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グラフとネットワーク
岡本 吉央[email protected]
電気通信大学 情報理工学研究科 情報・通信工学専攻 情報数理工学コース
2014年 10月 23日
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数学とコンピュータの使い方
情報数理工学コースのページhttp://mi.cei.uec.ac.jp/wordpress/
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概要
主題
離散最適化の入門として,次を概説するI グラフとネットワークを用いた数理モデル化I アルゴリズム的解法の背後にある数理
キャッチフレーズ:「本当の離散数学がここから始まる」
達成目標
以下の 4項目をすべて達成すること
1 グラフやネットワークに関する用語を正しく使うことができる
2 現実世界の諸問題をグラフやネットワークで表現し,数理モデルを構築できる
3 アルゴリズム的解法の背後にある数理,特に,最小最大定理の重要性を説明でき,それを用いて最適性の証明ができる
4 グラフとネットワークに関する簡単な数学的事実を証明できる
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注意:科目名変更
変更前 変更後
数理解析 グラフとネットワーク(3年後学期) (3年前学期)
シミュレーション理工学第二 離散数理工学(4年前学期) (3年後学期)
シミュレーション理工学第一 シミュレーション理工学(3年後学期) (3年後学期)
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開講学期と関連科目
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キャッチフレーズ
離散数学系科目の流れ
離散数学 → グラフとネットワーク → 離散数理工学
語学としての数学 本当の離散数学が 離散数学を使うここから始まる
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どんな問題を扱うのか:例 1
MLB アメリカンリーグ 東地区 1996年 8月 30日 金曜日
チーム名 勝 敗 残 NYY BAL BOS TOR DET 他地区NYY 75 59 28 – 3 8 7 3 7BAL 71 63 28 3 – 2 7 4 12BOS 69 66 27 8 2 – 0 0 17TOR 63 72 27 7 7 0 – 0 13DET 49 86 27 3 4 0 0 – 20
NYY = ニューヨーク・ヤンキース,BAL = ボルティモア・オリオールズ,
BOS = ボストン・レッドソックス,TOR = トロント・ブルージェイズ,
DET = デトロイト・タイガース
優勝可能性判定問題
DETはまだ地区優勝が可能か? (注:引き分けはない)
最大流 http://lyle.smu.edu/˜olinick/riot/detroit.html
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どんな問題を扱うのか:例 1
MLB アメリカンリーグ 東地区 1996年 8月 30日 金曜日
チーム名 勝 敗 残 NYY BAL BOS TOR DET 他地区NYY 75 59 28 – 3 8 7 3 7BAL 71 63 28 3 – 2 7 4 12BOS 69 66 27 8 2 – 0 0 17TOR 63 72 27 7 7 0 – 0 13DET 49 86 27 3 4 0 0 – 20
NYY = ニューヨーク・ヤンキース,BAL = ボルティモア・オリオールズ,
BOS = ボストン・レッドソックス,TOR = トロント・ブルージェイズ,
DET = デトロイト・タイガース
優勝可能性判定問題
DETはまだ地区優勝が可能か? (注:引き分けはない)
最大流 http://lyle.smu.edu/˜olinick/riot/detroit.html
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どんな問題を扱うのか:例 2
センサネットワークにおける通信
どのようにルーティング経路を設定すれば十分か?
全域木 http://www.ipros.jp/product/detail/153568008/
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どんな問題を扱うのか:例 2
センサネットワークにおける通信
どのようにルーティング経路を設定すれば十分か?
全域木 http://www.ipros.jp/product/detail/153568008/
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どんな問題を扱うのか:例 2
センサネットワークにおける通信
どのようにルーティング経路を設定すれば十分か?
全域木 http://www.ipros.jp/product/detail/153568008/
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 8 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 2
センサネットワークにおける通信
どのようにルーティング経路を設定すれば十分か?
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どんな問題を扱うのか:例 2
センサネットワークにおける通信
どのようにルーティング経路を設定すれば十分か?
全域木 http://www.ipros.jp/product/detail/153568008/
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 8 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 2
センサネットワークにおける通信
どのようにルーティング経路を設定すれば十分か?
全域木 http://www.ipros.jp/product/detail/153568008/
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 8 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 2
センサネットワークにおける通信
どのようにルーティング経路を設定すれば十分か?
全域木 http://www.ipros.jp/product/detail/153568008/
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 8 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 2
センサネットワークにおける通信
どのようにルーティング経路を設定すれば十分か?
