Analiza Complexa
1
□ Forma exponentiala a numerelor complexe
Presupunem ca seria infinita:
2 3
12! 3!
x x xe x
Are loc pentru x i
2 3 4
12! 3! 4!
ii i i
e i
2 4 3
12! 4! 3!
ie i
Formula lui Euler
iei sincos (7.1)
ne permite să scriem un număr complex sincos irz
în formă exponenţială
irez (7.2)
Ambele forme, trigonometrica si exponentiala, in alta interpretare sunt o
reprezentare parametrică a cercului cu centrul in origine si raza r. Parametrul
θ ia valori de la zero la 2π.
Este de preferat să scriem numerele complexe în formă
trigonometrică şi exponenţială atunci când dorim să înmulţim şi să împărţim
numere complexe.
Dacă irez Atunci: 1
1 1 1cos sin
iiz re r e ir
Dacă 1
11
ierz şi 2
22
ierz Atunci:
2121
212121
iiierrererzz (7.3)
Analiza Complexa
2
Înmulţirea numerelor complexe presupune înmulţirea modulelor şi adunarea
argumentelor.
2121 zzzz (7.4)
2121 argargarg zzzz (7.5)
Dacă folosim doar argumente principale ultima relatie poate sa nu fie
adevărată. De exemplu, dacă 1z i şi 2 1z , produsul este 1 2z z i .
arg2
i
, arg 1 , arg2
i
dar 3
arg arg 12 2
i
. Valoarea
obţinută prin sumarea argumentelor este un argument posibil pentru i dar
nu este argumentul principal.
Impartirea numerelor complexe:
21
2
1
2
1
2
1
2
1
i
i
i
er
r
er
er
z
z, 02 r (7.6)
Împărţirea numerelor complexe presupune împărţirea modulelor şi scăderea
argumentelor.
2
1
2
1
z
z
z
z (7.7)
21
2
1 argargarg zzz
z (7.8)
Ridicarea la putere: Fie z un număr complex
n
de n oriz z z z (7.9)
Dacă scriem z în formă trigonometrică şi exponenţială, atunci avem
sincos irrez i
ninrerrez ninnnin sincos (7.10)
Dacă 1r , vom obţine Formula lui Moivre
Analiza Complexa
3
ninin
sincossincos (7.11)
Radicalul unui număr complex
Definiţie: Numărul complex w se numeşte rădăcina de ordinul n a
numărului complex z, dacă zwn şi scriem n zw .
Pentru orice număr complex 0z , rădăcina n zw presupune n
valori distincte. Intr-adevăr, fie numărul complex z şi rădăcina sa w
irez şi iew
Cum zwn iinn ree
Deoarece, cele două numere complexe sunt egale, au loc egalităţile:
rn şi kn 2 , k
n r şi n
k
2
Aceste două expresii reprezintă modulul şi argumentul rădăcinii numărului
complex z. Toate rădăcinile au acelaşi modul, iar argumentele acestora
diferă prin multipli întregi de n/2 . Rezultă că n rădăcini sunt distincte şi
pot fi dispuse în planul complex, în vârfurile unui poligon regulat cu n laturi,
înscris în cercul cu raza n z şi centrul în punctul .0z originea planului
complex.
Dacă considerăm valorile 1,,2,1,0 n pentru k, obţinem n numere complexe
distincte:
n
ki
n
krz nn 2
sin2
cos , 1,,2,1,0 nk (7.12)
n
ki
nn erz
2
, 1,,2,1,0 nk (7.13)
Analiza Complexa
4
Figura 7.2
Exemplu: Să se calculeze 3 i
iz în formă trigonometrică si exponentiala este
cos sin2 2
z i
, 2
i
ez
n
ki
nn erz
2
3
22
3
k
i
k eiw
, 2,1,0k
3
2
6
ki
k ew , 2,1,0k
2
1
2
3
6sin
6cos6
0 iiewi
6sin
6cos
6
5sin
6
5cos6
5
3
2
6
1
iieewii
2
1
2
3
6sin
6cos ii
iieewii
2
3sin
2
3cos2
3
3
4
6
2
Radacinile de ordinul n ale unitatii
Solutiile ecuatiei 1nz unde n este un intreg pozitiv se numesc radacinile de
ordinul n ale unitatii si sunt date de:
Analiza Complexa
5
2
2 2cos sin
ki
nk k
z i en n
, 0,1,2, , 1k n
Fie 2
2 2cos sin
ini e
n n
, atunci cele n radacini sunt 2 11, , , , n .
