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Experimentos aleatorios. Espacio muestral.
Si dejamos caer una piedra o la lanzamos, y conocemos las condiciones iniciales de altura,
velocidad, etc., sabremos con seguridad dónde caerá, cuánto tiempo tardará, etc. Es una experiencia
determinista. Si echamos un dado sobre una mesa, ignoramos qué cara quedará arriba. El resultado
depende del azar. Es una experiencia aleatoria.
La vida cotidiana está plagada de sucesos aleatorios. Muchos
de ellos, de tipo sociológico (viajes, accidentes, número de
personas que acudirán a un gran almacén o que se
matricularán en una carrera...) aunque son suma de muchas
decisiones individuales, pueden ser
estudiados, muy ventajosamente,
como aleatorios.
A la colección de resultados que se
obtiene en los experimentos aleatorios
se le llama espacio
Ejemplos: En un dado, E={1,2,3,4,5,6}
En una moneda, E={C,+}
Ejercicio 1-1: Describe el espacio muestral asociado a cada uno de los siguientes experimentos aleatorios:
a. Lanzar tres monedas.
b. Lanzar tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos.
c. Extracción de dos bolas de una urna que contiene cuatro bolas blancas y tres negras.
d. El tiempo, con relación a la lluvia, que hará durante tres días consecutivos.
Solución:
a. Llamando C a obtener cara y X a la obtención de cruz, obtenemos el siguiente espacio muestral:
Experimentos o fenómenos aleatorios son los que pueden dar lugar a varios resultados, sin que pueda ser
previsible enunciar con certeza cuál de éstos va a ser observado en la realización del experimento.
Suceso aleatorio es un acontecimiento
que ocurrirá o no, dependiendo del azar.
Espacio muestral es el conjunto formado por todos los posibles
resultados de un experimento aleatorio. En adelante lo
designaremos por E.
E={(CCC),(CCX),(CXC),(XCC),(CXX),(XCX),(XXC),(XXX)}
b. E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
c. Llamando B a sacar bola blanca y N a sacar bola negra, tenemos:
E={BB,BN,NN}
d. Si llamamos L al día lluvioso y N al día sin lluvia, para tres días consecutivos se obtiene el siguiente espacio muestral:
E={(LLL),(LLN),(LNL),(NLL),(LNN),(NLN),(NNL),(NNN)}
Sucesos. Operaciones con sucesos.
2.1. Sucesos.
En el Ejercicio 1.1 del capítulo anterior podemos ver que el espacio muestral asociado al lanzamiento de tres dados y anotar la suma de los puntos obtenidos es:
E={3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18}
Podemos considerar algunos subconjuntos de E, por ejemplo:
Salir múltiplo de 5: A={5,10,15}
Salir número primo: C={2,3,5,7,11,13,17}
Salir mayor o igual que 12: D={12,13,14,15,16,17,18}
Todos estos subconjuntos del
espacio muestral E los
llamamos sucesos.
Los elementos de E se llaman
sucesos individuales o sucesos
elementales.
También son sucesos el suceso vacío o suceso imposible , Ø, y el propio E, suceso seguro.
Suceso de un fenómeno o experimento aleatorio es cada uno de
los subconjuntos del espacio muestral E.
Al conjunto de todos los sucesos de una experiencia aleatoria lo llamaremos S.
Si E tiene un número finito, n, de elementos, el número de sucesos de E es 2n.
Ejemplos:
{1,2},{2,4,6},{3,5} son sucesos. {1},{2}, {3}..., son sucesos individuales. En un dado hay 26 = 64 sucesos. En una moneda hay 22 = 4 sucesos, que son: Ø, {C},{+}, {C,+}
Es decir, S={Ø,{C},{+},{C,+}}
Operaciones con sucesos.
Dados dos sucesos, A y B, se llaman:
Unión
es el suceso formado por todos los elementos
de A y todos los elementos de B.
Intersección
es el suceso formado por todos los elementos que
son, a la vez, de A y de B.
Diferencia
es el suceso formado por todos los elementos
de A que no son de B.
Suceso
contrario
El suceso =E - A se llama suceso contrario de A.
