Hewlett-Packard
Ano: 2015
FUNÇÃO
EXPONENCIAL Aulas 01 e 06
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Sumário Equação Exponencial ................................................... 1
Equação Exponencial .......................................................................................................................................... 1
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1
Método da redução à base comum .................................................................................................................... 1
Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 1
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 1
Equação Exponencial ................................................... 1
Resolução por artifícios ....................................................................................................................................... 1
1º artifício – o primeiro artifício consiste em colocarmos o termo comum, com incógnita, em evidência. ...... 1
Exemplo 1 ............................................................................................................................................................ 1
Exemplo 2 ............................................................................................................................................................ 2
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 2
O CONCEITO DE FUNÇÃO EXPONENCIAL ..................... 2
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 2
O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL .............. 3
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 4
Gráficos com Translação .............................................. 4
Gráficos com reflexão ......................................................................................................................................... 4
CASO GERAL ................................................................. 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
Conjunto-Imagem ............................................................................................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
PROBLEMAS ................................................................. 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
INEQUAÇÃO EXPONENCIAL.......................................... 6
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 7
CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 7
Prof. Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz Página 1
AULA 01 Equação Exponencial
Equação Exponencial Uma equação exponencial é aquela cuja incógnita
aparece no expoente.
Exemplo 1
Avaliando a primeira equação do exemplo acima,
observamos que
Assim, vemos que é possível resolvermos essas
equações. No entanto, veremos a seguir que há
técnicas de resolução distintas para cada tipo de
equação exponencial.
Método da redução à base comum Um dos métodos para resolver equações exponenciais consiste em reduzir, quando possível, ambos os membros da igualdade a uma mesma base e utilizar a seguinte propriedade:
Exemplo 2
Obs.1: Com o presente conhecimento, nem sempre
conseguimos igualar as bases.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. Resolva, em , as equações:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
DESAFIO: Resolva a equação exponencial
Obs.2: Lembre-se que .
AULA 02 Equação Exponencial
Resolução por artifícios Nem sempre o processo de igualar as bases é feito de
forma direta. Quando houver somas na base da
potência, pode-se tornar necessário aplicar um
artifício.
1º artifício – o primeiro artifício consiste em
colocarmos o termo comum, com incógnita, em
evidência.
Exemplo 1
Para utilizar o primeiro artifício, faça o seguinte passo-
a-passo:
Base comum
Lembre-se que a propriedade apresentada
se aplica apenas aos casos nos quais se é possível
reduzir a equação a uma igualdade com apenas
duas potências de mesma base, uma de cada lado
da igualdade. Note que, no caso a seguir,
não é possível se fazer tal redução.
Uma boa ferramenta para igualar as bases
dos membros da equação é fatorar os números em
divisores primos. Utilize também as propriedades
relacionadas às potências.
TAREFA 1 – Página 4, exercícios propostos 1, 2, 4, 6,
7 e 8.
Fração
No estudo de equações exponenciais,
evitaremos utilizar números na forma decimal.
Transforme-os em fração, pois o processo de igualar
as bases fica mais fácil nessa forma.
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1º) Identifique quem é o termo comum e faça-o
aparecer livre em cada parcela.
2º) Coloque o termo comum em evidência.
3º) Isole o termo com incógnita e iguale as bases.
Determine o resultado utilizando a propriedade.
Obs.3: Utilize o primeiro artifício quando a equação
dada apresentar todas as incógnitas como expoentes
de números que podem ser reduzidos a uma mesma
base. Em geral, há somas e subtrações nos expoentes.
2º artifício – o segundo artifício consiste na criação, e
substituição, de uma variável auxiliar.
Exemplo 2
Para utilizar o segundo artifício, faça o seguinte passo-
a-passo:
1º) Identifique quem é o termo comum (por vezes faz-
se necessário fatorar alguma(s) base(s)) e faça ele
aparecer livre em cada parcela.
2º) Crie uma variável auxiliar e faça a substituição
.
