FILTER GABOR

1. FILTER GABOR 1-D

FILTER GABOR terdiri dari perkalian antara fungsi Gauss Eliptik dengan fungsi

sinus. Fungsi dasar Filter Gabor 1-D dapat didefinisikan sebagai hasil dari getaran dari

bentuk fungsi probabilitas dengan osilasi harmonik dari setiap frekuensi :

ℎ(𝑡) = 𝑒−𝛼2(𝑡−𝑡0)𝑒𝑖2𝜋𝑓0𝑡+𝜙

Dimana 𝛼 adalah durasi waktu dan bandwidth dari Gaussian envelope, 𝑡0

menunjukkan pusat bidang, 𝑓0 merupakan frekuensi dari sinusoidal, dan 𝜙 menunjukkan

fase geser. Sedangkan transformasi Fourier 1-D dari persamaan dasar Filter Gabor adalah :

𝐺(𝑓) = √𝜋

𝛼2𝑒

−(𝜋

𝛼2)2

(𝑓−𝑓0)𝑒𝑖2𝜋(𝑓−𝑓0)+𝜙

Persamaan dasar Filter Gabor 1-D dipusatkan di dekat 𝑡0 dan karena pada

konvolusi dengan filter di pusat lebih dianjurkan, maka dibuat 𝑡0=0 dan 𝜙=0. Maka

diperoleh bentuk persamaan dasar Filter Gabor :

ℎ(𝑡) = 𝑒−𝛼2𝑡2𝑒𝑖2𝜋𝑓0𝑡

Fungsi tersebut lebih sering disebit sebagai filter kompleks linier. Dengan

demikian dapat dihitung respon filter 1-D dari fungsi 𝜉 pada setiap lokasi 𝑡1 dengan

konvolusi adalah sebagai berikut :

Agar filter pada frekuensi yang berbeda merupakan versi skala dari satu dengan

yang lainnya maka durasi waktu dari filter dihubungkan dengan frekuensi pusat sebagai

berikut :

𝛼 =|𝑓0|

𝛾

Dimana 𝑓0 merupakan frekuensi pusat dari filter dan 𝛾 mengontrol efektifitas

lebar dari filter. Lalu substitusikan persamaan (4) ke persamaan (2) sehingga diperoleh :

(1)

(2)

𝑟(𝑡1) = 𝑔(𝑡1)⨂ 𝜉(𝑡1)

= ∫ 𝑔(𝑡1 − 𝑡)⨂ 𝜉(𝑡)𝑑𝑡

= ∫ 𝑒−𝛼2(𝑡1−𝑡)2𝑒𝑖2𝜋𝑓0(𝑡1−𝑡)) 𝜉(𝑡)𝑑𝑡

= 𝑒𝑖2𝜋𝑓0𝑡1 ∫ 𝑒−𝛼2(𝑡1−𝑡)2𝜉(𝑡)𝑒𝑖2𝜋𝑓0𝑡) 𝑑𝑡 (4)

(5)

(6)

(3)

ℎ(𝑡) = 𝑒−(

|𝑓0|𝛾

)2

𝑡2

𝑒𝑖2𝜋𝑓0𝑡

Dari persamaan (2) dapat dilihat bahwa respon awal filter terjadi saat f = 𝑓0,

dengan 𝑚𝑎𝑥𝑥|𝐺(𝑓)| = √𝜋

𝛼2. Maka √𝛼2

𝜋 dapat digunakan sebagai faktor normalisasi pada

difinisi dari Filter Gabor. Sehingga normalisasi dari Filter Gabor 1-D didefinisikan sebagai

(Berisha, 2009)

ℎ(𝑡) = √𝛼2

𝜋 𝑒

−(|𝑓0|

𝛾)

2

𝑡2

𝑒𝑖2𝜋𝑓0𝑡 =|𝑓0|

𝛾√𝜋 𝑒

−(|𝑓0|

𝛾)

2

𝑡2

𝑒𝑖2𝜋𝑓0𝑡

2. FILTER GABOR 2-D

Normalisasi Filter Gabor 1-D pada persamaan (7) dapat digeneralisasi ke dimensi

dua. Pada bentuk 2-D variabel waktu t diubah dengan koordinat spasial (x,y) pada domain

spasial dan variable frekuensi f diubah dengan variabel frekuensi (u,v) pada domain

frekuensi. Filter Gabor 2-D sering dipakai dalam pengolahan citra, terlebih pada ekstraksi

firut dan analisis tekstur. Fungsi Filter Gabor 2-D didefinisikan sbagai :

ℎ(𝑥, 𝑦) = ℎ(𝑥, 𝑦; 𝑓0, 𝜃) = 𝑒−(𝛼2𝑥𝑝2+𝛽2𝑦𝑝

2)𝑒𝑖2𝜋𝑓0𝑥𝑝

Dimana :

𝜃 merupakan sudut rotasi dari sumbu utama Gaussian dan bidang gelombang (sinusoidal).

