GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Sampling, Estimasi, dan pengukurankepercayaan
Sampling
1. Distribusi frekuensi
• Diagram batang dan histogram
• Histogram dua-arah (stereogram)
2. Analisis lokasi
• Nilai menengah sampel
– Typeset by FoilTEX – 1
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
• Median
• Modus
• Nilai tengah
3. Analisis sebaran/dispersi (variansi dan kovariansi)
• Range/jangkauan
• Deviasi nilai menengah
• Variansi dan standar deviasi
• Kovariansi sampel-sampel.
4. Momen-momen sampel.
– Typeset by FoilTEX – 2
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Estimasi
Contoh estimator
x̄ untuk µ
s2x untuk σ2
x dan
sxy untuk σxy
Kriteria untuk menilai kualitas hasil estimasi:
1. Konsistensi
– Typeset by FoilTEX – 3
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Sebuah estimator disebut “konsisten” bilamana probabilitas
untuk estimator p̂ mendekati parameter p untuk n → ∞konvergen menuju 1. Sehingga untuk ε > 0,
limn→∞
P (|p̂− p| < ε) = 1
untuk ε > 0 yang kecil.
2. Estimasi tak-bias (unbiased estimation)
Dalam beberapa kasus, “konsistensi” tidak bisa berfungsi
untuk ukuran sampel yang kecil. Dari sejumlah kemungkinan,
sebuah estimator harus dalam kondisi tak-bias (unbiased).
– Typeset by FoilTEX – 4
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Artinya, ekspektasi sebuah statistik sampel p̂ harus identik
dengan parameter p itu sendiri untuk sampel n berapa saja
E(p̂) = p
Jika sifat ini digunakan untuk n → ∞, maka
estimator tersebut dikatakan tak-bias secara asymptotik
(asymptotically unbiased).
bias = E(p̂)− p
3. Variansi minimum
MSE = m2 = E[(p̂− E(p̂))2
]MSE = m2 = σ2
p + (bias)2
– Typeset by FoilTEX – 5
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
4. Efisiensi dan kecukupan (sufficient)
σ2x̄ = E
[(x̃− E(x̄))2
]= E(x̄− µ)2
σ2x̄ = σ2
n
– Typeset by FoilTEX – 6
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Metoda-metoda estimasi
• Metoda momen (moment method) untuk momen ke-k
mk = 1n
∑xk
i
• Metoda maksimum likelihood (maximum likelihood method)
Fungsi padat bersama untuk variabel acak xi yang memiliki
fungsi padat f(xi) adalah
L(x1, x2, · · · , xn; p1, p2, · · · , pm) = Πnf(xi; p1, p2, · · · , pm)
harus maksimum.
– Typeset by FoilTEX – 7
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
∂L∂p = 0 atau ∂ ln L
∂p = 0
Perlu pemahaman tentang fungsi distribusi dari variabel acak
yang terlibat.
• Metoda kuadrat terkecil (least square)
Legendre (1805), Gauss(1795), Laplace.
Tidak perlu pemahaman tentang fungsi distribusi, walaupun
nantinya diperlukan dalam memahami masalah selang
kepercayaan dan uji hipotesa.
– Typeset by FoilTEX – 8
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
f(v) = C exp[−1
2 (v − E(v))t Σ−1 (v − E(v))]
= C exp[−1
2vtΣ−1v
]dengan v = vektor residu pengamatan (l̂− l), dan Σ adalah
matriks kovariansi.
kriteria kuadrat terkecil adalah
vtΣ−1v → min yang berarti memaksimalkan f(v) atau
menghasilkan sebuah estimasi maximum likelihood.
– Typeset by FoilTEX – 9
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Selang Kepercayaan
Hampir semua paramtere yang ingin diestimasi akan berada
pada suatu himpunan “kemungkinan-kemungkinan nilai” dalam
interval bilangan tertentu.
