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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07: Estudio de Series de Potencia Página 1 de 25
7ma Guía de Estudio – 2do Parcial
Estudio de Series de Potencia SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07
Comentarios Generales Ésta guía cumple única y exclusivamente la función de repaso o complemento de los temas que posiblemente serán evaluados en el segundo examen parcial, además, se establece que en ningún momento ésta guía de estudio pretende reemplazar el libro de texto y mucho menos, proporcionar un formato de los ejercicios que podrían ser evaluados en un examen; se hace ésta aclaración para evitar especulaciones y conjeturas desacertadas entre los estudiantes de ésta y las otras secciones de Cálculo I Integral, dado que ésta herramienta ha sido elaborada tomando como referencia diferentes textos de Cálculo y guías de universidades extranjeras, que a criterio del Catedrático (Autor), genera un valor agregado en el conocimiento de los futuros profesionales de la Ingeniería. Se le recuerda la importancia de trabajar con disciplina, perseverancia y honestidad cada ejercicio, dado que Ud. es el único responsable de su éxito o fracaso, el catedrático no es más que un facilitador del conocimiento, por lo tanto, ante cualquier inquietud no dude en consultarlo. Instrucciones Específicas: Para que el trabajo grupal sea aceptado y revisado por la totalidad del puntaje, el documento deberá cumplir las siguientes condiciones: a) Desarrollo en hojas blancas o rayadas (sin espiral) tamaño carta utilizando ambas caras de la
hoja. b) Formato de presentación conforme a lo estipulado en el silabo de curso (portada y todos los
demás elementos que apliquen según sea el caso). c) Los ejercicios deberán estar listados en el orden numérico correlativo de la guía. d) Todas las páginas que conformen el trabajo (excepto la portada) deberán estar etiquetadas con
su respectivo número de página en la esquina inferior derecha de las mismas y el formato será: “X de Y”, donde: X = página cualquiera; Y = número total de páginas que forman el trabajo.
e) Ser entregado en la fecha estipulada en el calendario del aula virtual. A.-) En los problemas del 1 al 28, determine el radio e intervalo de convergencia de las series planteadas
CC
n
1
n1nn
2n1n
n1nn
11n1n
nn
1n
n
0n
1nn
R;xI;Finalmente
Rxtodoparaconvergetotanlopor;103x21n
1lim3x2
1n3x2
lim3x3x2!n1n
!n3x3x22lim
!n3x2
!1n3x2
lima
alim
!n3x2
).1
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0R;1I;Finalmente
1xdevaloreslostodosparadivergeserielatotanlopor;1x03
1x.realeslostodosincluyequefuncioneslasentrabajado
initoinfdeldiferenciaa,naturalesnúmeroslosaorestringidestáinifinitoelporqueseriesdecasoesteparadefinidaestáque,00operaciónlarealizarpoderresultadocomodenosque"x"devalorelbuscardebemos,porciónmultiplicaunatenemosquedado
31x
1n22lim3
1x1n
1n21n2lim
31x
31n1x1n22n2
lim
1x!n233!n1n
3!n1x1x!n21n22n2lim
3!n
1x!n2
3!1n
1x!1n2
lima
alim
3!n
1x!n2).2
CC
nnn
n1n
n1n
n
n
n
1n
1n
nn
1n
n
0nn
n
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1R;1x1I;Finalmente
121pcon,pserieunaesporquediverge;
n
1n
1n
1
1xcuando
alternasseriesdecriterio
porconvergen1
seriela
1ntodoparacumplesen
11n
1aa
0n
1lim
n1
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alternaserien1
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1x1
1x
x1x1n
nlimx
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lim
nx
1nx
lima
alim
nx
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1n 21
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n
1n
n
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n
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1n
n
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1n
nn
1n
nn
1n
n
1n
n
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1R;1x1I;Finalmente
alternasseriesdecriterio
porconvergen1
seriela
1ntodoparacumplese1n
12n
1aa
01n
1lim
1n1
limalim
alternaserie1n
11n11
1xcuando
armónicaseriepordiverge;1n
11n
11n11
1n11
1xcuando
1x1
1x
x1x2n1n
limx2n1nx
limx2n
1nxxlim
1nx
11nx
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alim
1nx1
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1n
n
n1n
n
n
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0n
n
0n
nn
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n
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n
