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FUNES DE DISTRIBUIO DE PROBABILIDADE
Rafael Carneiro da Costa
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEAR - UFCFACULDADE DE ECONOMIA, ADMINISTRAO, ATURIA E CONTABILIDADE
DEPARTAMENTO DE ECONOMIA APLICADA - DEA
Outubro 2013
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 1 / 33
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VARIVEL ALEATRIA
Denition (1)Em termos simples, uma varivel aleatria uma funo conjunto cujovalor um nmero real determinado pelo resultado de um experimento. Aextenso de uma v.a. o conjunto de todos os valores que ele podeassumir. Em termos de teoria da medida, uma v.a. X uma funo quemapeia S em R e satisfaz a condio que 8 conjunto de Borel B 2 , aimagem inversa X1(B) 2 F , onde:
X1(B) = fs : s 2 S e X (s) 2 Bg
Note que na trplice (S ,F ,P), o espao amostral S agoracorresponde linha real R e a algebra F , agora correspondenteao campo de Borel .
Correspondente medida de probabilidade P(.), possvel deniruma funo conjunto, chamada PX (.), que mapeia o campo de BorelF no intervalo unitrio fechado [0, 1].
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 2 / 33
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VARIVEL ALEATRIA
Denition (1)Em termos simples, uma varivel aleatria uma funo conjunto cujovalor um nmero real determinado pelo resultado de um experimento. Aextenso de uma v.a. o conjunto de todos os valores que ele podeassumir. Em termos de teoria da medida, uma v.a. X uma funo quemapeia S em R e satisfaz a condio que 8 conjunto de Borel B 2 , aimagem inversa X1(B) 2 F , onde:
X1(B) = fs : s 2 S e X (s) 2 Bg
Note que na trplice (S ,F ,P), o espao amostral S agoracorresponde linha real R e a algebra F , agora correspondenteao campo de Borel .Correspondente medida de probabilidade P(.), possvel deniruma funo conjunto, chamada PX (.), que mapeia o campo de BorelF no intervalo unitrio fechado [0, 1].Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 2 / 33
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FUNO DE DISTRIBUIO
Denition (2)
A funo F (x) tal que F (x) = P(X x) 8x 2 R chamada funo dedistribuio (ou densidade) acumulada, ou FDA.
F (x) d a probabilidade que uma v.a. assume valores menores ouiguais a um valor especco.
Note que a v.a. X em conjunto com a FDA transforma a trplice(S ,F ,P) em (R,,F ).
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 3 / 33
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FUNO DE DISTRIBUIO
Denition (2)
A funo F (x) tal que F (x) = P(X x) 8x 2 R chamada funo dedistribuio (ou densidade) acumulada, ou FDA.
F (x) d a probabilidade que uma v.a. assume valores menores ouiguais a um valor especco.
Note que a v.a. X em conjunto com a FDA transforma a trplice(S ,F ,P) em (R,,F ).
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FUNO DE DISTRIBUIO
Theorem (1)
P(a < X b) = F (b) F (a).
Proof.Sejam I1 = (, a] e I2 = (a, b]. Ento I1 e I2 so disjuntos e por issoP(I1) + P(I2) = P(I1[ I2). Mas P(I1[ I2) = F (b) e P(I1) = F (a). Porisso, P(a < X b) = P(I2) = F (b) F (a).
Theorem (2)
8x 2 R,F (x) contnua direita de x.
Theorem (3)
Se F (x) contnuo em x 2 R, ento P(X = x) = 0.
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DISTRIBUIES DISCRETAS
Uma v.a. X tem uma distribuio discreta se ela pode tomar apenasum nmero nito ou innito contvel de diferentes valores x1, x2, ...xn.
Denition (3)
Para uma v.a discreta X , seja f (x) = PX (X = x). A funo f (x) chamada a funo probabilidade ou FP.
A relao entre uma FDA e uma FP simples: porqueF (x) = P(X x), tem-se que F (X ) =
Xxf (x). Note que toda FP
envolve um ou mais parmetros que sero denotados por . O espaodos parmetros denotado por .
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 5 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETAS
Uma v.a. X tem uma distribuio discreta se ela pode tomar apenasum nmero nito ou innito contvel de diferentes valores x1, x2, ...xn.
Denition (3)
Para uma v.a discreta X , seja f (x) = PX (X = x). A funo f (x) chamada a funo probabilidade ou FP.
A relao entre uma FDA e uma FP simples: porqueF (x) = P(X x), tem-se que F (X ) =
Xxf (x). Note que toda FP
envolve um ou mais parmetros que sero denotados por . O espaodos parmetros denotado por .
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO BERNOULLI
Considere um experimento que tem apenas dois resultados possveis:um sucesso ou uma falha.
O espao amostral ser S = fsucesso, falhag.Tome P(sucesso) = p, que implica que P(falha) = 1 p.Dena a v.a X tal que X (sucesso) = 1 e X (falha) = 0.
Isto pode ser representado na forma
f (x ; p) = px (1 p)1x , para x = 0, 1 e 0 p 1.Esta distribuio conhecida como a distribuio de Bernoulli.
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO BERNOULLI
Considere um experimento que tem apenas dois resultados possveis:um sucesso ou uma falha.
O espao amostral ser S = fsucesso, falhag.
Tome P(sucesso) = p, que implica que P(falha) = 1 p.Dena a v.a X tal que X (sucesso) = 1 e X (falha) = 0.
Isto pode ser representado na forma
f (x ; p) = px (1 p)1x , para x = 0, 1 e 0 p 1.Esta distribuio conhecida como a distribuio de Bernoulli.
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO BERNOULLI
Considere um experimento que tem apenas dois resultados possveis:um sucesso ou uma falha.
O espao amostral ser S = fsucesso, falhag.Tome P(sucesso) = p, que implica que P(falha) = 1 p.
Dena a v.a X tal que X (sucesso) = 1 e X (falha) = 0.
Isto pode ser representado na forma
f (x ; p) = px (1 p)1x , para x = 0, 1 e 0 p 1.Esta distribuio conhecida como a distribuio de Bernoulli.