Dos sucesos A y B, se llaman incompatibles cuando no tienen ningún elemento común. Es decir,
cuando = Ø (A y B son disjuntos)
Decimos que un suceso se ha verificado, si al realizar el experimento aleatorio correspondiente, el
resultado es uno de los sucesos elementales de dicho suceso. Por ejemplo, si al lanzar un dado sale 5,
se ha verificado, entre otros, los sucesos {5}, {1,3,5} o E.
De manera análoga, decimos que:
El suceso se verifica cuando se verifica uno de los dos o ambos.
El suceso se verivica cuando se verifican simultáneamente A y B.
El suceso , contrario de A, se verifica cuando no se verifica A. Dos sucesos incompatibles no se verifican simultáneamente.
Ejemplo:
En el experimento E = "lanzar un dado al aire", consideramos los sucesos:
A = "sacar un número par". B = {1,2,3,5} = "obtener un 1, 2, 3 ó 5".
C = {4,6} = "obtener un 4 ó un 6". D = {2,4,6} = "obtener un 2, 4 ó 6".
F = {1,3} = "obtener un 1 ó un 3". G = "obtener un múltiplo de 3".
o A y D son sucesos iguales al estar formados por los mismos sucesos elementales.
o C está contenido en A. Luego = C, puesto que siempre que ocurre el suceso C (sacar 4 ó 6) ocurre el suceso A, puesto que se obtiene un número par.
o B y C son incompatibles, ya que B C = Ø y complementarios, al cumplirse B C = E.
o = "sacar un número par" {1,2,3,5} = {1,2,3,4,5,6} = E. o A G = {2,4,6} {3,6} = {6}, es decir, el suceso intersección de los sucesos "sacar un número
par" y "obtener un múltiplo de tres" es "sacar un 6".
o B-D = B = {1,2,3,5} {1,3,5} = {1,3,5} = "obtener un número impar" = .
o C y F son incompatibles puesto que C F = Ø.
Las operacones unión, intersección y complementación (contrario) verifican las propiedades:
Unión Intersección
1. Conmutativa
2. Asociativa
3. Idempotente
4. Simplificación
5. Distributiva
6. Elemento neutro
7. Absorción
A las familias de conjuntos que verifican las propiedades anteriores se les denomina álgebras de
Boole.
En el álgebra de Boole anterior se verifican las siguientes propiedades, conocidas como leyes de De
Morgan:
El suceso contrario de la unión de dos sucesos es la intersección de sus sucesos contrarios:
El suceso contrario de la intersección de dos sucesos es la unión de sus sucesos contrarios:
Ejercicio 2.1-2: Tenemos una urna con nueve bolas numeradas del 1 al 9. Realizamos el experimento, que consiste
en sacar una bola de la urna, anotar el número y devolverla a la urna. Consideramos los siguientes
sucesos: A="salir un número primo" y B="salir un número cuadrado". Responde a las cuestiones
siguientes:
a. Calcula los sucesos y .
b. Los sucesos A y B, ¿son compatibles o incompatibles?.
c. Encuentra los sucesos contrarios de A y B.
Solución:
Los sucesos A y B están formados por los sucesos elementales que pueden verse a continuación:
A = {2,3,5,7}
B = {1,4,9}
A partir de estos conjuntos, tenemos:
1. La unión e intersección de A y B son:
= {1,2,3,4,5,7,9}
= Ø
2. Al ser = Ø, los sucesos A y B son incompatibles.
3. El suceso contrario de A es = {1,4,6,8,9}
El suceso contrario de B es = {2,3,5,6,7,8}
Definición de Probabilidad. Propiedades.
3.1. Definición de Probabilidad.
Definición de Probabilidad.
Probabilidad de un suceso es el número al que
Un experimento aleatorio se caracteriza
porque repetido muchas veces y en
idénticas condiciones el cociente entre el
número de veces que aparece un
resultado (suceso) y el número total de
veces que se realiza el experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida
como ley de los grandes números, establecida por Jakob Bernouilli. Tiene el inconveniente
de variar la sucesión de las frecuencias relativas de unas series de realizaciones a otras, si bien
el valor al que se aproximan a medida que el número de realizaciones aumenta se mantiene
estable.
