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Principais frmulas dadas durante a disciplina de Ecologia Fsica
II. Reviso de leis e relaes fundamentais para o estudo da disciplina.
ap p e= +
101.3exp8200
Ap = onde A a altitude, em metros. Tenso de saturao do vapor de gua (es):
17.27( 273.15)0.6108exp36s
TeT
= (es em kPa, T em K)
------Alternativa que d ligeiramente melhores resultados!-------- Tenso de saturao do vapor de gua (es):
( ) expsbTe T a
T c = +
onde T a temperatura (C), e a, b e c so coeficientes empricos. Para a gama de temperaturas usuais nos estudos biometeorolgicos a = 0.611 kPa, b = 17.502 and c = 240.97 C. Taxa de variao da tenso de saturao com a temperatura ():
2
5263 seT
= ( em kPa oC-1, es em kPa, T em K) Humidade relativa(h): h = e/es [ ] Dfice de saturao (D)
sD e e= [kPa] Humidade absoluta ():
2165 eT
= ( em g m-3, e em kPa, T em K) Humidade especfica (q):
( )vv sm e eq
m m p e e p = = = + + [ ]
Tenso real do vapor (equao psicromtrica) (e)
( ) ( )w a we e T T T= [e em kPa] Temperatura do ponto de orvalho (Td) atravs da tenso do vapor (e) sobre a gua
-
2
( )273
ln 0.61081
19.59
dT e
= (Td in K, e in kPa)
Temperatura virtual (Tv):
/{1 (1 ) / } (1 (1 ) / )vT T e p T e p= + com = 0.622, T em kelvins. Temperatura equivalente (Te):
eeT T = +
onde a constante psicromtrica ( 0.067 kPa K-1).
qhcE h = =
2897 m K
m T =
4B T=
nT = 4B T = =
2
1
5 5 2
22( , )exp 1 exp 1
ChcE Thc C
k T T
= = [W m-3]
Geralmente expressa-se em W m-2 m-1 .
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )S S S S = + +
2 2 2
1 1 1
2 2 2
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1
( ) ( ) ( )
S d S d S d
S d S d S d
+ + =
1 + + =
-
3
III. Ambiente radiante na biosfera
cos = sin sin + cos cos cos 0.2618(t to) sin = 0.39785 sin[4.869 + 0.0172 J + 0.03345 sin(6.224 + 0.0172 J)] to = 12 LC ET [h] ET = [-104.7 sin x + 596.2 sin 2x + 4.3 sin 3x 12.7 sin 4x 429.3 cos x 2.0 cos 2x + 19.3 cos 3x]/3600 onde x = (279.575 + 0.986 J)/180.
cos sin sinarccoscos coss
h =
onde hs metade da durao do dia em radianos. O nascer-do-Sol tr = to 3.82 hs e a durao do dia 7.64 hs. Sbo = 1360 ( d /d)
2 cos [W m-2] ( d /d)2 = 1 + 0.0334 cos(0.01721 J 0.0552) So = 117.5 ( d /d)
2 (hs sin sin + cos cos sin hs)/ [MJ m-2]
p p0mS S=
sint tmtS S
N =
0
2Nt t tm
NS S dt S= ---------------------------------------------------------------------------------------------------
-
4
( ) ( )41n n n t dR S L S L T= + = +
4 4(1 )u s s s d aL T L T = + [W m-2] 4
d a aL T = [W m-2] 4
1191.06aaT
=
11 0.034 exp(7.9 )
aac a
tT = + +
Rn = E + C + G [W m-2]
0/t tnT S S a bN
= = +
/d d tnF S S a bN
= = +
IV. Captura da radiao pelos objectos terrestres e seres vivos
Factores de forma Esfera
2
2 0.25sec4 coshA r
A r = =
(0.25sec ) 0.25b b pS S S= = [W m-2]
Elipside
2
2 0.52 2(1 )coth
aA bb
= + 1) Achatado (En: Oblate) com b>a:
22 1
21 1
12 1 ln2 1
aA bb
+= +
-
5
com 0.52
1 21ab
= 2) Alongado (En: Prolate) com a>b:
22
2
2 1 arcsinaA bb
= +
com 0.52
2 21ba
= Superfcie plana inclinada
h cos sin tan cosAA
= Cilindros verticais
2h
2
2 tan 12 tan2 2 2 2
xA rh rA rh r x
+ + = = + + com /x h r= . Cilindros horizontais
( )( )
( )
0.52 2 2h
2
0.51 2 2
2 sec 1 sin cos tan cos
2 2
sec 2 1 sin cos sin cos =
2 1
rh rAA rh r
x
x
+ = + +
+
No caso especial em que / 2 = temos
( )hsec
1A xA x
= + e
( )p
1A xA x
= + .