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nn
nnn
1n
nn
1n
nn
1n
n
0n
nn
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1R;1x1I;Finalmente
alternasseriesdecriterio
porconvergen1
seriela
1ntodoparacumplesen1
1n
1aa
0n1
limn1
limalim
alternaserien1
n11
1xcuando
13pconeconvergentpserie;n1
n1
n11
1xcuando
1x1
1x
x1x1n
nlimx
1n
xnlim
x1n
nxxlim
nx
1n
x
lima
alim
n
x1).5
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1n
n
33n1n
3n3
1n
nn
n
1n3
1n
1n3
n1n
1n3
1n3
1n3
n1n
3
3
n3
3
nn3
31n
n
3
n
3
1n
nn
1n
n
1n3
n1n
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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1R;1x1I;Finalmente
omintérésimondelcriteriopordivergente;nlimalim
n1n
1xcuando
alternasseriesdecriterio
pordivergen1
seriela
aa
nlim1nlimalim
alternaserie1n
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1x1
1x
x1xn
1nlimx
n1n
limxxn
xx1nlim
xn
x1nlim
aa
lim
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CC
nn
n
1n1n
n
1n
n
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n
n
nn
n
1n
n
nnn
1n
nn
1n
nn
1n
n
1n
n
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
CC
nn
1n
nn
1n
nn
1n
n
0n
n
R;xI;Finalmente
Rxtodoparaconvergetotanlopor
100x1n
1limx
x!n1n
!nxxlim
!nx
!1nx
lima
alim
!nx
).7
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e
22e2e
R;2ex2eI;Finalmente
2ex2ee2xe
e2x1e
2x
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1nn
lim2x
e1ee
1nn
nlim
n
1nn
1
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n
11n
1n1
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n1
1nlnnlnlim
00
n1
1nn
lnlim
01n
nlnnlim
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nlim
1nn
lim2x
1n
n2xlim
2x!n1n1n
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n
2x!n
1n
2x!1n
lima
alim
n
2x!n).8
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n
n
11nn
lnnlim
2
2
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2
n2
nnn
n
1nn
lnnlimn
n
n
n
n
n
nn1n
n1n
n
n
n
1n
1n
nn
1n
n
1nn
n
n
n
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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2R;2x2IFinalmente
omintérésimondelcriterioelpordivergente;nlimn1limalim
n122n
1
omintérésimondelcriterioelpordivergente;nlimn1limalim
n12
21n1
22n
1
2x2
2x
12x
12x
n1n
lim2x
n2x1n
limxn22
2xx1nlim
2xn
2x1n
lima
alim
2
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CC
2
n
2n
nn
n
1n
2n
1nn
n2n
2
n
2n
nn
n
1n
2n
1nn
nn2n
1nn
n2n
2
2
n2
2
nn21n
n1n2
n
n
n2
1n
1n2
nn
1n
n
1nn
n2n
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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101R;10
1x101I;Finalmente
13pconeconvergentpserie;n
1
n10
110
n10
110
101xcuando
alternasseriesdecriterio
porconvergen1
seriela
1ntodoparacumplesen1
1n
1aa
0n1
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1
n10
110
n10
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101x10
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1n
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1n
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1n3
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n
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n
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n
nn
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3
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n
3
nn
3
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nn
1n
n
1n3
nn
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21R;2
1x21I;Finalmente
141pcondivergentepserie;
n1
n1
n21
2
n2
12
21xcuando
alternasseriesdecriterio
porconvergen1
seriela
1ntodoparacumplesen
11n
1aa
0n
1lim
n1
limalim
alternaserien1
n21
2
n2
12
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21x2
1
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1x21x21n
nlimx2
1nn
limx21n
nx2lim
x21n
nxx22lim
nx2
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lima
alim
nx2
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1n4
1n4
n
1n4
n
1n4
nn
1n4
n
44n1n
4n4
n
nn
n
1n4
n
1n4
n
1n4
nn
44n
4
4
n4
4
nnn4
41n1n
n
4
nn
4
1n1n
nn
1n
n
1n4
nn
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5R;5x5I
15pserieporeconvergent;n1
n1
n55
alternaserieladepruebalaporeconvergent;n
1
n1
n551
n55
5x5
5x
15x
15x
1n
nlim
5x
1n5
xnlim
x1n55
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n5x
1n5
x
lima
alim
n5x
).12
CC
1n5
1n5
1n5n
n
1n5
n1n
5
n
1n5n
nn
1n5n
n
5
5
n5
5
nn51n
5n1n
n
5n
n
51n