Geometric, acestea sunt varfurile unui poligon regulat cu n laturi inscris in
cercul de raza unu cu centrul in origine. Acest cerc are ecuatia 1z si se
numeste cerc unitate.
Reprezentare sferica a numerelor complexe
Consideram planul complex si o sfera S tangenta la plan in 0z . Diametrul
NS este perpendicular pe plan si numim punctele N si S polii nord si sud ai
sferei. Corespunzator fiecarui punct A din plan construim dreapta NA care
intersecteaza sfera in A’. Astfel la fiecare punct din planul complex
corespunde un punct unic pe sfera si putem reprezenta orice numar complex
printr-un punct pe sfera. Polul nord N corespunde „punctului de la infinit ”
din plan. Multimea tuturor punctelor din plan inclusiv punctul de la infinit
formeaza planul complex extins.
Aceasta metoda de mapare a planului complex pe sfera se numeste
proiectie stereografica, iar sfera se numeste Sfera Riemann.
Analiza Complexa
6
Limita şirurilor de numere complexe
Fie nz un şir de numere complexe cu nnn iyxz , unde nx şi
ny .
Definiţie: Un număr complex z este limita şirului nz dacă 0 există un
număr NN astfel încât zzn , n N .
Notaţie: zznn
lim
Geometric, toţi termenii şirului nz cu n N , puncte în planul complex, se
află în interiorul cercului cu centrul în z şi rază .
Teoremă: Un şir de numere complexe nnn iyxz este convergent dacă şi
numai dacă şirurile de numere reale nx şi ny sunt convergente. În plus,
are loc:
lim lim limn n n
n n nz x i y
Exerciţii:
□ Calculaţi modulul şi argumentul principal pentru numărul complex:
cos sin5 5
z i
cos 05
x
sin 05
y
2 2
cos sin 15 5
r z
sin
5arg5
cos5
yz arctg arctg arctg tg
x
Analiza Complexa
7
4
5 5 5arctg tg
□ Scrieţi numărul complex 2 2z i în formă trigonometrică.
2 2
2 2 2r z
2 3
arg 14 42
yz arctg arctg arctg
x
3 3
2 cos sin4 4
z i
□ Calculaţi 8
1
1
i
i
1 1z i 1 2z 1arg 1
4
yz arctg arctg
x
2 1z i 1 2z 2arg 14
yz arctg arctg
x
88 88
4 244 2
4
1 2cos 4 sin 4 1
12
ii i
i
i
i ee e e i
ie
Varianta algebrica:
8 828 828
2 2
11 1 2 21
1 1 1 1 2
ii i i ii
i i
□ Calculaţi rădăcinile de ordinul 3 pentru 1z i
3 3
2 cos sin4 4
z i
3 3 2 2cos sin
3 3k
k kw z r i
, 0,1,2k
Analiza Complexa
8
3 3
3 32 2
4 4cos sin3 3
k
k k
w z r i
, 0,1,2k
33 2 22 cos sin
4 3 4 3k
k kw z i
, 0,1,2k
6 60
2 22 cos sin 2
4 4 2 2w i i
6 6
1
2 2 11 112 cos sin 2 cos sin
4 3 4 3 12 12w i i
6 6
2
2 2 2 2 19 192 cos sin 2 cos sin
4 3 4 3 12 12w i i
7.3 Definiții. Derivate. Ecuațiile Cauchy-Riemann
Mulțimi în planul complex
Vom nota cu mulţimea numerelor complexe. În formă algebrică mulţimea
numerelor complexe este:
2, , 1z x iy x y i (7.14)
Rex z Imy z
Numerele complexe se reprezintă geometric în planul complex (Diagrama
Argand).
