Seña
les
y Si
stem
as
Espacios de Señales
Seña
les
y Si
stem
as
• Señales y vectores.
• La relación entre álgebra lineal y señales.
• Espacios vectoriales y espacios de señales.
• Bases y transformaciones lineales.
4
Temas a tratar
Seña
les
y Si
stem
as
6
Introducción
• En general asociamos a las señales con “elementos aislados”.
• Ahora vamos a incorporar a las señales en “marcos estructurados” como los espacios vectoriales.
• Considerando a las señales como vectores de unespacio n-dimensional, podemos:
– aprovechar las propiedades de la estructura algebraica de los espacios vectoriales.
– interpretar el procesamiento de las señales desde una perspectiva geométrica.
– con un abordaje conceptual sencillo e intuitivo…
Seña
les
y Si
stem
as
7
Experimento conceptual
3
T1
T2
2
2
3
m
T
21
•Medimos la temperatura ambiente a intervalos de 1 minuto...
•Representamos en una gráfica en donde el eje de las
ordenadas indica el tiempo y el de las abscisas la magnitud de
la temperatura.
2
Seña
les
y Si
stem
as
8
Señales y vectores...
•Si volvemos a medir luego de 1 minuto y vemos que la
temperatura es 1 º C …
3
Seña
les
y Si
stem
as
9
0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Señales y vectores...
0 10 20 30 40 50 600
0.5
1
1.5
2
2.5
3
m
T
60En 1 hora ...
Para señales continuas...
Ya no puedo representarlo
gráficamente como un “vector”
en el espacio “tradicional”,
pero el concepto es el mismo ...
Es un solo
elemento,
vector o punto
Seña
les
y Si
stem
as
10
Señales y vectores...
• Definimos una señal x discreta en RN como:
• Definimos una señal x continua en R∞ como:
Seña
les
y Si
stem
as
11
Ahora con varios elementos...
• No nos interesa un elemento aislado…
• Sino c/u en “relación” al resto:
– Conjuntos de señales
– Espacios de señales
– Espacios lineales o vectoriales
– Espacios normados
……
…
…
…
……
…
…
……
Seña
les
y Si
stem
as
12
Un conjunto de
“puntos”+
un conjunto de
relaciones que lo
estructuran.
Espacio
( , )i jd x x
Seña
les
y Si
stem
as
13
Relaciones geométricas:
distancias, tamaños, formas,
alineaciones, ángulos, conexidad.
Otras relaciones definen
otros tipos de estructuras.
El caso más interesante es cuando
distintas estructuras interactúan
en un mismo espacio.
Espacios
Seña
les
y Si
stem
as
14
Métricos, topológicos, vectoriales,
afines, euclídeos, de medida,
de probabilidad, de distribuciones, ...
De Hilbert, de Banach, de Krein,
de Orlicz, de Sobolev,
de Schwartz, de Lebesgue,
...
Tipos de espacios
Seña
les
y Si
stem
as Conjuntos de Señales
El matemático alemán
George Cantor introdujo la Teoría de Conjuntos en
siglo XIX.
Seña
les
y Si
stem
as
16
Para ello debo primero definir un conjunto:
O el conjunto de las x, tal que p sea cierto, op es cierto, implica que x pertenece a .
Otra forma es como solución de la ecuación diferencial:
{ ; ( ) Re[ exp( )]}
=2 - , ,
x t j t
f t f
x
{ ; 0}dx xdt
x
Ejemplo: conjunto de las señales sinusoidales (1)
Una “señal” es un “punto” o elemento
de un conjunto
{ ; } p p x x
x1
x2
x4
x3
Seña
les
y Si
stem
as
17
{x; x(t) ≤ A1 v x(t) ≥ A2 }
{x; x(t) = 0, T1 > t v t > T2}
1 2 1 2
( ) ( )
; ( ) 0, ,
j tX x t e dt
X
x
T1 T2
Otros ejemplos...
Señales limitadas
temporalmente (2)
Señales limitadas en
amplitud (3) Señales de banda
limitada (4)( ) X
x(t)
x(t)A1
A2
tA1
A2
t
Seña
les
y Si
stem
as
18
Sin embargo, ...
• Un espacio es un conjunto de elementos
x que satisfacen una condición p, pero además...