La frecuencia relativa del suceso A:
Propiedades de la frecuencia relativa:
1. 0 fr (A) 1 cualquiera que sea el suceso A.
2. fr( ) = fr(A) + fr(B) si = Ø. 3. fr(E) = 1 fr(Ø) = 0.
Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad.
Definición axiomática.
La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación
entre la frecuencia relativa de un suceso y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy grande.
Sea E el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad de
cada suceso es un número que verifica:
1. Cualquiera que sea el suceso A, P(A) 0.
2. Si dos sucesos son incompatibles, la probabilidad de su unión es igual
a la suma de sus probabilidades.
= Ø P( ) = P(A) + P(B).
3. La probabilidad total es 1. P(E) = 1.
tiende la frecuencia relativa asociada al suceso a
medida que el número de veces que se realiza el
experimento crece.
Definición de Laplace.
En el caso de que todos los sucesos elementales del espacio muestral E sean
equiprobables, Laplace define la probabilidad del suceso A como el cociente entre el número
de resultados favorables a que ocurra el suceso A en el experimento y el número de resultados
posibles del experimento.
Ejemplo:
Consideremos el experimento "lanzar un dado de quinielas y anotar el resultado".
El espacio muestral es E = {1,X,2}.
Las probabilidades de cada uno de los sucesos son:
P(Ø) = 0
P({1}) = 1/3 P({X}) = 1/3 P({2}) = 1/3
P({1,2}) = P({1}) + P({2}) = 1/3 + 1/3 = 2/3 P({1,X}) = 2/3 P({2,X}) = 2/3
P({1,X,2}) = P(E) = 1
3.2. Propiedades.
1. P( ) = 1 - P( A )
2. P( Ø ) = 0
3. Si A B P( B ) = P( A ) + P( )
4. Si A B P( A ) P( B )
5. Si A1 , A2 , ... , Ak , son incompatibles dos a dos, entonces:
P( A1 A2 ... Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )
6. P( ) = P( A ) + P( B ) - P( )
7. Si el espacio muestral E es finito y un sucesos es A={x1 , x2 , ... , xK} , entonces:
P( A ) = P( x1 ) + P( x2 ) + ... + P( xK )
Ejercicio 3.2-1:
En una baraja de 40 cartas, ¿cuál es la probabilidad de AS?, ¿Y de OROS
Ejercicio 3.2-2: En una baraja hemos suprimido varia cartas. Entre las que quedan, se dan las siguientes
probabilidades de ser extraídas:
P(REY)=0.15, P(BASTOS)=0.3, P("carta que no sea REY ni BASTOS")=0.6.
a. ¿Está entre ellas el REY de BASTOS? En caso afirmativo, da su probabilidad.
b. ¿Cuántas cartas hay?
Solución:
a. P( ni REY ni BASTOS )=P( ) P( REY BASTOS ) = 1 - 0.6 = 0.4 P( REY BASTOS ) = P( REY ) + P( BASTOS ) - P( REY BASTOS ) Sustituyendo:
0.4 = 0.15 + 0.3 - P( REY BASTOS ) P( REY BASTOS ) = 0.05
Por tanto, el REY de BASTOS está y su probabilidad es:
P( REY de BASTOS ) = P( REY BASTOS ) = 0.05 = 1/20
b. Una porción de cartas de una baraja es un instrumento aleatorio "de Laplace", pues la
probabilidad de extraer cada una de ellas es la misma. Si en este montón la probabilidad del
rey de bastos es 1/20, es porque hay 20 cartas.
Ejercicio 3.2-3: Se lanzan dos dados equilibrados con seis caras marcadas con los números del 1 al 6. Se pide:
a. Halla la probabilidad de que la suma de los valores que aparecen en la cara superior sea
múltiplo de tres.
b. ¿Cuál es la probabilidad de que los valores obtenidos difieran en una cantidad mayor de dos?
