Clasa a XI-a ANALIZA - 1
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Fie functia REf : , unde E interval sau reuniune de intervale .
Definitie ppuunncctt ddee mmaaxxiimm llooccaall :
- Un punct Ea se numeste punct de maxim local al functiei f daca exista o vecinatate
V a lui a , in care functia are valori mai mici decat in a , adica :
afxf , EVx .
- Daca a este un punct de maxim local al lui f , atunci numarul af se numeste mmaaxxiimm al
lui f , iar punctul afa, de pe grafic se numeste punct de maxim local al graficului .
Definitie ppuunncctt ddee mmiinniimm llooccaall :
- Un punct Eb se numeste punct de minim local al functiei f daca exista o vecinatate
V a lui b , in care functia are valori mai mari decat in b , adica :
xfbf , EVx .
- Daca b este un punct de minim local al lui f , atunci numarul bf se numeste mmiinniimm al
lui f , iar punctul bfb, de pe grafic se numeste punct de minim local al graficului .
Definitie eexxttrreemmee llooccaallee aallee ffuunnccttiieeii :
- Un punct de minim local sau maxim local pentru o functie f se numeste ppuunncctt ddee
eexxttrreemm llooccaall al functiei .
- Valorile functiei in punctele sale de extrem , maximele si minimele functiei se numesc
eexxttrreemmeellee llooccaallee aallee ffuunnccttiieeii .
Clasa a XI-a ANALIZA - 2
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
- Punctele de maxim si de minim local ale graficului se numesc ppuunnccttee ddee eexxttrreemm llooccaall ale
graficului .
Definitie ppuunncctt ddee mmaaxxiimm aabbssoolluutt :
- Un punct Ex 0 se numeste punct de maxim absolut al functiei f daca :
xfxf 0 , Ex .
- Observatii : 1). Sa remarcam ca Ex 0 este punct de maxim absolut pentru f daca
valorile functiei pe domeniul de definitie sunt cel mult egale cu valoarea functiei in x0 .
2). Evident , orice punct de maxim absolut este si punct de maxim local dar ,
in general , nu si reciproc .
3). O functie poate avea mai multe puncte de maxim absolut .
Definitie ppuunncctt ddee mmiinniimm aabbssoolluutt :
- Un punct Ex 0 se numeste punct de minim absolut al functiei f daca :
xfxf 0 , Ex .
- Observatii : 1). Sa remarcam ca Ex 0 este punct de minim absolut pentru f daca
valorile functiei pe domeniul de definitie sunt cel putin egale cu valoarea functiei in x0 .
2). Orice punct de minim absolut este si punct de minim local ,dar , in
general , nu si reciproc .
3). O functie poate avea mai multe puncte de minim absolut .
Definitie ppuunncctt ddee mmiinniimm aabbssoolluutt :
- Un punct de maxim absolut sau de minim absolut se numeste punct de extrem absolut .
Clasa a XI-a ANALIZA - 3
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Un rezultat remarcabil pentru o functie derivabila intr-un punct de
extrem este formulat in :
Teorema lui FFEERRMMAATT :
- Fie REf : , E un interval iar x0 un punct de extrem din interiorul intervalului ;
- Daca functia f este derivabila in x0 , atunci 00
'xf .
Observatie :
- Din 00
'xf ,rezulta ca tangenta la grafic in punctul xfx 00 , este paralela cu axa Ox
- Teorema lui FERMAT spune ca : graficul unei functii derivabile are tangenta paralela cu
axa Ox in punctele sale de extrem ( demaxim sau de minim ) care nu coincid cu extremitatile
graficului .
Observatii ce decurg din FFEERRMMAATT:
1). Teorema lui FERMAT are un caracter local , vizand comportarea functiei in vecinatatea
uni punct fixat .
2). Daca punctul Ex 0 n-ar fi din interiorul intervalului , atunci concluzia teoremei lui
Fermat nu mai este adevarata .
3). Reciproca teoremei lui Fermat , in general , nu este adevarata , adica derivata unei functii
se poate anula intr-un punct , fara ca acesta sa fie punct de extrem .
4). Un punct Ex 0 poate fi punct de extrem pentru f fara sa existe xf 0
' .
Definitie ppuunnccttee ccrriittiiccee :
- Daca REf : este o functie derivabila pe un interval deschis E , atunci zerourile
derivatei f' sunt numite puncte critice ale lui f pe E .
- Puncte critice sunt solutiile ecuatiei 00
'xf .
Clasa a XI-a ANALIZA - 4
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Consecinta aa tteeoorreemmeeii lluuii FFEERRMMAATT :
- Teorema lui FERMAT afirma ca punctele de extrem local ale unei functii derivabila f
sunt printre punctele critice , adica punctele de extrem local ale lui f sunt printre solutiile ecuatiei :
00
'xf
Important ddeetteerrmmiinnaarreeaa ppuunncctteelloorr ddee eexxttrreemm :
- In practica , pentru determinarea punctelor de extrem ale unei functii f derivabile pe un
interval deschis sau pe o reuniune de intervale deschise , se procedeaza astfel :
1). Se rezolva mai intai ecuatia 00
'xf , afland puncetele critice ;
2). Punctele de extrem se afla , conform teoremei lui Fermat , printre punctele critice .
3). Stabilim care dintre punctele critice sunt si puncte de extrem astfel :
i). determinam semnul functiei xf 0
'
sau :
ii). Daca x0 este punct critic pt. functia f , si functia f este de doua derivabila in
punctul x0 astfel incat 00
'xf si 00
''xf .