– Se requieren otra/s propiedad/es para poder llamar al conjunto “espacio”...
– En particular, se debe dotar al conjunto de (al menos una):
• Estructura geométrica (espacio de señales).
• Estructura algebraica (espacio vectorial).
• …
Seña
les
y Si
stem
as
Estructura Geométrica
Seña
les
y Si
stem
as
20
Espacio de Señales
• Si al conjunto de señales definido anteriormente le
agregamos una métrica d
entonces se convierte en un espacio de señales .
• Los espacios de señales
son espacios métricos
cuyos elementos son
señales.
;d
Seña
les
y Si
stem
as
21
Espacio de señales
Conjunto de señales
+
Estructura geométrica
Distancia / Norma
;d
Seña
les
y Si
stem
as
22
Espacio de señales
Distancia / Norma
( , )i jd x x
Seña
les
y Si
stem
as
23
Espacio de señales
Distancia / Norma
( , )i jd x x
Seña
les
y Si
stem
as
Norma vs Distancia
• Norma: depende de un punto del espacio.
• Distancia: función de dos puntos del espacio.
24
Seña
les
y Si
stem
as
Norma
Analogías entre Señales y Vectores
Seña
les
y Si
stem
as
26
Norma
• Nos proporciona información acerca del “tamaño” de
una señal o vector x:
– Es un número real no negativo:
– Es homogénea con respecto a la escala:
– Satisface la desigualdad triangular:
• Hay diferentes normas pero la más empleada es la
denominada norma-p.
Seña
les
y Si
stem
as
27
Norma - p
• Secuencias temporales:
• Señales continuas:
1/
1/
( )
pp
npn
pp
p
x
x t dt
x
x
1 p
Seña
les
y Si
stem
as
28
¿Qué pasa cuando p es infinito?
sup
sup ( )
nn
t
x
x t
x
x
Seña
les
y Si
stem
as
¿Qué pasa para p entre 0 y 1?
• La definición es todavía de interés para 0 < p <
1, pero la función resultante no define una
norma* (porque viola la desigualdad del triangulo ►DEMOSTRAR).
* Salvo en R1, donde coincide con la norma Euclidea, y en R0, donde es trivial.
29
Seña
les
y Si
stem
as
30
¿ Y cuando p es = 0 ?
0 0
0
lim
# : 0
p
pp
nn x
x x
x
“Norma-0” >> Medida de “dispersión”
Seña
les
y Si
stem
as
31
2
2
1
x
x
x
Se denomina amplitud de la señal x
Se conoce como energía de la señal x
Suele llamarse acción de la señal x
Otros nombres...
Seña
les
y Si
stem
as
32
Ejemplo: amplitud y energía
x1
E(x)1/2
A(x)
x2
Seña
les
y Si
stem
as
33
¿La norma-p es la única?
• Existen muchas normas, pero esta es la más
utilizada porque permite diferentes
comportamientos variando p.
Seña
les
y Si
stem
as
34
¿Qué ocurre cuando varío p?
Superficie de
||x||p para
x = [x1, x2]
-10
0
10
-10
0
100
50
100
x1
p = 2
x2
||x|
| p
-10
0
10
-10
0
100
20
40
x1
p = 1.5
x2
||x|
| p
-10
0
10
-10
0
100
10
20
x1
p = 1
x2
||x|
| p
-10
0
10
-10
0
100
5
10
x1
p = 0.5
x2
||x|
| p
-10
0
10
-10
0
100
5
10
x1
p = 0.25
x2
||x|
| p
-10
0
10
-10
0
100
10
20
x1
p = 0.1
x2
||x|
| p
Seña
les
y Si
stem
as
36
¿La norma-p es la única?
• Otros ejemplos:
– Norma del Volumen Mínimo (similar a ||x||0)
– Norma de Cauchy
– Norma Varimax
– Otras dependiendo de la aplicación...
Seña
les
y Si
stem
as
37
Otras medidas útiles:
2
2
1
2
1( )
2
N
nn N
T
T
P xN
P x t dtT
x
x
Potencia media de una señal
Seña
les
y Si
stem
as
38
2
2
1lim
2
1lim ( )
2
N
nn N
T
T
P xN N
P x t dtT T
x
x
Otras medidas útiles:
Potencia media TOTAL de una señal
Seña
les
y Si
stem
as
39
Px
Otras medidas útiles:
Valor cuadrático medio (RMS):
Otras: Valor medio …
Seña
les
y Si
stem
as
Distancia
Seña
les
y Si
stem
as
41
Distancia
• La distancia es un concepto muy importante
asociado a un espacio.