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO BERNOULLI
Considere um experimento que tem apenas dois resultados possveis:um sucesso ou uma falha.
O espao amostral ser S = fsucesso, falhag.Tome P(sucesso) = p, que implica que P(falha) = 1 p.Dena a v.a X tal que X (sucesso) = 1 e X (falha) = 0.
Isto pode ser representado na forma
f (x ; p) = px (1 p)1x , para x = 0, 1 e 0 p 1.Esta distribuio conhecida como a distribuio de Bernoulli.
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO BERNOULLI
Considere um experimento que tem apenas dois resultados possveis:um sucesso ou uma falha.
O espao amostral ser S = fsucesso, falhag.Tome P(sucesso) = p, que implica que P(falha) = 1 p.Dena a v.a X tal que X (sucesso) = 1 e X (falha) = 0.
Isto pode ser representado na forma
f (x ; p) = px (1 p)1x , para x = 0, 1 e 0 p 1.
Esta distribuio conhecida como a distribuio de Bernoulli.
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO BERNOULLI
Considere um experimento que tem apenas dois resultados possveis:um sucesso ou uma falha.
O espao amostral ser S = fsucesso, falhag.Tome P(sucesso) = p, que implica que P(falha) = 1 p.Dena a v.a X tal que X (sucesso) = 1 e X (falha) = 0.
Isto pode ser representado na forma
f (x ; p) = px (1 p)1x , para x = 0, 1 e 0 p 1.Esta distribuio conhecida como a distribuio de Bernoulli.
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO BINOMIAL
Seja p a probabilidade de um sucesso em um dado experimento eq = 1 p a probabilidade de uma falha.
Assuma que:
1 a probabilidade de um sucesso a mesma para cada experimento; e2 os experimentos so independentes.
Seja X o nmero de sucessos em n tais experimentos. Ento
f (x ; ) = B(x ; n, p) = (nx)pxqnx =
n!x !(n x)!p
xqnx
x = 0, 1, ..., n 0 p 1 q = 1 p
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO BINOMIAL
Seja p a probabilidade de um sucesso em um dado experimento eq = 1 p a probabilidade de uma falha.Assuma que:
1 a probabilidade de um sucesso a mesma para cada experimento; e2 os experimentos so independentes.
Seja X o nmero de sucessos em n tais experimentos. Ento
f (x ; ) = B(x ; n, p) = (nx)pxqnx =
n!x !(n x)!p
xqnx
x = 0, 1, ..., n 0 p 1 q = 1 p
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO BINOMIAL
Seja p a probabilidade de um sucesso em um dado experimento eq = 1 p a probabilidade de uma falha.Assuma que:
1 a probabilidade de um sucesso a mesma para cada experimento; e
2 os experimentos so independentes.
Seja X o nmero de sucessos em n tais experimentos. Ento
f (x ; ) = B(x ; n, p) = (nx)pxqnx =
n!x !(n x)!p
xqnx
x = 0, 1, ..., n 0 p 1 q = 1 p
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO BINOMIAL
Seja p a probabilidade de um sucesso em um dado experimento eq = 1 p a probabilidade de uma falha.Assuma que:
1 a probabilidade de um sucesso a mesma para cada experimento; e2 os experimentos so independentes.
Seja X o nmero de sucessos em n tais experimentos. Ento
f (x ; ) = B(x ; n, p) = (nx)pxqnx =
n!x !(n x)!p
xqnx
x = 0, 1, ..., n 0 p 1 q = 1 p
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO BINOMIAL
Seja p a probabilidade de um sucesso em um dado experimento eq = 1 p a probabilidade de uma falha.Assuma que:
1 a probabilidade de um sucesso a mesma para cada experimento; e2 os experimentos so independentes.
Seja X o nmero de sucessos em n tais experimentos. Ento
f (x ; ) = B(x ; n, p) = (nx)pxqnx =
n!x !(n x)!p
xqnx
x = 0, 1, ..., n 0 p 1 q = 1 p
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO DE POISSON
Considere a distribuio binomial.
Seja n! e p ! 0, mas de tal forma que np = > 0 8n, p.Portanto, a probabilidade de sucesso muito pequena e o nmero deexperimentos grande.
Neste caso, obtem-se a distribuio de Poisson:
f (x ;) =ex
x !x = 0, 1, 2, ... > 0
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO DE POISSON
Considere a distribuio binomial.
Seja n! e p ! 0, mas de tal forma que np = > 0 8n, p.
Portanto, a probabilidade de sucesso muito pequena e o nmero deexperimentos grande.
Neste caso, obtem-se a distribuio de Poisson:
f (x ;) =ex
x !x = 0, 1, 2, ... > 0
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO DE POISSON
Considere a distribuio binomial.
Seja n! e p ! 0, mas de tal forma que np = > 0 8n, p.Portanto, a probabilidade de sucesso muito pequena e o nmero deexperimentos grande.
Neste caso, obtem-se a distribuio de Poisson:
f (x ;) =ex
x !x = 0, 1, 2, ... > 0
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO DE POISSON
Considere a distribuio binomial.
Seja n! e p ! 0, mas de tal forma que np = > 0 8n, p.Portanto, a probabilidade de sucesso muito pequena e o nmero deexperimentos grande.
Neste caso, obtem-se a distribuio de Poisson:
f (x ;) =ex
x !x = 0, 1, 2, ... > 0
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO GEOMTRICA
Considere tentativas sucessivas e independentes de um mesmoexperimento aleatrio.
Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso comprobabilidade q = 1 p.Seja X o nmero de tentativas necessrias ao aparecimento doprimeiro sucesso. Logo, X assume os valores:
X = 1, que denota (S) e P(X = 1) = p
X = 2, que denota (FS) e P(X = 2) = P(F \ S) = qpX = 3, que denota (FFS) e P(X = 3) = P(F \ F \ S) = q2pX = 4, que denota (FFFS) e P(X = 4) = q3p
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 9 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO GEOMTRICA
Considere tentativas sucessivas e independentes de um mesmoexperimento aleatrio.
Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso comprobabilidade q = 1 p.
