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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Fondamenti di controllo di processo
Stefano Miani1
1Dipartimento di Ingegneria Elettrica, Gestionale e MeccanicaUniversità degli Studi di Udine
Settembre 2005
Stefano Miani Fondamenti di controllo di processo
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Programma del modulo
1 Modelli di processo (2 ore)2 Strumenti per l’analisi (10 ore)
trasformatefunzioni di trasferimentostabilita’ e marginirisposta in frequenzastrumenti software per la modellazione di sistemi di controllospecifiche del sistema in retroazione
3 Regolatori industriali (2 ore)
Controllo a relayControllo PIDProcessi target
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Controllo di processo: celle di lavorazione automatica peroperazioni ripetitive/pericoloseScopo:
riduzione costi;
qualita’;
Problema: isole realizzate con dispositivi eterogenei e protocollidiversiIntegrazione dei flussi informativi a livello aziendale medianteadozione standard
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
migliore utilizzo risorse mediante accurata pianificazione(anche real time);
flessibilita’ produzione (nuove lavorazioni);
riduzione tempi produzione;
miglioramento progettazione prodotti (informazioni nonambigue);
identificazione, conservazione e riutilizzo informazioni relativeai prodotti;
controllo della produzione;
riduzione scarti;
riduzione scorte;
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
Struttura a livelli
GestioneaziendaGestione
stabilimentoSupervisione
integrata
Supervisione di cella
Sistemi di controllo
1
3
4
5
6
2
Piano officina (campo)
PLC, CN,controlloriper robot
sottoprocesso produttivo
sensori, attuatoriprocessi fisici
dispositivi di controlloconfigurazione parametri (PC, PLC)"completo" , ottimizzazione, raccolta info,
basi di dati, coordinamento tra celle,operatori umani, pianificazione (PC; workstation)
produzione, logistica, amministrazione,manutenzione, pianificazione, ordini (Sist. inf. az.)
flussi fisici e finanziari
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
Livello 1: schema a livelli
Livello 1: piano officina (campo). Realizza funzioni di misura ecomando sui processi produttivi. Dispositivi interagenti con ilprocesso fisico: sensori, attuatori.
CONTROLLO
SISTEMA DI
PROCESSO FISICO
ATTUATORISENSORI
DISTURBI
MATERIALI
ENERGIA
MATERIALI
ENERGIA
informazioni
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
Livello 1, schema “controllistico”
+
–
+ +Controllorein retroazione Attuatore
Processo
Trasduttoredel disturbo
Misuradel disturbo
Misuradel segnale
di riferimento
Segnaledi riferimento
Variabiledi controllo
Variabilecontrollata
Variabilemanipolabile
Disturbosull’attuatore
Disturbosul processo
Misura dellavariabile controllata Trasduttore
della variabilecontrollata
Disturbosul trasduttore
Disturbosul trasduttore
CompensatoreTrasduttoredel segnale
di riferimento
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
Livelli 2 e 3
Livello 2: sistemi di controllo. Funzioni di controllo di processi efunzioni di sicurezza. Controllori interagenti con dispositivi dilivello 1: PLC, regolatori, CNC, etc.
Livello 3: supervisione di cella. Sviluppo di un sottoprocessoproduttivo completo mediante varie macchine (e controllori).Coordinamento delle macchine. Configurazione dei parametri dellivello 2, ottimizzazione (traiettorie, sequenze, etc.). Possononecessitare di intervento umano.
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
Controllo della posizione di un carroponte
riduzione dei tempi di spostamento dei materiali
risparmio energetico
sicurezza
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
mt
mp
x
Θ
l
I=Momento di inerzia del pendolo rispetto al baricentro;mp=massa del pendolo;mt=massa del carrello;b=coefficiente di attrito aerodinamico;g=accelerazione di gravità;l=distanza del baricentro del pendolo dal centro di rotazione
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
Equazioni fondamentali
ΣF = Ma
Στ = Iα
(I + mpl2)θ̈ + mpgl sin(θ) + mpl ẍ cos(θ) = 0
(mt + mp)ẍ + bẋ + mpl θ̈ cos(θ)−mpl θ̇2 sin(θ)− u = 0
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
Comportamento del sistema simulabile mediante Simulink
a=x..
