Download - Formulario de Calculo Integral
Evidencia de Aprendizaje Unidad 3
Para apoyarte en la realización de tu examen y como parte de la Evidencia de Aprendizaje deberás completar con la siguiente información este archivo:1. Tablas de integración
inmediata. Se encuentran en la página 22 del material de la unidad 3.
2. Fórmula del teorema fundamental del cálculo (área bajo la curva) página 25 y 26 del material de la unidad 1.
3. Regla de sustitución: páginas 29 a 31 del material de la unidad 1.
4. Áreas entre funciones: páginas 7 y 8 del material de la unidad 2.
5. Sólidos en revolución: Dentro del foro de planeación didáctica de la actividad 3 unidad 2 se encuentra el material en donde se encuentran las fórmulas (son dos).
• 𝑉 = 𝜋 𝑎
𝑏𝑦2𝑑𝑥 Si mi solido gira alrededor del eje 𝑥
• 𝑉 = 𝜋 𝑎
𝑏𝑥2𝑑𝑥 Si mi solido gira alrededor del eje 𝑦
6. Valor promedio de una integral: Se encuentra la fórmula en los apuntes de la unidad 2 pero también lo pueden encontrar en la actividad 2 de la unidad 2 en el foro de planeación didáctica.
7. Fórmula de integrales por partes. Páginas 4 y 5 del material de la Unidad 3 y el video de la planeación didáctica actividad 2 Unidad 3.
• 8. Sustitución para racionalizar. Página 5 del material de la Unidad 3.
• 9. Integración de funciones racionales mediante fracciones parciales. A partir de la página 5 hasta la 15 del material de la Unidad 3.
• 10. Integrales trigonométricas. A partir de la página 15 hasta la 21 del material de la Unidad 3. También puedes apoyarte de los videos de la Actividad 3 unidad 3.
• 11. Integrales impropias divergentes y convergentes. Material de la unidad página 24 hasta la 26.
• 12. Tabla de fórmulas de derivación que utilizaste en tu curso de Cálculo Diferencial.
• 13. Realiza en un diagrama de bloques “Las estrategias para integrar”. Material de la unidad 3 página 23.
Simplificar integrando
Detectar solución obvia
(si existe)Integrar
Clasificar de acuerdo a su
forma
Intentar sustitución o integral por
partes
Si existe
No existe Solución
No hay solución
• Problema 1. Se va a construir un centro de operaciones de una empresa transportista ubicada junto a una construcción en forma semicircular. Para determinar el área del terreno tendrás que calcular el área siguiente:
• El intervalo es de
0.3 a 5 y el resultado
será en kilómetros cuadrados.
Integrar
0.3
5𝑥 + 8
𝑥3 + 4𝑥𝑑𝑥
Factorizando
𝑥3 + 4𝑥 = 𝑥 𝑥2 + 4
Entonces
0.3
5𝑥 + 8
𝑥3 + 4𝑥𝑑𝑥 =
0.3
5𝑥 + 8
𝑥 𝑥2 + 4𝑑𝑥
𝑥 + 8
𝑥 𝑥2 + 4=
𝐴
𝑥+
𝐵𝑥 + 𝐶
𝑥2 + 4=