1n
nn
1n
n
1n5n
n
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4R;4x4I;Finalmente
divergenteesnln
1totanlopor,2ntodoparacumplese
nln1
n1
.divarmónican1
conordinariancomparació;nln
1
nln4
41
nln4
41
4xcuando
alternasseriesdecriterio
porconvergenln1
seriela
1ntodoparacumplesenln
11nln
1aa
0nln
1lim
nln1
limalim
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1
4xcuando
4x414x
1
14x
14x
1nlnnln
lim4x
1n
1nlim
1n1
n1
limH'L1nln
nlnlim
1nlnnln
lim4x
1nln4nlnx
limx1nln44
nln4xxlim
nln4
x
1nln4x
lima
alim
nln4x
1).13
CC
1n
1n1n1nn
n
1nn
nn
1n
n
n1n
n
n
nn
n
1n
n
1nn
nn
n
nnn
nnn1n
n1n
n
n
n
1n
1n
nn
1n
n
2nn
nn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
-
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CC
2
n
2
2
nn2
2n2
nn2
1n2
nn
1n
n
0n
n2n
R;xI;Finalmente
Rxtodoparaconvergetotanlopor
100x1n22n2
1limx
1n22n2x
limx!n21n22n2
!n2xxlim
!n2x
!1n2x
lima
alim
!n2x
1).14
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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1R;3x1I;Finalmente
econvergentes1n
1totanlopor,0ntodoparacumplese
n1
1n1
12peconvergentn
1pserieconncomparació;
1n
1
1n
1
1n
31
3xcuando
alternasseriesdecriterio
porconverge1n
1seriela
1ntodoparacumplese1n
1
11n
1aa
01n
1lim
1n
1limalim
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11n
21
1xcuando
3x112x1
12x
12x12x2n2n
1nlim2x
11n
1n2xlim
2x11n
1n2x2xlim
1n
2x
11n
2x
lima
alim
1n2x
).15
CC
0n222
0n2
0n2
0n2
n
0n2
n
0n2
n
22n1n
2n2
n
nn
n
0n2
n
0n2
n
2
2
n
2
2
nn2
21n
n
2
n
2
1n
nn
1n
n
0n2
n
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
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1R;4x2I;Finalmente
armónicaserieunaconlímiteelenncomparació
pordiverge1n2
1totanlopor,02
11n2
nlim
n1
1n21
limba
lim
definiciónpordivergenten1
armónicaconlímiteelenncomparació1n2
1
1n21
1n21
1n211
1n232
1
2xcuando
alternasseriesdecriterio
porconverge1n2
1seriela
0ntodoparacumplese1n2
111n2
1aa
01n2
1lim
1n21
limalim
alternaserie1n2
11n211
1n234
1
4xcuando
4x213x1
13x
13x13x3n21n2
lim3x
3n21n23x
lim3x3n2
1n23x3xlim
1n23x
11n23x
lima
alim
1n23x
1).16
CC
0nnnn
nn
0n0n
0n0n
n
0n
nn
0n
nn
0n
n
n1n
n
n
nn
n
0n
n
0n
nn
0n
nn
n
nn
1n
nn
1n
nn
1n
n
0n
nn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
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31R;3
11x313I;Finalmente
121pporquedivergepserielatotanlopor;
n
1n
1
n1
n1
n3
13
n3
13
n
43113
311xcuando
alternasseriesdecriterio
porconvergen1
seriela
1ntodoparacumplesen
11n
1aa
0n
1lim
n1
limalim
alternaserien1
n3
13
n3
13
n
43133
313xcuando
311x3
133
14x3114x31
14x3
14x314x31n
nlim4x3
1nn
lim4x3
1nn4x3
lim4x31n
n4x4x33lim
n4x3
1n4x3
lima
alim
n4x3
).17
CC
1n 21
1n
1n1n
n
1n
n
1n
nn
1n
nn
1n
n
n1n
n
n
nn
n
1n
n
1n
n
1n
nn
1n
nn
nn
nnn
1n1n
nnn
1n1n
nn
1n
n
1n
nn
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07: Estudio de Series de Potencia Página 17 de 25
4R;3x5I;Finalmente
omintérésimondelcriterioelpordivergentotanlopor;nlimalim
nn1n44
44
n13
4
n
3xcuando
alternasseriesdecriterio
pordivergen1seriela
aa
nlimn1limalim
alternaserien1n44
44
n15
4
n
5xcuando
3x541x414
1x1
14
1x
14
1x1
41x
n1n
lim4
1x
n41x1n
lim1xn44
41x1x1nlim
4
1xn
4
1x1n
lima
alim
1x4
n).18
CC
1nnn
n
1n1n
n
1n
n
1n
nn
1n
nn
1n
n
n1n
n
n
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n
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n
1n
nn
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-
Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07: Estudio de Series de Potencia Página 18 de 25
CC
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2
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2
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lim1n
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n
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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07: Estudio de Series de Potencia Página 19 de 25
1R;35x3
1I;Finalmente
armónicaserieunaesqueyadefiniciónpordiverge
n1
n1
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3n
3
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1n1
aa
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33
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n
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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07: Estudio de Series de Potencia Página 20 de 25
bR;abxbaI;Finalmente
omintérésimondelcriteriopordiverge;nlimalim