Fie ε>0 un număr pozitiv arbitrar și fie z0 un număr complex arbitrar.
Considerăm mulțimea de puncte z din planul complex, figura 7.3, care
satisfac inegalitatea:
Analiza Complexa
9
0z z (7.15)
Figura 7.3
Considerăm 0 0 0z x iy și z x iy și obținem:
2 2
0 0 0z z x x y y (7.16)
2 2 2
0 0x x y y (7.17)
Mulțimea punctelor z din planul complex ce satisfac (7.15) formează o -
vecinătate a lui z0.
Definiții:
z este punct interior al unei mulțimi din planul complex dacă
există o -vecinătate a punctului inclusă în mulțime.
O mulțime D din planul complex se numește domeniu dacă este
alcătuită numai din puncte interioare (este deschisă) și oricare
două puncte din mulțime pot fi conectate de o curbă conținută
în mulțime.
Un punct al domeniului D este punct frontieră dacă orice -
vecinătate a sa are puncte atât în interiorul cât și în exteriorul
domeniului.
Mulțimea tuturor punctelor frontieră, notată D , formează
frontiera domeniului D.
Analiza Complexa
10
Un domeniu D împreună cu frontiera sa D este un domeniu
închis și se notează D
Exemple: Mulțimea punctelor z care verifică inegalitățile: 1 2z este un
domeniu deschis, iar mulțimea punctelor z care verifică
inegalitățile: 1 2z este un domeniu închis, figura 7.4. Frontiera este
alcătuită din cercurile: 1z și 2z .
Figura 7.4
O curbă închisă fără autointersecții se numește contur. Orice contur
împarte planul complex în două domenii, și este frontieră între acestea. Un
domeniu, cel interior conturului este mărginit, iar cel exterior este
nemărginit. Spunem că un domeniu D este simplu conex dacă interiorul
oricărui contur din D aparține lui D (practic o multime fara gauri).
Exemple:
1. Mulțimea de numere complexe z x iy care verifică condiţiile:
0 1x , 1 1y formează un domeniu simplu conex, figura 7.5.
Figura 7.5
Analiza Complexa
11
2. Mulțimea de numere complexe z care verifică condiţia: 0 1z nu
este un domeniu simplu conex. Punctul 0z aflat în interiorul
conturului nu aparţine mulţimii, figura 7.6 .
Figura 7.6
Considerăm şirul nz de numere complexe: 1 2, , , ,nz z z .
Dacă pentru orice număr 0M arbitrar de mare, există un număr
natural N a.î. toţi termenii zn ai şirului nz cu n N verifică inegalitatea
nz M , atunci spunem că şirul nz este convergent la un punct la infinit,
sau simplu la infinit, şi scriem:
lim nn
z
(7.18)
Dacă suplimentăm planul variabilelor complexe cu punctul z pe
care tocmai l-am definit, atunci obţinem planul complex extins.
Funcţii de o variabilă complexă
Funcţia :f S cu
w f z (7.19)
este definită pe o mulţime S a planului complex z dacă este precizată o lege
care pune în corespondenţă fiecare număr complex z din S cu un număr
complex w unic, vezi figura 7.8.
Analiza Complexa
12
Funcţia w f z este o transformare a punctelor din planul complex z în
planul complex w.
Figura 7.8
Considerăm z x iy , w u iv . Atunci definiţia funcţiei de variabilă
complexă w f z va fi echivalentă cu definiţia a două funcţii reale de două
variabile reale ,u u x y , ,v v x y , unde
, ,w f z u x y iv x y (7.20)
Aici, ,u u x y este partea reală şi ,v v x y partea imaginară a funcţiei
w f z .
