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Equilíbrio limite (segurança contra ELU em
Geomecânica)
REQUISITO
Conhecer Estática
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12/10/2018
Introdução
Terzaghi, K. (Theoretical Soil Mechanics, 1943)
Os problemas de Engenharia Geotécnica:
◼ Problemas de elasticidade: modelo elástico linear (parâmetros de deformabilidade: E, )
◼ Problemas de estabilidade: modelo rígido-plástico (parâmetros de resistência: c´, ´, su)
◼ Água (e seu fluxo)◼ Permanente – Laplace
◼ Transiente◼ Adensamento
◼ + elasticidade => compressibilidade (Cr , pa , Cc , cv)
◼ + estabilidade => resistência não drenada (parâmetro de resistência: su)
◼ Fluxo saturado-não saturado (sucção)
Waldemar Hachich 2
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Filmes de rupturas (ELU)◼ http://www.youtube.com/watch?v=aPpKd49MknA&playnext=1&
list=PL0DCA5ABF8AEB8AA2&feature=results_main
◼ http://www.youtube.com/watch?v=sQo_sVlsSBA
◼ http://www.youtube.com/watch?v=Ny94aGWOXPw&feature=fvwrel
◼ https://www.youtube.com/watch?v=XRc6pikwKZo
◼ http://www.youtube.com/watch?v=mknStAMia0Q
◼ https://www.youtube.com/watch?v=wN3R5yIi7fc
◼ https://www.youtube.com/watch?v=IM6B2p47k2Q
◼ https://www.reddit.com/r/CatastrophicFailure/comments/byyfse/cracked_road_collapses_into_a_construction_site/
◼ https://youtu.be/XLoWG70JpMo
12/10/2018 Waldemar Hachich 3
Observação de rupturas
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Lições da observação de rupturas
◼ Para o projeto
◼ Modos de ruína (como pode romper?)
◼ Investigação do solo é barata!
◼ Monitoramento é barato!
◼ Probabilidade de ruína nunca é nula
◼ Para a operação
◼ Plano de contingência salva vidas
12/10/2018 Waldemar Hachich 4
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Problemas de estabilidade típicos (ELU)
◼ Estabilidade de taludes
◼ Capacidade de carga de fundações
◼ Empuxo sobre muros de arrimo
12/10/2018 Waldemar Hachich 5
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12/10/2018
Pontos em comum: o quê conhecer
◼ Modo de ruptura(superfícies de escorregamento, por exemplo)
◼ Solicitações (tensões) na(s) superfície(s)
◼ Resistência(tensões) na(s) superfície(s)
Waldemar Hachich 6
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12/10/2018
Conhecimento necessário
◼ Observação de rupturas
◼ Equações de equilíbriodo(s) bloco(s) delimitado(s) pela(s) superfície(s) V = 0 H = 0 M = 0
◼ Modelo de resistência
Waldemar Hachich 7
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12/10/2018
Alguns tipos comuns de instabilidades de taludes
◼ Escorregamentosa) rotacionalb) translacionalc) limitado por camada
resistented) condicionado por
camada fraca
◼ Corridas de massae) corrida de lama
◼ Rastejo
◼ Outrosf) tombamento
Waldemar Hachich 8
Observação de rupturas
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12/10/2018
Situações 2D? Simplificações!
◼ Escorregamentosa) rotacionalb) translacionalc) limitado por camada
resistented) condicionado por
camada fraca
◼ Corridas de massae) corrida de lama
◼ Rastejo
◼ Outrosf) tombamento
Waldemar Hachich 9
Observação de rupturas
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12/10/2018
Equilíbrio estático (2D)
◼ Equilíbrio de forças na direção 1 (por exemplo, vertical)
◼ Equilíbrio de forças na direção 2 (por exemplo, horizontal)
◼ Equilíbrio de momentos
Waldemar Hachich 10
Equações de equilíbrio
V = 0 H = 0 M = 0
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12/10/2018
▪ Mohr-Coulomb
s
t
tr= su
s’, s
t
c’, c
’,
▪Tresca
Modelos de resistência usuais para solos e rochas
tr= s = c + s tg
Waldemar Hachich 11
Modelo de resistência
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Escolha do modelo de resistência
◼ Aplicabilidade do modelo Mohr-Coulomb e do modelo Tresca
◼ Diferença entre comportamento drenado e não drenado, função do tipo de solo e da velocidade da solicitação
◼ Foco, neste momento, no processo de análise de segurança
12/10/2018 12
Modelo de resistência
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Processo usual de análise
12/10/2018
◼ Equilíbrio Limite, DOIS requisitos:
1) Sistema precisa estar em EQUILÍBRIOEquilíbrio estático = Estática (Mecânica A!)
2) Equilíbrio em questão deve estar no limiar da ruptura, no LIMITENenhuma estrutura é, em princípio, projetada para trabalhar em condição de iminência de ruptura, portanto...