Atunci : - daca 00
''xf maxim depunct 0 x ;
- daca 00
''xf minim depunct 0 x
4). Daca 00
''
0
' xfxf si 00
'"xf atunci punctul x0 nu este punct de
extrem pentru functia f .
Clasa a XI-a ANALIZA - 5
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Definitie ffuunnccttiiee RROOLLLLEE :
- Fie functia Rbaf ;: , ba ;
- Daca : 1). f este continua pe intervalul inchis ba; ;
2). f este derivabila pe intervalul deschis ba; .
Atunci functia f este o functie ROLLE .
Teorema lluuii RROOLLLLEE :
- Fie functia Rbaf ;: , ba , o functie Rolle ;
- functia f are valori egale la capetele intervalului , bfaf ;
Atunci exista cel putin un punct bac ; astfel incat 0'
cf .
Corolar :
- Fie functia Rbaf ;: , ba , o functie Rolle ;
- Daca 0 bfaf , ( ba, sunt radacini pentru f )
Atunci exista cel putin un punct bac ; astfel incat 0'
cf .
Interpretarea geometrica RROOLLLLEE:
- Teorema lui Rolle are o interpretare geometrica simpla .
- Din 0'
cf rezulta ca tangenta la graficul functiei f in punctul cfc, este paralela
cu axa Ox .
- Concluzie : Daca cerintele teoremei lui Rolle sunt indeplinite , atunci pe graficul functiei f
exista cel putin un punct cfc, in care tangenta este paralela cu axa Ox .
Clasa a XI-a ANALIZA - 6
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Observatii :
1). Teorema lui Rolle este o teorema de existenta .
2). Toate cele trei cerinte din teorema lui Rolle sunt esentiale pentru ca teorema sa fie adevarata
Daca una din cele trei ipoteze nu se verifica , atunci concluzia teoremei nu mai are loc .
3). Nu trebuie sa traga concluzia ca derivata unei functii nu se anuleaza in nici un punct daca
acea functie nu satisface una din conditiile teoremei lui Rolle .
Clasa a XI-a ANALIZA - 7
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
O aplicatie importanta a teoremei lui Rolle o reprezinta sirul lui Rolle asociat
unei ecuatii de forma 0xf , unde f functie derivabila , cu ajutorul caruia se poate determina
numarul radacinilor reale ale ecuatiei precum si intervalele in care aceste radacini sunt situate .
Lema :
- Fie REf : o functie derivabila pe un interval E ;
- Intre doua radacini , zerouri , consecutive ale derivatei f' se afla cel mult o radacina a
ecuatiei 0xf .
- Zerourile derivatei separa zerourile functiei .
Teorema ssiirruull lluuii RROOLLLLEE :
- Fie REf : o functie derivabila pe un interval E ;
- Daca Exx 21 , , xx 21 sunt doua radacini consecutive ale lui f' , adica :
02
'
1
' xfxf si intre x1 si x2 nu exista alte radacini ale lui f
'
- Atunci in intervalul xx 21 , exista cel mult o radacina a ecuatiei 0xf .
Etapele formarii ssiirruulluuii lluuii RROOLLLLEE :
I. Se fixeaza intervalul de studiu E al ecuatiei 0xf , functia REf : fiind
presupusa derivabila .
II. Se rezolva ecuatia 0'
xf si se considera radacinile reale ale acestei ecuatii , situate in
E , in ordine crescatoare xxxx Mm
''
2
'
1
' ... ... .
III. Se calculeaza valorile functiei f in aceste puncte , la care se adauga limitele lui f , notate
si , la capetele din stanga si respectiv din dreapta ale intervalului E . Se obtine un sir de valori
asociat functiei f , sau echivalent functiei ecuatiei 0xf , anume :
Clasa a XI-a ANALIZA - 8
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
,,.....,,,.....,, ''
2
'
1
'xfxfxfxf Mm
IV. Sirul lui Rolle este sirul semnelor acestor valori ( poate figura si valoarea zero ) .
V. Se refera la concluziile privind numarul de radacini reale ale ecuatiei si intervalele in care
acestea sunt plasate .
Distingem urmatoarele cazuri :
1). Daca in sirul lui Rolle apar doua semne alaturate identice , adica pentru :
xx'
2
'
1 sa avem fie 0, '
2
'
1 xfxf , fie 0, '
2
'
1 xfxf
atunci in intervalul xx'
2
'
1, nu exista radacini reale ale ecuatiei 0xf .
2). Daca in sirul lui Rolle apar doua semne alaturate diferite , de exemplu :
0'
1 xf , 0'
2 xf
atunci conform definitiei si proprietatii lui Darboux pe care o au functiile continue , exista cel mult si
respectiv cel putin o radacina in intervalul xx'
2
'
1, , adica ecuatia 0xf are excat o radacina in
intervalul xx'
2
'
1, .
3). Daca in sirul lui Rolle apare zero , de exemplu 0' xf k , atunci xk
' este radacina
multipla a ecuatiei 0xf , iar in intervalele xx kk
''
1 , , xx kk
'
1
' , ecuatia nu mai are radacini .
Concluzia ssiirruulluuii lluuii RROOLLLLEE :
Numarand schimbarile de semn si zerourile se determina numarul de radacini reale , fara a
determina ordinele de multiplicitate ale acestora , ale ecuatiei considerate si intervalel in care sunt
situate aceste radacini .
Clasa a XI-a ANALIZA - 9
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Aceasta teorema este o generalizare simpla a toremei lui Rolle in care functia f nu mai ia valori egale la capetele ba , ale intervalului considerat .