-
6
Cone ( )
( )0 0hcos sin tan sin
1 cosAA
+ = + onde ( )0 arccos cot cot = .
exp ( )KL = 2 tanbkK =
12cosbk
K = 2 2
0.733
tan1.774 ( 1.182)E
xK
x x
+= + +
2
( ) 02 ( )sin cosd bk bk d
=
1bk bkK K K = =
2
02 ( )sin cosd d
= ( )t t b d dS S S= +
( ) (1 ) ( )t d d dF F= + * *( ) exp( 2 )c c c s k L =
1c c c s c = + * * 2( )c c c s c =
-----------------------------
Balano da radiao da ovelha: ( )( ) ( )43 1 3 31 1 d etnR S L L T= + + +
-
7
V. Transferncia de momento, calor e massa
Quadro 1 Entidade transferida Equao Elementos da equao Designao
Momento linear
(quantidade de
movimento)
dudz
=
= fluxo de momento ou tenso de cisalhamento
(N . m-2)
= coeficiente de viscosidade dinmica (N
s m-2 )
dudz
=gradiente de
velocidade
Lei de Newton da
viscosidade
Calor sensvel
dTC kdz
=
C = fluxo de calor
sensvel (W m-2)
k = coeficiente de
condutividade trmica
(W m-1 K-1)
dTdz
= gradiente de
temperatura
Lei de Fourier da
transferncia de calor
Massa
j
j j
dF D
dz=
Fj = densidade do fluxo
da substncia transferida
j (g m-2 s-1)
Dj = coeficiente de
difuso molecular (m2 s-1)
Lei de Fick da difuso
-
8
1 H = M L2 T-2 e = temperatura absoluta
Quadro 2 Entidade
transferida
Equao Elementos da equao
Momento linear
( )d udz =
= fluxo de momento (N . m-2) DM = coeficiente de difuso do momento ou
coeficiente de viscosidade cinemtica (L2 T-1)
= densidade do fluido (M L-3) ( )d udz
=gradiente de concentrao de
momento
Calor sensvel
( )pd c TC
dz=
C = fluxo de calor sensvel (W m-2)
= difusividade trmica (=coeficiente de difuso do calor sensvel) (L2 T-1)
cp = calor especfico do ar (H M-1 -1)1 ( )pd c T
dz
= gradiente de concentrao do
calor sensvel
Vapor de gua
V
VdE Ddz=
E = densidade do fluxo de vapor de gua (g m-2
s-1)
DV = coeficiente de difuso molecular do vapor
de gua (L2 T-1)
Dixido de carbono
c
cdP Ddz=
P = densidade do fluxo de dixido de carbono
(g m-2 s-1)
Dc = coeficiente de difuso molecular do
dixido de carbono (L2 T-1)
-
9
Quadro 3 Entidade Equao integrada Elementos da equao
Momento linear
M
ur =
ua = velocidade da corrente livre
rM = resistncia transferncia
de momento junto superfcie
de um corpo
Calor sensvel s a
pH
T TC cr
=
Ts,,Ta = temperaturas junto
superfcie e no ar
rH = resistncia transferncia
de calor sensvel
Vapor de gua s a
v
Er
=
s,a = humidade absoluta junto superfcie e no ar
rv = resistncia transferncia
de vapor de gua
Dixido de carbono
(xignio, gs poluente, ou
outro qualquer)
, ,c s c a
c
Pr
=
c,s, c ,a = concentrao de dixido de carbono junto
superfcie e no ar
rC = resistncia transferncia
de dixido de carbono
-
10
Quadro 4
Grupos adimensionais para a transferncia de calor e de massa. Nome Equao Smbolos Explicao Nmero de Reynolds (Re) Re
ud=
u = velocidade do fluido = viscosidade cinemtica d = dimenso caracterstica
Razo entre as foras de inrcia e as foras de viscosidade
Nmero de Grashof (Gr)
3
2
( )Gr s aagd T T=
8 31.58 10 ( )s ad T T=
g = acelerao da gravidade (9.8 m s-2) a = coeficiente de expanso trmica do fluido (a=1/273 para o ar) Ts = temperatura da superfcie Ta = temperatura do fluido
Razo entre uma fora de impulso uma fora de inrcia e o quadrado de uma fora de viscosidade
Nmero de Nusselt (Nu) Nu ( )p s a
d C dc T T = =
C = densidade do fluxo de calor sensvel = densidade do fluido cp = calor especfico do fluido = difusividade trmica
Razo entre o fluxo de calor sensvel verificado e o que resultaria da mesma diferena de temperatura aplicada a uma camada estacionria de fluido com espessura
Nmero de Sherwood (Sh)
, ,
Sh( )
j
j j s j a
F ddD = =
Fj = densidade do fluxo de massa da substncia j Dj = coeficiente de difuso molecular da substncia j
,j s = concentrao (g m-3) superfcie da substncia j
,j a = concentrao (g m-3) no fluido no perturbado pela superfcie.
