![Page 1: 交流ヒステリシスモデルhbd.ist.hokudai.ac.jp/iga/電力エネルギー...交流ヒステリシスモデル 松尾哲司 (京都大学) 2017/03/10 1 2 3.3交流ヒステリシスベンチマーク](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060407/5f0f90b47e708231d444cab3/html5/thumbnails/1.jpg)
交流ヒステリシスモデル
松尾 哲司
(京都大学)
2017/03/10 1
2
3.3 交流ヒステリシスベンチマーク問題の検討
(2.1.7 Cauer回路の動的ヒステリシス特性表現への応用)
2017/03/10
51 m
m
63.5 mm12.5 mm
各種ヒステリシスモデルの検証
ヒステリシス磁界解析手法の比較検討
精度・計算コスト
リング試料によるベンチマーク問題の策定
![Page 2: 交流ヒステリシスモデルhbd.ist.hokudai.ac.jp/iga/電力エネルギー...交流ヒステリシスモデル 松尾哲司 (京都大学) 2017/03/10 1 2 3.3交流ヒステリシスベンチマーク](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060407/5f0f90b47e708231d444cab3/html5/thumbnails/2.jpg)
3
発表の流れ■ 交流ヒステリシス特性
■ Cauer回路(2.1.7節)
■ Cauer回路と有限要素法との比較(3.3.2節)
■ Bertottiによる異常渦電流磁界のモデル化手法(3.3.3節)
■ 1kHzベンチマーク用データによる解析(3.3.4節)
■ PWM励磁(2.1.7節)
2017/03/10
4
交流ヒステリシス特性
磁磁
束密
度B
磁界H
渦電流の影響
2017/03/10
-1
-0.5
0
0.5
1
-100 -50 0 50 100
H (A/m)
PWM 1PWM 2
measuredsimulated
正弦波励磁 PWM励磁
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5
鉄芯材料の交流磁気特性
ヒステリシス+渦電流
古典渦電流損 均質媒質を仮定
異常渦電流損 磁区など不均一構造の影響
渦電流損が増加
積層構造 電磁鋼板1枚毎の格子分割を回避
均質化法による効率的な解析
2017/03/10
J=σE
dB/dt
dB/dt
J=σE
一般的な板厚0.3~0.5 mm
6
異常渦電流損の取り扱い
実効導電率
導電率にアノマリーファクターを掛ける(計測値から決める)
Bertotti氏の方法
HAC(B, dB/dt) = HDC(B) + Hcl + Hex
HDC: 直流ヒステリシス特性
Hcl : 古典渦電流磁界
有限要素渦電流解析で算出 or
Hex : 異常渦電流磁界
S: 鋼板断面積,V0: ピンニング磁界分布に関するパラメータ,G = 0.1356886…2017/03/10
Hex
Hcl
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7
均質化法による積層鉄芯のモデル化
電磁鋼板1枚毎の
格子分割を回避
内部の平均量を算出
平均磁束密度と表面磁界の関係を導出
磁界解析時にはバルク材の扱い
異方的な導電率
高精度化 ⇒ 板厚方向1次元有限要素法によるサブ解析
2017/03/10
dB/dt
J=σE
8
スイッチング電源への対応
スイッチング周波数の増加
表皮厚
50Hz 0.5 mm
5kHz 0.05 mm
100kHz 0.01 mm
表皮厚小でサブ解析の
有限要素分割増
マイナーヒステリシスループ
鉄損の増大
2017/03/10
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
B (
T)
t (msec)
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
-80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80
B (
T)
H (A/m)
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9
発表の流れ■ 交流ヒステリシス特性
■ Cauer回路(2.1.7節)
■ Cauer回路と有限要素法との比較(3.3.2節)
■ Bertottiによる異常渦電流磁界のモデル化手法(3.3.3節)
■ 1kHzベンチマーク用データによる解析(3.3.4節)
■ PWM励磁(2.1.7節)
2017/03/10
10
2.1.7 Cauer回路の動的ヒステリシス特性表現への応用
平均磁束密度B と表面磁界Hの関係(線形特性の場合)
B = μCH
μC = (2/Td) tan(Td/2) , T = (jωσμ)1/2
d:, 鋼板厚 , σ: 導電率 , μ: 透磁率
L = μ , R = 4 / (σd2)
後段のLとRほど高い周波数範囲を受け持つ
L
H
dB dt
3R
L/5
7R
L/9
11R
L/13
Φi
2017/03/10
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11
無限梯子形回路の打切り
L
H3R
dB dt
L
H3R
L/5
7R
dB dt
古典渦電流理論と等価
2017/03/10
n = 1
n = 2
少ない段数でも効果的
H HDC B
HDC B
12
打切りとCauer-II 型回路への変換
L
H3R
dB dt
L
H3R
L/5dB dt
L
H
3RdB dt
25R 12
L/6
H
5L/6
dB dt
3430R 1587
20L/69
H
49L/69
10RdB dt
L
H3R
L/5
7R
dB dt
Cauer-I Cauer-II
古典渦電流理論
と等価
2017/03/10線形の場合,両者は等価非線形の場合は等価でない
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13
非線形磁気特性の導入
直流時のB とHの関係
B = μH
L = μ
直流磁気特性 H = HDC(B) のとき