Mai precis are loc urmatoarea teorema :
Teorema lluuii LLAAGGRRAANNGGEE :
- Fie functia Rbaf ;: , ba , o functie Rolle ;
- Atunci exista un punct c din intevalul deschis ba , , bac , pentru care :
cfabafbf'
Observatie :
- Teorema lui LAGRANGE se numeste prima teorema a cresterilor finite sau prima
teorema de medie .
Consecinta 1 aa tteeoorreemmeeii lluuii LLaaggrraannggee :
Daca o functie are derivata nula pe un interval , atunci ea este constanta pe acest interval .
Consecinta 2 aa tteeoorreemmeeii lluuii LLaaggrraannggee :
Daca doua functii au derivatele egale pe un interval , atunci ele difera printr-o constanta pe
acel interval .
Clasa a XI-a ANALIZA - 10
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Un alt rezultat important pentru o functie derivabila pe un interval este furnizat de
semnul derivatei .
Aceasta va fi uitilizat pentru determinarea intervalelor de monotonie .
Mai precis are loc urmatorul :
Corolar :
- Fie REf : , E interval , o functie derivabila .
Daca :
1). 0'
xf , Ex , atunci f este crescatoare pe E ;
2). 0'
xf , Ex , atunci f este descrescatoare pe E ;
sau :
1’). Daca 0'
xf , Ex , atunci f este strict crescatoare pe E ;
2’). Daca 0'
xf , Ex , atunci f este strict descrescatoare pe E .
Determinarea iinntteerrvvaalleelloorr ddee mmoonnoottoonniiee :
Pentru a determina intervalele de monotonie ale unei functii derivabile REf : , E
nu neaparat interval din R se procedeaza astfel :
a). se calculeaza derivata f' a functiei f ;
b). se rezolva , in R , ecuatia 0'
xf , Ex , aflandu-se punctele critice ;
c). se determina intervalele in care f' pastreaza acelasi semn ;
d). tinand seama de corolarul de mai sus se stabilesc intervalele de monotonie .
Observatie :
- Utilizand monotonia unei functii , putem stabili punctele de minim sau maxim local pentru
o functie derivabila .
Clasa a XI-a ANALIZA - 11
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
A patra consecinta a teoremei lui LAGRANGE este derivata unei functii
intr-un punct .
Urmatorul rezultat este important pentru ca permite sa decidem daca o functie este
derivabila intr-un punct .
Conditia suficienta ca acest lucru sa se intample este dat de :
Corolar :
- Fie REf : , E interval si Ex 0 .
Daca :
1). f este continua in x0 ;
2). f este derivabila pe xE 0 ;
3). Exista Rlxfxx
'
lim0
,
atunci f are derivata in x0 si lxf 0
' .
- Daca Rl , atunci f este derivabila in x0 si lxf 0
' .
Observatie :
1). Acest corolar , pe care il denumim corolarul teoremei lui Lagrange , pntru studiul
derivabilitatii unei functii intr-un punct , permite sa calculam derivatele laterale intr-un punct .
2). Corolarul lui Lagrange da o conditie suficienta pentru existenta derivatei unei functii
intr-un punct . Conditia nu este si necesara .
3). Daca una din conditiile corolarului nu-i verificata , concluzia nu este numaidecat adevarata .
4). In conditiile corolarului , daca f este derivabila in x0 , va rezulta ca derivata f' este
continua in x0 .
Clasa a XI-a ANALIZA - 12
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Teorema lluuii CCAAUUCCHHYY :
- Fie Rbagf ,:, , ba doua functii cu proprietatile :
1). gf , sunt continue pe intervalul inchis ba, ;
2). gf , sunt derivabile pe intervalul deschis ba, ;
3). 0'
xg , bax , ;
Atunci bgag si exista cel putin un punct bac , astfel incat sa avem :
cg
cf
agbg
afbf'
'
formula lui Cauchy
Clasa a XI-a ANALIZA - 13
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Teorema lluuii DDAARRBBOOUUXX :
- Daca f este o functie derivabila pe un interval E , atunci derivata f' are proprietatea lui
Darboux pe E , adica Eba , , ba si bfaf''
, sau afbf''
,
exista bax , astfel incat xf'
.
Corolar :
1). Fie REf : o functie derivabila . Daca f' ia valori de semne contrare in doua puncte
Eba din , , atunci derivata f' se anuleaza cel putin intr-un punct cuprins intre a si b .
2). Daca derivata f' a functiei f nu se anuleaza pe un interval EI , atunci derivata f
'
pastreaza acelasi semn pe I .
Clasa a XI-a ANALIZA - 14
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Am vazut ca pentru a elimina nedeterminarile in cazul limitelor de functii am apelat la scrieri convenabile , artificii de calcul , pentru a pune in evidenta structuri ale
caror limite sunt cunoscute .
Scopul regulilor lui l’Hospital este de a ne ajuta sa calculam , sa scapam de
nedeterminarile rezultate , in cazul limitelor de functii .
Scopul acestui paragraf este de a calcula limita unui raport de functii cu ajutorul
limitei raportului derivatelor lor , desigur in anumite conditii precizate de cele doua
teoreme l’Hospital .
Prima teorema a lui l’Hospital ccaazzuull 0
0 :
- Fie Rbagf , : , doua functii cu proprietatile :
1). gf , derivabile pe ba , ;
2). 0limlim
xgxfaxax
;
3). 0'
xg , bax , ;
4). exista
Rxg
xf
ax
'
'
lim .