Misalnya, jika ingin di-estimasi panjang satu baseline
sepanjang 50.00 meter, maka µ akan berupa satu bilangan,
katakanlah, 49.95 dan 50.05 meter.
Hal ini membuat hasil estimasi disebut sebagai “pendekatan
terbaik” untuk “nilai yang sebenarnya”. Mungkin nilainya
– Typeset by FoilTEX – 10
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
mendekati, tetapi secara virtual tidak akan sama dengan nilai
sebenarnya.
Satu cara untuk menguji “kebenaran” nilai hasil estimasi
adalah dengan menampilkan hasil estimasi beserta simpangan
bakunya (standard deviation).
Jika estimator tersebut memiliki distribusi normal (atau
paling tidak mendekati), maka cukup dapat dipercaya
(confident) bahwa “nilai sebenarnya” terletak antara dua atau
tiga kali simpangan baku dari nilai hasil estimasi.
Estimasi interval atau interval kepercayaan (confidenceinterval) adalah interval (selang) nilai-nilai estimasi parameter
– Typeset by FoilTEX – 11
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
yang mungkin muncul. Derajat kemungkinan tersebut
dinyatakan dengan tingkat kepercayaan (confidence level),misalnya 95% atau 99%, dsb. Jika tingkat kepercayaannya
tinggi dan menghasilkan interval yang sempit, maka nilai
parameter tersebut dapat dikatakan “presisi”.
Probabilitas bahwa nilai variabel acak x̃ berada dalam batas
x1 dan x2 adalah
P (x1 < x̃ < x2) = F (x2)− F (x1) =∫ x2
x1f(x)dx.
untuk probabilitas selang kepercayaan (confidence interval)
P (p1 < p̃ < p2) = 1− α.
– Typeset by FoilTEX – 12
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Contoh:
Ada suatu fungsi estimator (x̄− µ)/(σ/√
n).
P{−zα/2 < x̄−µ
σ/√
n< zα/2
}= 1− α
atau
P{
x̄− zα/2 · σ√n
< µ < x̄ + zα/2 · σ√n
}= 1− α
misalnya untuk α = 0.05, z = 1.96 ditulis sebagai
P [x̄− 1.96σ/√
n < µ < x̄ + 1.96σ√
n] = 0.95
yang disebut juga selang kepercayaan dua sisi/arah (two-sided confidence interval).
– Typeset by FoilTEX – 13
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007(x̄− 1.96 · σ√
n, x̄ + 1.96 · σ√
n
)adalah selang kepercayaan 95% untuk µ.
atau
x̄− 1.96 · σ√n
< µ < x̄ + 1.96 · σ√n
dengan kepercayaan 95%
Untuk yang satu sisi
P{
µ < x̄ + zα
(σ√n
)}= 1− α
– Typeset by FoilTEX – 14
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Untuk kasus σ tidak diketahui dan diganti dengan simpangan
baku s, maka estimator (x̄ − µ)/(s/√
n) memiliki distribusi
student dengan derajat kebebasan (n − 1). Dan probabilitas
untuk estimator tsb menjadi.
P{−tα/2,n−1 < x̄−µ
s/√
n< tα/2,n−1
}= 1− α
atau
P{
x̄− tα/2,n−1 · s√n
< µ < x̄ + tα/2,n−1 · s√n
}= 1− α
– Typeset by FoilTEX – 15
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Selang kepercayaan untuk variansi-kovariansi
Digunakan estimator ms2
σ2 . Diketahui ukuran lebih atau
derajat kebebasan (m), variansi sampel (s2), dan nilai
menengah sampel (x̄). Selang kepercayaan untuk variansi
populasi (σ2):
P{
χ21−α/2,m < ms2
σ2 < χ2α/2,m
}atau
P
{ms2
χ21−α/2,m
< σ2 < ms2
χ2α/2,m
}– Typeset by FoilTEX – 16
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Selang kepercayaan untuk perbandinganvariansi
Diketahui: dua sampel acak yang independen dengan jumlah
sampel n1 dan n2 dari populasi normal yang memiliki variansi σ21
dan σ22. Setiap variabel acak
m1s21
σ21
danm2s2
2
σ22
memiliki distribusi
χ2 dengan derajat kebebasan m1 dan m2. Perbandingan
F = m1s21/σ2
1
m2s22/σ2
2
memiliki distribusi F dengan derajat kebebasan m1 dan m2.