• Nos permite dar sentido geométrico al espacio
a través de una “métrica”.
• Significados: “error” o “diferencia”,
“disimilitud” o “grado de aproximación”
entre dos señales.
Seña
les
y Si
stem
as
42
Distancia vs Norma
• Una métrica puede derivarse a partir de una norma:
• La norma se refiere a un solo elemento, mientras
que la distancia a dos ( norma ≡ distancia al origen ).
Pueden existir métricas que
no deriven de normas( , )d x y x y
Seña
les
y Si
stem
as
43
yxyxdyxd 0),(0),(
),(),( xydyxd
),(),(),( zydyxdzxd
2) Es simétrica:
3) Cumple con la desigualdad del triángulo:
Distancia: Propiedades
1) Es una función de dos puntos x, y con valor real positivo:
?
Seña
les
y Si
stem
as
44
“Cada lado de un triángulo es menor que
la suma de los otros dos”
“Si antes de ir a casa paso por lo de un amigo, camino más que si
voy derecho a casa, salvo que su casa esté de camino a la mía”
“Si para volar a Buenos Aires hago una escala en Córdoba, tomo
otro vuelo de Córdoba a Buenos Aires, pago más que volando
directamente”
Desigualdad triangular: sentido común …
¡No siempre!
Seña
les
y Si
stem
as
45
¿A qué distancia está ....
… la Catedral …
… del Edificio del Libertador?
¿402 metros?
¿o 565 metros?
¿Es igual caminando
que en auto?
Seña
les
y Si
stem
as
46
Distancia en Internet
• ¿Cómo medirían
las distancias de
comunicación
por Internet?
• ¿Es razonable
medirlas en
Kms?
Seña
les
y Si
stem
as
47
Distancia en Internet
• Mapa parcial de Internet (30%, Enero 2005, opte.org).
• Cada línea se dibuja entre dos nodos (direcciones IP).
• La longitud indica el retardo entre nodos.
• Los colores corresponden a los dominios:
– Azul: net, ca, us
– Verde: com, org
– Rojo: mil, gov, edu
– Amarillo: jp, cn, tw, au, de
– Magenta: uk, it, pl, fr
– Oro: br, kr, nl
– Blanco: desconocido
Seña
les
y Si
stem
as
48
Distancia en Internet
• El mundo visto desde Internet: ¿Qué pasa si modificamos las
distancias teniendo en cuenta la cantidad de conexiones?
Seña
les
y Si
stem
as
49
Distancia en habla ruidosa
• La SNR no es una buena medida de la inteligibilidad del
habla, ¿Cómo la medimos entonces?
Seña
les
y Si
stem
as
50
Distancia en habla ruidosa
• LAR
– Diferencia entre los espectros limpio y ruidoso:
• PESQ
– Modelo de percepción auditiva:
Leandro Di Persia, Diego Milone, Hugo Leonardo Rufiner, Masuzo Yanagida, “Perceptual
evaluation of blind source separation for robust speech recognition”, Signal Processing
88 (2008) 2578– 2583.
Seña
les
y Si
stem
as
52
Entonces …
• Diferentes relaciones, diferentes maneras
de medir distancias, estructuran el
espacio de diferentes formas.
Seña
les
y Si
stem
as
Ejemplo: Espacios señales “equidistantes”
• Defino un espacio de señales equidistantes
utilizando la distancia de Hamming…
Seña
les
y Si
stem
as
54
La distancia de
Hamming (1915-1998)
entre dos “palabras” es
el número de posiciones
en que difieren.
Distancia de Hamming
Seña
les
y Si
stem
as
55
Algunos bytes, señales, puntos
0000000 0111100
0001111 1011010
0110011 1100110
1010101 1101001
Seña
les
y Si
stem
as
56
¿En cuántas posiciones difieren?