Seja X o nmero de tentativas necessrias ao aparecimento doprimeiro sucesso. Logo, X assume os valores:
X = 1, que denota (S) e P(X = 1) = p
X = 2, que denota (FS) e P(X = 2) = P(F \ S) = qpX = 3, que denota (FFS) e P(X = 3) = P(F \ F \ S) = q2pX = 4, que denota (FFFS) e P(X = 4) = q3p
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO GEOMTRICA
Considere tentativas sucessivas e independentes de um mesmoexperimento aleatrio.
Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso comprobabilidade q = 1 p.Seja X o nmero de tentativas necessrias ao aparecimento doprimeiro sucesso. Logo, X assume os valores:
X = 1, que denota (S) e P(X = 1) = p
X = 2, que denota (FS) e P(X = 2) = P(F \ S) = qpX = 3, que denota (FFS) e P(X = 3) = P(F \ F \ S) = q2pX = 4, que denota (FFFS) e P(X = 4) = q3p
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO GEOMTRICA
Considere tentativas sucessivas e independentes de um mesmoexperimento aleatrio.
Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso comprobabilidade q = 1 p.Seja X o nmero de tentativas necessrias ao aparecimento doprimeiro sucesso. Logo, X assume os valores:
X = 1, que denota (S) e P(X = 1) = p
X = 2, que denota (FS) e P(X = 2) = P(F \ S) = qpX = 3, que denota (FFS) e P(X = 3) = P(F \ F \ S) = q2pX = 4, que denota (FFFS) e P(X = 4) = q3p
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO GEOMTRICA
Considere tentativas sucessivas e independentes de um mesmoexperimento aleatrio.
Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso comprobabilidade q = 1 p.Seja X o nmero de tentativas necessrias ao aparecimento doprimeiro sucesso. Logo, X assume os valores:
X = 1, que denota (S) e P(X = 1) = p
X = 2, que denota (FS) e P(X = 2) = P(F \ S) = qp
X = 3, que denota (FFS) e P(X = 3) = P(F \ F \ S) = q2pX = 4, que denota (FFFS) e P(X = 4) = q3p
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 9 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO GEOMTRICA
Considere tentativas sucessivas e independentes de um mesmoexperimento aleatrio.
Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso comprobabilidade q = 1 p.Seja X o nmero de tentativas necessrias ao aparecimento doprimeiro sucesso. Logo, X assume os valores:
X = 1, que denota (S) e P(X = 1) = p
X = 2, que denota (FS) e P(X = 2) = P(F \ S) = qpX = 3, que denota (FFS) e P(X = 3) = P(F \ F \ S) = q2p
X = 4, que denota (FFFS) e P(X = 4) = q3p
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO GEOMTRICA
Considere tentativas sucessivas e independentes de um mesmoexperimento aleatrio.
Cada tentativa admite sucesso com probabilidade p e fracasso comprobabilidade q = 1 p.Seja X o nmero de tentativas necessrias ao aparecimento doprimeiro sucesso. Logo, X assume os valores:
X = 1, que denota (S) e P(X = 1) = p
X = 2, que denota (FS) e P(X = 2) = P(F \ S) = qpX = 3, que denota (FFS) e P(X = 3) = P(F \ F \ S) = q2pX = 4, que denota (FFFS) e P(X = 4) = q3p
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO GEOMTRICA
Generalizando,
X = x , que denota (
xz }| {FFF ...FS) com
P(X = x) = qx1p
A v.a. X tem ento distribuio geomtrica.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 10 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO GEOMTRICA
Generalizando,
X = x , que denota (
xz }| {FFF ...FS) com
P(X = x) = qx1p
A v.a. X tem ento distribuio geomtrica.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 10 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO GEOMTRICA
Generalizando,
X = x , que denota (
xz }| {FFF ...FS) com
P(X = x) = qx1p
A v.a. X tem ento distribuio geomtrica.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 10 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO DE PASCAL
Em um experimento binomial, seja X o nmero de experimentos paraobter exatamente k sucessos.
Para haver exatamente k sucessos, deve haver k 1 sucessos emX 1 experimentos e o prximo resultado deve ser um sucesso.Portanto,
f (x ; k, p) = (x1k1)pkqxk
x = k, k + 1, k + 2, ...
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 11 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO DE PASCAL
Em um experimento binomial, seja X o nmero de experimentos paraobter exatamente k sucessos.
Para haver exatamente k sucessos, deve haver k 1 sucessos emX 1 experimentos e o prximo resultado deve ser um sucesso.
Portanto,
f (x ; k, p) = (x1k1)pkqxk
x = k, k + 1, k + 2, ...
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO DE PASCAL
Em um experimento binomial, seja X o nmero de experimentos paraobter exatamente k sucessos.
Para haver exatamente k sucessos, deve haver k 1 sucessos emX 1 experimentos e o prximo resultado deve ser um sucesso.Portanto,
f (x ; k, p) = (x1k1)pkqxk
x = k, k + 1, k + 2, ...
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA
Considere uma populao com N elementos, dos quais r tm umadeterminada caracterstica (a retirada de um desses elementoscorresponde ao sucesso).
Retire dessa populao, sem reposio, uma amostra de tamanho n.
Seja X o nmero de sucessos na amostra (sada do elemento com acaracterstica). Qual a P(X = k)?
Pode-se tirar (Nn ) amostras sem reposio.
Os sucessos na amostra podem ocorrer de (nk) maneiras e fracassos de(Nrnk ) modos.Logo,
P(X = k) =(rk)(
Nrnk )(Nn )
, 0 k n e k r
A v.a X tem ento distribuio hipergeomtrica.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 12 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA
Considere uma populao com N elementos, dos quais r tm umadeterminada caracterstica (a retirada de um desses elementoscorresponde ao sucesso).
Retire dessa populao, sem reposio, uma amostra de tamanho n.
Seja X o nmero de sucessos na amostra (sada do elemento com acaracterstica). Qual a P(X = k)?
Pode-se tirar (Nn ) amostras sem reposio.
Os sucessos na amostra podem ocorrer de (nk) maneiras e fracassos de(Nrnk ) modos.Logo,
P(X = k) =(rk)(
Nrnk )(Nn )
, 0 k n e k r
A v.a X tem ento distribuio hipergeomtrica.