Solución:
El espacio muestral del experimento es:
E = {(1,1); (1,2); (1,3); (1,4); (1,5); (1,6); (2,1); ...; (6,6)}
y está formado por 36 sucesos elementales equiprobables. Constituyen el número de casos
posibles del experimento.
Utilizando la regla de Laplace, calculamos las probabilidades de los sucesos que nos piden:
a. Si llamamos A al suceso "obtener una suma múltiplo de 3", los casos favorables al suceso A son:
A = {(1,2); (2,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (3,6); (4,5); (5,4); (6,3); (6,6)}.
Por tanto, P( A ) = 12/36 = 1/3
b. Si llamamos B al suceso "obtener unos valores que se diferencian en una cantidad mayor que
dos", los casos favorables al suceso B son:
B = {(1,4); (4,1); (1,5); (5,1); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (2,6); (6,2); (3,6); (6,3)}.
Por tanto, P( B ) = 12/36 = 1/3
Ejercicio 3.2-4:
En una caja tenemos 15 bolas blancas, 30 bolas negras y 45 bolas verdes. Si extraemos tres bolas
simultáneamente, ¿cuál es la probabilidad de que salga una bola de cada color?
Solución:
Calcularemos los casos posibles del experimento y los casos favorables al suceso del enunciado para aplicar la regla de Laplace.
Los casos posibles son las distintas formas de extraer 3 bolas entre 90. Como el orden no debe
tenerse en cuenta, estos casos son:
Los casos favorables son 15 · 30 · 45 = 20 250. Éstas son las formas de agrupar tres bolas de distinto
color. La probabilidad pedida es:
Ejercicio 3.2-5:
Si escogemos al azar dos números de teléfono y observamos la última cifra de cada uno, determina las probabilidades siguientes:
a. Que las dos cifras sean iguales.
b. Que su suma sea 11.
c. Que su suma sea mayor que 7 y menor que 13.
Solución:
El espacio muestral de este experimento está formado por los cien sucesos elementales: 00, 01, 02,
03, 04, 05, 06, 07, 08, 09, 10, 11, ..., 98, 99. Para cada sucesos del enunciado calculamos sus casos
favorables, aplicamos la regla de Laplace y obtenemos:
a. Los casos favorables son: 00, 11, 22, ..., 99. La probabilidad de que las últimas cifras sean iguales es:
P(últimas cifras iguales) = 10/100 = 1/10 = 0.1
b. Los casos favorables a que la suma de las últimas cifras sea 11 son: 29, 38, 47, 56, 65, 74, 83
y 92. Por tanto,
P(últimas cifras suman once) = 8/100 = 0.08
c. Deben contarse los números de dos cifras cuya suma sea 8, 9, 10, 11 y 12. Haciendo un
recuento ordenado, se obtienen 43 casos favorables. La probabilidad buscada es:
P(últimas cifras suman un valor mayor que 7 y menor que 13) = 43/100 = 0.43
Ejercicio 3.2-6:
Se tiran tres dados al mismo tiempo. Encuentra la probabilidad de que:
a. La suma de los números aparecidos sea menor que 8.
b. La suma de los números sea mayor que 4 y menor que 8.
Solución:
Los casos posibles de este experimento son las 216 ternas siguientes: 111, 112, 121, 211, ..., 665, 666.
Realizando un recuento ordenado de los casos favorables a los sucesos del enunciado, obtenemos las siguientes probabilidades:
a.
b.
Probabilidad condicionada.
En el cálculo de las probabilidades de algunos sucesos, el valor de dicha probabilidad vará en
función del conocimiento de determinadas informaciones relativas a estos sucesos. Veamos un ejemplo.
Si disponemos de una urna que contiene cuatro bolas numeradas del 1 al 4, extraemos una bola y
seguidamente la volvemos a introducir para realizar una segunda extracción, la probabilidad de
extraer, por ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción es la misma que en la primera.
Si realizamos el mismo proceso sin reemplazar la bola extraída la probabilidad de extraer, por
ejemplo, la bola número 3 en la segunda extracción dependerá de la bola extraída en primer lugar.