Razo entre o fluxo de massa verificado e o que resultaria da mesma concentrao aplicada a ar estacionrio de espessura
Nmero de Prandtl (Pr) Pr
=
Razo entre a viscosidade cinemtica e a difusividade trmica
Nmero de Lewis (Le) Le
jD= Razo entre a difusividade trmica
e a difusividade molecular
Nmero de Schmidt (Sc) Sc
jD= Razo entre a viscosidade
cinemtica e a difusividade molecular
NuH H
drD
= [s m-1]
-
11
Shj j
drD
= [s m-1]
1Le mV Cr r=
2
GrRe
VI. Desenvolvimento
1/ aD a bT= + [dia-1]
[ ]0
( )t
t R T t dt =
( ),1
n
T a i bi
T T t=
=
[ ]10
t
tt R T d =
VII. Crescimento
tW i S dt= [kg m-2] KW TD
=
X. Perfis do vento e resistncia aerodinmica em superfcies extensas e uniformes
( ) lno
u z du zk z = [m s-1] para 0z z d +
onde u velocidade de frico [m s
-1] z altura da medio do vento[m]
d altura de deslocamento do plano zero [m] k constante de von Karman (0.41) [] z0 coeficiente de rugosidade para o momento [m]
0
0.650.1
d hz h==
2
MuK uz = = [Pa] ( )
Hpc TC K
z =
-
12
vE K z=
ccP K
z=
2p
dTC c udu
= 2 dE u
du
= 2 CdP u
du
= 2
002 2
lnln( )
( )aM
z dz dzzu zr
u ku k u z
= = = [s m-1]
XI. Equao de Penman-Monteith
( ) /p aH
s av
aH
Rn G c D rE
r rr
+= + +
XII. Evapotranspirao de referncia
( ) /
1
p a
s
a
Rn G c D rE
rr
+= + +
0 02
ln ln hMM h
az
z dz dz z
rk u
= onde ra resistncia aerodinmica [s m-1] zM altura da medio do vento[m] zh altura da medio da humidade [m] d altura de deslocamento do plano zero [m] z0M coeficiente de rugosidade para a transferncia de vapor de gua [m] z0h coeficiente de rugosidade para a transferncia de calor e vapor de gua [m] k constante de von Karman (0.41) [] uz velocidade do vento [m s-1]
2
208ar u=
rs= 70 [s m-1]
-
13
2
2
70 0.34208s
a
r ur
u
= =
21 1 0.34sa
r ur
+ = +
Constantes Constante Nome da constante Valor Unidades Observaes c Vel. luz no vcuo 2.9979 108 m s-1 h Planck 6.6261 10-34 J s k Boltzmann 1.3805 10-23 J K-1 p0 Presso atmosfrica normal 1.01325 105 Pa N Avogadro 6.0221 1023 mol-1 R Molar dos gases ideais 8.3145 J mol-1 K-1 Stefan-Boltzmann 5.6697 10-8 W m-2 K-4
Propriedades do ar (tratadas como constante entre 5 e 45 C) cp Calor especfico 1.01 J g-1 K-1 Pr Nmero de Prandtl 0.70 - /
Propriedades do vapor de gua (tratadas como constante entre 5 e 45 C) cp Calor especfico 1.88 J g-1 K-1 Le Nmero de Lewis 0.89 / Dv Sc Nmero de Schmidt 0.63 / Dv
Propriedades do CO2 (tratadas como constante entre 5 e 45 C) cp Calor especfico 0.85 J g-1 K-1 Le Nmero de Lewis 1.48 / Dc Sc Nmero de Schmidt 1.04 / Dc