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA
Considere uma populao com N elementos, dos quais r tm umadeterminada caracterstica (a retirada de um desses elementoscorresponde ao sucesso).
Retire dessa populao, sem reposio, uma amostra de tamanho n.
Seja X o nmero de sucessos na amostra (sada do elemento com acaracterstica). Qual a P(X = k)?
Pode-se tirar (Nn ) amostras sem reposio.
Os sucessos na amostra podem ocorrer de (nk) maneiras e fracassos de(Nrnk ) modos.Logo,
P(X = k) =(rk)(
Nrnk )(Nn )
, 0 k n e k r
A v.a X tem ento distribuio hipergeomtrica.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 12 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA
Considere uma populao com N elementos, dos quais r tm umadeterminada caracterstica (a retirada de um desses elementoscorresponde ao sucesso).
Retire dessa populao, sem reposio, uma amostra de tamanho n.
Seja X o nmero de sucessos na amostra (sada do elemento com acaracterstica). Qual a P(X = k)?
Pode-se tirar (Nn ) amostras sem reposio.
Os sucessos na amostra podem ocorrer de (nk) maneiras e fracassos de(Nrnk ) modos.Logo,
P(X = k) =(rk)(
Nrnk )(Nn )
, 0 k n e k r
A v.a X tem ento distribuio hipergeomtrica.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 12 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA
Considere uma populao com N elementos, dos quais r tm umadeterminada caracterstica (a retirada de um desses elementoscorresponde ao sucesso).
Retire dessa populao, sem reposio, uma amostra de tamanho n.
Seja X o nmero de sucessos na amostra (sada do elemento com acaracterstica). Qual a P(X = k)?
Pode-se tirar (Nn ) amostras sem reposio.
Os sucessos na amostra podem ocorrer de (nk) maneiras e fracassos de(Nrnk ) modos.
Logo,
P(X = k) =(rk)(
Nrnk )(Nn )
, 0 k n e k r
A v.a X tem ento distribuio hipergeomtrica.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 12 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA
Considere uma populao com N elementos, dos quais r tm umadeterminada caracterstica (a retirada de um desses elementoscorresponde ao sucesso).
Retire dessa populao, sem reposio, uma amostra de tamanho n.
Seja X o nmero de sucessos na amostra (sada do elemento com acaracterstica). Qual a P(X = k)?
Pode-se tirar (Nn ) amostras sem reposio.
Os sucessos na amostra podem ocorrer de (nk) maneiras e fracassos de(Nrnk ) modos.Logo,
P(X = k) =(rk)(
Nrnk )(Nn )
, 0 k n e k r
A v.a X tem ento distribuio hipergeomtrica.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 12 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO HIPERGEOMTRICA
Considere uma populao com N elementos, dos quais r tm umadeterminada caracterstica (a retirada de um desses elementoscorresponde ao sucesso).
Retire dessa populao, sem reposio, uma amostra de tamanho n.
Seja X o nmero de sucessos na amostra (sada do elemento com acaracterstica). Qual a P(X = k)?
Pode-se tirar (Nn ) amostras sem reposio.
Os sucessos na amostra podem ocorrer de (nk) maneiras e fracassos de(Nrnk ) modos.Logo,
P(X = k) =(rk)(
Nrnk )(Nn )
, 0 k n e k r
A v.a X tem ento distribuio hipergeomtrica.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 12 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO POLINOMIAL
Divida o espao amostral do experimento em k partiesA1,A2, ...,Ak .
Seja P(Ai ) = pi a probabilidade de sucesso.
Considere n tentativas independentes do mesmo experimento, onde os
pi so constantes eki=1pi = 1.
Seja Xi o nmero de ocorrncias de Ai , i = 1, ..., k eki=1Xi = n.
Ento,
P(X1 = n1,X2 = n2, ...,Xk = nk ) =n!
n1!n2!...nk !pn11 p
n22 ...p
nkk
comki=1ni = n.
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO POLINOMIAL
Divida o espao amostral do experimento em k partiesA1,A2, ...,Ak .
Seja P(Ai ) = pi a probabilidade de sucesso.
Considere n tentativas independentes do mesmo experimento, onde os
pi so constantes eki=1pi = 1.
Seja Xi o nmero de ocorrncias de Ai , i = 1, ..., k eki=1Xi = n.
Ento,
P(X1 = n1,X2 = n2, ...,Xk = nk ) =n!
n1!n2!...nk !pn11 p
n22 ...p
nkk
comki=1ni = n.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 13 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO POLINOMIAL
Divida o espao amostral do experimento em k partiesA1,A2, ...,Ak .
Seja P(Ai ) = pi a probabilidade de sucesso.
Considere n tentativas independentes do mesmo experimento, onde os
pi so constantes eki=1pi = 1.
Seja Xi o nmero de ocorrncias de Ai , i = 1, ..., k eki=1Xi = n.
Ento,
P(X1 = n1,X2 = n2, ...,Xk = nk ) =n!
n1!n2!...nk !pn11 p
n22 ...p
nkk
comki=1ni = n.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 13 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO POLINOMIAL
Divida o espao amostral do experimento em k partiesA1,A2, ...,Ak .
Seja P(Ai ) = pi a probabilidade de sucesso.
Considere n tentativas independentes do mesmo experimento, onde os
pi so constantes eki=1pi = 1.
Seja Xi o nmero de ocorrncias de Ai , i = 1, ..., k eki=1Xi = n.
Ento,
P(X1 = n1,X2 = n2, ...,Xk = nk ) =n!
n1!n2!...nk !pn11 p
n22 ...p
nkk
comki=1ni = n.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 13 / 33
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DISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIO POLINOMIAL
Divida o espao amostral do experimento em k partiesA1,A2, ...,Ak .
Seja P(Ai ) = pi a probabilidade de sucesso.
Considere n tentativas independentes do mesmo experimento, onde os
pi so constantes eki=1pi = 1.
Seja Xi o nmero de ocorrncias de Ai , i = 1, ..., k eki=1Xi = n.