Sean A y B dos sucesos tal que P( A ) 0, se llama probabilidad de B condicionada a A, P(B/A), a la
probabilidad de B tomando como espacio muestral A, es decir, la probabilidad de que ocurra B dado que ha
sucedido A.
De esta igualdad se deduce: P( B A ) = P( B/A ) · P( A )
La fórmula anterior adopta la forma para tres sucesos, A, B y C:
P( A B C ) = P( A ) · P( B/A ) · P( C/A B )
Esta fórmula admite una generalización para un número cualquiera de sucesos.
Ejemplo:
Consideremos el experimento de "lanzar un dado al aire". Calculemos, por ejemplo, la probabilidad de obtener
un 3 sabiendo que ha salido un número impar:
Definimos los sucesos A="sacar 3" y B= {1,3,5}; entonces, P(A/B)=1/3 puesto que si sabemos que ha salido un
número impar, los casos posibles ahora son 3 y los casos favorables al suceso A sólo 1.
Ejercicio 4-1: Se lanzan dos dados:
a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una suma de puntos igual a 7?
b. Si la suma de puntos ha sido 7, ¿cuál es la probabilidad de que en alguno de los dados haya
salido un tres?
Solución:
Sean los sucesos A="la suma de los puntos es 7" y B="en alguno de los dados ha salido un tres".
a. Los casos posibles al lanzar dos dados son 36 y los casos favorables al suceso A son los seis
siguientes: (1,6); (2,5); (3,4); (4,3); (5,2) y (6,1). Por tanto, P( A )=6/36=1/6
b. En este caso, el suceso B/A es salir en algún dado 3, si la suma ha sido 7. Observamos que
esta situación ocurre en las parejas (3,4) y (4,3). Por tanto, P( B/A )=2/6=1/3
Probabilidad condicionada.
El conocimiento de que ha ocurrido el suceso A modifica, en algunas ocasiones, la probabilidad del
suceso B, pero en otras no. Los sucesos en los que, conociendo que uno ha ocurrido, no se modifica
la probabilidad del otro, decimos que sonindependientes y, si se modifica, decimos que
son dependientes entre sí.
Decimos que dos sucesos A y B son independientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos no modifica la
probabilidad del otro, es decir, si
P( B/A ) = P( B ) ó P( A/B ) = P( A )
Decimos que dos sucesos A y B son dependientes entre sí si la ocurrencia de uno de ellos modifica la
probabilidad del otro, es decir, si
P( B/A ) P( B ) ó P( A/B ) P( A )
Como consecuencia inmediata de la definición se tiene:
Dos sucesos A y B son independientes si se cumple:
P( A B ) = P( A ) · P( B )
Tres sucesos A, B y C son independientes si se cumplen a la vez:
P( A B ) = P( A ) · P( B )
P( A C ) = P( A ) · P( C )
P( B C ) = P( B ) · P( C )
P( A B C ) = P( A ) · P( B ) · P( C )
Ejercicio 5-1:
Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a un experimento aleatorio con P(A)=0.7; P(B)=0.6; P(
)=0.58.
a. ¿Son independientes A y B?
b. Si M A, ¿cuál es el valor de P( / )?
Solución:
a. Para ver si son independientes, comprobaremos si P( A B ) = P( A ) · P( B )
P( ) = P[(A B)c] = 1 - P(A B)
Por tanto, P(A B) = 1 - P( ) = 1 -0.58 = 0.42
Por otro lado, P( A ) · P( B ) = 0.7 · 0.6 = 0.42
Luego, A y B son independientes, pues P( A B ) = P( A ) · P( B ) = 0.42
b. M A . Por tanto,
Tablas de contingencia y diagramas de árbol.
En los problemas de probabilidad y en especial en los de probabilidad condicionada, resulta
interesante y práctico organizar la información en una tabla de contingencia o en un diagrama de
árbol.
Las tablas de contingencia y los diagramas de árbol están íntimamente relacionados, dado uno de
ellos podemos construir el otro. Unas veces, los datos del problema permiten construir fácilmente
uno de ellos y a partir de él podemos construir el otro, que nos ayudará en la resolución del
problema.