Tingkat kepercayaan (1− α) variabel acak F adalah
– Typeset by FoilTEX – 17
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
P{
F1−α/2,m1,m2<
s21/σ2
1
s22/σ2
2< Fα/2,m1,m2
}= 1− α
atau
P{
s22
s21F1−α/2,m1,m2
<σ2
1
σ22
<s22
s21Fα/2,m1,m2
}= 1− α
Contoh: dari 17 buah ukuran jarak diperoleh simpangan baku
±0.004 m. (atau S2 = 0.000016). Dengan derajat kebebasan
(17 − 1) = 16, sebuah interval kepercayaan 95% memerlukan
χ20.975,16 = 6.908 dan χ2
.025,16 = 28.245. Intervalnya adalah(16·(0.000016)
28.845 , 16·(0.000016)6.908
)= (0.000008875, 0.00003706)
– Typeset by FoilTEX – 18
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
maka (0.00298, 0.00609) adalah selang kepercayaan 95%
untuk σ.
– Typeset by FoilTEX – 19
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Uji Statistik (Statistical Test)
Digunakan untuk membandingkan hasil-hasil (hitungan
statistik) dengan hasil sebelumnya atau dengan standar
tertentu.
Hipotesa: Pernyataan - explisit maupun implisit - tentang
distribusi probabilitas sebuah variabel acak. Hipotesa dikatakan
“sederhana” bila mencakup semua parameter distribusi, dan
dikatakan “komposit” apabila hanya mencakup sebagian
parameter distribusi.
– Typeset by FoilTEX – 20
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Prosedur umum: Selalu mengacu pada satu “hipotesa nol”
H0 (null hypothesis), yaitu parameter-parameter distribusi
yang menjadi pembanding hasil estimasi sampel. H0 ini
sering disebut sebagai hipotesa yang di-klaim sebagai nilai
yang “benar”. Hasil pengujian adalah sebuah pernyataan
bahwa hipotesa nol tersebut dapat diterima atau tidak dalam
hubungannya dengan bukti-bukti (statistik) yang ada.
Penggunaan lain uji statistik ini adalah mengambil keputusan
antara hipotesa nol H0 dibandingkan dengan hipotesa-hipotesa
alternatif (Ha, alternative hypothesis) lain, yang disebut juga
sebagai hipotesa tandingan.
– Typeset by FoilTEX – 21
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Hipotesa tandingan ini yang sering disebut sebagai “hipotesa
peneliti/pengukur” karena nilai ini yang akan divalidasi.
Contoh: Pengukur diharuskan mencapai nilai menengah
ukuran jarak adalah µ =75.50 m. Maka dapat dilakukan uji
H0 : µ = 75.50 melawan hipotesa tandingan Ha : µ 6= 75.50.
Prosedure pengujian melingkupi dua hal
1. Uji statistik atau fungsi dari sampel untuk basis pengambilan
keputusan.
2. Daerah penolakan, himpunan nilai statistik pengujian yang
akan menolak H0.
– Typeset by FoilTEX – 22
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Kemungkinan hasil pengujian
H0 Diterima Ditolak
(accepted) (rejected)
True ok Kesalahan Tipe I (α)
False Kesalahan Tipe II (β) ok
– Typeset by FoilTEX – 23
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Probabilitas tipe I (α): disebut sebagai level signifikan uji
(significance level of the test). Bisa 5%, 2%, atau 1%. Dalam
kasus ini, uji hipotesa ditolak apabila H0 benar.