Exemple:
1) 2w z
Considerăm z x iy , w u iv
2 2 2 2u iv x iy x y i xy
Funcţia 2w z este echivalentă cu două funcţii reale 2 2u x y , 2v xy
2) 1
wz
Considerăm z x iy , w u iv
Analiza Complexa
13
2 2 2 2 2 2
1 x iy x yu iv i
x iy x y x y x y
Funcţia 1
wz
este echivalentă cu două funcţii reale 2 2
xu
x y
,
2 2
yv
x y
O funcţie w f z transforma unu-la-unu mulţimea S dacă în puncte
diferite din S ia valori diferite. De exemplu, funcţia 2w z transforma unu-
la-unu semiplanul superior Im 0z şi nu face acest lucru pentru întreg
planul. De exemplu, 22 1i i .
Limita unei funcţii
Fie o funcţie w f z definită pe o vecinătate a punctului
0 0 0z x iy , cu o posibilă excepţie în z0. Un număr complex A este limita lui
f z când 0z z şi notăm
0
limz z
A f z
, dacă 0 putem determina o
vecinătate a punctului z0 a.î. oricare ar fi z din vecinătate, cu excepţia
posibilă pentru z0, punctul corespunzător w prin funcţie se află în
vecinătatea punctului A, figura 7.9.
Figura 7.9
Pentru z0 şi A puncte finite în planul complex, definim limita astfel:
0
limz z
A f z
0 , 0 a.î. z cu 00 z z , să
avem f z A . (7.21)
În definiţia limitei, punctul z tinde la z0 pe orice drum.
Analiza Complexa
14
Existenţa limitei (7.21) este echivalentă cu existenţa limitelor
funcţiilor reale ,u u x y , ,v v x y :
0
0
lim ,x xy y
u x y B
0
0
lim ,x xy y
v x y C
(7.22)
unde A B iC .
Cum limita (7.21) este echivalentă cu limitele funcţiilor reale de două
variabile (7.22), funcţia de variabilă complexă se supune la aceleasi reguli de
calcul pentru limite:
0 0 0
lim lim limz z z z z z
f z g z f z g z
(7.23)
0 0 0
lim lim limz z z z z z
f z g z f z g z
(7.24)
0
0
0
limlim
lim
z z
z z
z z
f zf z
g z g z
, 0
lim 0z z
g z
(7.25)
Continuitate
O funcţie w f z definită pe o mulţime S este continuă în punctul 0z S ,
dacă
0
0limz z
f z f z
, z S (7.26)
Cu alte cuvinte, f z este continuă în z0, dacă 0 , putem determina
0 a.î. z S care verifică 0z z , să avem 0f z f z .
Condiţia necesară şi suficientă ca o funcţie de variabilă complexă
, ,f z u x y i v x y să fie continuă în punctul 0 0 0z x iy este ca
Analiza Complexa
15
părţile sale reală şi imaginară ,u u x y şi ,v v x y să fie continue în
punctul 0 0,x y în x şi y.
Acest fapt ne permite să translatăm proprietăţile funcţiilor continue
de două variabile reale la funcţiile continue de variabilă complexă. Dintre
acestea amintim: continuitatea sumei, produsului, câtului de două funcţii
continue şi continuitatea funcţiilor compuse.
Dacă o funcţie f z este continuă în fiecare punct al unei mulţimi S,
atunci spunem că f z este continuă pe S.
Funcţii diferenţiabile şi funcţii analitice
O funcţie complexă este o transformare :f şi scriem f z w
cu z şi w numere complexe. Din punct de vedere geometric transformarea
poate fi gândită ca o corespondenţă între două plane complexe: planul z şi
planul w. Planul w are o axă reală u şi o axă imaginară v. u şi v sunt funcţii
reale de componentele x şi y a lui z.
, ,f z u x y iv x y
Acestă ecuaţie ne furnizează un punct unic ,u v în planul w pentru
fiecare punct ,x y din planul z. Sub acţiunea lui f mulţimi din planul z sunt
transformate în mulţimi din planul w. De exemplu, o curbă din planul z poate
fi transformată într-o curbă din planul w.
Problemă: Cum se transformă dreapta y mx din planul z în planul w? Daca
consideram functia 2w f z z
2 2 2 2w x iy x y i xy
2 2,u x y x y şi , 2v x y xy
Pentru dreapta din planul z, y mx aceste ecuaţii conduc la
Analiza Complexa
16
2 21u m x 22v mx
Eliminând x din aceste ecuaţii obţinem: 2
2
1
mv u
m
Aceasta este o dreaptă care trece prin origine planului w şi are unghiul cu
axa orizontală modificat faţă de unghiul format de dreapta y mx din planul
z cu axa orizontală.
