siguiente definición:
De lo cual se deduce que:
Ejemplos:
Determinar y el ángulo formado entre los vectores sabiendo que
.
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Utilizando el producto escalar determinar loa ángulos internos del
triángulo situado entre los vértices .
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Proyección de un vector sobre otro
Por la interpretación geométrica del producto escalar tenemos que la
proyección de un vector sobre un vector está dada por las siguientes
fórmulas:
Existen 5 posibles casos de la proyección de un vector sobre otro:
1)
2)
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3)
4)
5)
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Ejemplo:
El módulo del vector es y su unitario es
y . Determine la proyección de sobre
.
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Aplicaciones al movimiento Parabólico
Ecuaciones del movimiento parabólico
El producto escalar es usado en el movimiento parabólico principalmente
para calcular la aceleración tangencial, es decir la proyección de la
aceleración de la gravedad sobre el vector velocidad.
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Ejemplo
Se dispara un proyectil con una y un ángulo de tiro de
sobre la horizontal. Determinar>
a) El tiempo de vuelo
b) El tiempo de subida
c) El alcance máximo
d) La posición del proyectil a los 5 s.
e) La velocidad del proyectil a los 5 s.
f) La aceleración centrípeta y tangencial a los 5 s.
a)
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b)
c)
d)
=
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e)
=
=
f)
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2.-Producto vectorial o cruz
También conocido como producto externo, es una operación vectorial entre
dos vectores que tiene como resultado otro vector que es perpendicular a los
dos vectores anteriores.
Si , entonces el prudcto
vectorial está dado por:
O por un determinante de tercer orden:
Al aplicar el producto cruz a los vectores base tenemos:
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Interpretación geométrica
La interpretación geométrica del producto cruz se relaciona con el área de
un paralelogramo.
Ejemplos
Determinar un vector perpendicular a los vectores y
.
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Encuentre la superficie formada por y
Encuentre una formula para calcular el volumen de un paralelepípedo cuya
superficie de la base es y cuya altura es un vector que es también la
proyección escalar de la arista más próxima a un vector tal que
.
Como tenemos:
Al comparar (1) y (2) tenemos:
lo cual se conoce como el triple producto escalar.
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Aplicación en el Movimiento Circular
Ecuaciones Básicas del Movimiento
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Ejercicio
Una partícula animada de movimiento circular uniforme parte del punto
y gira alrededor del origen en sentido anti horario describiendo un
ángulo de en 6 segundos. Determinar:
a) La velocidad angular.
b) La posición final e inicial.
c) La velocidad tangencial final.
d) La velocidad tangencial inicial.
e) Las aceleraciones tangencial, centrípeta y total iniciales.
a)
b)
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c)
d)
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e)
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Ejercicios de Aplicación de Geometría Vectorial
1.-Represente en
el triángulo localizado entre los puntos A(5;-2;7)cm,
B(-6;-1;4)cm y C(4;7;5)cm; y determine:
a) El perímetro del triángulo.
b) El área del triángulo
c) Los ángulos internos del triángulo.
d) Las coordenadas de los puntos D, E y F.
e) La medida de los ángulos comprendidos entre: EA y ED; DF y DC; CD y CF.
SOLUCIÓN
a)
Ilustración 1
Ilustración 2
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b)
c)
Ilustración 3
Ilustración 4
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°
d)
Los puntos D, E y F se encuentran todos sobre el plano xy
Por lo tanto:
D(5;-2;0) F(-6;-1;0)
E(4;7;0)
e)
Ilustración 5
Ilustración 6
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2.-Dados los vectores y tal que ,
encuentre los valores de .
Si entonces:
3.- La proyección del vector sobre el plano es y el módulo del vector es .
Determinar:
a) Las dos posibles expresiones de .
b) La proyección del vector en el plano .
c) Los valores de los ángulos directores de .
Ilustración 7
Ilustración 8
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a)
b)
c)
4.- Dado el vector , encuentre un
vector cuya magnitud sea de y su dirección sea
paralela a la dirección del vector .
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5.- Calcule el ángulo que forman los vectores y , sin usar
ninguno de los productos vectoriales.
6.-La longitud del horero y del minutero de cierto reloj
son y , respectivamente. Determine la
posición del extremo del horero con respecto al extremo
del minutero:
a) A las 12h00
b) A las 4h00
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a)
b)
7.- Dados los vectores , y determine el
vector unitario del vector .
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8.- Dado el vector determine el vector proyección del vector sobre la recta
que forma un ángulo de 60° sobre el eje x positivo.
9.- La suma de dos vectores es y su diferencia es . Encuentre el ángulo
formado entre los vectores .
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10.- Determine el ángulo que forma los vectores y , si los ángulos directores del vector
son y del vector son .
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11. El módulo del vector es y su unitario es . El vector
comienza en el punto y termina en el punto . Determine:
a) El ángulo entre los vectores .
b) El vector proyección de sobre .
a)
b)
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12.- Los dos vectores , cumplen: y . Determine la
proyección del vector en la línea de acción del vector .
13. Si , determine un vector unitario perpendicular tanto al
vectro como al vector .
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14. Encuentre un vector de magnitud que al mismo tiempo sea perpendicular a los
vectores .
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15.- El tirante de una torre está asegurado en A mediante un perno. La tensión en el cable es
de . Determinar:
a) Las componentes de la fuerza que actúa sobre el perno A.
b) Los ángulos directores que definen la dirección de la fuerza F.
a)
b)
16. La tensión en el cable es de . Determinar:
a) Los valores de las tensiones que se requieren en
para que los resultantes de la fuerza
ejercida sobre el punto A sea vertical.
b) El ángulo formado por los cables
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b)
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17. Una carga W está suspendida de tres cables. Como se muestra en la figura. Determinar el
valor de W si la tensión en el cable BD es de .
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18. Una partícula gira con M.C.U.V. Si parte del punto con una y en 5
segundos alcanza una . Determinar gráfica y analíticamente en forma vectorial:
a) Posición angular final e inicial
b) Desplazamiento angular
c) Aceleración angular
d) Aceleración centrípeta, lineal y total inicial
e) Aceleración centrípeta, lineal y total final
a)
b)
c)
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d)
e)
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