1011010
1010101
0001111
Difieren todos exactamente en
cuatro posiciones equidistantes
Seña
les
y Si
stem
as
57
Aplicación: Codificación señales “binarias”
100 0001111
010 0110011
001 1010101
Ocho “puntos”para codificar las
“señales”
de 3 bits
000 100
010 001
110 101
011 111
Seña
les
y Si
stem
as
58
Codificación
100 0001111
010 0110011
001 1010101
000 0000000
Seña
les
y Si
stem
as
59
Codificación
100 0001111 110 0111100
010 0110011
001 1010101
000 0000000
Seña
les
y Si
stem
as
60
Codificación
100 0001111 110 0111100
010 0110011 101 1011010
001 1010101 011 1100110
000 0000000 111 1101001
Seña
les
y Si
stem
as
61
Corrección de errores y borrones
100 - 0001111
010 - 0110011
001 - 1010101
000 - 0000000
¿1X00010?
110 - 0111100
101 - 1011010
011 - 1100110
111 - 1101001
1100110
011
Seña
les
y Si
stem
as
62
Distancias definida por la norma-p
• Como vimos una métrica se puede definir a partir de una
norma, por ejemplo la norma-p: ( , )p
d x y x y
Seña
les
y Si
stem
as
63
¿Qué ocurre cuando varío p?
x1
x 2
p = 2
-10 -5 0 5 10-10
-5
0
5
10
x1
x 2
p = 1.5
-10 -5 0 5 10-10
-5
0
5
10
x1
x 2
p = 1
-10 -5 0 5 10-10
-5
0
5
10
x1
x 2
p = 0.5
-10 -5 0 5 10-10
-5
0
5
10
x1
x 2
p = 0.25
-10 -5 0 5 10-10
-5
0
5
10
x1
x 2
p = 0.1
-10 -5 0 5 10-10
-5
0
5
10
Curvas de nivel
de ||x||p para
x = [x1, x2]
Seña
les
y Si
stem
as
64
¿Qué ocurre cuando varío p?
x1
x 2
p= 2
-10 -5 0 5 10-10
-5
0
5
10
x1
x 2
p= 1
-10 -5 0 5 10-10
-5
0
5
10
x
0x
0 0( , )p
d x x xx
Seña
les
y Si
stem
as
66
Otras distancias…
Distancia de Levenshtein (distancia de edición)
• Distancia entre palabras:
– Número mínimo de operaciones requeridas para transformar una
cadena de caracteres en otra.
– Operaciones: inserción, eliminación o sustitución de un carácter.
• Es útil en programas que determinan cuán
similares son dos cadenas de caracteres, como
es el caso de los correctores de ortografía.
Seña
les
y Si
stem
as
67
Otras distancias…
Distancia de Levenshtein (distancia de edición)
• Ejemplo: la distancia de Levenshtein entre "kitten" y "sitting" es de 3 porque se necesitan al menos tres ediciones elementales para cambiar una en la otra:
– kitten → sitten (sustitución de 'k' por 's')
– sitten → sittin (sustitución de 'e' por 'i')
– sittin → sitting (inserción de 'g' al final)
• Generalización de la distancia de Hamming, que
se usa para cadenas de la misma longitud y solo
considera como operación la substitución.Vladimir
Levenshtein,
Rusia 1965.
Seña
les
y Si
stem
as
68
Otras distancias…
Distancia de Mahalanobis:
1( , ) ( ) ( )Td x y x y C x y
matriz de covarianza
Toma en cuenta la estadística de los datos
Prasanta
Chandra
Mahalanobis,India 1936.
Seña
les
y Si
stem
as
69
Otras distancias…
Distancia de Mahalanobis:
• Ejemplo: – Un pescador quiere medir la similitud entre salmones para vender los
grandes más caros.
– Para cada salmón mide su anchura y su longitud x = [x1, x2] (diferencias de escala).
– Si usa la distancia Euclídea el ancho casi no cuenta.
– Entonces debe incorporar la estadística de los datos: las variables con menos varianza tendrán más importancia que las de mayor varianza (σ11 y σ22 en C).
– Y debe tener en cuenta también que la longitud y anchura no son independientes (σ12 y σ21 en C).
1( , ) ( ) ( )Td x y x y C x y
Seña
les
y Si
stem
as
70
Otras distancias…
• Distancia de Minkowski con pesos.
• Distancia de Hamming (ya vista).
• ….
