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Fórmula (-1): Uma proposta para o ensino-aprendizagem das operações com números
positivos e negativos
Autor: Anuar Daian de Morais Orientador: Marcus Vinicius de Azevedo Basso
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PROBLEMA DE PESQUISA
Como objetos digitais de aprendizagem (ODA) podem promover a aprendizagem das operações com números positivos e negativos sob a perspectiva dos Campos Conceituais de Vergnaud?
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JUSTIFICATIVA
• Constatamos que alguns estudantes apresentam dificuldades em relação as operações com números inteiros.
• Ensino repleto de procedimentos mecânicos que limitam o desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo dos nossos estudantes.
• A utilização da reta numérica como uma alternativa didática para o ensino/aprendizagem.
• Existência de uma demanda por objetos virtuais que abordam conteúdos da educação básica, sob uma concepção construtivista.
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METODOLOGIA
1º- Realizamos uma pesquisa sobre a história da construção do conjunto dos números inteiros.
2º - Analisamos diferentes pesquisas e propostas sobre o ensino de tal tema.
3º - Desenvemos seis Objetos Virtuais de Aprendizagem (em parceria com o MDMat )e uma proposta didática.
4º - Aplicamos nossa proposta em turmas da 6º série do Ensino Fundamental: 2008/2 no Colégio de Aplicação da UFRGS,
2010/1 numa escola da rede privada do município de Guaíba/RS.
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FUNDAMENTAÇÃO TEÓRICA Segundo Vergnaud “Campo Conceitual (CC) é definido
como um conjunto de problemas e situações cujo tratamento requer conceitos, procedimentos e representações de tipos diferentes intimamente relacionados” (1983b apud MOREIRA p.127).
Para a resolução das situações-problemas, tal teoria pressupõem: A utilização de esquemas de ação e de diferentes esquemas simbólicos (utilizar símbolos para registrar, quantificar as operações realizadas).
Coordenação entre os esquemas de ação e o sistema simbólico.
Na nossa concepção a teoria de CC:• Valoriza a utilização de modelos físicos no processo de ensino/aprendizagem;
• Estimula a aprendizagem a partir da interação entre os estudantes e de suas estratégias de resolução.
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CAMPO ADITIVO O Campo Aditivo é definido como um conjunto de problemas e situações que envolvem soma ou subtração na sua resolução.Ambas referem-se a relação parte-todo e é esse invariante conceitual que relaciona soma/subtração à uma mesma estrutura de raciocínio, o raciocínio Aditivo.Exemplos de situações problemas do CA:
Transformação Direta1) Nilce tem sete pares de brincos, no seu aniversário ganhou mais quatro pares. Quantos pares têm?
Transformação Indireta2) Nilce ganhou quatro pares de brincos no seu aniversário e ficou com um total de 11 pares. Quantos pares possuía antes?
Comparação entre Medidas3) Nilce tinha sete pares de brincos, após seu aniversário ficou com 11 pares. Quantos pares ganhou?
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CAMPO MULTIPLICATIVO
O Campo Multiplicativo (CM) é definido como um conjunto de problemas e situações que envolvem multiplicação ou divisão na sua resolução.
Ambas referem-se a existência de uma relação fixa entre duas variáveis de grandezas diferentes. Tal reláção é o invariante conceitual que relaciona Multiplicação/divisão a uma mesma estrutura de raciocínio, o Raciocínio Multiplicativo.
Como os problemas do CM envolvem relações quaternárias (duas medidas de um tipo e duas de outro) é necessário utilizar um modelo de representação adequado.
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MULTIPLICAÇÃO/DIVISÃO
• Transformação Direta:Tenho 6 sacos de balas. Há 4 balas em cada saco, quantas balas tenho?
• Transformação InversaPaguei R$18,00 por 6 garrafas de suco. Quanto custa uma garrafa?