全域木 http://www.ipros.jp/product/detail/153568008/
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 8 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 3
除雪計画
除雪車を効率よく運行するルートを決定したい
オイラー回路,マッチングhttps://www.city.niigata.lg.jp/nishi/kohoshi/pr/h24/nishi 1202/nishi 136 2.html
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 9 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 3
除雪計画
除雪車を効率よく運行するルートを決定したい
オイラー回路,マッチングhttps://www.city.niigata.lg.jp/nishi/kohoshi/pr/h24/nishi 1202/nishi 136 2.html
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 9 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 4
コンパイラにおけるレジスタ割当
1: A = 2
2: B = 3
3: B = B + 2
4: C = A + 1
5: A = C + 3
6: D = 4
7: D = C + 2
8: C = 3
1
2
3
4
5
6
7
8
AB
C
D
A
B
C
D
1: R1 = 2
2: R2 = 3
3: R2 = R2 + 2
4: R2 = R1 + 1
5: R1 = R2 + 3
6: R1 = 4
7: R1 = R2 + 2
8: R2 = 3
彩色
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 10 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 5 — David Galeの Bridg-It;ルール
2人で競うゲーム
I 先手と後手が交互に点を結ぶ線を引くI 先手は隣り合う黒点を結び,後手は隣り合う白点を結ぶ
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 11 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 5 — David Galeの Bridg-It:ルール
2人で競うゲーム
I 結んだ線が交差してはいけないI 先に両岸を結ぶ経路を作った方が勝ち
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 12 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 5 — David Galeの Bridg-It:実際にやってみる
実際にやってみる
先手の勝ち 全域木岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 13 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 5 — David Galeの Bridg-It:実際にやってみる
実際にやってみる
先手の勝ち 全域木岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 13 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 5 — David Galeの Bridg-It:実際にやってみる
実際にやってみる
先手の勝ち 全域木岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 13 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 5 — David Galeの Bridg-It:実際にやってみる
実際にやってみる
先手の勝ち 全域木岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 13 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 5 — David Galeの Bridg-It:実際にやってみる
実際にやってみる
先手の勝ち 全域木岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 13 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 5 — David Galeの Bridg-It:実際にやってみる
実際にやってみる
先手の勝ち 全域木岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 13 / 35
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実際にやってみる
先手の勝ち 全域木岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 13 / 35
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先手の勝ち 全域木岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 13 / 35
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先手の勝ち 全域木岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 13 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 5 — David Galeの Bridg-It:実際にやってみる
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先手の勝ち 全域木岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 13 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 5 — David Galeの Bridg-It:実際にやってみる
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先手の勝ち 全域木岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 13 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 6 — 正多面体 (3次元)
正多面体とは,各面が合同な正多角形であり,各頂点に集まる面の数が同じであるような多面体のこと
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic solid
疑問
この 5つの他に,正多面体はあるのか?
解答
この 5つの他に,正多面体は存在しない
平面グラフ岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 14 / 35
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どんな問題を扱うのか:例 6 — 正多面体 (3次元)
正多面体とは,各面が合同な正多角形であり,各頂点に集まる面の数が同じであるような多面体のこと
正四面体 正六面体 正八面体 正十二面体 正二十面体
http://en.wikipedia.org/wiki/Platonic solid
疑問
この 5つの他に,正多面体はあるのか?
解答
この 5つの他に,正多面体は存在しない
平面グラフ岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 14 / 35
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ネットワークの展覧会:路線図
http://www.kotsu.city.nagoya.jp/subway/sub route.html
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 15 / 35
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ネットワークの展覧会:道路ネットワーク
http://en.wikipedia.org/wiki/File:International E Road Network green.png
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 16 / 35
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ネットワークの展覧会:輸送ネットワーク
J. T. Bowen Jr. (2012), J. Trans. Geography, 24, pp. 419–431
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 17 / 35
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ネットワークの展覧会:食物網
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Soil food webUSDA.jpg
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 18 / 35
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ネットワークの展覧会:分子模型
https://en.wikipedia.org/wiki/Acetyl-CoA
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 19 / 35
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ネットワークの展覧会:状態遷移図