Definitie: Fie o funcţie f z definită pe o vecinătate a punctului z0. Derivata
lui f z în z0, este:
0
0 0
0limz
z
f z z f zdf
dz z
(7.27)
cu condiţia ca limita să existe şi să fie independentă de modul in care z
tinde la zero. Independenţa de z înseamnă independenţă de componentele
x şi y
z x i y (7.28)
Geometric, z poate tinde la zero de-a lungul axei reale ( 0y ) sau de-a
lungul axei imaginare ( 0x ) sau pe orice altă direcţie. Pentru ca derivata să
existe, rezultatul nu trebuie să depindă de modul în care 0z .
Considerăm
z x iy 0 0 0z x iy
, ,f z u x y i v x y
0 0 0 0 0, ,f z u x y i v x y
0 0 0 0 0, ,f z z u x x y y i v x x y y
0 0 0 0 0 0 0 0
000
, , , ,limxy
u x x y y i v x x y y u x y i v x yf z
x i y
Analiza Complexa
17
0 0 0 0 0 0 0 0
000
, , , ,limxy
u x x y y u x y i v x x y y v x yf z
x i y
□ Considerăm mai întâi 0y şi apoi 0x , adică 0z pe axa
reală.
0 0 0 0 0 0 0 0
00 0
, , , ,lim limx y
u x x y y u x y i v x x y y v x yf z
x i y
0 0 0 0 0 0 0 0
00
, , , ,limx
u x x y u x y i v x x y v x yf z
x
0 0 0 0
0
, ,x y x y
u vf z i
x x
(7.29)
□ Considerăm mai întâi 0x şi apoi 0y , adică 0z pe axa
imaginară.
0 0 0 0 0 0 0 0
00 0
, , , ,lim limy x
u x x y y u x y i v x x y y v x yf z
x i y
0 0 0 0 0 0 0 0
00
, , , ,limy
u x y y u x y i v x y y v x yf z
i y
0 0 0 0
0
, ,x y x y
u vf z i
y y
(7.30)
Cele două expresii (7.29-30) ale lui 0f z trebuie să fie egale, deci
u v
x y
şi
u v
y x
(7.31)
Analiza Complexa
18
Exemplu: Examinaţi derivata funcţiei 2 22f z x i y în 1z i
01
1 1limz
z i
f i z f idf
dz z
0, 0
1 1lim
x y
f i x i y f i
x i y
0, 0
1 1 1lim
x y
f x i y f i
x i y
2 2
0, 0
1 2 1 1 2lim
x y
x i y i
x i y
2 2
0, 0
1 2 2 4 2 1 2lim
x y
x x i i y i y i
x i y
2 2
0, 0
2 4 2lim
x y
x x i y i y
x i y
Ne apropiem de 1z i pe dreapta 1 1y m x , atunci y m x
2 22 2
0 01
2 4 2 2 4 2lim lim
1x xz i
x x im x im x x im im xdf
dz x im x im
1
2 4
1z i
df im
dz im
In funcţie de parametrul m avem o infinitate de valori pentru derivată. Deci,
valoarea limitei depinde de drumul pe care ne apropiem de 1z i . Atunci,
funcţia nu are derivată în 1z i
Proprietăţi de calcul:
Analiza Complexa
19
df z dg zd
f z g zdz dz dz
(7.32)
df z dg zd
f z g z g z f zdz dz dz
(7.33)
2
df z dg zg z f zf zd dz dz
dz g z g z
, 0g z (7.34)
df g z dg zd
f g zdz dw dz
unde w g z (7.35)
1df z
d wdz
dw
, unde w f z şi z w este f. inversă (7.36)
Exemple:
1. Arătaţi că funcţia w f z Re z nu este diferenţiabilă în nici un punct.
Fie z x iy . Atunci w x . Prin definiţie:
0 0, 0lim limz x y
f z z f z f x iy x i y f x iyf z
z x i y
0, 0 0, 0
lim limx y x y
x x x x
x i y x i y
Această limită ar trebui sa fie independentă de drumul pe care ne apropiem
de z când trecem la limită. Considerăm două cazuri.