Tomando , temos que
3º) Resolva a equação na nova incógnita.
ou
4º) Retorne à variável original e determine seu valor.
Obs.4: Lembre-se que é sempre positivo, se .
Obs.5: Utilize o segundo artifício quando, no processo
para evidenciar a base comum, aparecer potências da
mesma base em diferentes graus e com somas entre
elas.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 2.1. Resolva, em , as seguintes equações.
a)
b)
AULA 03
O CONCEITO DE FUNÇÃO
EXPONENCIAL Uma função
é denominada função
exponencial de base a se sua lei, , puder ser
escrita como , com e .
Exemplos:
1) 3)
2)
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.1. Identifique quais funções a seguir são exemplos
de função exponencial.
a)
b)
c)
d)
e)
3.2. Dada a função , determine
a)
TAREFA 2 – Página 6, exercícios propostos 10, 11,
13 e 16.
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b)
c) tal que
d) tal que
O GRÁFICO DE UMA
FUNÇÃO EXPONENCIAL
Vamos começar o estudo do gráfico de uma função
exponencial por meio de dois exemplos:
Exemplo 1
Gráfico de
Para construir o gráfico de f escolhemos
alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os
valores de correspondentes. Veja os pares
ordenados obtidos, na tabela a seguir.
x 2 0,25 1 0,5 0 1
1 2
2 4 3 8
Marcando os pontos da última coluna da
tabela em um plano cartesiano, podemos construir o
seguinte gráfico:
Obs.1: Repare que , para todo . Por isso,
o gráfico de f nunca irá tocar o eixo das abscissas, por
mais que ele se aproxime deste. Quando isso ocorre
com uma curva, dizemos que ela é assíntótica ao eixo
das abscissas.
Exemplo 2
Gráfico de
.
Para construir o gráfico de g escolhemos
alguns valores para x e, em seguida, descobrimos os
valores de correspondentes. Veja os pares
ordenados obtidos, na tabela a seguir.
x 2 0,25
1 0,5 0 1 1 2 2 4
3 8
Marcando os pontos da última coluna da
tabela em um plano cartesiano, pudemos construir o
seguinte gráfico:
De um modo geral, o gráfico de uma função
exponencial f, tal que , com e
apresentará algumas características. São elas:
Decrescente Crescente
Passa pelo ponto Passa pelo ponto
Acima do eixo das abscissas
Acima do eixo das abscissas.
I. Todo o gráfico estará contido acima do eixo
das abscissas, pois, sendo temos
, para todo .
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II. O gráfico sempre passa pelo ponto , pois
para todo .
III. Se , então o gráfico será crescente e se
, então o gráfico será decrescente.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 3.3. Construa, em um sistema de eixos
perpendiculares , o gráfico de cada função
exponencial a seguir.
a)
b)
AULA 04
Gráficos com Translação Obs.1: Para auxiliar nos estudos dessa parte, você
deve fazer o download do app "geogebra". Ele é um
aplicativo gratuito.
Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das
funções a seguir.
a)
b)
c)
Observe que o gráfico da função é o gráfico de
transladado três unidades para cima e que o gráfico
de é o gráfico de transladado uma unidade para
baixo.
De um modo geral, o gráfico de uma função
com e ,
será a translação do gráfico da função em:
B unidades para cima, se ,
unidades para baixo, se .
Nesses casos, a curva da função f será assintótica à
reta . Veja exemplo abaixo ( ).
Gráficos com reflexão Construa, com o auxílio do geogebra, os gráficos das
funções a seguir.
a)
b)
Observe que o gráfico da função é o gráfico de
refletido pelo eixo .
De um modo geral, o gráfico de uma função
com e ,
com , será a reflexão pelo eixo x do gráfico da
função .
Veja o exemplo abaixo.
TAREFA 3 – Ler páginas de 1 a 5 e fazer o PROPOSTO 1.
Como construir um gráfico no geogebra?