Probabilitas tipe II (β): (1 − β) disebut sebagai kekuatan
uji (power of a test). Dalam kasus ini, uji hipotesa diterima
apabila H0 salah.
Ilustrasi: Misalkan D1 = f(p̂|H0) adalah fungsi padat
probabilitas kondisional untuk parameter estimasi p bila
hipotesa H0 true; dan D2 = f(p̂|H1) adalah fungsi padat
probabilitas kondisional untuk parameter estimasi p bila
– Typeset by FoilTEX – 24
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
hipotesa alternatif H1 true;
Ada nilai pα yang menjadi batas nilai sampel antara H0
diterima dan H0 ditolak (= H1 diterima).
H0 diterima → p̂ < pα
H0 ditolak (H1 diterima) → p̂ > pα
Tidak mungkin pada saat yang sama mendapatkan α dan β
bernilai kecil.
Uji satu sisi (one-tail atau one-sided test): H0 adalah
p = p0 dengan hipotesa alternatif H1 : p > p0 atau bisa juga
H1 : p < p0.
– Typeset by FoilTEX – 25
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Uji dua sisi: Hipotesa nol H0:p = p0 dengan hipotesa
alternatif H1 : p 6= p0
– Typeset by FoilTEX – 26
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Uji pada nilai menengah sampel untuk σ
diketahui
Diberikan: Sampel berukuran (n) dengan nilai-nilai xi atau
nilai menengah sampel x̄, dan juga simpangan baku populasi
normal σ. Hipotesa nol yang dipakai adalah H0 : µ = µ0, untuk
menguji apakah nilai menengah populasi sama dengan nilai µ0
a priori. Tiga kemungkinan hipotesa alternatifnya: µ < µ0,
µ > µ0, atau kasus uji dua sisi µ 6= µ0.
Digunakan rumusan variabel acak normal terstandarisasi
z = x̄−µ0σ/√
n
– Typeset by FoilTEX – 27
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Dengan tingkat signifikan α, ada tiga kemungkinan
kesimpulan:
1. H0 : µ = µ0; H1 : µ < µ0; H1 ditolak bila z < −zα karena
P{
z = x̄−µ0σ/√
n< −zα
}= α
2. H0 : µ = µ0; H1 : µ > µ0; H1 ditolak bila z > zα karena
P{
z = x̄−µ0σ/√
n> zα
}= α
3. H0 : µ = µ0; H1 : µ 6= µ0; H1 ditolak bila z < −zα/2 atau
z > zα/2 karena
P{
zα/2 < x̄− µ0σ/√
n> −zα/2
}= 1− α
– Typeset by FoilTEX – 28
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Uji pada nilai menengah sampel untuk σ tidakdiketahui
Digunakan variabel acak
t = x̄−µ0s/√
n.
dan batas-batas tα,m dan tα/2,m
dengan m adalah derajat kebebasan.
– Typeset by FoilTEX – 29
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
membandingkan dua nilai menengah sampel(x̄1 dan x̄2)
Hipotesa nol yang diuji adalah µ1 − µ2 = δ
Untuk σ1 dan σ2 diketahui, digunakan variabel acak normal
terstandarisasi
z = x̄1−x̄2−δ√σ2
1/n1+σ22/n2
– Typeset by FoilTEX – 30
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Untuk σ1 dan σ2 tidak diketahui tetapi diasumsikan sama,
digunakan variabel acak
t = x̄1−x̄2−δr(n1−1)s21+(n2−1)s22
n1+n2−2
q1
n1+ 1
n2
– Typeset by FoilTEX – 31
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Uji mengenai variansi-variansi
Hipotesa nol σ2 = σ20 diuji terhadap hipotesa tandingan
σ2 6= σ20, σ2 > σ2
0, dan σ2 < σ20. Variabel yang digunakan
adalah
χ2m = ms2
σ20
– Typeset by FoilTEX – 32
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
1. H0 : σ2 = σ20; H1 : σ2 < σ2
0; H0 ditolak bila χ2m < χ2
1−α,m
karena
P{ms2
σ20
< χ21−α,m} = α
2. H0 : σ2 = σ20; H1 : σ2 > σ2
0; H0 ditolak bila χ2m > χ2
α,m
karena
P{ms2
σ20
> χ2α,m} = α
3. H0 : σ2 = σ20; H1 : σ2 6= σ2
0; H0 ditolak bila χ2m < χ2
1−α,m
atau χ2m > χ2
α,m karena
– Typeset by FoilTEX – 33
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
P{χ21−α/2,m < ms2
σ20
< χ2α/2,m} = 1− α
Contoh:
Diberikan sebuah sampel dengan n = 12, nilai menengah
sampel x̄ = 10.0 dan variansi sampel s2 = 0.07.