Σ F
α=θ..
v=x. x
ω=θ. θΣ τ
Rotazione
Traslazione
cos
TrigonometricFunction1
sin
TrigonometricFunction
Step
Scope1
Scope
Product2
Product1
Product1s
Integrator3
1s
Integrator2
1s
Integrator1
1s
Integrator
−K−
Gain1
−K−
Gain
−K−
Attrito1
−b
Attrito
−K−
1/M
−K−
1/I
Figura: Schema Simulink del carroponte
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 500
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
t
x
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2x 10−3
t
θ
Figura: Grafici dell’andamento della posizione del carroponte edell’angolo del carico
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
Controllo di livello
Efficienza, riduzione dei costi di produzione
Velocità elevate (2 m/min) e prodotti larghi (0.42 m2)
Perturbazioni sensibili nel processo
Velocità/stabilità
���������������
���������������
���������������
���������������
Submerged nozzle
Stopper Rod
Molten steel
Level sensor
Water cooled mold
Extracting speed V
Reference level
ActuatorLadle
Tundish Controller
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
��������������
Water cooled mold
Controller
ActuatorStopper Rod
Reference level
Level sensor
Tundish
Submerged nozzle
Molten steel
Ladle
Extracting speed V
Controller
ActuatorStopper Rod
Level measurement������������������������������������
������������������������������������
������������������������������������
������������������������������������
Q o
Q i
U
O
y(t) =1
C
∫ t0
(qi (τ)− q0(τ))dτ
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.450
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Figura: Risposta (nominale) dello stopper a un segnale a gradino di u
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
Fenomeno di clogging/unclogging
(Dussud et al. 1998) clogging/unclogging ' disturbo p(t) agentesulla posizione di apertura dello stopper Ac ' 10× 10−3m,Tc ' 600s
Qi
1+s τK
Ac
cT
Nonlineartime-varying
model
Linear time-invariantwith additive disturbance
QiK
1+s τ
p(t)p(t)
t
+
-O O
11+.5s
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
530 535 540 545 550 555 560 565 570 575 580−5
0
5
10
Time (seconds)
Figura: Simulazione del comportamento in presenza di unclogging
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
Reference level
Levelmeasure
QioQ
Extractingspeed
N (s)
D (s)c
c W (s)P
W (s)D
Controller
Actuator Model
+
p(t)
+-
-
+
Actual level
++
filterLow-pass
Measurementnoise
y
Process
V
-
K 1
2K W (s)A s
Clogging/Uncloggingdisturbance
n(t)
1 Taratura del PID per garantire buoni margini di stabilità
2 (ri) taratura locale per reiezione ai disturbi
3 Progetto del filtro passa-basso per l’errore di misura
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
Controllo di posizione di una struttura flessibile
Tempi di risposta ridotti (1 s)
Dimensioni non trascurabili (60/120m)
Funzionamento in diverse condizioni
Imc ϑ̈0(t) = −k [ϑ0(t)− ϑ1(t)] + τ(t)Iv ϑ̈i (t) = −k [ϑi (t)− ϑi−1(t)]− k [ϑi (t)− ϑi+1(t)] + τi (t)L
= −2k ϑi (t) + k ϑi−1(t) + k ϑi+1(t) + τLi (t)Iv ϑ̈20(t) = −k [ϑ20(t)− ϑ19(t)] + τL20(t) i = 1 . . . 19
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
0 0.5 1 1.5 2 2.5 30
0.005
0.01
0.015
0.02
0.025
0.03
0.035
0.04
Time (s)
Ang
ular
pos
ition
(deg
)
position
position
tip
motor
