Download - Estimasi Titik
![Page 1: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/1.jpg)
Estimasi Titik
![Page 2: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/2.jpg)
First Group of Mathematic
PRESENT
• Tita Azizah
• Nunung nurjanah
• Iah solikhah
• Eka damayanti
![Page 3: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/3.jpg)
Statistik inferensial
kesimpulan
Pengujian hipotesis
Penaksiran parameter
Penaksiran interval
Penaksiran titik
![Page 4: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/4.jpg)
Penaksiran titik
Pengertian
Metode-metodeHakikat
Contoh
![Page 5: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/5.jpg)
Metode-metode
Metode maksimumlikelihood
Metode momen
Estimator bayes
![Page 6: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/6.jpg)
STATISTIK INFERENSIAL
• Statistik inferensial adalah ststistika yang dengan segala informasi dari sample digunakan untuk menarik kesimpulan mengenai karakteristik populasi dari mana sample itu di ambil.
![Page 7: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/7.jpg)
Parameter adalah karakteristik dari suatu populasi• = mean = rata-rata• ^2 = varian = keseragaman• d = mean differensial = perbedaan rata-rata• = Proporsi• d =Proporsi rata-rata
Statistik adalah karakteristik dari data sample• = mean = rata-rata• S ^2 = varian = keseragaman• d = mean differensial = perbedaan rata-
rata• P = Proporsi• P d =Proporsi rata-rata
X
X
![Page 8: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/8.jpg)
• penduga titik untuk
• penduga titik untuk 2
• penduga titik untuk P
n
XX
1
)( 22
n
XXS
n
Xp
Statistik digunakan unutk menduga parameter
![Page 9: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/9.jpg)
Estimasi Titik
• Estimasi adalah keseluruhan proses yang
menggunakan sebuah estimator untuk
menghasilkan sebuah estimate dari suatu
parameter.
• Sebuah estimasi titik dari sebuah
parameter adalah sesuatu angka tunggal
yang dapat dianggap sebagai nilai yang
masuk akal dari .
![Page 10: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/10.jpg)
• Estimator adalah fungsi sample, sedangkan
• Estimate adalah nilai terealisasi dari estimator, yaitu bilangan yang didapat bila sample benar-benar diambil.
![Page 11: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/11.jpg)
Hakikat Estimasi• Estimasi adalah taksiran, dan yang diestimasi adalah parameter populasi• Data yang digunakan untuk melakukan estimasi parameter populasi adalah statistik sampel sebagai estimator• Terdapat prosedur tertentu untuk melaksanakan estimasi
![Page 12: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/12.jpg)
ContohSeorang ahli sosial ekonomi ingin
mengestimasi rata-rata penghasilan buruh di suatu kota. Sebuah sampel dikumpulkan menghasilkan rata-rata Rp 2.000.000,-.
Dalam hal ini telah dilakukan estimasi titik, dengan menggunakan estimator berupa statistic mean ( ) untuk mengestimasi parameter mean populasi (μ). Nilai sampel Rp 2.000.000,- sebagai nilai estimate dari mean populasi.
X
![Page 13: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/13.jpg)
Metode Momen (Methode of Moment Estimator /
MME) “Metode moment diciptakan oleh Karl Pearson pada tahun 1800. Metode ini merupakan metode tertua dalam menentukan estimator titik.”
![Page 14: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/14.jpg)
• Misal X1, X2, ...., Xn adalah sampel random dari populasi dengan fungsi densitas f(x I θ), estimator metode momen didapatkan dengan menyamakan momen sampel ke-k pada momen populasi ke-k, dan menyelesaikan sistem persamaan simultan yang dihasilkan.