Fie ne apropiem de z x iy pe dreapta y ct , 0y . Atunci:
0, 0 0
lim lim 1x y x
x x
x i y x
Analiza Complexa
20
Fie ne apropiem de z x iy pe dreapta x ct , 0x . Atunci:
0, 0 0
0lim lim 0
x y y
x
x i y i y
Valoarea limitei depinde de drumul pe care ne apropiem de z. În consecinţă
w Re z nu este diferenţiabilă în nici un punct.
2. :f 3f z z este diferenţiabilă pe .
0z ,
0 0
3 30 0
0
0 0
lim limz z z z
f z f z z zf z
z z z z
0 0
2 20 0 0 2 2
0 0
0
lim limz z z z
z z z zz zz zz z
z z
0
22
0 0 0 0lim i i
z zz re z re z z
2 2 2 2 2 2
0 0 0 0 0 00
lim 2 3i i i
rz z re r e z rz e z z
Atentie: 0
iz z re
Figura 7.10
Analiza Complexa
21
3. :f 2
f z z diferenţiabilă numai în 0z .
0z ,
0 0
2 20 0
0
0 0
lim limz z z z
f z f z z zf z
z z z z
0 0
222 2
0 0 0 0
0 0
lim lim
i i
i iz z z z
z re z z re z
z re z re
0 0
2 2 2 2 2 2
0 0 0 02 2lim lim
i i i i
i iz z z z
z z re r e z z re r e
re re
0
2 3
0lim 2 i i
z zz e re
Dacă 0 0z , limita pentru 0z z înseamnă limita pentru 0r şi este egală
cu 2
02 iz e şi depinde de , adică de direcţia după care z se apropie de z0.
Deci această limită nu există şi funcţia nu este diferenţiabilă.
Dacă 0 0z , limita pentru 0z z , pentru 0r este egală cu zero. 2
f z z
este diferenţiabilă în 0z .
Problemă: Care sunt condiţiile în care o funcţie complexă este
diferenţiabilă?
Teorema 1: Dacă , ,f z u x y i v x y este o funcţie diferenţiabilă într-
un punct z x iy , atunci în punctul ,x y există derivatele parţiale ale
funcţiilor ,u u x y şi ,v v x y astfel încât:
u v
x y
şi
u v
y x
(7.37)
Relaţiile (7.37) se numesc ecuaţii diferenţiale Cauchy-Riemann.
Analiza Complexa
22
Impunând condiţii asupra părţilor reală şi imaginară ale unei funcţii
de variabilă complexă se poate garanta diferenţiabilitatea acesteia.
Teorema 2: Fie funcţiile de variabile reale ,u u x y şi ,v v x y
difernţiabile în punctul ,x y . Dacă în punctul ,x y condiţiile (7.37) sunt
îndeplinite, atunci funcţia de variabilă complexă , ,f z u x y i v x y este
diferenţiabilă în punctul z x iy .
Exemple:
1. Funcţia w z x iy nu este diferenţiabilă în nici un punct,
deoarece:
1 1u v
x y
2. :f 3f z z este diferenţiabilă pe .
33 3 2 2 2 3 33 3f z z x iy x x iy xi y i y
3 2 2 33 3f z x xy i x y y
3 2, 3u x y x xy 2 3, 3v x y x y y
u v
x y
2 2 2 23 3 3 3x y x y
u v
y x
6 6xy xy
3f z z este diferenţiabilă pe .
3. :f 2
f z z diferenţiabilă numai în 0z .
2 2 2 2 2f z z x iy x y i xy
2 2,u x y x y , 2v x y xy
Analiza Complexa
23
u v
x y
2 2x x 0x
u v
y x
2 2y y 0y
2
f z z diferenţiabilă numai în 0z .