Figura: Simulazione della risposta all’impulso del sistema oscillante
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
LivelliModelli di processo
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−50
0
50
100
150
200
250
300
350
400
Time (s)
Tip
ang
ular
pos
ition
(de
g)
Figura: Grafico dell’andamento simulato del sistema reale (120 m) e realedel sistema da laboratorio (2 m)
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Gradino, rampa e parabola
Gradino (o step)
δ−1(t) = sca(t) =
{0 per t < 01 per t ≥ 0
Rampa
δ−2(t) = ram(t) =
{0 per t < 0t per t ≥ 0
Parabola
δ−3(t) = par(t) =
{0 per t < 0t2
2 per t ≥ 0
1
t
t
t
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Impulso
δ−2(t) =∫ t−∞ δ−1(τ)dτ δ−1(t) =
dδ−2(t)dt = δ̇−2(t)
δ−3(t) =∫ t−∞ δ−2(τ)dτ δ−2(t) =
dδ−3(t)dt = δ̇−3(t)
“Derivando” il gradino siottiene l’impulso δ(t) (Delta diDirac)
δ−1(t) =
∫ t−∞
δ(τ)dτ
t0Stefano Miani Fondamenti di controllo di processo
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Definizione, proprietà, antitrasformata
s ∈ C, s = σ + iω
e−st = e−σte−iωt = e−σt (cos(ωt) + i sin(ωt))
F (s) = L[f (t)] =∫ +∞
0−f (t)e−stdt (∃ σ̄ integrale esiste σ > σ̄)
Operatore lineare
L[αf (t) + βg(t)] = αF (s) + βG (s)
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Trasforma derivate e integrali in t in operazioni algebriche in s
L[ḟ (t)] = sF (s)−f (0)(f (0−) se discontinua
)L[
∫ t0
f (τ)dτ ] =1
sF (s)
Per ogni f (t) esiste una sola F (s) e viceversa.
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Tabella delle trasformate più comuni
f (t) F (s)
ḟ (t) sF (s)− f (0)f̈ (t) s2F (s)− sf (0)− ḟ (0)∫ t
0 f (τ)dτ1s F (s)
δ−1(t)1s
eαt f (t) F (s − α)eαt 1s−α
δ−2(t)1s2
δ(t) 1
sin(ωt) ωs2+ω2
cos(ωt) ss2+ω2
eαt sin(ωt) ω(s−α)2+ω2
f (t − τ) e−τsF (s)
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Antitrasformata
f (t) = L−1[F (s)] = 12πi
∫ σ+i∞σ−i∞
F (s)estds (σ > σ̄)
Segnale con trasformata razionale
U(s) =N(s)
D(s)=
∑i
Ais − pi
(pi = poli)
Ai = lims→pi
U(s)(s − pi ) (Ai = residuo di U(s) in pi )
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Esempio: antitrasformata semplice
U(s) =s + 1
(s + 3) (s + 2)
A1 = lims→−3
s + 1
s + 2=−2−1
A2 = lims→−2
s + 1
s + 3=−11
U(s) =2
s + 3+
−1s + 2
U(s) =∑
i
Ais − pi
=⇒ u(t) =∑
i
Aiepi t
Esempio: continua da esempio precedente
u(t) = 2e−3t − e−2t
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Se polo pi = α + iω complesso allora ∃ p∗i = α− iω
Ais − pi
A∗is − p∗i
y1 :Ai
s−pi =⇒ Aieαte iωt y2 :
A∗is−p∗i
=⇒ A∗i eαte−iωt
y1 + y2 = 2|Ai |eαt cos (ωt + θ)
Polo reale: p = α → eαt
Coppia di poli complessi: p = α± iω → eαt cos (ωt + θ)
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Dalle equazioni differenziali alla funzione di trasferimento
Mÿ(t) + bẏ(t) + Ky(t) = u(t)(Ms2 + bs + K
)Y (s)− sMy(0)− ẏ(0)− by(0) = U(s)
Se y(0) = 0 e ẏ(0) = 0, allora
Y (s)
U(s)= W (s) =
1
Ms2 + bs + K
W (s) = Y (s)U(s) é il rapporto tra le trasformate dei segnali in uscita ein ingressou(t) = δ(t) (U(s) = 1) =⇒ Y (s) = W (s)U(s) = W (s)Trasformata della risposta all’impulso (risposta impulsiva)
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Albero con motore e due volani in figura, in cui viene fornita lacoppia motrice cm al primo volano mediante albero rigido.
