Download - ficha sobre trigonometria 9º ano
ESCOLA BÁSICA INTEGRADA ELIAS GARCIA
Matemática 9º Ano
UNIDADE 7: TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RECTÂNGULO.
Nome:_________________________________________________________nº_______Turma:______
1. Razões Trigonométricas de Ângulos Agudos.
1.1 - O Que é a Trigonometria?
A trigonometria é o ramo da Matemática que trata dos processos e noções que permitem calcular medidas desconhecidas de lados ou ângulos num triângulo, a partir das medidas de lados ou ângulos conhecidos.
A trigonometria tem inúmeras aplicações práticas, em astronomia, engenharia, arquitectura, topografia, etc.
Desde a antiguidade que é utilizada em situações em que não é possível medir directamente determinadas distâncias...
Exemplos:
1. Como determinar a largura de um rio 2 . Como determinar a altura de um monumento?
sem ter de o atravessar de uma margem à outra ?
3. Já alguma vez observaste um avião a levantar voo? 4. Como determinar o raio da Terra a partir
Que altura atinge ao fim de 5 segundos ? de um laboratório espacial que gira em
volta da Terra ?
Neste capítulo irás aprender a responder a questões como estas.
A TRIGONOMETRIA dá-te as “ferramentas” necessárias.
1.2 - O Que Sabes Sobre Triângulos Rectângulos?
Um triângulo rectângulo é um triângulo que tem um ângulo recto.
Os lados de um triângulo rectângulo têm nomes especiais.
O lado oposto ao ângulo recto chama-se hipotenusa, os outros dois chamam-se catetos.
Relativamente a um dos ângulos agudos de um triângulo rectângulo, um cateto é oposto e o outro cateto é
adjacente (junto a) a esse ângulo.
Também sabemos que num triângulo rectângulo se verifica o Teorema de Pitágoras.
Teorema de Pitágoras: Num triângulo rectângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à
soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.
Exercício 1
Na figura está representado o triângulo ABC rectângulo em B.
No triângulo está assinalado um dos ângulos agudos.
Na figura foi também inserida, uma legenda com as designações dos lados do triângulo.
Escreve a respectiva legenda, nos triângulos seguintes.
Exercício 2
Usa o Teorema de Pitágoras para determinar o valor de x, em cada um dos triângulos.
2.1 - 2.2 - 2.3 –
2 . Seno, Co-Seno e Tangente de um Ângulo Agudo.
Observa a figura.
Os triângulos SAD , SBC e SOL são semelhantes: têm em comum um ângulo recto e o ângulo em S.
Assim, pode dizer-se, por exemplo, que DA está para AS assim como CB está par BS , assim como LO está
para OS e escreve-se:
Relativamente ao ângulo , são constantes as razões entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto
adjacente.
A esta constante dá-se o nome de Tangente de ângulo ( tg ou tan ).
Relativamente ao ângulo são também constantes as razões entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento da
hipotenusa.
A esta constante chama-se seno do ângulo ( sin ou sem ).
Ainda são constantes as razões entre o comprimento do cateto adjacente e o comprimento da hipotenusa.
A essa constante chama-se co-seno do ângulo ( cos ).
Para o triângulo SOL , tem-se:
Exercício 3
Calcula o valor exacto e um valor aproximado às centésimas para a tangente, seno e co-seno do ângulo .
3.1. 3.2. 3.3.
3.4. 3.5. 3.6.
3 . Aplicações da Trigonometria.
3.1. Determinação da amplitude de um ângulo conhecida a razão trigonométrica.
Observemos a figura.
Qual será a amplitude do ângulo ?
O que sabemos?
; ;
Das três razões trigonométricas, qual delas vamos utilizar para resolver o problema?
Acerca do triângulo rectângulo ABC conhecemos o cateto oposto a e a hipotenusa.
Logo, vamos utilizar o seno de .
ou seja, se utilizares a tua calculadora, é só fazeres:
ou seja,
Podemos concluir que:
Conhecidos dois dos lados de um triângulo rectângulo é possível determinar a amplitude dos seus ângulos
internos, agudos.
Exercício 4
Observa as figuras e, de acordo com os dados, determina a amplitude do ângulo desconhecido assinalado:
4.1. 4.2.
4.3. 4.4.
4.5. 4.6.
4.7.
4.8.