Waldemar Hachich 13
Processo de análise
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Processo usual de análise
12/10/2018
◼ Para satisfazer ao requisito 2):
a) Resistência precisa ser reduzida
ou
b) Solicitação precisa ser aumentada
ou
c) Uma combinação das duas (coeficientes parciais)
s = c' + s' tg '
s = su
14
Processo de análise
t = s / F F = s / t
qr = q x F F = qr / q
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12/10/2018
Processos maissofisticados
◼ Análise limite da Teoria da Plasticidade (vide, por exemplo, soluções para capacidade de carga de fundações)
Waldemar Hachich 15
Processo de análise
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12/10/2018
1. Identificar modo de ruína (observação tipo de instabilidade)
2. Escolher superfície de ruptura e identificar massa em escorregamento por ela delimitada
3. Identificar solicitações e resistências atuantes na massa
4. Impor limiar de ruptura (LIMITE):
◼ na superfície de ruptura, solicitação = resistência / F
ou
◼ resistência (solicitação de ruptura) = solicitação x F
5. Equações de equilíbrio para determinar F (EQUILÍBRIO)
Análise de estabilidadeProcesso do equilíbrio limite
16
Processo de análise
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12/10/2018
Análise de estabilidadeProcesso do equilíbrio limite
17
Processo de análise
1. Identificar modo de ruína (observação tipo de instabilidade)
2. Escolher superfície de ruptura e identificar massa em escorregamento por ela delimitada
3. Identificar solicitações e resistências atuantes na massa
4. Impor limiar de ruptura (LIMITE):
◼ na superfície de ruptura, solicitação = resistência / F
ou
◼ resistência (solicitação de ruptura) = solicitação x F
5. Equações de equilíbrio para determinar F (EQUILÍBRIO)
6. Pesquisar superfície mais crítica (F mínimo)
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12/10/2018
Aplicações do Método do Equilíbrio Limite
◼ Estabilidade de taludes
◼ Capacidade de carga de fundações
◼ Empuxos sobre muros de arrimo
Waldemar Hachich 18
Processo de análise
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CONTEXTO
Exemplo: segurança de barragem de terra
ELU
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cutoff
Estabilidade de taludes de barragem
3. Solicitações• peso específico dos materiais• pressões neutras (de percolação
e excessos de poropressão)4. Processo de cálculo
Segurança depende de:1. Forma e localização das superfícies
críticas2. Resistência
• parâmetros de resistência dos materiais
região principal sujeita a
pressões neutras de percolação
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Resistência (e deformabilidade)
deformação
tensão 𝜎1 − 𝜎3 /2
50
0,005
E = 10000 kPa E = 2500 kPa Módulo de Young ou módulo de elasticidade
0,020
100
70
𝝈𝟏
𝝈𝟏
𝝈𝟑 𝝈𝟑
resistência de pico do material verde
resistência do material verde no estado crítico
40
resistência do material vermelho
limite provável das tensões de trabalho “seguras”
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Resistência = f(compactação)Deformabilidade =
f(compactação)
Material compactado diferentemente em diversas zonas da barragem propicia
diferentes propriedades mecânicas para atender aos requisitos de projeto
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Permeabilidade = f(compatação)
Material compactado diferentemente em diversas zonas da barragem propicia
diferentes propriedades mecânicas para atender aos requisitos de projeto
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Bloco deslizante
12/10/2018 Waldemar Hachich 24
Processo de análise
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Bloco deslizante
12/10/2018 25
Processo de análise
F =
F
W
N
T
Escorrega?
Comparar
mk x N
(resistência)
com T
(solicitação)!