cmθ1
B B1
θ2
2
L’albero tra i due volani, di inerzia J1 e J2, e’ elastico e la coppiadi richiamo elastica e’ pari a Cel = K (θ1 − θ2).Coppia di attrito sui due supporti: cattri = Biωi
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Uscita=y = θ1, ingresso=u = cm
J1θ̈1 = cm − cattr1 − K (θ1 − θ2)J2θ̈2 = −cattr2 + K (θ1 − θ2)
W (s) =s2J2 + sB2 + K
s (s3J1J2 + (J1B2 + J2B1) s2 + (J1K + J2K + B1B2) + K (B1 + B2))
In forma di stato:ẋ1 = x2ẋ2 =
1J1
u − B1J1 x2 −KJ1
(x1 − x3)ẋ3 = x4ẋ4 = −B2J2 x4 +
KJ2
(x1 − x3)y = x1
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Funzione di trasferimento razionale
W (s) =NW (s)
DW (s)
Ingresso con trasformata razionale
U(s) =NU(s)
DU(s)
=⇒ Uscita con trasformata razionale
Y (s) = W (s)U(s) =∑
i
Ais − pi
y(t) =∑
i
Aieαi t +
∑j
|Aj |eαj t cos (ωj + θj)
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Funzioni di trasferimento elementari
Funzione di trasferimento proporzionale
G (s) = Kp =⇒ Y (s) = KpU(s), y(t) = Kpu(t)
Funzione di trasferimento derivativa (o derivatore ideale)
G (s) = s =⇒ Y (s) = sU(s), y(t) = u̇(t) (u(0) = 0)
Funzione di trasferimento integrale (o integratore)
G (s) =1
s=⇒ Y (s) = 1
sU(s), y(t) =
∫ t0
u(τ)dτ
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Zeri, poli e rappresentazioni
G (s) =bms
m + bm−1sm−1 + . . . b0
sn + an−1sn−1 + . . . a0
Zeri del numeratore/denominatore: zeri/poli di G (s)G (s) é stabile se tutti i poli hanno parte reale negativa
G (s) =
µ∏
i (1 + sτi )∏
i
(1 + 2ξni
sωni
+(
sωni
)2)sg
∏i (1 + sTi )
∏i
(1 + 2ξdi
sωdi
+(
sωdi
)2)
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Risposta al gradino di sistemi elementari (U(s) = 1s )
Parametri caratteristici
Valore di regime y∞, valore massimo ymaxSovraelongazione massima S% = 100 ymax−y∞y∞Tempo max sovraelongazione TM , Tempo di salita Ts (y(t) da0, 1 a 0, 9 di y∞)
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Parametri caratteristici
Tempo di ritardo Tr (y(t) = 0, 5y∞)Tempo di assestamento Ta� (y(t) in (1− 0.01�)y∞,(1 + 0.01�)y∞)Periodo oscillazione Tp
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
G (s) =µ
1 + sTy(t) = µ
(1− e−t/T
)
0 1 2 3 4 5 60
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
t/T
y/µ
y∞ S% Ts Tr Ta5 Ta1µ 0 ' 2.2T ' 0.7T ' 3T ' 4.6T
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
G (s) = µ(1+sT1)(1+sT2) , T1 > T2
y(t) = µ(1− T1T1−T2 e
−t/T1 + T2T1−T2 e−t/T2
)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 180
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
y/µ
t
T1=1, T
2=3
y∞ S%
µ 0
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
G (s) = µ1+2ξs/ωn+(s/ωn)
2
y(t) = µ
(1− 1√
1−ξ2e−ξωnt sin
(ωnt
√1− ξ2 + arccos ξ
))
ξ: smorzamento (critico=√
22 )
ωn: pulsazione naturaley∞ µ
S% 100−ξπ/√
1−ξ2
Ta� − 1ξωn ln 0.01ξ
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Risposta in frequenza
Funzione di trasferimento W (s) stabile
u(t) = A sin(ωt + φ)
Y (s) = W (s)U(s)
I modi del sistema decadono =⇒ restano i modi in ingresso
yrp(t) = A|W (iω)| sin (ωt + φ + arg (W (iω)))
Se il sistema è stabile si comporta come un guadagno e unosfasatore (variabili) alle varie frequenze
W (s) =1
(s + 1)(s + 3)
u(t) = sin(t) =⇒ y(t) =∣∣∣∣ 1(1i + 1)(1i + 3)
∣∣∣∣ sin (t + ∠ 1(1i + 1)(1i + 3))
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Diagrammi di Bode
G (iω) = |G (iω)|e i arg(G(iω)): risposta in frequenzaRappresentazione grafica di modulo e fase
|G (iω)|dB = 20 log10 |G (iω)|