Atunci exista limita xg
xf
axlim
si mai mult :
xg
xf
axlim
= xg
xf
ax'
'
lim
limita raportului este egala cu limita raportului derivatelor .
Clasa a XI-a ANALIZA - 15
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
A doua teorema a lui l’Hospital ccaazzuull
:
- Fie Rbagf , : , doua functii cu proprietatile :
1). gf , derivabile pe ba , ;
2).
xgxfaxax
limlim ;
3). 0xg , 0'
xg , bax , ;
4). exista
Rxg
xf
ax
'
'
lim .
Atunci exista limita xg
xf
axlim
si mai mult are loc egalitatea :
xg
xf
axlim
= xg
xf
ax'
'
lim
limita raportului este egala cu limita raportului derivatelor .
Important :
1). Si celelalte cazuri de nedeterminare :
1 , , 0 , , 000
sunt reductibile la cazurile
,
0
0
2). Primele doua nedeterminari prin transformari , iar ultimele trei , luand logaritmul
functiilor corespunzatoare .
3). Reciproca teoremei lui l’Hospital este falsa : adica daca g
f are limita in ax , nu
rezulta ca si g
f'
'
are limita in ax .
4). In calculul limitelor de functii se recomanda combinarea metodelor elementare cu
regula lui l’Hospital .
5). Regula lui l’Hospital se poate aplica de mai multe ori :
xg
xf
axlim
=
xg
xf
xg
xf
axax"
"
'
'
limlim
Clasa a XI-a ANALIZA - 16
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Observatii :
1). Functia exponentiala creste mult mai repede decat orice functie polinomiala , pentru valori
mari ale argumentului :
n
e
k
e
x
ek
n
n
x
xk
x
xlim
!limlim
2). Orice functie polinomiala creste mult mai repede decat functia logaritmica , pentru valori
mari ale argumentului :
0ln
lim x
xa
x
Nedeterminare ccaazzuull 0 :
- Pentru calculul limitei produsului gf in punctul x0 cu
0lim0
xfxx
iar
xgxx
lim0
exista doua posibilitati de rescriere a prodului gf :
1). Daca 0xg pentru Exxx , 0 , atunci scriem :
g
fgf
1 si
0
1lim
0
xgxx
cand s-a redus cazul la 0
0 .
2). Daca 0xf pentru Exxx , 0 , atunci avem scrierea :
f
ggf
1 cu
xgxf xxxx
lim1
lim00
si deci s-a redus cazul la
.
Observatie : Se prefera unul sau celalalt caz dupa cum aplicarea regulii lui l’Hospital conduce
mai rapid la rezultat .
Nedeterminare ccaazzuull :
- Avem de calculat : xgxfxx
lim0
unde
xgxfxxxx
limlim00
sau
xgxfxxxx
limlim00
Clasa a XI-a ANALIZA - 17
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
- Si acest caz se poate reduce in doua moduri la cazurile studiate pana acum daca uzitam
scrierile :
1).
gf
fg
gf
gf
gf
gf
1
11
1 cand se obtine cazul
0
0
sau :
2).
f
gfgf 1 cand pentru
f
g avem cazul
.
Daca aici
1lim0
xf
xg
xx
, atunci pentru
f
gf 1 avem cazul de nedeterminare 0 .
Nedeterminare ccaazzuurriillee 1 , , 000
:
- Suntem in situatia de a calcula :
xfxg
xxlim
0
in ipoteza 0xf , E , , 00 xxxx .
Pentru a calcula limita functiei fg
pentru xx 0 se utilizeaza egalitatea :
ef fgg ln
Clasa a XI-a ANALIZA - 18
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Am vazut ca semnul primei derivate da informatii asupra monotoniei functiei ,
iar zerourile primei derivate sunt eventuale puncte de extrem .Aceste informatii si altele
le utilizam in trasarea graficului unei functii , numai ca , in destule cazuri , sunt necesare
si informatii suplimentare , care sa le intregeasca pe cele furnizate de prima derivata .
Asa de pilda o functie derivabila poate fi strict crescatoare in doua moduri .
Analog si in cazul functiei derivabile strict descrescatoare .
Aceste informatii suplimentare le vom determina folosind derivata a II-a cu
ajutorul careia vom determina intervalele de concavitate si convexitate ale functiei
folosind teoremele de mai jos :
Teorema functie ccoonnvveexxaa si ccoonnccaavvaa :
- Fie Rbaf ,: , ba de doua ori derivabila pe ba, .
1). Daca 0"
xf , bax , , atunci functia f este convexa pe intervalul ba, .
2). Daca 0"
xf , bax , , atunci functia f este concava pe intervalul ba, .
Observatii :
1). Este valabila si afirmatia reciproca si anume :
Daca Rbaf ,: este de doua ori derivabila pe ba, si este convexa , sau
concava , atunci 0"
xf , sau 0"
xf .
2). Semnul celei de-a doua derivate permite sa gasim intervalele de convexitate si
concavitate pentru o functie .
Determinarea intervalelor de ccoonnvveexxiittaattee si ccoonnccaavviittaattee :
Pentru determinarea intervalelor de convexitate si concavitate recomandam parcurgerea
etapelor :
1). Se calculeaza f" ;
Clasa a XI-a ANALIZA - 19
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
2). Se rezolva ecuatia 0"
xf ;
3). Cu ajutorul radacinilor derivatei a doua se determina intervalele pe care derivata a doua
pastreaza acelasi semn .
4). Daca 0"f pe un interval , atunci f este convexa pe acel interval iar daca 0
"f pe
un interval , atunci f este concava pe acel interval .