Para construir um gráfico no geogebra siga os
seguintes passos:
1. Clique no "campo de entrada"
2. Comece a escrita da função sempre com "y="
3. Depois do igual digite a função desejada,
lembrando que para escrever potência usa-se
o símbolo "^". (por exemplo, para escrever
escreve-se x^3)
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Obs.2: Com a curvatura do gráfico irá se
alterar, porém ele não será refletido.
CASO GERAL
Considere a função , em
que , e são constantes reais, e .
Essa função pode ser considerada como um caso geral
para funções que envolvem exponencial. O gráfico
dessa função é gerado por translações e reflexões do
gráfico da função .
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.1. Utilizando translação e reflexão esboce o gráfico
das funções:
a)
b)
c)
Conjunto-Imagem O conjunto-imagem da função exponencial
é limitado pelo valor
assintótico da função, ou seja, se a função tem como
assíntota a reta , então seu conjunto imagem é
Ou
Para determinar em qual dos dois casos está a
situação, basta observar se o gráfico está ou não
refletido.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 4.2. Determine o conjunto-imagem das funções:
a)
b)
c)
4.3. Seja a função , em que
, com e constantes reais.
Sabendo que o conjunto-imagem da função é dado
por e que é
correto afirmar que
a)
b)
c)
d)
e)
AULA 05
PROBLEMAS Considere o caso geral da função exponencial
. Encontraremos vários
problemas que envolvem funções desse tipo para
descobrirmos os valores de B, C e k.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 5.1. Um produto tem seu valor dado pela função
, em que x é o tempo em anos
contados a partir de 2003 ( , e é dado em
reais. Dado que em 2005 esse produto valia 1000
reais, calcule o que se pede nos itens abaixo.
a) O valor do produto em 2003.
b) O valor do produto em 2007.
c) O ano em que o produto valerá 32000 reais.
Fórmula geral e gráfico
Observe que a fórmula geral da função exponencial
altera o gráfico da seguinte maneira:
REFLEXÃO
TRANSLAÇÃO
Resumidamente:
, não reflete.
, reflete (assíntota ).
, tranlada unidades para cima.
, translada unidades para baixo.
TAREFA 4 – Ler páginas 6 e de 11 a 15.
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5.2. Para um refrigerador fechado, a sua temperatura
interna segue a lei , em que é o
tempo em minutos, é a temperatura em graus
Celsius ( ) e k é uma constante real. Se após 1
minuto, a temperatura interna é de a
temperatura interna após 3 minutos será de
A) .
B) .
C) .
D) .
E) .
5.3. Num período prolongado de seca, a variação da
quantidade de água, em litros, de certo reservatório é
dada pela função , em que e são
constantes positivas, é a quantidade de água
após t semanas e é a quantidade inicial de água.
Sabe-se que gramas dessa substância foram
reduzidas a em 10 semanas. A que porcentagem
de ficara reduzida a quantidade de água após 30
semanas:
A)
B)
C)
D)
E)
Obs.2: Nem sempre é possível determinar todas as
constantes que aparecem na situação.
5.4. Em um experimento com uma colônia de
bactérias, observou-se que havia 5.000 bactérias vinte
minutos após o início do experimento e, dez minutos
mais tarde, havia 8.500 bactérias. Suponha que a
população da colônia cresce exponencialmente, de
acordo com a função , em que é a
população inicial, é uma constante positiva e é
a população t minutos após o início do experimento.
Calcule o valor de , desprezando a parte
fracionária de seu resultado, caso exista.
Obs.3: A constante é um número irracional também
conhecido como “número de Euler”.
AULA 06
INEQUAÇÃO
EXPONENCIAL Antes de entrarmos no estudo de inequações
exponenciais vamos fazer uma análise que é válida
para qualquer função.
Considere uma função . Vamos
avaliar o seu comportamento quanto ao
crescimento/decrescimento
Se f é crescente em todo seu domínio, então
para dois valores, e , pertencentes a ,
temos que
Se f é decrescente em todo seu domínio,
então para dois valores, e , pertencentes
a A, temos que
Determinação das constantes
Em grande parte dos problemas que envolvem
função exponencial é solicitado (ou é necessário) que
se encontre os valores das constantes. Um dos
principais métodos para se determinar constantes é
substituir valores numéricos. Estes podem ser
encontrados
No enunciado
Em gráficos
Em tabelas
Lembre-se que valores numéricos são objetos do tipo
, por exemplo.