|G (iω)|dB = |µ|dB +∑
j |1 + iωτj |dB +∑
j
∣∣1 + 2iξNj ω/ωNj − ω2/ω2j ∣∣dB −g |ω|dB −
∑j |1 + iωTj |dB −
∑j
∣∣1 + 2iξDj ω/ωDj − ω2/ω2j ∣∣dBarg (G (iω)) = arg(µ) +
∑j arg (1 + iωτj) + · · · −∑
j arg(1 + 2iξDj ω/ω
Dj − ω2/ω2j
)µ 1/s 1/ (1 + sT ) 1/ (1 + 2ξs/ωn + s
2/ω2n)
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
|µ|dB = 20 log10 |µ| arg(µ) ={
0 se µ > 0−π se µ < 0∣∣∣∣ 1(iω)g
∣∣∣∣dB
= −20g log10 ω arg(
1
(iω)g
)= −g π
2
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
∣∣∣∣ 11 + iωT∣∣∣∣dB
=
{0 se ω � 1/|T |−20 log10 ω − 20 log10 |T | se ω � 1/|T |
arg
(1
1 + iωT
)=
{0 se ω � 1/|T |−π2 sign(T ) se ω � 1/|T |
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
∣∣∣∣ 11 + 2ξiω/ωn − ω2/ω2n∣∣∣∣dB
=
{0 se ω � ωn−40 log10 ωωn se ω � ωn
arg
(1
1 + 2ξiω/ωn − ω2/ω2n
)=
{0 se ω � ωn−π sign(ξ) se ω � ωn
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Banda passante {1√2≤ |G(jω)||G(j0)| ≤
√2 ω ≤ ω̄
|G(jω)||G(j0)| ≤
1√2
ω > ω̄
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Pulsazione critica ωC : |G (jωC )| = 1
−150
−100
−50
0
50
Mag
nitu
de (d
B)
10−3 10−2 10−1 100 101 102−270
−180
−90
0
Pha
se (d
eg)
Bode DiagramGm = 15.9 dB (at 3.05 rad/sec) , Pm = 91.7 deg (at 0.497 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
Margine di fase φm: φm = π + ∠(G (jωC ))
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Pulsazione di attraversamento ωπ: ∠G (jωπ) = −πMargine di guadagno.
k : m =1
|G (jωπ)|
−150
−100
−50
0
50
Mag
nitu
de (d
B)
10−3 10−2 10−1 100 101 102−270
−180
−90
0
Pha
se (d
eg)
Bode DiagramGm = 15.9 dB (at 3.05 rad/sec) , Pm = 91.7 deg (at 0.497 rad/sec)
Frequency (rad/sec)
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Carroponte
W (s) =0.1
s
1 + 2 · 1.61(10−16) (s/0.99) + (s/0.99)2
(19.96s + 1)(1 + 2 · 1.78(10−2) (s/1.40) + (s/1.40)2
)
−200
−150
−100
−50
0
50From: Input Point To: Output Point
Mag
nitu
de (d
B)
10−3 10−2 10−1 100 101−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Il modello2 lineare permette di valutare il comportamento delsistema
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25nonlinearelineare 0.1+0.1u
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200−0.35
−0.3
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0nonlinearelineare−.15+.15u
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Quando viene chiusa la retroazione il comportamento cambia
C(s)
H(s)
r +y
P(s)−
P(s)= funzione di trasferimento del processo (modello delprocesso)
C (s)=funzione di trasferimento del controllore (realizzata daappositi dispositivi, vedi parte Prof. Vitturi su PLC)
H(s)=funzione di trasferimento del trasduttore (posta pari a 1nel seguito)
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
C(s)
H(s)
r +y
P(s)−
L’effettivo comportamento I/O é dettato da L(s) = C (s)P(s):
Wry (s) =C (s)P(s)
1 + C (s)P(s)
passaggio da stabilitá a instabilitá (e viceversa);
tempi di risposta del sistema ad anello chiuso;
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Modifica dei margini di stabilitá
P(s) =10
(s/3)2 + 2 · 0.5 · s/3 + 1, C (s) =
10s + 1
s
−50
0
50
100
Mag
nitu
de (d
B)
10−3 10−2 10−1 100 101 102−180
−135
−90
−45
0
Pha
se (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Margini piccoli o negativi =⇒ sistema prossimo all’instabilitá oinstabile
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Segnali canonici e trasformata di LaplaceFunzione di trasferimento e risposta in frequenzaRetroazione: stabilità e margini