Seña
les
y Si
stem
as
Divergencia de Kullback-Leibler
• Sean x y y dos señales en N y sea DKL la
denominada "Divergencia de Kullback-
Leibler“:
• ¿Es una distancia?¿Por qué?
71
KL1
[ ]( , ) [ ]log
[ ]
N
i
x iD x i
y ix y Se
ñale
s y
Sist
emas
72
Ejemplos de espacios de señales
• Espacio de secuencias temporales reales:
• Espacio de señales de tiempo continuo reales:
– Ambos suelen usar la métrica euclideana:
{ [ ]}; ; [ ] ; 1x n n x n n N
{ ( )}; ; ( ) ; -x t t x t t
2( , )d x y x y
Seña
les
y Si
stem
as
Producto Interno
Analogías entre Señales y Vectores
Seña
les
y Si
stem
as
74
Producto interno
Otra medida de
similitudentre señales
Seña
les
y Si
stem
as
75
Componente de un vector en otro
• Proyección de v1 sobre v2
• Menor error de modo que:
v1 = c12 v2 + ve
Seña
les
y Si
stem
as
76
Pero no cumplen la condición de error mínimo
Otras alternativas podrían ser
Seña
les
y Si
stem
as
77
¿Cómo calculamos c12?
c12 |v2| = |v1| cos(q)
La componente de la componente de v1 a lo largo de
v2 será:
Seña
les
y Si
stem
as
78
Además, sabemos que:
¿Cómo calculamos c12?
c12 |v2| = |v1| cos(q)
La componente de la componente de v1 a lo largo de
v2 será:
< v1 , v2 > = |v1| |v2| cos(q)
Seña
les
y Si
stem
as
79
¿Cómo calculamos c12?
Ahora podemos escribir:
22
2112
,
,
vv
vvc
Seña
les
y Si
stem
as
80
c12 mide el parecido entre v1 y v2
Seña
les
y Si
stem
as
81
c12 mide el parecido entre v1 y v2
Si v2 tiene norma unitaria:
2112 , vvc
Seña
les
y Si
stem
as
82
Producto Interno, normas y métricas
• Al definir el producto interno se obtiene
también una norma y una métrica para el
espacio:
2
2,x x x
Seña
les
y Si
stem
as
83
Producto interno en
¿señales continuas?
Seña
les
y Si
stem
as
84
• El concepto de proyección y ortogonalidad
de vectores se puede extender a las señales.
• Se considerarán dos señales f1(t) y f2(t)
donde se se desea aproximar f1(t) en
términos de f2(t) en un cierto intervalo (t1, t2)
Producto interno …
Seña
les
y Si
stem
as
85
Se desea aproximar f1 mediante f2
f1(t) ≈ C12 f2(t) en (t1 < t < t2).
Se define la función error fe(t):
fe(t) = f1(t) - C12 f2(t).
Debemos encontrar un valor de C12 que
minimice el error entre las dos funciones
Seña
les
y Si
stem
as
86
2
1121 2
2 1
( ) ( )t
t t dttEM
t t
f fC
2
1
2
2 1
( )e
tt dt
tECMt t
f
Seña
les
y Si
stem
as
87
2
1 2112 2 2
21
( ) ( )
( ( ))
t
tt
t
f t f t dt
Cf t dt
120
ECMC
Seña
les
y Si
stem
as
88
2
1 2112 2
2 21
( ) ( )
( ) ( )
t
tt
t
f t f t dt
Cf t f t dt
120
ECMC
Si nuestra señal puede tomar valores complejos
Seña
les
y Si
stem
as
89
2
1
( ) ( ) 01 2tf t f t dt
t
Ortogonalidad de Funciones
Seña
les
y Si
stem
as
90
Iguales
Ortogonales
Opuestas
Vectores Señales Produto Producto
interno
x, y > 0
x, y = 0
x, y < 0
Seña
les
y Si
stem
as
91
0
( ) ( ) stX s x t e dt
( ) ( ) j tX x t e dt
( ) ( ). n
n
X z x n z
Transformaciones lineales...
Seña
les
y Si
stem
as
92
( ) ( ) ( ) ( )x t y t x y t d
( ) ( ) ( )xyR t x y t d
Otras operaciones lineales...