𝐴 𝑥2 + 4 + 𝑥 𝐵𝑥 + 𝐶
𝑥 𝑥2 + 4
=𝐴𝑥2 + 4𝐴 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥
𝑥 𝑥2 + 4
Resolvemos
𝑥 + 8 = 𝐴𝑥2 + 4𝐴 + 𝐵𝑥2 + 𝐶𝑥 = 𝐴 + 𝐵 𝑥2 + 𝐶𝑥 + 4𝐴𝐴 + 𝐵 = 0, 𝐶 = 1, 4𝐴 = 8
𝐴 =8
4= 2
𝐵 = −𝐴 = −2
Sustituimos
0.3
5𝑥 + 8
𝑥3 + 4𝑥𝑑𝑥 =
0.3
5𝐴
𝑥+
𝐵𝑥 + 𝐶
𝑥2 + 4𝑑𝑥 =
0.3
52
𝑥+
−2𝑥 + 1
𝑥2 + 4𝑑𝑥
=
0.3
52
𝑥𝑑𝑥 −
0.3
52𝑥
𝑥2 + 4𝑑𝑥 +
0.3
51
𝑥2 + 4𝑑𝑥
Integramos para cada sumando
• 0.3
5 2
𝑥𝑑𝑥 = 2 ln 𝑥 0.3
5
• 0.3
5 2𝑥
𝑥2+4𝑑𝑥
𝑢 = 𝑥2 + 4, 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
0.3
52𝑥
𝑥2 + 4𝑑𝑥 =
0.3
51
𝑢𝑑𝑢 = ln 𝑢
0.3
5= ln 𝑥2 + 4
0.3
5
• 0.3
5 1
𝑥2+4𝑑𝑥
0.3
51
𝑥2 + 4𝑑𝑥 =
0.3
51
4𝑥2
4+ 1
𝑑𝑥
𝑢 =𝑥
2, 𝑑𝑢 =
1
2𝑑𝑥
0.3
51
𝑥2 + 4𝑑𝑥 =
1
2
0.3
51
𝑢2 + 1𝑑𝑥 =
1
2arctan 𝑢
0.3
5
= 1
2arctan
𝑥
20.3
5
Sustituimos y resolvemos
0.3
5𝑥 + 8
𝑥3 + 4𝑥𝑑𝑥
=
0.3
52
𝑥𝑑𝑥 −
0.3
52𝑥
𝑥2 + 4𝑑𝑥 +
0.3
51
𝑥2 + 4𝑑𝑥
= 2 ln 𝑥 − ln 𝑥2 + 4 + 1
2arctan
𝑥
20.3
5
= 0.446725 − −3.74205 = 4.18877 𝐾𝑚2
Problema 2. Integre la siguiente función:
Integrar
𝑑𝑥
9 − 𝑥2
Usando la función seno
sin 𝜃 =𝑥
3, 𝑥 = 3 sin 𝜃 , 𝑑𝑥 = 3 cos 𝜃 𝑑𝜃
9 − 𝑥2 = 9 − 3 sin 𝜃 2 = 9 − 9 sin2 𝜃
= 9 1 − sin2 𝜃 = 9 1 − sin2 𝜃 = 3 cos 𝜃
Sustituimos
𝑑𝑥
9 − 𝑥2=
3 cos 𝜃 𝑑𝜃
3 cos 𝜃= 𝑑𝜃 = 𝜃 + 𝐶
Despejamos 𝜽 y resolvemos
sin 𝜃 =𝑥
3, sin−1 𝑥
3= 𝜃
𝑑𝑥
9 − 𝑥2= 𝜃 + 𝐶 = sin−1 𝑥
3
Problema 3.
• Realice la gráfica de la función f(x)=𝑥2 ∗ ln 𝑥
en el intervalo de 0 a 3 con los valores X=0, x=0.5, x=1, x=1.5, x=2, x= 2.5 y x=3. También puede usar Geogebra.
De acuerdo a la gráfica proponga usted un problema que se resuelva al integrar esta función.
𝑓 𝑥 = 𝑥2 ln 𝑥
Problema 3.Texto de su problema propuesto:Un grupo de emprendedores quiere iniciar un proyecto para el cual requieren cierto capital. El proyecto que promueven tiene la expectativa de generar ganancias de acuerdo a la formula:
𝑓 𝑥 = 𝑥2 ln 𝑥
Donde 𝑥 es cada año que transcurre. ¿Cual seria la ganancia después de cada periodo de 6 meses (medio año)? Grafique el resultado y calcule la cantidad exacta para 3 años.
Desarrollo de su problema a integrar:Integrar
0
3
2𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥
Dado que esta función es discontinua en 𝑥 = 0, es impropia.Se integra por partes
𝑓 = ln 𝑥 , 𝑑𝑓 =1
𝑥𝑑𝑥, 𝑑𝑔 = 𝑥2𝑑𝑥, 𝑔 =
𝑥3
3
0
3
2𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 =2
3 𝑥3 ln 𝑥0
3−
0
3𝑥3
𝑥𝑑𝑥
=2
3 𝑥3 ln 𝑥0
3−
0
3
𝑥2𝑑𝑥 =2
3 𝑥3 ln 𝑥 −
𝑥3
30
3
Resolvemos el límite
𝑥3 ln 𝑥 −𝑥3
30
3
= 33 ln 3 −33
3− lim
𝑎→0+𝑎3 ln 𝑎 −
𝑎3
3
= 27 ln 3 −27
3− 0 = 27 ln 3 − 9 = 20.6625
Sustituimos y resolvemos
0
3
2𝑥2 ln 𝑥 𝑑𝑥 =2
3 𝑥3 ln 𝑥 −
𝑥3
30
3
=2
320.6625
= 13.7750