インダクタ L における 磁束Φと電流iの関係式を
i = HDC(Φ) におきかえる
インダクタ L / α の部分は
i = HDC(αΦ) のようにおきかえる(Cauer-II)
2017/03/10
L
H3R
L/5dB dt
25R 12
L/6
H
5L/6
dB dt
14
Cauer-I型回路 インダクタ L / 5 の表現
[1] Cauer-II型回路と同様にする
i2 = HDC(5Φ2)
必ずしも
最善でない
[2] 有限差分近似
i2 = 5 [ HDC(Φ1+Φ2) − HDC(Φ1) ]
[3] 可逆部近似 マイナーループに対する
i2 = (5/μrev) Φ2 近似的な透磁率
μrev = dHrev(B)/dB
HrevはHDCの可逆部特性
[2][3]は,Φ2がΦ1に対する微小な補正量とみなせることを仮定2017/03/10
L
H
dB dt
3R
L/5
7R
L/9
11R
L/13
Φ1i1 i2 i3 i4Φ2 Φ3 Φ4
H
B μrev ΔB
ΔH
minor loop
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15
発表の流れ■ 交流ヒステリシス特性
■ Cauer回路(2.1.7節)
■ Cauer回路と有限要素法との比較(3.3.2節)
■ Bertottiによる異常渦電流磁界のモデル化手法(3.3.3節)
■ 1kHzベンチマーク用データによる解析(3.3.4節)
■ PWM励磁(2.1.7節)
2017/03/10
16
3.3.2 Cuser回路と有限要素法の比較
2017/03/10
51 m
m
63.5 mm12.5 mm
無方向性電磁鋼板50A470リング試料の磁気計測結果との比較
プレイモデルによる静的ヒステリシス特性表現
+ Cauer回路
or
+ 有限要素渦電流解析
無方向性電磁鋼板50A470の計測は同志社大学による
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0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/
m3 )
amplitude of B (T)
50
100200
Hz
Cauer-IImeasured
17
正弦波励磁時の鉄損(1周期分)
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/
m3 )
amplitude of B (T)
50
100200
Hz
Cauer-Imeasured
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/
m3 )
amplitude of B (T)
50
100200
Hz
classicalmeasured
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/
m3 )
amplitude of B (T)
50
100200
Hz
FEMmeasured
2017/03/10
古典理論 (n=1) Cauer I (n=2)
Cauer II (n=2)有限要素法+実効導電率(n=10)
損失過大評価 損失過大評価
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800
H (
A/m
)
B (T)
measuredCauer-II
18
正弦波励磁時のBHループ(200Hz)
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800
H (
A/m
)
B (T)
measuredCauer-I
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800
H (
A/m
)
B (T)
measuredclassical
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800
H (
A/m
)
B (T)
measuredFEM
2017/03/10
Cauer I(n=2)
有限要素法+実効導電率(n=10)
古典理論(n=1)
Cauer II(n=2)
![Page 10: 交流ヒステリシスモデルhbd.ist.hokudai.ac.jp/iga/電力エネルギー...交流ヒステリシスモデル 松尾哲司 (京都大学) 2017/03/10 1 2 3.3交流ヒステリシスベンチマーク](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060407/5f0f90b47e708231d444cab3/html5/thumbnails/10.jpg)
19
発表の流れ■ 交流ヒステリシス特性
■ Cauer回路(2.1.7節)
■ Cauer回路と有限要素法との比較(3.3.2節)
■ Bertottiによる異常渦電流磁界のモデル化手法(3.3.3節)
■ 1kHzベンチマーク用データによる解析(3.3.4節)
■ PWM励磁(2.1.7節)
2017/03/10
20
3.3.3 Bertottiによる異常渦電流磁界のモデル化手法
H = HAC(B, dB/dt) = HDC(B) + Hcl + Hex
HDC: 直流ヒステリシス特性
Hcl : 古典渦電流磁界
Cauer回路 or 有限要素渦電流解析で算出
Hex : 異常渦電流磁界
⇒ 係数Cbrtは計測値から決める
2017/03/10
Hex = Cbrt
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21
異常渦電流磁界係数の算出
2017/03/10
直流特性 古典渦電流 異常渦電流∝ f0 磁界 ∝ f1 磁界 ∝ f1/2
2/3a12
2/3
12a
22
1ir22a
22
2ir
brt)(211.1
]6
)([]6
)([
Bff
fBd
fLfBd
fLC
(1周期あたり)古典渦電流損 Lcl = (π2σd2/6) Ba
2f異常渦電流損 Lex = 1.11√2π3/2Ba
3/2 f1/2
Lex: 1周期あたり鉄損
2/1
brt
2
DC d
d
d
d
12)(
t
BC
t
BdBHH
22
異常渦電流磁界の加算
