FIS-433-1Átomo de Hidrógeno
Modelo de Modelo de BohrBohr (1913)(1913)
Hipótesis del modelo de Bohr:
1.- Un electrón en un átomo puede moverse alrededor del núcleo en ciertas orbitasestables circulares sin emitir radiación.(Estados Estacionarios de Bohr)
2.- Existe una energía definida asociada a cada órbita estable (nivel de energía) y un átomo irradia Sólo cuando un electrón efectúa una transición de una órbita a otra.
En este modelo “planetario” sustestando por la hipótesis de Bohr, la magnitud del momento angular del electrón esta cuantizadoy debe ser un múltiplo entero de h/2π
Fr
m, -e
nvr
nr
rvmL rrr×=
,...3,2,1 ,2
=== nnhnL hπ
π2hnrmv nn =
m, -e
nvr
nr
rreFn
ˆ4
12
2
0πε−=
r
n
n
n rmv
re 2
2
2
041
=πε
π2hnrmv nn =
Al resolver las ecuaciones anteriores y despejar rn y vn
22
2
0 nmehrn π
ε=
Radio de la Orbita en el Modelo de Bohr
nhevn 2
1 2
0ε=
Velocidades Orbitales en el Modelo de Bohr
n
rn
El radio de la órbita más pequeña se obtiene para n=1, a este radio minimo se le llamaRadio de Bohr. (a0)
( )( )( )( )( )ma
CkgJsNmC
meha
100
21931
234212
2
2
00
10*529,010*602.110*109.91416.3
10*626.6/10*854.8
−
−−
−−
=
==π
ε0
2anrn =smv /10*19.2 6
1 =
Niveles de Energía
.4
14
1
,8
121
22
4
20
2
0
22
4
20
2
hnme
reU
hnmemvK
nn
nn
επε
ε
−=−=
==
22
4
20 81
nhmeUKE nnn ε
−=+=
2nhcREi −=Comparamos con
chmeR
320
4
8ε=
Usando ondas de De Broglie
λπ nr =2
mvhnr =π2
amrr=F
22
4mv
rze
o
=πε
ryv
cc
zen
v ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
h0
2
41
πε⎟⎠⎞
⎜⎝⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛= 2
02
2 4ze
cmc
cnr hh πε
Constante de estructura fina
1371
4
2
≈≡c
e
ohπεα
2
2 y
mcc
rncv
c
c
hD
D
=
=α
α
Por lo tanto la energíar
ZeEKE P0
2
8πε−=+=
2
222
2
2
)(6.132 n
ZeVmcnZEn −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=
α
A pesar de los grandes aciertos del modelo de Bohr, tenemos aún una serie de problemas
•No explica que pasa con la introducción de un átomo con más de un electrón• No explica la formación de moléculas (como se ligan los átomos)•No explica las tasas de transición entre niveles•Es válido solo para átomo con un electrón (átomo tipo hidrogenoide)
Entonces a través de la mecánica cuántica vía la ecuación de Schrödingerm, -e
nvr
nr)()()()(
2 2
2
2
2
2
22
rErrVrzyxm
rrrrhΨ=Ψ+Ψ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
+∂∂
−
Como el potencial tiene simetría esférica, usamos coordenadas esfericas
2
2
2222
22
sin1sin
sin11
φθθθ
θθ ∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
≡∇rrr
rrr
Átomo de Hidrogeno en Mecánica Cuántica
Coordenadas Coordenadas Esféricas Esféricas PolaresPolares
Es la distancia entre dos Es la distancia entre dos puntos cercanospuntos cercanos
Operador de Laplace en esféricas
Entonces la ecuación de Schördinger a resolver
),,(),,(4
),,(sin1),,(sin
sin1),,(1
2 0
2
2
2
2222
2
2
φθψφθψπεφ
φθψθθ
φθψθθθ
φθψ rErr
err
rrr
rrrrm
rrrrr
h=−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
−
Vamos a usar la separación de variables
),()(),,( φθφθψ YrRr rr=
),()(2),()(42),(
sin)(),(sin
sin)()(),( 2
220
2
2
2
22 φθφθ
πεφφθ
θθφθθ
θθφθ YrRErmYrRrmeYrRYrR
rrRr
rY r
h
r
h
rrr
−=+∂
∂+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
ordenando
0),(sin
1),(sinsin
1),(
14
2)()(
12
2
22
0
2
22 =⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∂
∂+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
φφθ
θθφθθ
θθφθπεYY
YrE
rem
drrdRr
drd
rR h
r
r
)(rf r
),( φθg
)1()( +== llcterf r )1(),( +−= llg φθ
Así el resolver la ecuación de Así el resolver la ecuación de SchrödingerSchrödinger para el átomo de Hidrogenopara el átomo de Hidrogenose ha reducido a dos ecuaciones diferenciales de segundo ordense ha reducido a dos ecuaciones diferenciales de segundo orden
0)()1()(4
2)( 2
0
2
22 =++⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ rRllrRrE
rem
drrdRr
drd rr
h
r
πε
0),()1(),(sin
1),(sinsin
12
2
2 =++∂
∂+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
∂∂ φθ
φφθ
θθφθθ
θθYllYY
Ecuación Radial
Ecuación Angular
Sigamos con la separación de variable en las ecuaciones y fijemos nuestra atención ahora en la ecuación angular
)()(),( φθφθ LPY =
)()1(sin)(sinsin 22 θθθθθ
θθ Pmll
ddP
dd
=++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
)()( 22
2
φφφ Lm
dLd
−= φφ imoeLL ±=)(
Función de onda Univaluada )()2( φπφ LL =+ Ζ∈m
Ecuación P(θ) tiene solución definida en los polos si
1.- entero no negativo.
2.-
llm ≤
En este caso )(cos)( θθ lPP → Polinomios de Legandre
Luego
φθφθφθ iml
ml ePYY )(cos),(),( =→
con
llllml
,1,...0,...,1,,...3,2,1,0
−+−−==
Armónicos Esféricos
Ejemplos
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=−=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±
==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±
==
==
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ±
==
=
±
±±
±±
2
22220
2
21
2
2222
2
01
11
00
2815)1cos3(
165
815sincos
815
3215sin
3215
43cos
43
83sin
83
41
ryxzY
zr
iyxeY
riyxeY
rzY
riyxeY
Y
i
i
i
πθ
π
πθθ
π
πθ
π
πθ
π
πθ
π
π
φ
φ
φ
mm
m
m