Ento,
P(X1 = n1,X2 = n2, ...,Xk = nk ) =n!
n1!n2!...nk !pn11 p
n22 ...p
nkk
comki=1ni = n.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 13 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUAS
Diferente das v.a.s discretas que tomam apenas valores especcos,uma v.a. contnua pode tomar qualquer valor em um intervalo real.
Denition (4)
Para uma v.a. X , se existe uma funo no-negativa f (x) denida sobre areta real, tal que, para qualquer intervalo B,
P(X 2 B) =ZBf (x)dx
ento X tem uma distribuio contnua e f (x) chamada a funodensidade de probabilidade ou FDP.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 14 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO UNIFORME SOBRE UM INTERVALO
Uma v.a. X em que a FDP f (x ; a, b) uma constante positiva c nointervalo a X b chamada a distribuio uniforme sobre umintervalo.
Para f (x ; a, b) ser uma FDP,R ba f (x ; a, b)dx = 1 =
R ba cdx = c(b a)
Por isso, f (x ; a, b) = 1/(b a) uniformemente em a x b.Sua FDA uma linha reta dada por
F (x ; a, b) =R xa f (x ; a, b)dx =
x ab a , para a x b.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 15 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO UNIFORME SOBRE UM INTERVALO
Uma v.a. X em que a FDP f (x ; a, b) uma constante positiva c nointervalo a X b chamada a distribuio uniforme sobre umintervalo.Para f (x ; a, b) ser uma FDP,R b
a f (x ; a, b)dx = 1 =R ba cdx = c(b a)
Por isso, f (x ; a, b) = 1/(b a) uniformemente em a x b.Sua FDA uma linha reta dada por
F (x ; a, b) =R xa f (x ; a, b)dx =
x ab a , para a x b.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 15 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO UNIFORME SOBRE UM INTERVALO
Uma v.a. X em que a FDP f (x ; a, b) uma constante positiva c nointervalo a X b chamada a distribuio uniforme sobre umintervalo.Para f (x ; a, b) ser uma FDP,R b
a f (x ; a, b)dx = 1 =R ba cdx = c(b a)
Por isso, f (x ; a, b) = 1/(b a) uniformemente em a x b.
Sua FDA uma linha reta dada por
F (x ; a, b) =R xa f (x ; a, b)dx =
x ab a , para a x b.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 15 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO UNIFORME SOBRE UM INTERVALO
Uma v.a. X em que a FDP f (x ; a, b) uma constante positiva c nointervalo a X b chamada a distribuio uniforme sobre umintervalo.Para f (x ; a, b) ser uma FDP,R b
a f (x ; a, b)dx = 1 =R ba cdx = c(b a)
Por isso, f (x ; a, b) = 1/(b a) uniformemente em a x b.Sua FDA uma linha reta dada por
F (x ; a, b) =R xa f (x ; a, b)dx =
x ab a , para a x b.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 15 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO UNIFORME SOBRE UM INTERVALO
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 16 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO UNIFORME SOBRE UM INTERVALO
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 17 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO NORMAL
A distribuio mais utilizada na estatstica e econometria a normal,cuja FDP
f (x ; , ) =1
p2
exp(x )2
22
, < x <
A distribuio escrita como X N(, 2). e 2 so geralmentedesconhecidos.A distribuio normal N(, 2) simtrica em torno de e distribuda com a forma de sino.O caso especial da distribuio normal para = 0 e = 1 conhecido como normal padro e sua FDP independente deparmetros:
f (x) =1p2ex2 , < x <
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 18 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO NORMAL
A distribuio mais utilizada na estatstica e econometria a normal,cuja FDP
f (x ; , ) =1
p2
exp(x )2
22
, < x <
A distribuio escrita como X N(, 2). e 2 so geralmentedesconhecidos.
A distribuio normal N(, 2) simtrica em torno de e distribuda com a forma de sino.O caso especial da distribuio normal para = 0 e = 1 conhecido como normal padro e sua FDP independente deparmetros:
f (x) =1p2ex2 , < x <
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 18 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO NORMAL
A distribuio mais utilizada na estatstica e econometria a normal,cuja FDP
f (x ; , ) =1
p2
exp(x )2
22
, < x <
A distribuio escrita como X N(, 2). e 2 so geralmentedesconhecidos.A distribuio normal N(, 2) simtrica em torno de e distribuda com a forma de sino.
O caso especial da distribuio normal para = 0 e = 1 conhecido como normal padro e sua FDP independente deparmetros:
f (x) =1p2ex2 , < x <
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 18 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO NORMAL
A distribuio mais utilizada na estatstica e econometria a normal,cuja FDP
f (x ; , ) =1
p2
exp(x )2
22
, < x <
A distribuio escrita como X N(, 2). e 2 so geralmentedesconhecidos.A distribuio normal N(, 2) simtrica em torno de e distribuda com a forma de sino.O caso especial da distribuio normal para = 0 e = 1 conhecido como normal padro e sua FDP independente deparmetros:
f (x) =1p2ex2 , < x <
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 18 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO NORMAL
A distribuio mais utilizada na estatstica e econometria a normal,cuja FDP
f (x ; , ) =1
p2
exp(x )2
22
, < x <
A distribuio escrita como X N(, 2). e 2 so geralmentedesconhecidos.A distribuio normal N(, 2) simtrica em torno de e distribuda com a forma de sino.O caso especial da distribuio normal para = 0 e = 1 conhecido como normal padro e sua FDP independente deparmetros:
f (x) =1p2ex2 , < x <
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 18 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO NORMAL
Note que:
1 O ponto de mximo de f (x) o ponto .2 Os pontos de inexo da funo so: X = e X = + .
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 19 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO NORMAL
Note que:
1 O ponto de mximo de f (x) o ponto .
2 Os pontos de inexo da funo so: X = e X = + .
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 19 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO NORMAL
Note que:
1 O ponto de mximo de f (x) o ponto .2 Os pontos de inexo da funo so: X = e X = + .
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 19 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO EXPONENCIAL
f (x) =1ex , x > 0 e > 0
F (x) = 1 e x
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 20 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO EXPONENCIAL
f (x) =1ex , x > 0 e > 0
F (x) = 1 e x
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 20 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO GAMA
Considere a funo gama
() =R 0 y
1eydy para > 0
A distribuio gama ento ter a FDP
f (x ; , ) =1
()x1e(x/)
para x > 0 e , > 0.