2017/03/10
直流磁界 古典渦電流 異常渦電流磁界 磁界
プレイモデル + Cauer回路(or 有限要素渦電流解析)
で算出した表面磁界に Hex = Cbrt(dB/dt)1/2 を加算
2/1
brtclDC d
d)
d
d()(
t
BC
t
BHBHH
L
H3R
L/5
7R
dB dt
CbrtHex
Cbrt: 非線形抵抗
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-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800
H (
A/m
)
B (T)
measuredBertotti
23
有限要素法+Berototti法 (200Hz)
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-800 -600 -400 -200 0 200 400 600 800
H (
A/m
)
B (T)
measuredFEM
2017/03/10
有限要素法+実効導電率
有限要素法+ Bertotti
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/
m3 )
amplitude of B (T)
50
100200
Hz
FEMmeasured
0
200
400
600
800
1000
1200
1400
1600
1800
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/
m3 )
amplitude of B (T)
50
100200
Hz
Bertottimeasured
高精度
有限要素法+実効導電率(n=10)
有限要素法+ Bertotti(n=10)
鉄損(1周期分) 鉄損(1周期分)
高精度
24
発表の流れ■ 交流ヒステリシス特性
■ Cauer回路(2.1.7節)
■ Cauer回路と有限要素法との比較(3.3.2節)
■ Bertottiによる異常渦電流磁界のモデル化手法(3.3.3節)
■ 1kHzベンチマーク用データによる解析(3.3.4節)
■ PWM励磁(2.1.7節)
2017/03/10
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-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1000 -500 0 500 1000
B (T
)
H (A/m)
measuredCauer1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1000 -500 0 500 1000
B (T
)
H (A/m)
measuredCauer2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1000 -500 0 500 1000
B (T
)
H (A/m)
measuredBertotti-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1000 -500 0 500 1000
B (T
)
H (A/m)
measuredFEM
25
正弦波励磁時のBHループ(400Hz)
2017/03/10
Cauer II(n=2)
有限要素法+実効導電率
有限要素法+ Bertotti
Cauer I単純近似
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1000 -500 0 500 1000
B (T
)
H (A/m)
measuredCauer1dif -1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1000 -500 0 500 1000
B (T
)
H (A/m)
measuredCauer1rev
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1000 -500 0 500 1000
B (T
)
H (A/m)
measuredrev+Bertotti-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-1000 -500 0 500 1000
B (T
)
H (A/m)
measureddif+Bertotti
26
正弦波励磁時のBHループ(400Hz)
2017/03/10
Cauer I差分近似
Cauer I可逆部近似
Cauer I差分近似+ Bertotti
Cauer I可逆部+ Bertotti
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-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000
B (T
)
H (A/m)
measuredCauer1-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000
B (T
)
H (A/m)
measuredCauer2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000
B (T
)
H (A/m)
measuredBertotti-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000
B (T
)
H (A/m)
measuredFEM
27
正弦波励磁時のBHループ(1kHz)
2017/03/10
Cauer II(n=2)
有限要素法+実効導電率
有限要素法+ Bertotti
Cauer I単純近似
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000
B (T
)
H (A/m)
measuredrev+Bertotti-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000
B (T
)
H (A/m)
measureddif+Bertotti