http://automatown.org/automata
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 20 / 35
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ネットワークの展覧会:オブジェクトモデル図
http://en.wikipedia.org/wiki/File:OMT object diagram.png
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 21 / 35
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ネットワークの展覧会:ケーニヒスベルクの橋の問題 (オイラー,1735年)
http://en.wikipedia.org/wiki/File:Konigsberg bridges.png
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 22 / 35
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ネットワークの展覧会:ケーニヒスベルクの橋の問題:続き
http://en.wikipedia.org/wiki/Seven Bridges of Konigsberg
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 23 / 35
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ネットワークの展覧会:Twitterのネットワーク
http://mentionmapp.com/
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 24 / 35
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ネットワークの展覧会:World Wide Web
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:WorldWideWebAroundWikipedia.png
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 25 / 35
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ネットワークの展覧会:World Wide Web
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:WorldWideWebAroundWikipedia.png
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 26 / 35
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ネットワークの展覧会:紹介した例に共通すること
間違った認識
現実世界にはたくさんネットワークが存在する
正しい認識
現実世界にはたくさんネットワークと見なせることが存在する
I 「ネットワーク」としてモデル化しているI 「グラフ」はネットワークの数理モデルとして使われる
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 27 / 35
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社会ネットワーク
社会ネットワーク
「人のつながり」→ ネットワーク
I Twitter, Facebook
I World Wide Web
I 俳優の共演関係I 研究者の論文共著関係I クラスにおける友人関係I …
共通した性質が多くみられる…
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 28 / 35
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社会ネットワーク:共演関係
The Oracle of Bacon
http://oracleofbacon.org/
Kevin Baconの代表作I Footloose (1984)
I Wild Things (1998)
I JFK (1991)
I A Few Good Men (1992)
I Apollo 13 (1995)
I Mystic River (2003)
I Frost/Nixon (2008)
https://www.flickr.com/photos/gageskidmore/14823923553/
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 29 / 35
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Kevin Bacon Number
Kevin Bacon Numberの定義I KevinBaconNumber(Kevin Bacon) = 0
I KevinBaconNumber(P)= 1 + min{KevinBaconNumber(Q) | PとQは共演したことがある }
KevinBaconNumber(Mana Ashida) = ???
Mana AshidaPacific Rim (2013)−−−−−−−−−−−→ Ron Perlman
Balto (1995)−−−−−−−→ Kevin Bacon
As of Oct 23, 2014
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 30 / 35
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Kevin Bacon Number
Kevin Bacon Numberの定義I KevinBaconNumber(Kevin Bacon) = 0
I KevinBaconNumber(P)= 1 + min{KevinBaconNumber(Q) | PとQは共演したことがある }
KevinBaconNumber(Mana Ashida) = 2
Mana AshidaPacific Rim (2013)−−−−−−−−−−−→ Ron Perlman
Balto (1995)−−−−−−−→ Kevin Bacon
As of Oct 23, 2014
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 30 / 35
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Kevin Bacon Number
Kevin Bacon Numberの定義I KevinBaconNumber(Kevin Bacon) = 0
I KevinBaconNumber(P)= 1 + min{KevinBaconNumber(Q) | PとQは共演したことがある }
Kevin Bacon Number # of People
0 11 29022 3340043 11590454 2903725 225896 23837 2398 7
Average Kevin Bacon number= 3.002
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岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 31 / 35
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レポート課題
レポート課題
Wikipedia (日本語版) にて,次のようなリンクの列を見つけてみる
A → B → C → D
レポート記載事項I 必須である: 上のような図 ( A ~ D を項目名に代えて)
I 必須ではない: A と D が全く関係ない項目のように見える説明
評価基準I A と D が全く関係ない項目のように見える (意外性)
I 他の学生がレポートで挙げたものと観点が異なる (独自性)
岡本 吉央 (電通大) グラフとネットワーク 2014 年 10 月 23 日 32 / 35
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レポート課題
レポート課題
Wikipedia (日本語版) にて,次のようなリンクの列を見つけてみる
A → B → C → D
注意I これら以外のリンクがあってもよい (例: B → D , C → B )
ルールI 「Category:」,「Portal:」,「Help:」,「Wikipedia:」,「特別:」,「ノート:」のページ,トップページは除く
I 自らページを作ったり,リンクを増やしてはいけない
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レポート課題
レポート課題
Wikipedia (日本語版) にて,次のようなリンクの列を見つけてみる
A → B → C → D
提出法I 形式:A4用紙 1枚片面 (表紙不要)
I 締切:10月 29日 (水)
I 提出場所:西 9号館 3階 情報・通信工学科事務室前
提出場所:
レポート提出ボックス 27番 (先週と同じ)
I 注意:必ず「岡本教員の課題」と明記I 注意:必ず氏名と学籍番号を明記
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レポート課題:例
サザエさん → 刑務所 → 国際連合薬物犯罪事務所 → 人身売買
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レポート課題:例
サザエさん → 刑務所 → 国際連合薬物犯罪事務所 → 人身売買
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レポート課題:例
サザエさん → 刑務所 → 国際連合薬物犯罪事務所 → 人身売買
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レポート課題:例
サザエさん → 刑務所 → 国際連合薬物犯罪事務所 → 人身売買
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