Teorema ppuunncctt ddee iinnfflleexxiiuunnee :
- Fie REf : si x0 un punct din intervalul E .
- Daca f este de doua ori derivabila intr-o vecinatate V a lui x0 si daca exista doua numere
V, astfel incat :
1). x0 ;
2). 0"
xf ;
3). 0"f pe x0, si 0
"f pe ,0x
sau
0"f pe x0, si 0
"f pe ,0x
Atunci x0 este punct de inflexiune pentru f .
- Punctul xfxM 00 , se numeste punct de inflexiune al graficului .
Observatii privind ppuunncctteellee ddee iinnfflleexxiiuunnee :
1). Conditia 0"
xf nu implica automat x0 punct de inflexiune .
2). Conditia ca f sa fie continua in x0 este importanta .
3). Daca f nu are derivata ( finita sau infinita ) in x0 atunci x0 nu este punct de inflexiune
pentru f .
Determinarea ppuunncctteelloorr ddee eexxttrreemm :
S-a discutat la Cap. 6.2 / pag. 4 .
Clasa a XI-a ANALIZA - 20
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
O problema importanta in trasarea graficelor functiilor este determinarea
asimptotelor .
Prin asimptota se intelege o dreapta ( orizontala , oblica sau verticala ) fata de
care graficul functiei “se apropie oricat de mult “ .
Se disting urmatoarele tipuri de asimptote :
Definitia asimptotei OORRIIZZOONNTTAALLEE :
- Fie REf : , RE , unde E contine un interval de forma ;a .
1) Daca :
nxfx
lim , n finit
atunci dreapta ny este asimptota orizontala spre pentru functia f .
2). Daca :
nxfx
'lim
, n'
finit
atunci dreapta ny ' este asimptota orizontala spre pentru functia f .
Observatii privind asimptotele OORRIIZZOONNTTAALLEE :
1). Daca functia f nu este definita in sau atunci nu are sens sa discutam
existenta asimptotelor orizontale .
2). Denumirea de orizontala pentru asimptota provine din aceea ca dreapta
ny sau ny '
este paralela cu axa Ox .
3). Daca limitele functiei date nu sunt finite atunci putem trece sa studiem existenta
asimptotelor oblice . Rezulta concluzia : o functie nu poate admite atat asimptote orizontale cat si
oblice !!!
4). Atentie : daca o functie nu admite asimptote orizontale nu rezulta neaparat ca admite
asimptote oblice . Conditia ca functia f sa admita asimptote oblice va fii ilustrata in cele ce
urmeaza .
Clasa a XI-a ANALIZA - 21
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Definitia asimptotei OOBBLLIICCEE spre :
- Fie REf : , RE , unde E contine un interval de forma ;a .
- Se spune ca dreapta :
nmxy
este asimptota oblica la ramura spre a functiei f , daca distanta dintre dreapta si grafic ,
masurata pe verticala , tinde catre zero cand x tinde catre , adica daca :
0lim
nmxxfx
.
Definitia asimptotei OOBBLLIICCEE spre :
- Fie REf : , RE , unde E contine un interval de forma b; , Rb .
- Se spune ca dreapta :
nmxy ''
este asimptota oblica la ramura spre a functiei f , daca distanta dintre dreapta si grafic ,
masurata pe verticala , tinde catre zero cand x tinde catre , adica daca :
0lim''
nmxxf
x
.
Teorema :
1). Dreapta nmxy este asimptota oblica la ramura spre a functiei f , daca si
numai daca Rnm , , nm, finite , unde :
x
xfm
xlim
, cu conditia 0m
si
mxxfnx
lim
Clasa a XI-a ANALIZA - 22
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
2). Dreapta nmxy '' este asimptota oblica la ramura spre a functiei f , daca si
numai daca Rnm''' , , nm
'', finite , unde :
x
xfm
xlim
'
, cu conditia 0' m
si
xmxfnx
''lim
Observatii :
1). Practic pentru a determina asimptota oblica la pentru f se procedeaza astfel :
se calculeaza x
xfm
xlim
- daca m este finit , atunci se calculeaza limita
mxxfnx
lim
- daca si n este finit , atunci dreapta nmxy reprezinta asimptota oblica spre a
lui f .
2). Analog pentru determinarea asimptotei oblice spre a lui f .
3). Daca cel putin una din cele doua limite nu exista sau este infinita , curba nu are
asimptota oblica la .
4). In general , asimptotele oblice la si ( in cazul in care exista ) sunt diferite .
Clasa a XI-a ANALIZA - 23
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Fie REf : , RE , Ra punct de acumulare pentru E .
Definitia asimptotei VVEERRTTIICCAALLEE la stanga :
- Se spune ca dreapta : ax
este asimptota verticala la stanga a lui f daca :
xf
axax
lim sau
xf
axax
lim .
- Dreapta ax , intr-un reper cartezian xOy , este o dreapta paralela cu Oy , deci verticala .
Definitia asimptotei VVEERRTTIICCAALLEE la dreapta :
- Se spune ca dreapta : ax
este asimptota verticala la dreapta a lui f daca :
xf
axax
lim sau
xf
axax
lim .
Definitia asimptotei VVEERRTTIICCAALLEE :
- Se spune ca dreapta : ax
este asimptota verticala a lui f daca ea este asimptota verticala atat la stanga cat si la dreapta sau
numai lateral .
Observatii :
- Pentru existenta asimptotei verticale nu este necesar ca f sa fie definita in ax .
- Functia f nu are asimptota verticala pe ax , daca punctul ax este de continuitate
pentru f ( Rafxfax
lim ) .