Tempi di risposta: dipendono dalla banda passante ω̄W diW (s) (si pensi alla banda passante di un sistema del primoordine)
ω̄W dipende dalla pulsazione critica ωLC di L(s)
Modifica dei tempi di risposta ottenuta mediante opportunascelta di ωLCPer il sistema ad anello chiuso vale
ω̄W ' ωLC
Banda ad anello aperto non aumentabile a piacere per
realizzabilitá componentistabilitá in presenza incertezzedisturbi presenti nel sistema
compromesso tra banda/stabilitá/realizzabilitá/disturbi
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Funzioni principali
funzioni di controllo (PID o relay)
interfaccia verso processo
interfaccia operatore
allarmi
Funzioni ausiliarie
interfaccia comunicazione con supervisore
funzioni di programmazione
ripartenza dopo mancata alimentazione
autodiagnosi
back-up malfunzionamenti
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Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
efficacia regolazione ampia gamma processi industriali(specifiche non stringenti)
relativa facilita’ di taratura (utenti/compito))
importanza e convenzienza standardizzazione (utilizzo,robustezza, affidabilita’, costi, produzione e manutenzione,scorte)
prestazioni scadenti causa sensori e attuatori (rumore, filtri,calibrazione, isteresi, attriti statici)
utilizzo in strutture di controllo piu’ complesse
eccessivo sforzo per conoscenza approfondita del modello
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Approccio generale
considerazioni di tipo statico
scarsa valutazione aspetti dinamici, solo nella fase finale
sistemi gia’ in funzionamento/migliorie
rapporto tempi/costi.
SoluzioneEsperimenti post installazione per identificazione parametri fon-damentali (guadagno, costante di tempo dominante, ritardoequivalente) e correzione guadagni.
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Progetto integrato
Parametri del processo e del regolatore tenuti in conto dall’inizio.Utilizzabile per processi in cui il transitorio o gli aspetti dinamici(vedi risposta in frequenza) sono parte rilevante del processo
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Regolatore Processo
d ny u x ysp
Regolatore (controllore) rappresentato da C (s), processo da G (s).
ysp(t) = segnale di riferimento o setpoint. In generale,ysp(t) = Yspδ−1(t);
d(t) = disturbo di carico, in bassa frequenza. In generaled(t) = Dδ−1(t);
n(t) = disturbo (o rumore) a alta frequenza (es: misuaralivello).
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Nel controllo di processo, nel 1995 il 95% dei controllori erano PID(Äström e Hägglund, PID controllers, Theory design and tuning).Motivazioni: specifiche non particolarmenti stringenti
relay: sistemi del primo ordine con dinamica lenta (regolazionetemperatura, livello)
P: processi integrali (regolazione livello) se si accetta errore diregime permanente
PI: processi del primo ordine (e ritardo) privi di azioneintegrale (puramente algebrici come regolazione valvola)
PID: processi con dinamica del secondo ordine (reale ocomplessa smorzata).
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Controllo a relay (on-off)
Funzionamento on-off (basso consumo);
Utilizzato per processi con dinamica lenta;
In generale e’ presente isteresi �;
A tre valori [um, 0, uM ] per pilotare motori elettrici perservovalvole;
Cicli limite: metodo funzione descrittiva. Cicli dipendono daum, uM e �.