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O Invariante Conceitual: A relação fixa entre duas grandezas diferentes
Existem dois procedimentos para encontrar X:
Relação Vertical: Aplicando operador escalar (x6) na quantidade de 4 balas
Relação Horizontal:Aplicar a função (X4 balas por saco) à quantidade de 6 sacos.
TENHO 6 SACOS DE BALAS. HÁ 4 BALAS EM CADA SACO, QUANTAS BALAS TENHO?
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TÉCNICAS E MATERIAISO produto da nossa dissertação é o site Fórmula (-1):
http://mdmat.mat.ufrgs.br/formula_1
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O JOGO FÓRMULA (-1): Campo Aditivo
Fase 1
Fase 2
É um jogo que visa promover o desenvolvimento do raciocínio aditivo através da ampliação e construção de novos significados para as operações com números positivos e negativos.
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Dados & Resultados
Ao aplicar o pré-teste do CA observamos que as crianças conseguiam resolver os problemas de forma prática, no entanto não conseguiam representá-los através da escrita
Modificamos a nossa concepção: agora a função do Fórmula (– 1) é servir como mais uma alternativa para fomentar a coordenação entre Sistemas de Ação e Simbólicos, possibilitando, assim, extensão do raciocínio aditivo e multiplicativo para operações que envolvem operações com números negativos.
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Nossa idéia principal foi acrescentar uma fase intermediária que utilize o modelo de representação por flechas (figura 5).
Segundo Vergnaud, este modelo do esquema de flechas representa muito bem as relações ternárias, visto que deixa explícita a transformação sofrida pelos elementos.
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Dados & Resultados : Usando o Fórmula ( -1) - CA
• Quando as duplas estavam num mesmo nível de compreensão identificamos que a situação de jogo era estabelecida, competiam de forma saudável, brincando enquanto aprendiam matemática.
•Quando isso não ocorria um dos estudantes assumia a figura de professor, onde um ajuda o outro, sem competir.
•A subtração como a noção de “ao contrário” foi uma estratégia didática interessante e, no contexto do jogo, não representou dificuldade para os estudantes. (ao invés da situação escrita).
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CONSTRUINDO A REGRA
6) Estabeleça critérios para decidir quando é necessário Somar ou Subtrair os valores absolutos.
7) Estabeleça critérios para decidir quando o resultado será Positivo ou Negativo.
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GENERALIZAÇÕESNível I – A Indiferenciação
Nesse nível o sujeito resolve os problemas corretamente através da reta numérica, mas não identifica regularidades, afirmando que cada caso é um caso. Um exemplo é o sujeito AA que não conseguiu decidir quando se soma ou se subtrai, podemos observar que ela utiliza a reta para decidir se a resposta final é positiva.
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GENERALIZAÇÕESNíve II: A Soma dos Valores Absolutos
FASE A: Nesse nível o sujeito apresenta suas primeiras hipóteses, por exemplo, que o sinal do estado inicial ou da transformação decide se devemos somar ou subtrair os valores absolutos. Um exemplo é a resposta da estudante CMa.
No entanto ao resolver situações-problemas, tal hipótese é desestabilizada, um conflito que o sujeito não consegue resolver.
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FASE B: Nesse nível o sujeito estabelece relações parciais sobre a soma de números inteiros. Por exemplo, consegue generalizar que devemos subtrair os valores absolutos quando o sinal da posição inicial e da transformações são diferentes e somá-los quando são iguais. Entretanto o sujeito não faz uma previsão de qual será o do estado final.
Níve II: A Soma dos Valores Absolutos
Além disso, nesse nível, alguns estudantes não generalizaram a soma dos valores absolutos para aquelas situações que envolviam números negativos na posição inicial e na transformação.
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GENERALIZAÇÕESNível III: A Regra de Sinais
Nesse nível o sujeito consegue, através de uma generalização, discriminar as condições necessárias para somar ou subtrair os valores absolutos e também as condições par decidir qual será o sinal do estado final.