Seña
les
y Si
stem
as
Estructura Algebraica
Seña
les
y Si
stem
as
94
¿Qué pasa si sumo dos señales de ?
{ ; ( ) Re[ exp( )]}
=2 - , ,
x x t j t
f t f
+ =
……
…
…
…
……
…
…
……
?
Conjunto de las señales
sinusoidales (1)
Seña
les
y Si
stem
as
95
Campo Escalar
• K es un campo escalar (un conjunto)
– Adición + : K x KK– Producto . : K x KK
– Neutro aditivo: 0
– Neutro multiplicativo: 1
• Ejemplos: Z, R, C
Seña
les
y Si
stem
as
96
Espacio Lineal
• Conjunto para el que están definidas las
operaciones binarias (cerradas) de:
– Multiplicación de cualquier elemento por un escalar
– Adición entre cualesquiera de sus elementos
• Estas operaciones son conmutativas, asociativas y
distributivas.
• Poseen elemento neutro y cancelativo.
; ; ;
Seña
les
y Si
stem
as
97
Espacio Lineal
; ; ;
Seña
les
y Si
stem
as
98
(1) no es
un
espacio
vectorial.
Espacio Lineal
• A los elementos de los espacios lineales
los llamamos vectores y podemos
referirnos al espacio como espacio
vectorial.
Seña
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y Si
stem
as
99
Espacios Normados
• Son aquellos espacios vectoriales en los que
todos sus elementos poseen norma finita.
• Ejemplos:
– Los subconjuntos de señales que poseen energía
finita o acción finita son espacios normados:
2 ( )L1( )L 2 ( )1( )
Seña
les
y Si
stem
as
100
Espacios Normados
• Ejemplos:
1( ) ; ( ) ; ; ( ) ,L x x t dt t x t t
2
2 ( ) ; ( ) ; ; ( ) ;L x x t dt t x t t
1( ) ; [ ] ; ; [ ] ;n
x x n n x n n
2
2 ( ) ; [ ] ; ; [ ] ;n
x x n n x n n
(pueden definirse también en C o Z):
Seña
les
y Si
stem
as
101
Espacios con Producto Interno
• Debido a la importancia del producto interno
para comparar señales aparece este tipo
particular de espacios.
• Un espacio con producto interno:
I(x , y) = < x , y >,
es un espacio vectorial con un producto interno
definido en él.
Seña
les
y Si
stem
as
102
Espacios con Producto Interno
• Como ya vimos, al definir el producto interno
se obtiene también una norma y una métrica
para el espacio:
2
2,x x x
Seña
les
y Si
stem
as
103
Espacio Euclídeo
• Es el espacio matemático n-dimensional usual,
una generalización de los espacios de 2 y 3
dimensiones estudiados por Euclides.
• Estructuralmente es:
– un espacio vectorial normado de
dimensión finita sobre los reales
– la norma es la asociada al producto
escalar ordinario (norma 2).
• Se denota como: RNEuclides
(300 a.C, Grecia)
Seña
les
y Si
stem
as
104
Espacios de Hilbert
• H es un espacio de Hilbert si es completo con
respecto a la norma generada por < x , x >.
• Completo significa que no tiene “agujeros”.
• Constituye una generalización
del concepto de espacio euclídeo.
• Permite extender nociones
de espacios de dimensión
finita a los de dimensión
infinita. David Hilbert
(1862-1943, Alemania)
Seña
les
y Si
stem
as
105
Conjuntos, espacios y señales …
Conjuntos de señales
Espacios
métricos
Espacios
vectoriales
Espacios
|normados|
Espacios con
producto
<.,.>
Señales
aisladas
Hilbert 2 ( )L
1( )1( )L
RN
Seña
les
y Si
stem
as
Bases y transformaciones
Próxima clase ….
Seña
les
y Si
stem
as
122
Bibliografía
• Mertins, “Signal Analysis”, John Wiley & Sons
• Franks, “Teoría de la señal”, Reverté.
• De Coulon, “Signal Theory and Processing”, Artech-
House.
• Lathi, “Modern Digital and Analog Communication
Systems”, Holt, Rinehart & Winston.
• Citas completas y repaso en:
– Milone, Rufiner, Acevedo, Di Persia, Torres,
“Introducción a las señales y los sistemas discretos”,
EDUNER (Cap. 2).