Ujilah hipotesa H0 : σ0 = 0.10 melawan hipotesa alternatif
H1 bahwa σ2 < 0.10 untuk tingkat kepentingan (level ofsignificance) 0.05!
Jawab:
χ2m = ms2
σ20
= (n−1)s2
σ20
= (11)(0.07)0.10 = 7.70
– Typeset by FoilTEX – 34
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
H0 akan ditolak bila χ2m < χ2
α/2,m. Karena χ0.95,11 = 4.57,
maka H0 tidak dapat ditolak.
– Typeset by FoilTEX – 35
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
Kasus lain tentang perbandingan dua variansi:
Hipotesa nol H0 : σ21 = σ2
2. Digunakan variabel acak
Fm1,m2 = s21
s22
dalam uji statistiknya.
Kemungkinan solusi:
1. H0 : σ21 = σ2
2; H1 : σ21 < σ2
2; H0 ditolak bila Fm1,m2 <
F1−α,m1,m2, karena
P{s21
s22
< F1−α,m1,m2} = α
2. H0 : σ21 = σ2
2; H1 : σ21 > σ2
2; H1 ditolak bila Fm1,m2 >
F1−α,m1,m2, karena
– Typeset by FoilTEX – 36
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
P{s21
s22
> Fα,m1,m2} = α
3. H0 : σ21 = σ2
2; H1 : σ21 6= σ2
2; H1 ditolak bila Fm1,m2 >
Fα/2,m1,m2ketika s2
1 > s22, yang mengacu pada batas atas
saja. Atau bila Fm1,m2 < F1−α/2,m1,m2
Karena a21 > s2
2, maka nilai Fm1,m2 > 1. →F1−α/2,m1,m2
= 1/Fα/2,m1,m2dan Fm1,m2 > 1 sehingga
F1−α/2,m1,m2< 1
Contoh:
Diberikan dua himpunan data sebagai berikut
– Typeset by FoilTEX – 37
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
n1 = 8 x̄1 = 10.1 s21 = 0.10
n2 = 12 x̄2 = 10.0 s22 = 0.07
Ujilah hipotesis (H0) bahwa σ21 = σ2
2 melawan hipotesa
tandingan (H1) bahwa σ21 6= σ2
2 pada tingkat kepentingan
(level of significance) 0.05!
Jawab:
m1 = 8− 1 = 7 m2 = 12− 1 = 11
F7,11 = s21
s22
= 0.100.07 = 1.429 (catat bahwa s2
1 > s22)
H0 akan ditolak bila Fm1,m2 > Fα/2,m1,m2. Karena α/2 =
0.025, dan F0.025,7,11 = 3.76, maka H0 tidak dapat ditolak.
– Typeset by FoilTEX – 38
GD2212 - Hitung Perataan I B. Setyadji, April 2005, 2007
next: Sifat-sifat kesalahan dari pengamatan
1. Kesalahan acak (random errors)
2. Presisi, akurasi, kofaktor, dan pembobotan
3. Kekeliruan (blunders)
4. Kesalahan sistematis (Systematics errors)
– Typeset by FoilTEX – 39