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Dados & Resultados : Introdução ao Pensamento Algébrico
A RESOLUÇÃO DE EQUAÇÕES a + x = b
Ao trabalharmos com a ordem inversa do esquema de flechas, estaríamos explorando situações problemas que abordam, implicitamente, a resolução de equações do tipo a + x = b.
ORDEM INVERSA? + ( - 8 ) = - 32
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Observamos duas estratégias na resolução de equações a + x = b
1. Resolveram substituindo o valor numérico no local da incógnita (os estudantes que acertaram todos os itens) ER é um exemplo.
Dados & Resultados : Introdução ao Pensamento Algébrico
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2. Se o valor absoluto da resposta final era maior, significava que os sinais eram iguais, mas se tal valor fosse menor, então os números eram de sinais diferentes.
Dados & Resultados : Introdução ao Pensamento Algébrico
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O Jogo Fórmula - (-1): Campo Multiplicativo
FASE 1: Envolve multiplicações do tipo a.(-b) para a, b inteiros
FASE 2 : Envolve multiplicações do tipo (- a).(-b) para a, b inteiros
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Dados & Resultados: Usando o Fórmula (-1) - CM
• Ao ler o problema proposto os estudantes identificaram imediatamente a operação de multiplicação em função invariante conceitual posições por pulo.
• No contexto do jogo, os estudantes não tiveram dificuldade em realizar operações do tipo a.( – b), mesmo sendo o seu primeiro contato. Sendo assim esse é um dos benefícios do contexto virtual e simbólico do Fórmula (–1).
• O significado de “ao contrário de” para “–n pulos” (embora artificial) é uma estratégia que promove o desenvolvimento de raciocínio multiplicativo com números positivos e negativos.
• O layout do jogo não é intuitivo, as crianças precisam acessar o botão Ajuda para entender a proposta (todos estudantes conseguiram).
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Dados & Resultados: Atividades do Campo Multiplicativo
O RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO • Nas atividades escritas nenhum estudante utilizou tabelas para representar a multiplicação.
•A maior parte dos estudantes realizam o cálculo através de duas ações distintas: primeiro realizam o cálculo aritmético e depois define qual o sinal da resposta ou vice-versa.
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CONCLUSÃOEstamos convencidos que, através dessa investigação, realizamos avanços significativos na direção do desenvolvimento de um objeto digital de aprendizagem que promova o desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo que envolva operações com números positivos e negativos. Já que ele nos foi fecundo tanto na definição de certezas e convicções teóricas, quanto no estabelecimento de dúvidas e questões que devem ser respondidas em novos estudos.
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Dados & Resultados: A Subtração e o Esquema de Flechas
• Resolveram substituindo o valor numérico no local da incógnita (os estudantes que acertaram todos os itens) ER é um exemplo.
A flecha superior através de uma soma de números inteiros:
A flecha inferior através de uma subtração números inteiros visto que uma é o inverso da outra:
? + ( + 12) = – 14
( – 14 ) – ( + 12) = ?
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A SUBTRAÇÃO & O ESQUEMA DE FLECHAS
• Constatamos que nossa proposta não fez sentido para os estudantes:•Alguns continuaram a resolver os problemas desconsiderando a subtração, portanto não acertaram as atividades propostas.
• Outros apenas colocaram (equivocadamente) o sinal de menos entre os números inteiros: ? – (+ 12) = – 14
• O estudante que resolveu corretamente as operações, negou a proposta resolvendo na forma direta.
• O dado mais interessante foi apresentado pela estudante GP, na tentativa de mostrar que as operações realizadas não eram lógicas e não faziam sentido: Veja seu exemplo abaixo:
Dados & Resultados: A Subtração e o Esquema de Flechas
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• Pudemos identificar que o significado de “subtrair é tirar “(é ficar menor) está atrapalhando a estudante.