TAREFA 5 – Exercícios propostos 2 a 9, 15, 16 e 22.
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No estudo das funções exponenciais dividimos
as funções em dois casos de acordo com sua base real
a.
Decrescente Crescente
Assim podemos concluir que
Se , então
Se , então
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL 6.1. Resolva, em , as inequações a seguir.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
EXTRA CAIU NO VEST 1. (ITA – 2013) A soma de todos os números reais x
que satisfazem a equação
. É igual a:
a) 8. b) 12. c) 16. d) 18. e) 20.
Questões extras
1) A soma das raízes da equação
é igual a
(A) 1.
(B) 2.
(C) 3.
(D) 4.
(E) 5.
2) A raiz real da equação é
(A) Um divisor de 3.
(B) Um múltiplo de 2.
(C) O inverso de 13.
(D) Igual a 15.
(E) Um número primo maior do que 3.
3) Se a equação
admite como
soluções os números reais e , então pode
ser igual a
(A) 1.
TAREFA 6 – Ler páginas de 1 a 4 e fazer os PROPOSTOS 1
a 5, 9, 13 e 17. DESAFIO: 7, 8 e 12
Como resolver inequações exponenciais
O seguinte passo-a-passo facilita a resolução de
inequações exponenciais:
1º) Reduza ambos os membros a uma base comum
2º) Avalie o valor da base (maior ou menor que )
3º) Aplique a respectiva definição feita acima.
Note que para reduzir ambos os membros a uma base
comum, pode ser necessário fazer uso dos artifícios.
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(B) 3.
(C) 6.
(D) 8.
(E) 9.
4) O conjunto-solução, em , da equação
, é igual a
a) . b) . c) . d) . e) .
5) O conjunto-solução, em , da equação
, possui
(A) Dois números reais opostos.
(B) Dois números reais cuja soma é igual a um.
(C) Um único número real cujo valor é maior que
dois.
(D) Um único número real cujo valor é igual a
dois.
(E) Um número negativo.
6) Em uma experiência observou-se que uma
substância se desintegra com o passar dos anos.
Sua massa , existente após anos do início da
experiência, é dada por
, em
que representa uma massa inicial. Decorridos
anos após o início da experiência, a
porcentagem de massa existente, em relação à
quantidade é igual a
(A) .
(B) .
(C) .
(D) .
(E) .
7) A massa de uma população de bactérias, ao final
de minutos, é dada pela lei .
Sabendo que ao final de 1 minuto a massa dessa
população era 64 e que ao final de 3 minutos a
massa dessa mesma população era 256, calcule a
massa dessa população de bactérias ao final de 90
segundos.
8) O gráfico a seguir é uma representação cartesiana
do gráfico da função , em que
, com e .
Dado que 1 é raiz de e a reta é uma
assíntota de , o valor de é igual a
(A) -2.
(B) -1.
(C) 0.
(D) 1.
(E) 2.
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS 1.1. a) 7S b) 21S c) 0S
d) 1
6S
e) 6
5S
f) 1 6; 1 6S
2.1. a) 0S b) 2S
3.1. a, e
3.2. a) 4 b) 1
4 c) 3 d) Não existe
4.1. Gráficos
4.2. a) 2, b) 2, c) , 2
4.3. B
5.1. a) 500 b) 2000 c) 2015
5.2. C
5.3. E
5.4. 17
6.1. a) | 3S x x b) 3
|2
S x x
c) | 2S x x d) | 3S x x
e) | 5S x x
f) | 0 ou 2S x x x
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CAIU NO VEST 1. D
QUESTÕES EXTRAS 1. E
2. B
3. A
4. B
5. D
6. C
7. 64 2
8. C