3.2. Determinação de distâncias inacessíveis.
Observa a figura que representa uma situação da vida real já por nós observada muitas vezes.
O António pode determinar a altura da árvore medindo a distância, AB, que o separa da mesma e o ângulo de elevação
do cimo da árvore.
O António tem 1,8 m de altura, a sua distância a B é 6 m e o ângulo de elevação que mediu, é de 42º.
Qual é a altura da árvore?
Sabemos que: ; ;
Qual das três razões vamos utilizar?
Considerando os dados, verificamos que conhecemos AB e pretendemos saber BC , daí considerarmos a
tangente de .
;
Consideramos
Logo, a árvore tem, aproximadamente 7,2 m de altura.
Exercício 5
Observa as figuras e para cada uma determina o valor de x.
5.1. 5.2.
5.2. 5.4.
5.5. 5.6.
5.6. 5.8.
Exercício 6
Observa a figura.
Determina a distância entre os barcos.
Exercício 7
A figura representa o Padrão dos Descobrimentos, em Lisboa. Foi necessário medir a sua altura. Para isso utilizou-se
um aparelho – teodolito – que permite calcular amplitudes de ângulos. Registaram-se as medidas seguintes, conforme o
esquema da figura:
;
distância do Padrão P ao aparelho T : 60 metros;
Qual é a altura aproximada do Padrão?
Exercício 8
Um submarino ( em S) deverá seguir a rota representada na figura, na qual estão assinalados os ângulos e .
Sabe-se que:
;
;
Determina a profundidade do submarino quando se encontra em S.
Exercício 9
Um avião, representado na figura por P, é observado de dois pontos do solo, A e B, sob os ângulos de 50º e 70º,
respectivamente.
A distância de A a B é igual a 200 metros.
9.1. Apresenta uma expressão que relacione h com x no triângulo BOP .
9.2. Apresenta uma expressão que relacione h com x no triângulo AOP .
9.3. Determina h . ( tan 50º = 1,2 ; tan 70º = 2,7 )
Exercício 10
Na sua casa o Vítor via o cume de uma montanha com um ângulo de elevação de 15º. Andou até à casa da Nini que
ficava a 2000 metros e via agora o cume da montanha segundo um ângulo de 23º.
Determina a altura da montanha a distância da casa da Nini ao cume da montanha.
( Utiliza valores aproximados com 2 c.d)
Exercício 11
Observa a figura e determina a altura da árvore.
Exercício 12
O Pedro quer conhecer a largura de um rio e a altura de uma árvore.
Colocou-se na berma do rio ( posição O ), mediu o ângulo de elevação do topo da árvore e obteve 50º. Afastou-se 50 m
e na posição C mediu novamente o ângulo de elevação do topo da árvore, obtendo 30º.
Qual é a largura do rio? E a altura da árvore?
4 . Relações Entre As Razões Trigonométricas do Mesmo Ângulo.
Na figura ao lado temos: ; ;
Calculando vem :
logo,
Calculemos:
Logo, ou
Esta é a chamada Fórmula Fundamental da Trigonometria
Aplicando as fórmulas trigonométricas é possível determinar uma qualquer das razões trigonométricas do ângulo
conhecida outra trigonométricas do mesmo ângulo.
Exemplo:
Seja um ângulo agudo.
Determina .
Resolução:
Como conhecemos o , podemos determinar o pela fórmula fundamental da trigonometria:
Exercício 13
Sabendo que e que é um ângulo agudo, calcula o valor aproximado, com erro inferior a uma
centésima, de e de .
Exercício 14
Sabe-se que e que é um ângulo agudo.
Calcula, com erro inferior a uma décima:
14.1.
14.2.
14.3.
Exercício 15
Partindo da fórmula fundamental da trigonometria, mostra que:
( sendo um ângulo agudo).
Determina , sabendo que
Exercício 16
Sabendo que e que é um ângulo agudo, calcula .
Exercício 17
O ângulo x é um ângulo agudo e 0,2 – cos x = 0.
Determina sin x .
Exercício 18
Determina , sabendo que e que é um ângulo agudo.
Exercício 19
19.1. Mostra que :
( Utiliza a fórmula fundamental da trigonometria. Divide ambos os membros da
equação por )
19.2. Determina , se é um ângulo agudo e .
19.3. Simplifica a expressão:
Bom Trabalho!
Professora: Carla Varela