Seperti sebelumnya, substitusi 𝛼 =|𝑓0|

𝛾 dan𝛽 =

|𝑓0|

𝜂 agar filter pada frekuensi yang berbeda

merupakan versi skala dari yang lain. Sehingga 𝛾 dan 𝜂 mengontrol bandwith dari filter

sepanjang sumbu x dan y secara berurutan. Sedangkan normalisasi dari Filter Gabor 2-D

ℎ(𝑥, 𝑦) =|𝑓0|

𝜋𝛾𝜂 𝑒

−(𝑓0

2

𝛾2 𝑥𝑝2+

𝑓02

𝜂2 𝑦𝑝2)

𝑒𝑖2𝜋𝑓0𝑡𝑥𝑝

Bentuk lain dari persamaan Filter Gabor 2-D adalah :

ℎ(𝑥, 𝑦) =1

2𝜋𝜎𝑥𝜎𝑦𝑒

−12

(𝑥2

𝜎𝑥2+

𝑦2

𝜎𝑦2)

𝑒𝑗2𝜋𝐹𝑥

Dengan :

(7)

(8)

𝑥𝑝 = 𝑥 cos 𝜃 + 𝑦 sin 𝜃

𝑦𝑝 = −𝑥 sin 𝜃 + 𝑦 cos 𝜃 (9)

(10)

(11)

𝜎𝑥 =√ln 2 (2𝐵𝑓 + 1)

√2𝜋𝐹(2𝐵𝑓 − 1)

Dimana frekuensi (F) merupakan frekuensi tengah dengan nilai 𝐹 =√2

2𝑛 dan orientasi (𝜃)

mendefinisikan orientasi pusat filter, 𝐵𝑓 dan 𝐵𝜃 menyatakan konstanta lebar bandwidth dan

jangkauan angular filter. Variabel 𝜎𝑥 menyatakan respon sebesar -6 dB komponen frekuensi

spasial dan 𝜎𝑦 berkaitan dengan respon sebesar -6 dB untuk komponen angular. Posisi (F,

𝜃) dan lebar gelombang (𝜎𝑥, 𝜎𝑦) dan filter gabor dalam domain frekuensi harus ditetapkan

dengan teliti agar dapat menagkap informasi tekstur yang benar. Frekuensi tengah dari filter

harus terletak dekat dengan frekuensi karakteristik teksrtur. (Praktikum Pengolahan Citra

Biomedika, n.d.)

Source Code Filter Gabor :

function [mag]=gb(img,p,n) %img (gambar), p(pangkat) dari 2 (F), for m=1:p for n=1:n %Gabor filter membutuhkan 6 parameter yaitu F, tetha, sigma x, sigma

y,Bf, %dan Btetha %Frekuensi (p) dan orientasi (tetha) menjadi input tetha=(0.1667*pi)*n; F=sqrt(2)/2^p; %Mencari sigma y fx=F; z=(0.1667*pi)/2; %Btetha/2 num=sqrt(log(2)); %persamaan pada bagian pembilang sigma y denum=sqrt(2)*pi*F*tan(z); %persamaan pada bagian penyebut sigma y sigmay=num/denum;

%Mencari sigma x Bf=1; %Bf nom=sqrt(log(2))*(2^Bf+1); %persamaan pada bagian pembilang sigma x denom=sqrt(2)*pi*F*(2^Bf-1); %persamaan pada bagian penyebut sigma x sigmax=nom/denom;

%Mencari fungsi h(x,y) Gabor filter [x,y]=meshgrid(-3:1:3, -3:1:3); %ukuran filter x=round(x); %bulatkan nilai x

𝜎𝑦 =√ln 2

√2𝜋𝐹 tan (𝐵𝜃

2 )

(12)

y=round(y); %bulatkan nilai y xx=x.*cos(tetha)+y.*sin(tetha); %koordinat kutub x yy=-x.*sin(tetha)+y.*cos(tetha);%koordinat kutub y

hx=(1/(2*pi*sigmax*sigmay))*exp(-

0.5*((xx.^2/sigmax^2)+(yy.^2/sigmay^2)));

jx=cos(2*pi*fx*xx); hc=hx.*jx; %Bentuk Real

kx=sin(2*pi*fx*xx); hs=hx.*kx; %Bentuk imejiner

im_real=conv2(double(img),hc,'same'); %Konvolusi dengan bentuk real im_imag=conv2(double(img),hs,'same'); %Konvolusi dengan bentuk imajiner

mag=sqrt((im_real.^2)+(im_imag.^2)); %magnitude mag=abs(mag)/(max(max(mag)));

figure, imshow(mag); end end

Hasil Program

>> img = imread('J13.tif');

>> G = gb(img,3,2);

Daftar Pustaka :

Berisha, S. (2009). IMAGE CLASSIFICATION USING GABOR FILTERS AND A Thesis

Submitted to the Graduate Faculty of. Wake Forest University.

Praktikum Pengolahan Citra Biomedika. (n.d.).