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ESPACES DE BANACH HOPFIENS ET COHOPFIENS
Amin Kaidi
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[ASL-05] Spiros A. Argyros, Jordi Lopez-Abad, Stevo Todorcevic: A class of Banach spaces with few non-strictly singular operators, Journal of Functional analysis 22 (2005), 306-384.
[BKMO-06] M. Burgos, A. Kaidi, M. Mbekhta, M. Oudghiri : The descent spectrum and perturbations, Journal of Operator Theory 56 (2006) 259-271
[GM-93] W.T. Gowers, B. Maurey : The unconditional basic sequence problem, Journal of the American Mathematical Society 6 (1993), 851-874.
Réferences
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[HKL-10] A. Haily, A. Kaidi, A. Rodriguez: Algebra descent spectrum of operator 177 (2010), 349-368.
[HKL-11] A. Haily, A. Kaidi, A. Rodriguez: Centralizers in semisimple algebras, and descent spectrum in Banach algebras, Journal of Algebra 347(2011) 214-223.
[HKS-07] A. Hmaimou, A. Kaidi and E. Sánchez : Generalized Wittig modules and rings, Journal of Algebra 308 (2007), 199-214.
[V-92] K. Varadarajan: Hopfian and co-hopfian objects, Publicacions Matemátiques, Vol 36 (1992), 293-317.
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Motivation:
Thèoréme 1. Pour un ensemble X, les affirmations suivantes sont équivalentes:
i) X est fini
ii) Toute application injective de X en X est bijective
iii Toute application surjective de X en X est bijective
iv) Toute application inversible á gauche est inversible
v) Toute application semplifiable á gauche est semplifiable
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Théorème II. Pour un espace vectoriel X, les affirmations suivantes sont équivalentes:
i) X est de dimension finie
ii) Toute application linéaire, injective de X dans X est bijective
iii Toute application linéaire surjective de X dans X est biyective
iv) Toute application linéaire inversible á gauche est inversible
v) Toute application linéaire simplifiable á gauche est simplifiable
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Définition [V-92]: Soit X un objet d’une catégorie . On dit que X est hopfien (resp. Cohopfien) si tout epimorphisme (resp. monmorphisme) est inversible. X est dit Dedekind-fini si tout endmorphisme inversible d’un coté est inversible.Remarque: Dans la catégorie des groups abéliens les 3 notions antérieures ne sont pas equivalentes.
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Soit X un espace de Banach, par BL(X) on note l’algèbre d’opérateurs linéaires continus de X dans X.
Définitions: Un espace de Banach X est dit hopfien (resp. cohopfien) si toute application linéaire continue surjective (resp. injective) est bijective. Et il est dit Dedekind fini si pour tout T, S dans BL(X) on a TS=I entraine ST=IExemples et remarques :
-Tout espace de Banach de dimension finie est hopfien et cohopfien.
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- Tout espace de Banach hopfien ou cohopfien est Dedekind fini.- Pour un espace d’Hilbert, hopfien, cohopfien,
Dedekind fini sont équivalentes á la dimension finie.
-Le première exemple d’espace de Banach de dimension infinie hopfien á été construit par Gowers et Maury en 1993, [GM-93].
-La construction d’un espace de Banach de dimension infinie cohopfien n’a été réalisé que récemment par Avilés et Koszmider en 2013, [ AK-13].-
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Proposition: Pour un espace de Banach X, les assertions suivantes sot équivalentes :
i) X est hopfien.
ii) X n’est pas isomorphe a aucun de ses espaces quotients propres.
iii) X est Dedekind fini et pour tout opérateur surjectif T de BL(X) on a le noyau de T, N(T), est facteur direct de X.
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Définition: Un espace de Banach X est dit indécomposable s’il ne peut pas être écrit comme somme direct de deux sous espaces fermés de dimension infinie. Et il est dit hereditairement indécomposable (H. I. ) si tous ses sous espaces fermés sont indécomposables.
Proposition: Sois X un espace de Banach H.I. Alors tout opérateur linéaire continu de X dans X est de la forme oú est dans (=: ou et S est strictement singulier.
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Proposition [HKR-10]: Soit X un espace de Banach tel que pour tout T dans BL(X) on a, Int(, l’intérieur du spectre de T vide. Alors X n’est pas isomorphe á aucun sousespace propre ni á aucun espace quotient propre. En particulier X est hopfien.
Corollaire [HKR-10]: Tout espace de Banach H.I. est hopfien.
Remarques:
Ils existent d’espaces de Banach hopfiens que ne sont pas H.I. Dans [ALT-05], les auteurs construisent un espace reflexif non séparable dont les opérateurs ont un spectre dénombrable.
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Définitions [BKMO-06], [HKR-11]: Soit T un opérateur linéaire d’un espace vectoriel X sur un corps K. La descente d(T) de T est définie par:
Avec la convention min . Où R(.) note le rang
Le spectre descente de T est :
Si A est une K-algèbre et a on pose:
Où est l’application de A dans A.
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Théorème [HKR-10]: Il existe d’espaces de Banach X avec un opérateur T de BL(X) tel que:
Définition [HKR-10]: On dira qu’un espace de Banach X vérifie l’égalité du spectre descente ( DSE) si:
pour tout T dans BL(X).
Les espaces sont DSE-espaces et ils ne la vérifient pas .
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Théorème [HKR-10]: Les espaces de Banach hopfiens vérifient la DSE.
Théorème [HKR-10]: Soit X un espace de Banach. Alors les affirmations suivantes sont équivalentes:i) X est hopfienii) X est Dedekind fini et vérifie la DSE.iii) Pour tout T dans BL(X) on a
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Théoréme [HKR-10]: Tout espace de Banach cohopfien X, dont le dual (topologique) X* est w*-séparable est de dimension finie.
Remarque [HKR-10]: Tous les espaces de Banach séparables et H. I. ont la propriété précédente.
THÉORÈME [AK-13]: Il existe un espace topologique compact séparé (infini) K tel que l’espace de Banach C(K) est cohopfien.
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Espaces de Banach fortement hopfiens ou fortement cohopfiens. Définition [HKS-07]: Un espace de Banach X est dit
fortement hopfien (resp. fortement cohopfien) si pour tout T de BL(X) on a l’ascente de T, a(T): , (resp. d(T)) est fini.
Remarque:- Tout espace de Banach fortement hopfien est hopfien.- Tout espace de Banach fortement cohopfien est cohopfien.- Théorème: Tout espace de Banach fortement hopfien ou
fortement cohopfien est de dimension finie.
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Problèmes ouvertes
I) Caractériser les espaces topologiques compacts pour lesquels C(K) est hopfien ou cohopfien.
2) Caractériser les espaces de Banach Hopfiens ou cohopfiens hereditaires (Les sous espaces fermés et/ou les espaces quotients sont de même type).
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3) Caractériser les espace de Banach hopfiens ou cohopfiens X par de propriétés de leur algèbre d’opérateurs BL(X).
4) Est-ce que les espaces de Banach cohopfiens sont hopfiens.
5) Est-ce que tout espace de Banach Dedekind fini est hopfien.
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Merci pour votre attention
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