• Estimator metode momen dan didapatkan dengan menyelesaikan sistem persamaan
dalam bentuk m1,m2,...,mk yaitu:
= m1
= m2
. = mk
12
k
k ,...,,21 k ,...,, 21
![Page 15: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/15.jpg)
Contoh Soal
Misalkan x1, x2, x3, ....., xn adalah sample random dari populasi yang berdistribusi X N (, ^2). Dengan menggunakan metode momen, tentukan estimator titik untuk dan ^2
![Page 16: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/16.jpg)
Penyelesaian
• X N (, ^2) berarti E(X) = dan Var(Z) = ^2
• Var (X) = E (X^2)-(E(X))^2• ^2 = E (X^2) - ^2• E (X^2) = ^2 + ^2Sehingga memperoleh persamaan seperti
berikut:• E(X) = sehingga ^ =
• E (X^2) = maka ^^2 + ^^2 =
![Page 17: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/17.jpg)
^^2 = -
= -X^2
=
![Page 18: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/18.jpg)
Metode Kemungkinan Maksimum (Likelihood)
Metode kemungkinan maksimum merupakan metode untuk memperoleh estimator titik dengan cara memaksimumkan fungsi kemungkinan. Misalkan X adalah peubah acak kontinu / diskrit dengan fungsi kepadatan peluang f(x;θ), dengan θ adalah suatu parameter yang tidak diketahui, dan X1, X2,...,Xn sampel acak berukuran n,maka fungsi kemungkinan maksimum θ adalah:
n
i
xf1
);( );().........;().;()( 21 nxfxfxfL
![Page 19: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/19.jpg)
Misalkan X1, X2, ... , Xn adalah sampel acak berukuran n dari distribusi B (1; ), dengan tidak diketahui. Tentukan penaksir titik untuk dengan menggunakan metode kemungkinan Maksimum.
Contoh:
![Page 20: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/20.jpg)
Penyelesaian :Fungsi kepadatan peluang dari X adalah:
f (x; ) x = 0,1= 0 ; lainnya
Fungsi kemungkinan dari sampel acak berukurann adalah :
;. )1(1
xx
n xixiL
1
1
)1(.)(
)1()1()1(1212111
...... xnxnxxxx
)1( 11 .)(
n
i
n
i
xinxiL
![Page 21: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/21.jpg)
Kemudian kedua ruas diberi ln, sehingga akandiperoleh:
ln ln + .lnSelanjutnya kita turunkan ln terhadapYaitu:
)(L
n
iixL
1
.)( )(
n
iixn
1 1
)1(1
)(ln 11
n
ii
n
ii xx n
d
Ld
111
n
ii
n
ii xx n
0)(ln
d
Ld
![Page 22: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/22.jpg)
01
11
n
ii
n
ii xx n
0.11 1
n
i
n
iii xx n
n
ii
n
ii
n
ii xxx n
111
0..
Jadi, penaksir kemungkinan meksimum untuk adalahX, yang merupakan rerata sampel.
X1
n
n
iix
![Page 23: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/23.jpg)
ESTIMATOR BAYES
![Page 24: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/24.jpg)
Langkah-langkah untuk menentukan taksiran Bayes bagi θ adalah:
1. Tentukan fungsi kepadatan peluang gabungan dari X1,X2,…, Xn (dinotasikan) dengan g(X1,X2,… Xn) yang didefinisikan berikut: g(X1,X2,… Xn : θ ) = f(X1 ; θ ). F(X2 ; θ ). … f(Xn
; θ )
2. Tentukan fungsi densitas dari , yang besarnya diambil atau dipilih dan disesuaikan dengan g(X1,X2,… Xn : θ ) . Distribusi yang mempunyai fungsi densitas dari , dan dinotasikan dengan λ (θ), dinamakan distribusi prior.
![Page 25: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/25.jpg)
3. Penaksir Bayes untuk θ ditentukan oleh:a. jika λ (θ)dari peubah acak berbentuk diskrit, maka:• (x1,x2,…,xn) = • b. jika λ (θ)dari peubah acak berbentuk diskrit, maka:• (x1,x2,…,xn) =
![Page 26: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/26.jpg)
Contoh:
Misalkan x1,x2,…,xn merupakan sebuah sampel acak dari disrtibusi B(1 ; θ), θϵΩ = (0,1). Tentukan penaksir Bayes untuk θ
![Page 27: Estimasi Titik](https://reader036.vdocuments.site/reader036/viewer/2022081421/56814c22550346895db9267e/html5/thumbnails/27.jpg)
Penyelesaian:• Fungsi kepadatan peluang dari X adalah:f(x;θ) = θk(1-θ)1-x ; x = 0,1 = 0 = lainya.• Fungsi densitas gabungan dari X1,X2,…,Xn adalah: = f(x1 ; θ). F(X2 ; θ ). … f(Xn ; θ ) = [ ] [ ] = [ ] =