Note que se = 1, o caso gama reduz-se ao caso exponencial.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 21 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO GAMA
Considere a funo gama
() =R 0 y
1eydy para > 0
A distribuio gama ento ter a FDP
f (x ; , ) =1
()x1e(x/)
para x > 0 e , > 0.
Note que se = 1, o caso gama reduz-se ao caso exponencial.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 21 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO GAMA
Considere a funo gama
() =R 0 y
1eydy para > 0
A distribuio gama ento ter a FDP
f (x ; , ) =1
()x1e(x/)
para x > 0 e , > 0.
Note que se = 1, o caso gama reduz-se ao caso exponencial.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 21 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO QUI-QUADRADA
Considere o caso especial da distribuio gama quando = n2 e = 2.
Assim, obtem-se a distribuio 2 com n graus de liberdade cuja FDP
f (x) =1
2n/2(n/2)xn/21ex/2,
para x > 0.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 22 / 33
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DISTRIBUIES CONTNUASDISTRIBUIO QUI-QUADRADA
Considere o caso especial da distribuio gama quando = n2 e = 2.
Assim, obtem-se a distribuio 2 com n graus de liberdade cuja FDP
f (x) =1
2n/2(n/2)xn/21ex/2,
para x > 0.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 22 / 33
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TRANSFORMAES DE VRIAS VARIVEIS
Denition (5)
Uma funo g(x) sobre S para R chamada uma funo mensurvel seo conjunto fx : g(x) yg 2 F8y 2 R.
Portanto, uma funo g(x) sendo mensurvel implica que pode-seexpressar a probabilidade do evento fg(x) yg em termos daprobabilidade em F correspondente a X .
Theorem (4)
Seja FX (x) a FDA da v.a. X e seja Y = g(X ) mensurvel, diferencivel emontono. Ento a FDA de Y dada por:
FY (y) = FX [g(y)1], se g(X) montona crescente.
FY (y) = 1 FX [g(y)1], se g(X) montona decrescente.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 23 / 33
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TRANSFORMAES DE VRIAS VARIVEIS
Proof.[Prova do 1o Caso]
FY (y) = P(Y y) = P [g(X ) y ]P [g(X ) y ] = P [X g1(y)], pela monotonicidade crescente.
Por isso, FY (y) = P [g(X ) y ] = P [X g1(y)] = FX [g(y)1].
Theorem (5)
Tome as suposies do Teorema (4). Em adio, seja fX (x) a FDP de X edxdy 6= 0. Ento a FDP de Y = g(X ) dada por:
fY (y) = fX [g(y)1], quando X discreto.
fY (y) = fX [g(y)1]
dxdy , quando X contnuo.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 24 / 33
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TRANSFORMAES DE VRIAS VARIVEIS
Proof.[Prova do 1o Caso]
fY (y) = P(Y = y) = P [g(X ) = y ] = P [X = g1(y)] = fX [g(y)1]
Proof.[Prova do 2o Caso] Pelo Teorema (4),
FY (y) = FX [g(y)1]
Isto ,
FY (y) =Z g (x )1
fX (x)dx
Diferenciando com respeito a y e usando a regra da cadeia,
fY (y) = fX [g(y)1]g 0(y)1
Mas g 0(y)1 = dxdy . Porque fY (y) deve ser no-negativo, usa-se o valorabsoluto da derivada.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 25 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESA INTEGRAL DE STIELTJES
At agora, utilizou-se a integral de Riemann no conexto de v.a.scontnuas.
Para melhor entendimento, considere o intervalo [a, b]8a, b tal quea < b; e uma funo g(x) limitada em [a, b].Subdivida [a, b] em um nmero de intervalos ao inserir pontos xi ,como segue:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b]
Cada subdiviso uma partio, e o maior dos intervalos(xi = xi xi1) a norma da partio, denotado por kxk.Seja wi qualquer ponto em [xi1, xi ].Constri-se ento a soma de Riemann:
g(wi )xi = g(wi )(xi xi1)
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 26 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESA INTEGRAL DE STIELTJES
At agora, utilizou-se a integral de Riemann no conexto de v.a.scontnuas.Para melhor entendimento, considere o intervalo [a, b]8a, b tal quea < b; e uma funo g(x) limitada em [a, b].
Subdivida [a, b] em um nmero de intervalos ao inserir pontos xi ,como segue:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b]
Cada subdiviso uma partio, e o maior dos intervalos(xi = xi xi1) a norma da partio, denotado por kxk.Seja wi qualquer ponto em [xi1, xi ].Constri-se ento a soma de Riemann:
g(wi )xi = g(wi )(xi xi1)
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 26 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESA INTEGRAL DE STIELTJES
At agora, utilizou-se a integral de Riemann no conexto de v.a.scontnuas.Para melhor entendimento, considere o intervalo [a, b]8a, b tal quea < b; e uma funo g(x) limitada em [a, b].Subdivida [a, b] em um nmero de intervalos ao inserir pontos xi ,como segue:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b]
Cada subdiviso uma partio, e o maior dos intervalos(xi = xi xi1) a norma da partio, denotado por kxk.Seja wi qualquer ponto em [xi1, xi ].Constri-se ento a soma de Riemann:
g(wi )xi = g(wi )(xi xi1)
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 26 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESA INTEGRAL DE STIELTJES
At agora, utilizou-se a integral de Riemann no conexto de v.a.scontnuas.Para melhor entendimento, considere o intervalo [a, b]8a, b tal quea < b; e uma funo g(x) limitada em [a, b].Subdivida [a, b] em um nmero de intervalos ao inserir pontos xi ,como segue:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b]
Cada subdiviso uma partio, e o maior dos intervalos(xi = xi xi1) a norma da partio, denotado por kxk.