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000
B (T
)
H (A/m)
measuredCauer1rev-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
-2000-1500-1000-500 0 500 100015002000
B (T
)
H (A/m)
measuredCauer1dif
28
正弦波励磁時のBHループ(1kHz)
2017/03/10
Cauer I差分近似
Cauer I可逆部近似
Cauer I差分近似+ Bertotti
Cauer I可逆部+ Bertotti
![Page 15: 交流ヒステリシスモデルhbd.ist.hokudai.ac.jp/iga/電力エネルギー...交流ヒステリシスモデル 松尾哲司 (京都大学) 2017/03/10 1 2 3.3交流ヒステリシスベンチマーク](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060407/5f0f90b47e708231d444cab3/html5/thumbnails/15.jpg)
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/m
3 )
amplitude of B (T)
400
1000HzCauer1
measured
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/m
3 )
amplitude of B (T)
400
1000HzCauer2
measured
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/m
3 )
amplitude of B (T)
400
1000HzBertotti
measured
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/m
3 )
amplitude of B (T)
400
1000HzFEM
measured
29
正弦波励磁時の鉄損(400,1kHz, 1周期分)
2017/03/10
Cauer II(n=2)
有限要素法+実効導電率
有限要素法+ Bertotti
Cauer I単純近似
損失過大評価
損失過大評価
損失過大評価
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/m
3 )
amplitude of B (T)
400
1000Hzrev+Bertotti
measured
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/m
3 )
amplitude of B (T)
400
1000Hzdif+Bertottimeasured
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/m
3 )
amplitude of B (T)
400
1000HzCauer1revmeasured
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0.5 1 1.5 2
iron
loss
(J/m
3 )
amplitude of B (T)
400
1000HzCauer1difmeasured
30
正弦波励磁時の鉄損(400,1kHz, 1周期分)
2017/03/10
Cauer I差分近似
Cauer I可逆部近似
Cauer I差分近似+ Bertotti
Cauer I可逆部+ Bertotti
損失過大評価 損失過大評価
損失過小評価
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31
発表の流れ■ 交流ヒステリシス特性
■ Cauer回路(2.1.7節)
■ Cauer回路と有限要素法との比較(3.3.2節)
■ Bertottiによる異常渦電流磁界のモデル化手法(3.3.3節)
■ 1kHzベンチマーク用データによる解析(3.3.4節)
■ PWM励磁(2.1.7節)
2017/03/10
2.1.7 Cauer回路の動的ヒステリシス特性
表現への応用(PWM励磁)
変調度 full/half-bridge
No.1 0.5 1.3 full
No.2 half
No.3 0.66 full
No.4 half
No.5 0.8 1.57 full
No.6 half
No.7 1.05 full
No.8 half
基本周波数 50 Hz, キャリア周波数5 kHz で8通りのPWM入力
![Page 17: 交流ヒステリシスモデルhbd.ist.hokudai.ac.jp/iga/電力エネルギー...交流ヒステリシスモデル 松尾哲司 (京都大学) 2017/03/10 1 2 3.3交流ヒステリシスベンチマーク](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060407/5f0f90b47e708231d444cab3/html5/thumbnails/17.jpg)
33
Cauer-I型回路 インダクタ L / 5 の表現
[1] Cauer-II型回路と同様にする
i2 = HDC(5Φ2)
[2] 有限差分近似
i2 = 5[HDC(Φ1+Φ2)−HDC(Φ1)]
[3] 平均近似
i2 = (5/μave) Φ2
μave = dHave(B)/dB
[4] 可逆部近似
i2 = (5/μrev) Φ2 マイナーループに対する
μrev = dHrev(B)/dB 近似的な透磁率
2017/03/10H
B μrev ΔB
ΔH
minor loop
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-600 -400 -200 0 200 400 600
B (
T)
H (A/m)
hDChavehrev
HDC
Have
Hrev
0.0 0.5 1.0 1.5-100
0
100
200
300 simulated measured
H[A
/m]
B[T]0.0 0.5 1.0 1.5
-100
0
100
200
300 simulated measured
H[A