nn1nbb
nb
baab
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alternasseriesdecriterio
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nlimn1limalim
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1b
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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07: Estudio de Series de Potencia Página 21 de 25
1R;5x3I;Finalmente
econvergentpserieunaconlímiteelenncomparació
porconverge1n
ntotanlopor,01
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nlim
n
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n
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1pserieconlímiteelenncomparació
1n
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43n
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1nlim
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3
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3
3
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31n
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n
3
1n
n
1n3
n
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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07: Estudio de Series de Potencia Página 22 de 25
0R;21I;Finalmente
21xdevaloreslostodosparadivergeserielatotanlopor
21x
01x2.realeslostodosincluyequefuncioneslasentrabajado
initoinfdeldiferenciaa,naturalesnúmeroslosaorestringidestáinifinitoelporqueseriesdecasoesteparadefinidaestáque00operaciónlarealizarpoderresultadocomodenosque"x"devalorelbuscardebemos,porciónmultiplicaunatenemosquedado
1x21nlim1x2
1x21nlim1x2!n
1x21x2!n1nlim
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xtodaparaeconvergentesn2...642
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2x
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n2...642xx1nlim
n2...642xn
2n2n2...642x1n
lima
alim
n2...642xn
).24
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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07: Estudio de Series de Potencia Página 23 de 25
412 210
R;R0,21I
0x21paraeconvergentes
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0x210x4211x41
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1x411x41n
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1n
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n
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2
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nn
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1n2
n
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
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1Ry1x1Ic/R
convergeserie,convergeegralint;2ln
1xln
1lim
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1lim
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1
,2x0xlnx
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1
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1
nlnn
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1
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1x11x1xIcquetenemoscocientedelcriterioelPor
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1n1
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22n2
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2
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2
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nn
1n
n
2n2
n2
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Cálculo I Integral (MAT201), Secc.675 3er Trimestre, 2do Semestre 2015; 2doParcial – 7maGuíaEstudio Documento elaborado por: M.Sc. Ing. Julio César López Zerón CICH4363
SOLUCIONARIO – Guía Complementaria No.07: Estudio de Series de Potencia Página 25 de 25
cc
1n
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n
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1n
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1n2...531a
1n2...531x
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--------------------------------------------------------------------------------------------------
22
22R;R2,2I
2x2paraeconvergentes1n2...531
xcocientedelcriterioelPor/R
2x22x12x
21x
1n21n
limx1n2x1n
lim
!nx1n21n2...5311n2...531xx!n1n
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1n2...531x!n
1n21n2...531x!1n
lima
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1n21n2...531a11n21n2...531a
1n2...531a
1n2...531x!n
).28
cc
1n
n
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1n
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