Seja wi qualquer ponto em [xi1, xi ].Constri-se ento a soma de Riemann:
g(wi )xi = g(wi )(xi xi1)
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 26 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESA INTEGRAL DE STIELTJES
At agora, utilizou-se a integral de Riemann no conexto de v.a.scontnuas.Para melhor entendimento, considere o intervalo [a, b]8a, b tal quea < b; e uma funo g(x) limitada em [a, b].Subdivida [a, b] em um nmero de intervalos ao inserir pontos xi ,como segue:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b]
Cada subdiviso uma partio, e o maior dos intervalos(xi = xi xi1) a norma da partio, denotado por kxk.Seja wi qualquer ponto em [xi1, xi ].
Constri-se ento a soma de Riemann:
g(wi )xi = g(wi )(xi xi1)
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 26 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESA INTEGRAL DE STIELTJES
At agora, utilizou-se a integral de Riemann no conexto de v.a.scontnuas.Para melhor entendimento, considere o intervalo [a, b]8a, b tal quea < b; e uma funo g(x) limitada em [a, b].Subdivida [a, b] em um nmero de intervalos ao inserir pontos xi ,como segue:
a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b]
Cada subdiviso uma partio, e o maior dos intervalos(xi = xi xi1) a norma da partio, denotado por kxk.Seja wi qualquer ponto em [xi1, xi ].Constri-se ento a soma de Riemann:
g(wi )xi = g(wi )(xi xi1)
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 26 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESA INTEGRAL DE STIELTJES
Se o limite das somas quando a norma tende a zero existe, obtm-sea integral de Riemann de g(x):R b
a g(x)dx = limkxk!0 g(wi )xi
Agora, substitua xi por F (x) = F (xi ) F (xi1), onde F (x) qualquer funo.Logo a integral anloga R b
a g(x)dF = limkF (x )k!0 g(wi )[F (xi ) F (xi1)]
Esta a integral de Stietjes.No contexto da teoria da probabilidade, F (x) seria a FDA.A vantagem desta integral com FDA que ela bem denida noscasos da v.a.s contnuas e discretas.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 27 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESA INTEGRAL DE STIELTJES
Se o limite das somas quando a norma tende a zero existe, obtm-sea integral de Riemann de g(x):R b
a g(x)dx = limkxk!0 g(wi )xi
Agora, substitua xi por F (x) = F (xi ) F (xi1), onde F (x) qualquer funo.
Logo a integral anloga R ba g(x)dF = limkF (x )k!0
g(wi )[F (xi ) F (xi1)]
Esta a integral de Stietjes.No contexto da teoria da probabilidade, F (x) seria a FDA.A vantagem desta integral com FDA que ela bem denida noscasos da v.a.s contnuas e discretas.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 27 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESA INTEGRAL DE STIELTJES
Se o limite das somas quando a norma tende a zero existe, obtm-sea integral de Riemann de g(x):R b
a g(x)dx = limkxk!0 g(wi )xi
Agora, substitua xi por F (x) = F (xi ) F (xi1), onde F (x) qualquer funo.Logo a integral anloga R b
a g(x)dF = limkF (x )k!0 g(wi )[F (xi ) F (xi1)]
Esta a integral de Stietjes.No contexto da teoria da probabilidade, F (x) seria a FDA.A vantagem desta integral com FDA que ela bem denida noscasos da v.a.s contnuas e discretas.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 27 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESA INTEGRAL DE STIELTJES
Se o limite das somas quando a norma tende a zero existe, obtm-sea integral de Riemann de g(x):R b
a g(x)dx = limkxk!0 g(wi )xi
Agora, substitua xi por F (x) = F (xi ) F (xi1), onde F (x) qualquer funo.Logo a integral anloga R b
a g(x)dF = limkF (x )k!0 g(wi )[F (xi ) F (xi1)]
Esta a integral de Stietjes.
No contexto da teoria da probabilidade, F (x) seria a FDA.A vantagem desta integral com FDA que ela bem denida noscasos da v.a.s contnuas e discretas.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 27 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESA INTEGRAL DE STIELTJES
Se o limite das somas quando a norma tende a zero existe, obtm-sea integral de Riemann de g(x):R b
a g(x)dx = limkxk!0 g(wi )xi
Agora, substitua xi por F (x) = F (xi ) F (xi1), onde F (x) qualquer funo.Logo a integral anloga R b
a g(x)dF = limkF (x )k!0 g(wi )[F (xi ) F (xi1)]
Esta a integral de Stietjes.No contexto da teoria da probabilidade, F (x) seria a FDA.
A vantagem desta integral com FDA que ela bem denida noscasos da v.a.s contnuas e discretas.
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 27 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESA INTEGRAL DE STIELTJES
Se o limite das somas quando a norma tende a zero existe, obtm-sea integral de Riemann de g(x):R b
a g(x)dx = limkxk!0 g(wi )xi
Agora, substitua xi por F (x) = F (xi ) F (xi1), onde F (x) qualquer funo.Logo a integral anloga R b
a g(x)dF = limkF (x )k!0 g(wi )[F (xi ) F (xi1)]
Esta a integral de Stietjes.No contexto da teoria da probabilidade, F (x) seria a FDA.A vantagem desta integral com FDA que ela bem denida noscasos da v.a.s contnuas e discretas.Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 27 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESEXPECTATIVA MATEMTICA
Denition (6)
Seja X uma v.a. sobre (S ,F ,P) com f (x) como FP ou FDP, e seja umafuno g(x). Se a integral de Stieltjes
R + g(x)dF existe, ela chama a
expectattiva matemtica de g(X ) e denotada por E [g(X )]. No casodiscreto, E [g(X )] = i g(xi )f (xi ); e no caso contnuo,E [g(X )] =
R + g(x)f (x)dx .
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 28 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESMDIA DE UMA DISTRIBUIO
No caso de g(X ) = X , a expectativa de X uma medida de locaocentral chamada mdia de uma distribuio, denotada comoE (X ) = .