Clasa a XI-a ANALIZA - 24
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Exercitiul nr. 1 :
Sa se determine extremele functiilor RRf : urmatoare :
1). xxxf 2
; 2). xxf 1 ;
3). constant 0 , 2sin AxAxf ; 4). 42 xxf ;
5). 742
xxxf ; 6). 12 xxxf .
Exercitiul nr. 2 :
Sa se determine punctele critice pentru functiile RDf : urmatoare , D fiind
multimea punctelor Rx unde f este derivabila :
1). xxxf 33 ; 2). 782
2 xxxf ;
3). xxxf ln82 ; 4). ctgxtgxxf ;
5). exf xx 22
; 6). 1
132
x
xarctgxf .
Exercitiul nr. 3 :
Sa se determine intervalele de monotonie pt functiile urmatoare RDf : , D
fiind domeniul maxim de definitie :
1). xxxf 623
; 2). xxxf3
13 ;
3). 1
1
xxf ; 4).
1
2
x
xxf ;
5). x
xxf
2
2 ; 6).
12
2
x
xxf ;
7). x
xxxf
2 ; 8). xxxf ln
3 ;
9). xxxf ln ; 10).. x
xxf
ln ;
11). exxfx
2
; 12). exxxf x221 ;
13). xx
xf ln1 ; 14). 122 xxxf .
Clasa a XI-a ANALIZA - 25
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Exercitiul nr. 4 :
Sa se afle extremele locale ale functiilor elementare urmatoare pe domeniul lor de
definitie :
1). xxxf 1024
; 2). xxxf ln5
;
3). xxxf arcsin ; 4). exxf x 12 ;
5). xxxf 2cos2 ; 6). x
xxf
ln ;
7). xx
xf3
13
; 8). 7186223
xxxxf ;
9). 5123223
xxxxf ; 10). 9
22
x
xxf ;
11). 1
222
x
xxxf ; 12). exxxf x
2
;
13). x
xxf
ln ; 14).
x
xxf
ln1
ln
;
15). arctgxxxf 2 ; 16). xxxf 2sin ;
17). exxf xx2
; 18).
x
xxf
54
312
;
19). 2
1
82
122
xxarctgx
xxf
.
Exercitiul nr. 5 :
Sa se stabileasca intervalele de monotonie pentru functiile urmatoare :
1). xxxf 824
; 2). 2
32
xx
xxf ;
3). 532
xxxf ; 4). exxf x21 ;
5). xxxf ln ; 6). 1sin
sin
x
xxf ;
7). xxf x ; 8). xxxf 3
3 ;
9). xxxf 23 ; 10).
1
32
x
xxf ;
11). 12
xxxf ; 12). xxxf 21 ;
Clasa a XI-a ANALIZA - 26
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Exercitiul nr. 6 :
Sa se stabileasca intervalele de monotonie pentru functiile urmatoare :
1). exxf x2 ; 2). xxxf ln1 ;
3). x
xxf
sin1
cos
; 4). xxxf sin ;
5).
xxf
x
11 ; 6). xxxf 1
2 ;
7). xxxf 33 ; 8). exxf x
5
;
9). exf x2
; 10). xxxf 2cos ;
11). x
xxf
ln1 ; 12). ctgxxxf 2 ;
13). xxf 211ln ; 14).
24
4
82
xarctg
x
xxxf ;
15). 1
2
2
x
xxxf ; 16).
x
xxf
21
.
Exercitiul nr. 7 :
Fie RRf : , mxxxf 2
1ln , Rm . Sa se determine m pt. care
functia f este monoton crescatoare pe R .
Exercitiul nr. 8 :
Fie RRf : ,
e
emmexf
x
xx
1
1 . Sa se determine m astfel incat f sa
fie monoton descrescatoare pe R .
Exercitiul nr. 9 :
Fie RRf : , functia definita prin 222
xxxf oricare ar fi Rx .
Sa se arate ca punctul 10x este punct de minim al functiei f relativ la multimea R .
Exercitiul nr. 10 :
Sa se arate ca functia RRf : , definita prin xxxf sin oricare ar fi
Rx este strict crescatoare pe R .
Clasa a XI-a ANALIZA - 27
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Exercitiul nr. 11 :
Sa se arate ca urmatoarele functii RRf : sunt strict crescatoare pe R :
a). xxxf cos oricare ar fi Rx ;
b). xxxf sin oricare ar fi Rx ;
c). xxf 3 oricare ar fi Rx .
Exercitiul nr. 12 :
Fie RRf : functia definita prin xxxf cos oricare ar fi Rx :
a). Sa se arate ca functia f este strict crescatoare pe R ;
b). Sa se arate ca ecuatia 0cos xx are o singura solutie x0 si ca
4;
60
x ;
c). Sa se arate ca exista un punct
4;0
xc astfel incat cfxf
'
044
.
Exercitiul nr. 13 :
Se da functia RRf 0\: definita prin
1
1
e
emmexf
x
xx
oricare ar fi
0\Rx , unde m este un parametru real . Sa se determine valorile parametrului m
pentru care functia f este descrescatoare pe ;00; .
Exercitiul nr. 14 :
Sa se determine valorile parametrului real a pentru care functia RRf :
definita prin axxxf 2
1ln oricare ar fi Rx este crescatoare pe R .
Exercitiul nr. 15 :
Se considera functia RRf : , 4
322
x
xxf .
a). Sa se stabileasca monotonia si punctele de extrem ale functiei f .
b). Sa se determine punctele de intersectie ale graficului functiei f cu dreapta de ecuatie
4
1y .
