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FÍSICA EXPERIMENTAL IV AULA 2Análise de Fourier
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SÉRIES DE FOURIER
Joseph Fourier, paper submetido em 1807Referees: Lagrange, Laplace, Malus e Legendre Funções trigonométricas podem ser combinadas de
tal forma a representar qualquer funçãomatemática
f (x) =a0
2+ (an cos(nx) + bn sin(nx))
n
∑ As constantes an e bn podem ser obtidas a partir de
an =1
πf (x)cos(nx)dx
−π
π∫bn =
1
πf (x)sin(nx)dx
−π
π∫2
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SÉRIES DE FOURIER
Hoje em dia, usamos formalismos mais abrangentes
f (x) = cnejnx
n=−∞
∞∑
Com: cn =1
2πf (x)e− jnxdx
−π
π∫ As constantes an e bn da expressão tradicional podem serobtidas como:
an = cn + c−n , com n = 0,1,2,...
bn = j cn − c−n( ), com n = 0,1,2,...
3
Use a fórmula deEuler e substitua
na expressãoanterior
e jx = cos x + j sin x
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EXEMPLO: ONDA QUADRADAV (t) = V0
4
πsin(ωt) + 4
3πsin(3ωt) + 4
5πsin(5ωt) + ...
4
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SÉRIES DE FOURIER Circuitos podem causar distorções em sinais elétricos
Ve
Ve =
V1s sin(ω1t) +
V1c cos(ω1t) +
V2s sin(ω2t) +
V2s cos(ω2t) +
...+VN
s sin(ωN t) +VN
s cos(ωN t)
Gi =G ω i,R,C,...( )φ i = φ ω i,R,C,...( )
Vs
5
Ve =
G1 ⋅ V1s sin(ω1t + φ1) +
G1 ⋅ V1c cos(ω1t + φ1) +
G2 ⋅ V2s sin(ω2t + φ2) +
G2 ⋅ V2s cos(ω2t + φ2) +
...+GN ⋅ VN
s sin(ωN t + φN ) +GN ⋅ VN
s cos(ωN t + φN )
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SÉRIES DE FOURIER O que acontece com uma onda quadrada em um filtro
RC?Ve
?Ve = V0
4π
sin(ωt) +4
3πsin(3ωt) +
45π
sin(5ωt) + ...
G(ω ) = 1
1+ ωωC
2
φ(ω ) = arctan − ωωC
VS = V0
Gω ⋅ 4π sin(ωt + φω ) +
G3ω ⋅ 4
3π sin(3ωt + φ3ω ) +
G5ω ⋅ 45π sin(5ωt + φ5ω ) + ...
6
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FILTRO RC (R = 1 Ω, C = 1 µF) FC ~ 1.5 KHZfsinal = 100 Hz
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FILTRO RC (R = 1 Ω, C = 1 µF) FC ~ 1.5 KHZfsinal = 500 Hz
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FILTRO RC (R = 1 Ω, C = 1 µF) FC ~ 1.5 KHZfsinal = 1500 Hz
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FILTRO RC (R = 1 Ω, C = 1 µF) FC ~ 1.5 KHZfsinal = 5 kHz
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FILTRO RC (R = 1 Ω, C = 1 µF) FC ~ 1.5 KHZfsinal = 30 kHz
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COMO ANALISAR AS FREQÜÊNCIAS DEUM SINAL Análise de Fourier ou transformada de FourierÉ um gráfico no qual o eixo-X representa a freqüênciada componente de Fourier e o eixo-Y mostra aamplitude daquela componenteDeste modo pode-se ver claramente qual acontribuição de cada harmônica para o sinal final epodemos projetar os circuitos com o mínimo deinterferênciaAbre inúmeras possibilidades para tratamento desinais e imagens.
Métodos numéricos de obtenção para sinaisdiscretos FFT Fast Fourier Transform
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EXEMPLO: ONDA QUADRADASINAL
Transformada de FourierEspectro de amplitude
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