Conversión de una tabla en diagrama de árbol
Las tablas de contingencia están referidas a dos características que presentan cada una dos o
más sucesos.
En el caso de los sucesos A, ,
B y , expresados en frecuencias
absolutas, relativas o probabilidades
la tabla, adopta la forma adjunta.
Dicha tabla adopta la forma del diagrama de árbol del dibujo. En éste, a cada uno de los
sucesos A y se les ha asociado los sucesos B y .
Sobre las ramas del diagrama de árbol se han anotado las probabilidades condicionadas
correspondientes, deducidas de las relaciones análogas a:
Conversión de un diagrama en tabla de contingencia
De manera recíproca, dado el diagrama de árbol podemos construir la tabla de contingencia
equivalente si más que utilizar la expresión
P( B A ) = P( B/A ) · P( A ),
para calcular las probabilidades de las intersecciones de sucesos que forman la tabla.
A
TOTAL
B P( A B ) P( B ) P( B )
P( A ) P( ) P( )
TOTAL P( A ) P( ) 1
Ejercicio 6-1:
Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana 3 automóviles con problemas
eléctricos, 8 con problemas mecánicos y 3 con problemas de chapa, y por la tarde 2 con problemas
eléctricos, 3 con problemas mecánicos y 1 con problemas de chapa.
a. Calcula el porcentaje de los que acuden por la tarde.
b. Calcula el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.
c. Calcula la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.
Solución:
En las tablas de contingencia, con las frecuencias absolutas y los porcentajes, respectivamente,
pueden verse recogidos los datos del enunciado.
ELÉCTRICOS MECÁNICOS CHAPA TOTAL
MAÑANA 3 8 3 14
TARDE 2 3 1 6
TOTAL 5 11 4 20
ELÉCTRICOS MECÁNICOS CHAPA TOTAL
MAÑANA 0.15 0.40 0.15 0.70
TARDE 0.10 0.15 0.05 0.30
TOTAL 0.25 0.55 0.20 1.00
Ejercicio 6-2:
Una compañía de seguros hace una investigación sobre la cantidad de partes de siniestro
fraudulentos presentados por los asegurados. Clasificando los seguros en tres clases, incendio,
automóvil y "otros", se obtiene la siguiente relación de datos:
El 6% son partes por incendio fraudulentos; el 1% son partes de automóviles fraudulentos; el 3%
son "otros" partes fraudulentos; el 14% son partes por incendio no fraudulentos; el 29% son partes
por automóvil no fraudulentos y el 47% son "otros" partes no fraudulentos.
a. Haz una tabla ordenando los datos anteriores y hallando el porcentaje total de partes
fraudulentos y no fraudulentos.
b. Calcula qué porcentaje total de partes corresponde a la rama de incendios, cuál a la de
automóviles y cuál a "otros". Añade estos datos a la tabla.
c. Calcula la probabilidad de que un parte escogido al azar sea fraudulento. ¿Cuál será, en
cambio, la probabilidad de que sea fraudulento si se sabe que es de la rama de incendios?
Solución:
a. y b. La tabla de porcentajes con los datos del enunciado y los totales es la siguiente:
INCENDIO AUTOMÓVIL OTROS TOTAL
FRAUDULENTOS 6 1 3 10
NO FRAUDULENTOS 14 29 47 90
TOTAL 20 30 50 100
b.
c. Es fácil ver sobre la tabla que la probabilidad de escoger al azar un parte fraudulento es del
10%.
La probabilidad condicionada que se pide es: P(FRAUDE/INCENDIO)=6/20=0.3
Probabilidad total.
Llamamos sistema completo de sucesos a una familia de sucesos A1, A2, ...,An que cumplen:
1. Son incompatibles dos a dos, Ai Aj = Ø
2. La unión de todos ellos es el suceso seguro,
Teorema de la probabilidad total
Sea A1, A2, ...,An un sistema completo de sucesos tales que la probabilidad de cada uno de ellos es distinta de
cero, y sea B un suceso cualquier del que se conocen las probabilidades condicionales P(B/Ai), entonces la
probabilidad del suceso B viene dada por la expresión:
Ejercicio 7-1:
Una compañía dedicada al transporte público explota tres líneas de una ciudad, de forma que el 60%
de los autobuses cubre el servicio de la primero línea, el 30% cubre la segunda y el 10% cubre el
servicio de la tercera línea. Se sabe que la probabilidad de que, diariamente, un autobús se averíe es
del 2%, 4% y 1%, respectivamente, para cada línea. Determina la probabilidad de que, en un día, un
autobús sufra una avería.