/m]
B[T]
0.0 0.1 0.2 0.3
0
50
100
0.0 0.1 0.2 0.3
0
50
100
BHループ 変調度0.5, Bmax1.3 T
i2 5 HDC Φ1 Φ2 HDC Φ1
![Page 18: 交流ヒステリシスモデルhbd.ist.hokudai.ac.jp/iga/電力エネルギー...交流ヒステリシスモデル 松尾哲司 (京都大学) 2017/03/10 1 2 3.3交流ヒステリシスベンチマーク](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060407/5f0f90b47e708231d444cab3/html5/thumbnails/18.jpg)
0.0 0.5 1.0 1.5-100
0
100
200
300 simulated measured
H[A
/m]
B[T]0.0 0.5 1.0 1.5
-100
0
100
200
300 simulated measured
H[A
/m]
B[T]
BHループ 変調度0.5, Bmax1.3 T
0.0 0.1 0.2 0.3
0
50
100
0.0 0.1 0.2 0.3
0
50
100
Cauer-I Have (平均近似) Cauer-I Hrev (可逆部近似)
0.0 0.5 1.0 1.5-100
0
100
200
300 simulated measured
H[A
/m]
B[T]0.0 0.5 1.0 1.5
-100
0
100
200
300 simulated measured
H[A
/m]
B[T]
0.0 0.1 0.2 0.3
0
50
100
0.0 0.1 0.2 0.3
0
50
100
BHループ 変調度0.5, Bmax1.3 T
Cauer-II (n = 2) 有限要素法 (n = 10)
![Page 19: 交流ヒステリシスモデルhbd.ist.hokudai.ac.jp/iga/電力エネルギー...交流ヒステリシスモデル 松尾哲司 (京都大学) 2017/03/10 1 2 3.3交流ヒステリシスベンチマーク](https://reader033.vdocuments.site/reader033/viewer/2022060407/5f0f90b47e708231d444cab3/html5/thumbnails/19.jpg)
Cauer I 単純近似と平均近似は鉄損を過小評価している基本周波数が低い場合,Cauer II,FEM+実効導電率も高精度
鉄損 変調度0.5, Bmax1.3 T
計測値 Cauer I Cauer I Cauer I Cauer I Cauer II 有限要素法単純 有限差分 平均 可逆部 + 実効近似 近似 近似 近似 導電率
鉄損 8通りのPWMに対する誤差の平均
Cauer I 単純近似と平均近似は鉄損を過小評価している基本周波数が低い場合,Cauer II,FEM+実効導電率も高精度
Cauer I Cauer I Cauer I Cauer I Cauer II 有限要素法単純 有限差分 平均 可逆部 + 実効近似 近似 近似 近似 導電率
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2017/03/10 39
交流ヒステリシスモデルのまとめ 実効導電率を用いた1DFEM
50Hzでアノマリーファクターを決めると数百Hzで鉄損を古典理論より過大評価
FEM + Bertotti氏の異常渦電流磁界項 数百Hzまで高精度,数kHzで精度低下
Cauer-I型回路 各インダクタは異なる周波数範囲を受け持つ 有限差分近似は比較的高精度 可逆部近似はPWM入力に対して有効
ヒステリシスインダクタは1個でよいので効率的
Cauer-I型回路 + Bertotti氏の異常渦電流磁界項 数百Hz以上で損失過小評価(高B時)
Cauer-II型回路 各インダクタは板厚方向の分割に対応 インダクタ数2では不足(インダクタ数増でFEMに近づく)
参考文献
2017/03/10 40
直流ヒステリシスモデル(プレイモデル)[1] T. Matsuo and M. Shimasaki, “An Identification Method of Play Model with Input-
Dependent Shape Function,” IEEE Trans. Magn., Vol. 41, No. 10, pp. 3112-3114, Oct. 2005. (プレイモデルの同定法)
[2] 電気学会技術報告第1233号, “電磁界数値解析の有効利用技術,” 2011.(スカラープレイモデルのプログラム例あり)
渦電流磁界, 異常渦電流損[1] G. Bertotti, Hysteresis in Magnetism, Academic Press, 1998.
交流モデル(Cauer回路)[1] T. Miyazaki, T. Mifune, T. Matsuo, Y. Shindo, Y. Takahashi, K. Fujiwara, “Equivalent Circuit
Modeling of Dynamic Hysteretic Property of Silicon Steel Sheet under Pulse Width Modulation Excitation,” J. Appl. Phys., Vol. 117, 17D110, 2015.
[2] Y. Shindo, T. Miyazaki, T. Matsuo, “Cauer Circuit Representation of the Homogenized Eddy-Current Field Based on the Legendre Expansion for a Magnetic Sheet,” IEEE Trans. Magn., Vol. 52, No. 3, 6300504, Mar. 2016.
[3] Y. Shindo, A. Kameari, T. Matsuo, “High Frequency Nonlinear Modeling of Magnetic Sheets Using Polynomial Expansions for Eddy-current Field, 電学論B, Vol. 137, No. 3 pp. 162-172,2017