Theorem (6)
i) Se c uma constante, E (c) = c.ii) Se c uma constante, E [cg(X )] = cE [g(X )].iii) E [u(X ) + v(X )] = E [u(X )] + E [v(X )]iv) E (x ) = 0, onde = E (X ).
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 29 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESMOMENTOS DE UMA DISTRIBUIO
A mdia de uma distribuio a expectativa da varivel aleatria X .Eleve X potncia m = 2, 3, ... e compute
E (Xm) =R x
mdF
Se a integral existe, ela chama-se o m-simo momento em tornoda origem e denotado por 0m .Momentos tambm podem ser obtidos em torno da mdia e estes sochamados momentos centrais (denotado por m).
m = E [(X )m ] =R (x )mdF
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 30 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESMOMENTOS DE UMA DISTRIBUIO
A mdia de uma distribuio a expectativa da varivel aleatria X .Eleve X potncia m = 2, 3, ... e compute
E (Xm) =R x
mdF
Se a integral existe, ela chama-se o m-simo momento em tornoda origem e denotado por 0m .
Momentos tambm podem ser obtidos em torno da mdia e estes sochamados momentos centrais (denotado por m).
m = E [(X )m ] =R (x )mdF
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 30 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESMOMENTOS DE UMA DISTRIBUIO
A mdia de uma distribuio a expectativa da varivel aleatria X .Eleve X potncia m = 2, 3, ... e compute
E (Xm) =R x
mdF
Se a integral existe, ela chama-se o m-simo momento em tornoda origem e denotado por 0m .Momentos tambm podem ser obtidos em torno da mdia e estes sochamados momentos centrais (denotado por m).
m = E [(X )m ] =R (x )mdF
Rafael Costa (CAEN) FUNES DE DISTRIBUIO 10/13 30 / 33
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESVARIANCIA E DESVIO-PADRO
O momento central de uma distribuio para m = 2 fE [(X )2]g chamado a varincia de uma distribuio [denotado por 2 ouVar(X )].
A raiz quadrada positiva chamada desvio-padro [denotado por ].Portanto,
2 = E [(X )2] = Var(X ) = R (x )2dF2 uma medida de disperso de uma distribuio que pode serreescrita como
2 = E [(X )2] = E (X 2 2X + 2)= E (X 2) 2E (X ) + E (2)= 02 2
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESVARIANCIA E DESVIO-PADRO
O momento central de uma distribuio para m = 2 fE [(X )2]g chamado a varincia de uma distribuio [denotado por 2 ouVar(X )].A raiz quadrada positiva chamada desvio-padro [denotado por ].Portanto,
2 = E [(X )2] = Var(X ) = R (x )2dF
2 uma medida de disperso de uma distribuio que pode serreescrita como
2 = E [(X )2] = E (X 2 2X + 2)= E (X 2) 2E (X ) + E (2)= 02 2
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESVARIANCIA E DESVIO-PADRO
O momento central de uma distribuio para m = 2 fE [(X )2]g chamado a varincia de uma distribuio [denotado por 2 ouVar(X )].A raiz quadrada positiva chamada desvio-padro [denotado por ].Portanto,
2 = E [(X )2] = Var(X ) = R (x )2dF2 uma medida de disperso de uma distribuio que pode serreescrita como
2 = E [(X )2] = E (X 2 2X + 2)= E (X 2) 2E (X ) + E (2)= 02 2
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESVARIANCIA E DESVIO-PADRO
Theorem (7)
Se E (X ) = e Var(X ) = 2, e a e b so constantes, entoVar(a+ bX ) = b22.
Proof.[prova] Seja Y = a+ bX . Ento E (Y ) = a+ bE (X ) = a+ b. Por isso,Y E (X ) = b(X ). Logo,Var(Y ) = E [Y E (Y )]2 = E [b2(X )2] = b22.
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESMODA, MEDIANA, QUARTIS SUPERIORES E INFERIORES E PERCENTIS
Moda so os pontos para que f (x) mximo, isto , o valor de Xmais frequentemente observado.
Mediana o ponto em que qualquer um dos lados corresponde a50% da distribuio.
Substituindo 1/2 por 1/4, tem-se os quartis, onde as 2 primeirasreas so inferiores e as 2 ltimas so superiores.
Para probabilidade p, os valores de x para a rea direita sochamados o p-simos percentis superiores.
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESMODA, MEDIANA, QUARTIS SUPERIORES E INFERIORES E PERCENTIS
Moda so os pontos para que f (x) mximo, isto , o valor de Xmais frequentemente observado.
Mediana o ponto em que qualquer um dos lados corresponde a50% da distribuio.
Substituindo 1/2 por 1/4, tem-se os quartis, onde as 2 primeirasreas so inferiores e as 2 ltimas so superiores.
Para probabilidade p, os valores de x para a rea direita sochamados o p-simos percentis superiores.
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESMODA, MEDIANA, QUARTIS SUPERIORES E INFERIORES E PERCENTIS
Moda so os pontos para que f (x) mximo, isto , o valor de Xmais frequentemente observado.
Mediana o ponto em que qualquer um dos lados corresponde a50% da distribuio.
Substituindo 1/2 por 1/4, tem-se os quartis, onde as 2 primeirasreas so inferiores e as 2 ltimas so superiores.
Para probabilidade p, os valores de x para a rea direita sochamados o p-simos percentis superiores.
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CARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIESMODA, MEDIANA, QUARTIS SUPERIORES E INFERIORES E PERCENTIS
Moda so os pontos para que f (x) mximo, isto , o valor de Xmais frequentemente observado.
Mediana o ponto em que qualquer um dos lados corresponde a50% da distribuio.
Substituindo 1/2 por 1/4, tem-se os quartis, onde as 2 primeirasreas so inferiores e as 2 ltimas so superiores.
Para probabilidade p, os valores de x para a rea direita sochamados o p-simos percentis superiores.
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FUNES DE DISTRIBUIO DE PROBABILIDADEVARIVEL ALEATRIAFUNO DE DISTRIBUIODISTRIBUIES DISCRETASDISTRIBUIES CONTNUASTRANSFORMAES DE VRIAS VARIVEISCARACTERSTICAS DAS DISTRIBUIES