Clasa a XI-a ANALIZA - 28
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Exercitiul nr. 16 :
Se considera functia RRf 0\: , x
xxxf
2
2343
.
a). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al functiei si sa se calculeze derivata functiei f .
b). Sa se stabileasca intervalele de monotonie si punctele de extrem ale functiei f .
Exercitiul nr. 17 :
Se considera functia RRf 1\: , 1
2
x
baxxxf .
Sa se determine a si b astfel incat functia sa admita un extrem egal cu 1 in punctul de
abscisa 0 .
Exercitiul nr. 18 :
Se considera functia RRf : , 3232
xxmxmxf , Rm , 0m .
Exercitiul nr. 19 :
Se considera functia RRf : , 52
xxexf x .
a). Calculati limitele functiei spre si ;
b). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate si sa se calculeze derivata functiei f ;
c). Precizati monotonia si punctele de extrem ale functiei f . Alcatuiti tabelul de variatie al
functiei f .
Exercitiul nr. 20 :
Se considera functia RRf : , cbxaxxf 3
, cba ,, parametrii reali ,
care indeplinesc simultan urmatoarele conditii : graficul trece prin punctele 1;0B si
2
5;1C
iar 2
10
'
f .
a). Sa se determine functia f ;
b). Pentru 1a , 2
1b , 1c , sa se stabileasca monotonia functiei obtinute ;
c). Sa se precizeze numarul de solutii reale ale ecuatiei 0xf .
Clasa a XI-a ANALIZA - 29
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Exercitiul nr. 21 :
Se considera expresia : 342
xxxf .
a). Sa se determine domeniul functiei f definita prin legea xf .
b). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate si sa se calculeze derivata functiei ;
c). Precizati monotonia si punctele de extrem ale functiei f .
Exercitiul nr. 22 :
Se considera expresia : 142ln22
xxxxf .
a). Sa se determine domeniul functiei f definita prin legea xf ;
b). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate si sa se calculeze derivata functiei ;
c). Precizati monotonia si punctele de extrem ale functiei f ;
d). Sa se precizeze daca exista puncte de extrem global .
Exercitiul nr. 23 :
Se considera functiile Rgf ;0:, ,
xxxf log1log2
12
2
1 , xxxg 3223
.
a). Sa se stabileasca monotonia functiilor f si g ;
b). Determinati numarul de solutii reale ale ecuatiei xgxf .
Exercitiul nr. 24 :
Se considera functiile Rfp ;0: ,
x
x
x
pxf
ln , Np .
a). Sa se demonstreze ca , pentru orice Np , functia fp are un singur punct de minim ;
b). Sa se precizeze punctul de minim si minimul .
Exercitiul nr. 25 :
Se considera functia RRf : , xarctgxxxf 21ln :
a). Sa se arate ca derivata functiei f este o functie crescatoare ;
b). Sa se stabileasca monotonia si punctele de extrem alefunctiei f ;
c). Rezolvati inecuatia 0xf .
Clasa a XI-a ANALIZA - 30
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Exercitiul nr. 26 :
Folosind teorema lui Lagrange , demonstrati inegalitatile :
1). Rba , abab sinsin ;
2). Rba , abab coscos ;
3). 4
0 ,,
baba aababab cossinsin ;
4). 2
0 ,,
baba b
abtgatgb
a
ab
coscos22
;
5). 2
0 ,,
baba b
abctgactgb
a
ab
sinsin22
;
6).
;
2, ba , ba
b
abctgactgb
a
ab
sinsin22
;
7). abba 0 ,, b
ba
b
a
a
ba
ln ;
8). Nn*
nnn
111ln
1
1
.
Exercitiul nr. 27 :
Aplicand functiei xxf n , Nn
* , formula lui Lagrange in intervalul ba; ,
ba 0 , sa se demonstreze : babnabaabnnnnn 11
.
Exercitiul nr. 28 :
a). Se considera functia Rf ;1: , ttf 1ln . Aplicand teorema lui
Lagrange functiei f pe intervalul x;0 , 0x , sa se arate ca oricare ar fi 0x are loc relatia :
01ln1 xxx .
b). Sa se arate ca functia Rg ;0: , xxg x 11
este monoton descrescatoare .
Clasa a XI-a ANALIZA - 31
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Exercitiul nr. 29 :
Sa se demonstreze ca au loc urmatoarele inegalitati :
1). exex , 1 x ; 2). xe
ex , 0 x ;
3). 1 xex
, Rx* ; 4).
e
xx ln , 0 x ;
5). 101
ex
xn , 1;0 x , Nn . 6). 1 eex
xx , 0 x ;
7). xex 1ln1 , 1 x ; 8).
2
21ln
x
xx , 0 x ;
9). 1
2
x
xarctgx , 0 x ; 10). exex
xx 1 , Rx ;
11). xxx
x
1ln
1 , 0 x ; 12). xx
xx 1ln
2
2
, 0 x ;
13). x
xx
1ln , 1;0 x , 0 ; 14).
6arcsin
3x
xx , 1;0 x ;
15). xxx sincos ,
2;
2
3 x ; 16). xxx sincos ,
4
5;0
x ;
17). xxx
x sin6
3
, 0 x ;
18). xxxxx cos2sinsin22
,
2;0
x ;
19). 2
1cos2
xx , Rx
* ; 20). 2
sincos2
xxxx , Rx .
Exercitiul nr. 30 :
Sa se arate ca pebtru orice numar real x , 0x este adevarata relatia :
11
1
21
x
x .
Exercitiul nr. 30 :
Se considera functia Rf ;1: ,
xx
xxf ln
1
12
.