Solución:
El suceso "sufrir una avería" (Av) puede producirse en las tres líneas, (L1,
L2, L3). Según el teorema de la probabilidad total y teniendo en cuenta
las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
P(Av) = P(L1) · P(Av/L1) + P(L2) · P(Av/L2) + P(L3) · P(Av/L3) =
= 0.6 · 0.02 + 0.3 · 0.04 + 0.1 · 0.01 =
= 0.012 + 0.012 + 0.001 = 0.025
Ejercicio 7-2:
Una empresa del ramo de la alimentación elabora sus productos en cuatro factorías: F1, F2, F3 y F4.
El porcentaje de producción total que se fabrica en cada factoría es del 40%, 30%, 20% y 10%,
respectivamente, y además el porcentaje de envasado incorrecto en cada factoría es del 1%, 2%, 7%
y 4%. Tomamos un producto de la empresa al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que se encuentre
defectuosamente envasado?
Llamando M = "el producto está defectuosamente envasado", se tiene que este producto puede
proceder de cada una de las cuatro factorías y, por tanto, según el teorema de la probabilidad total y
teniendo en cuenta las probabilidades del diagrama de árbol adjunto, tenemos:
P(M) = P(F1) · P(M/F1) + P(F2) · P(M/F2) + P(F3) · P(M/F3) + P(F4) · P(M/F4) =
= 0.4 · 0.01 + 0.3 · 0.02 + 0.2 · 0.07 + 0.1 · 0.04 =
= 0.004 + 0.006 + 0.014 + 0.004 = 0.028
Ejercicio 7-3:
Se tiene una urna vacía y se lanza una moneda al aire. Si sale cara, se introduce en la urna una bola
blanca y si sale cruz, se introduce una bola negra. El experimento se repite tres veces y, a
continuación, se introduce la mano en la urna, retirando una bola. ¿Cuál es la probabilidad de que en
la urna queden una bola blanca y otra negra?
Solución:
Llamamos B = "obtener bola blanca" y N = "obtener bola negra". En el
diagrama de árbol pueden verse las configuraciones posibles de las urna,
después del lanzamiento de las monedas y las urnas finales, así como las
probabilidades para cada una de ellas. Atendiendo a la notación expresada
en el diagrama de árbol y según el teorema de la probabilidad total, se
obtiene:
P(BN) = P(BN BBN) + P(BN BNN) = P(BBN) · P(BN/BBN) + P(BNN) · P(BN/BBN) =
= 3/8 · 2/3 + 3/8 · 2/3 = 1/4 + 1/4 = ½
Ejercicio 7-4:
Se lanzan dos monedas al aire. Si salen dos caras, se extrae una bola de una urna I, que contiene 2
bolas blancas y 3 negras. Si sale cara y cruz, se extrae una bola de una urna II, que contiene 4 bolas
blancas y 1 negra. Si salen dos cruces, se extrae una bola de una urna III, que contiene 3 bolas
blancas y 2 negras. ¿Cuál es la probabilidad de extraer bola blanca después de lanzar las monedas y
sacar la bola?
Solución:
El diagrama de árbol muestra, primero, las probabilidades
correspondientes a la elección de la urna y, después, a la extracción de
la bola.
La probabilidad total de sacar bola blanca la calculamos caminando
por todas las ramas que terminan en sacar bola blanca.
P(B) = P(B/UI) · P(UI) + P(B/UII) · P(UII) + P(B/UIII) · P(UIII) =
= 2/5 · 1/4 + 4/5 · 2/4 + 3/5 · 1/4 = 13/20
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd98/Matematicas/28/8.html