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Azione proporzionale
u(t) = KCe(t),U(s)
E (s)= KC
effetto principale: allargamento banda senza sfasare;
riduzione margine guadagno e fase;
lega l’errore e all’ingresso secondo il guadagno proporzionaleKC ;
In letteratura, banda proporzionale PB = 100/KC ;
L’errore di regime permanente eP∞ ai (soli) gradini su ysp e de’ non nullo. Detto KP = G (0), si ha
eP∞ =1
1 + KCKPYsp −
KP1 + KCKP
D
eP∞ = 0 se u(t) = KCe(t) + U. U = reset;
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Azione integrale
u(t) =KCTI
∫ t0
e(τ)dτ + u(0),U(s)
E (s)=
KCTI
1
s
effetto principale: errore di regime permanente nullo;
riduzione margine di fase;
effetto combinato di PI:
C (s) =KCTI
1 + sTIs
u(0) da assegnare nella commutazione manuale/automaticoper evitare salti (bumpless transfer).
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Azione derivativa
u(t) = KCTDd
dte(t),
U(s)
E (s)= KCTDs
amplifica segnali a alta frequenza =⇒ usura attuatori;associata a un passabasso:
C (s) =KCTDs
1 + sTD/N, N ' 5÷ 10
utilizzata sempre congiuntamente a altre azioni.
dal punto di vista meccanico (prendere con cautela), e’assimibilabile all’azione dell’attrito.
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Forma ISA
PID(s) = KC
(bYsp − Y +
1
sTIE +
sTD1 + sTd/N
(cYsp − Y ))
Gff =U
Ysp= KC
(b +
1
sTI+
sTD1 + sTd/N
c
)Gfb = KC
(1 +
1
sTI+
sTD1 + sTd/N
)b e c variano tra 0 e 1 (c o 0 o 1)
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
G (s)ff
yspProcesso
d n
u x y
G (s)fb
−
Scelta di b e c permette variazione zeri della funzione ditrasferimento ad anello chiuso.
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Livelli e modelli di processoStrumenti per l’analisiRegolatori industriali
Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Sistemi con risposta non oscillante
Metodo della tangente
Ga(s) =µ
1 + Tse−τs (1)
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
τ T+τ
−yτ/T
y
−
−
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Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
−0.4
−0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
τ
−τ/TT+τ
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Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Metodo delle areeL’area compresa tra l’asintoto della curva e la risposta al gradino di(1) e’ data da
S1 = µūτ +
∫ ∞τ
e−t−τT dt = µū(τ + T ) = ȳ(τ + T )
L’integrale della risposta di (1) tra t = 0 e t = T + τ e’ dato da
S2 =
∫ T0
µū(1− e−tT )dt =
µūT
e=
ȳT
e
e dunque
T =eS2ȳ
E’ consigliabile rispetto alla tangente per segnali“rumorosi”
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Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Primo metodo di Ziegler e Nichols (anello aperto)
G (s) =KP
1 + sTe−sτ
R =KPT
KC TI TDP 1/ (Rτ)
PI 0.9/ (Rτ) 3τ
PID 1.2/ (Rτ) 2τ 0.5τ
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Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Seconod metodo di Ziegler e Nichols (anello chiuso orisposta frequenza)
si inserisce solo azione proporzionale KC ;
si aumenta guadagno fino a innescare oscillazione che hapulsazione ω̄ = ωπ (ωπ=plsazione di attraversamento). SiaKu il valore del guadagno;
il periodo dell’oscillazione e’ T̄ = 2πω̄ .
KC TI TDP 0.5KuPI 0.45Ku T̄/1.2
PID 0.6Ku T̄/2 T̄/0.8
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Funzioni e ragioni successoLeggi di controlloProcessi target del primo e secondo ordine
Sistemi con risposta oscillante
Sistema approssimante del 2o ordine
Ga(s) =µω2n
s2 + 2ξωn + ω2nMax sovraelongazione percentuale S% per t = TM
TM =π
ωn√
1− ξ2S% = 100e
− ξπ√1−ξ2
η =
∣∣∣∣ ln 0.01S%π∣∣∣∣ = ξ√
1− ξ2
ξ =η√
1 + η2
ωn =π√
1 + η2
TM
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