Sa se demonstreze ca pentru orice x , 1x , este adevarata inegalitatea 0xf .
Clasa a XI-a ANALIZA - 32
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Exercitiul nr. 31 :
Sa se determine numarul radacinilor reale ale ecuatiilor si intervalele in care se
gasesc acestea :
a). 09323
xx ; b). 0144
xx ;
c). 01 arctgxx ; d). 06123
xx .
Exercitiul nr. 32 :
Folosind metoda sirului lui Rolle sa se discute numarul de solutii reale ale ecuatiilor
urmatoare dupa valorile parametrului real m :
a). 022
mxx ; b). 033
mxx ; c). 0323
mxx ;
d). 0424
mxx ; e). 0 mchx ; f). 04ln22
mxxx .
Exercitiul nr. 33 :
Sa se discute dupa valorile parametrului real m nr. solutiilor reale ale ecuatiilor :
a). 2ln2 xmx ; b). xem
x .
Exercitiul nr. 34 :
Sa se determine numarul de solutii reale ale ecuatiilor :
a). xex
1 ; b). 1ln xx ;
Exercitiul nr. 35 :
Sa se determine numarul radacinilor reale ale ecuatiei :
0131243234
xxx si sa se separe radacinile .
Exercitiul nr. 36 :
Sa se discute valorile parametrului real m numarul de solutii reale ale ecuatiilor :
a). 0123223
mxxx ; b). 0123223
mxxx ;
Clasa a XI-a ANALIZA - 33
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
c). 01883234
mxxx ; d). 0129423
mxxx ;
e). 09323
mxxx ; f). 015623
mxxx ;
g). 04423
mxxx .
Exercitiul nr. 37 :
Sa se precizeze numarul radacinilor reale ale ecuatiei 016434
xxx
dupa valorile parametrului real .
Exercitiul nr. 38 :
Se considera functia RRf : , mxxxf 524
. Sa sedetermine
parametrul real m astfel incat graficul functiei sa taie axa xx'
in maximum de puncte
posibile .
Exercitiul nr. 39 :
Se considera functia RRf : , 3232
xmxxmxf , m parametru
real , 0m .
a). Sa se arate ca pentru orice m , 0m , functia are doua puncte de extrem .
b). Pentru 3
1m , reprezentati grafic functia obtinuta .
Aratati , cu ajutorul sirului lui Rolle ca ecuatia 0xf are o singura radacina reala a .
Exercitiul nr. 40 :
Sa se arate ca ecuatiile : 02
32
23 pxxx , 0
2
276
23 qxx nu
pot avea toate radacinile reale Rqp , .
Exercitiul nr. 41 :
Fie ecuatia : 1...2
21 xaxaxan
n , Rai , 0ai , ni ,...,2,1 .
Sa se arate ca ecuatia are o solutie unica in intervalul ,0 .
Exercitiul nr. 42 :
Se considera functia cu legea de corespondenta : 32
154
2
xxxxf .
Sa se studieze cu ajutorul sirului lui Rolle radacinile ecuatiei 0xf .
Clasa a XI-a ANALIZA - 34
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Exercitiul nr. 43 :
Se consider functia RRf 1\: , 1
122
x
xxf .
a). Sa se studieze monotonia si punctele de extrem ale functiei f .
b). Sa se stabileasca convexitatea – concavitatea si punctele de inflexiune ale functiei f .
Exercitiul nr. 44 :
Se considera expresia :
84
282
xx
xxf .
a). Sa se precizeze domeniul maxim de definitie si domeniul de derivabilitate al functiei definite
prin expresia xf .
b). Sa se stabileasca intervalele de convexitate (concavitate ), punctele de inflexiune ale f-tiei f
Exercitiul nr. 45 :
Se considera functia RRf 1\: , 1
5632
2
x
xxxf .
a). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al functiei si sa se calculeze derivata functiei f .
b). Sa se precizeze intervalele de monotonie si numarul punctelor de extrem ale functiei f .
c). Sa se stabileasca intervalele de convexitate ( concavitate ) ale functiei f .
Exercitiul nr. 46 :
Se considera functia Rf 1;1: , xxf 21ln .
a). Sa se calculeze limitele la capetele domeniului de definitie .
b). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al functiei si sa se calculeze derivata functiei f .
c). Sa se precizeze monotonia si punctele de extrem ale functiei f .
d). Sa se stabileasca intervalele de convexitate ( concavitate ) ale functiei f .
Exercitiul nr. 47 :
Se considera functia RIf : , I interval deschis , derivabila de doua ori pe I .
a). Enuntati teorema lui Rolle .
b). Sa se arate ca intre doua puncte succesive de extrem exista cel putin un zerou al derivatei .
c). Pentru functia Rf 1;2: , exxxf x232
2 , sa se determine punctele de
extrem si de inflexiune .
Clasa a XI-a ANALIZA - 35
Cap. VI : Proprietatile functiilor derivabile
Proprietatile functiilor derivabile
Exercitiul nr. 48 :
Fie 342
xxxf .
a). Sa se stabileasca domeniul maxim de definitie al functiei f data prin legea xf .
b). Sa se stabileasca intervalele de convexitate ( concavitate ) ale functiei f .
Exercitiul nr. 49 :
Se considera functia RRf : , 5525ln2721 xx
xxf .
a). Sa se stabileasca domeniul de derivabilitate al functiei si sa se calculeze derivata functiei f
b). Precizati monotonia si punctele de extrem ale functiei .
c). Determinati numarul punctelor de inflexiune .