Linhas de ação
(direções)
conhecidas
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Bloco deslizante
12/10/2018 26
Processo de análise
W
F = 0 N
T
N
Linhas de ação
(direções)
conhecidas
F
ST =
S = resistência de atrito
= mk N
T
NF km
=
Hipótese do
Equilíbrio Limite
F = fator de segurança
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Processo usual de análise
◼ Equilíbrio Limite1) Equilíbrio estático = Estática
2) Limite = iminência da ruptura
◼ Pesquisa da superfície crítica (minimização de F)
12/10/2018 Waldemar Hachich 27
Processo de análise
s = c' + s' tg '
s = su
t = s / F F = s / t
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Talude infinito
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12/10/2018
Equilíbrio estático (no plano)
◼ Equilíbrio de forças na direção 1 (por exemplo, vertical)
◼ Equilíbrio de forças na direção 2 (por exemplo, horizontal)
◼ Equilíbrio de momentos
Waldemar Hachich 29
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12/10/2018
Talude infinito
◼ QE = - QD
◼ N = N’ + U
◼ W = z b == z ℓ cos
QE
QD
W
T
N
= inclinação do talude
= inclinação da superfície de escorregamento z
b
ℓ
Waldemar Hachich 30
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12/10/2018
Equilíbrio
◼ Forças
◼ T = W sen = z ℓ cos sen
◼ N = W cos = z ℓ cos cos
◼ Momentos
W
N
T
W
N
T
Waldemar Hachich 31
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◼ Limite
◼ T = S / F = sℓ / F
◼ F = (cℓ+ s'ℓ tg ) / T
◼ F = (cℓ+ N' tg ) / T
◼𝐹 =𝑐ℓ+ 𝛾𝑧ℓ cos2 𝛼 − 𝑈 tan 𝜙
𝛾𝑧ℓ cos 𝛼 sin 𝛼
12/10/2018
Equilíbrio limite
W T
W
N=N’+U
T
Waldemar Hachich 32
m =
coeficiente
de atrito
◼ Equilíbrio
◼ 𝑇 = 𝛾𝑧ℓ cos 𝛼 sin 𝛼
◼ 𝑁 = 𝛾𝑧ℓ cos2 𝛼
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◼ Limite
◼ T = S / F = sℓ / F
◼ F = (cℓ+ s'ℓ tg ) / T
◼ F = (cℓ+ N' tg ) / T
◼𝐹 =𝑐ℓ+ 𝛾𝑧ℓ cos2 𝛼 − 𝑈 tan 𝜙
𝛾𝑧ℓ cos 𝛼 sin 𝛼
12/10/2018
Equilíbrio limite
◼ Equilíbrio
◼ 𝑇 =
◼ 𝑁 =
W
N’ = N - U
T
W
T
Waldemar Hachich 33
m =
coeficiente
de atrito
N=N’+U
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12/10/2018
Equilíbrio limite de talude infinito: F(z)
tan
tan
cos1
2sen
2)(
2
−+
=
z
u
z
czF
z
solo
rocha
H
Waldemar Hachich 34
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12/10/2018
Equilíbrio limite de talude infinito: pesquisa da superfície de Fmín
tan
tan
cos1
2sen
2)(
2
−+
=
z
u
z
czF
POSIÇÃO da superfície crítica
z
solo
rocha
H
Waldemar Hachich 35
𝒎𝒊𝒏 𝑭 𝒛 ⇒ 𝒛 = 𝒛𝒎á𝒙 = 𝑯
𝒎𝒊𝒏 𝑭 𝒛 = 𝑭(𝒛𝒎á𝒙) = 𝑭(𝑯)
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12/10/2018 Waldemar Hachich 36
z
solo
rocha
H
Equilíbrio limite de talude infinito: Fmín
𝐹𝑚í𝑛 =2𝑐
𝛾𝐻 sin 2𝛼+ 1 −
𝑢
𝛾𝐻 cos2 𝛼
tan𝜙
tan 𝛼
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12/10/2018
Número de estabilidade
tan
tan
cos1
2sen
22
−+
=
H
uNF E
Waldemar Hachich 37
z
solo
rocha
H𝑵𝑬 =
𝒄
∙ 𝑯
𝐹𝑚í𝑛 =2𝑐
𝛾𝐻 sin 2𝛼+ 1 −
𝑢
𝛾𝐻 cos2 𝛼
tan𝜙
tan 𝛼
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12/10/2018
Número de estabilidade(importante não apenas para talude infinito!)
H
cNE
=
1 / NE
Exemplo de ábacos de estabilidade de
taludes (taludes em geral)
Waldemar Hachich 38
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12/10/2018
F de talude infinito
tan
tan
cos1
2sen
22
−+
=
H
uNF E
Waldemar Hachich 39
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12/10/2018
Talude infinito: casos particulares
◼ Estudar esses e outros casos, por exemplo no livro-texto de Obras de Terra de autoria do Prof. FaiçalMassad)
seco
submerso
com fluxo // talude
Waldemar Hachich 40
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Talude infinito: casos particulares(para não serem esquecidos!)
◼ Talude seco ou c/ fluxovertical p/ baixo:
◼ Com fluxo // talude: 2cos= Hu w
= 0 se c = 0
tan
tan=F
tan
tan
cos1
2sen
22
−+
=
H
uNF E
0=u
tan
tan
2
1F
12/10/2018 Waldemar Hachich 41
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Talude íngreme
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Processo usual de análise◼ Equilíbrio Limite
◼ Equilíbrio estático = Estática
◼ Limite = iminência da ruptura
◼ t = s / F
◼ F = s / t
◼ Pesquisa da superfície crítica (minimização de F)
s = c' + s' tg '
s = su
12/10/2018 Waldemar Hachich 43
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12/10/2018
Talude íngreme
W
T
N
◼ EquilíbrioW + T + N = 0
◼ Limite: T = S / FT = (c´.L + N´ . tan´) / F
T = Cd´.L + N´. tand´
= inclinação do talude
b = inclinação da superfície de escorregamento (bc para a crítica)
b
Waldemar Hachich 44
L
IH
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28/3/2016 Waldemar Hachich 45
𝑵 = 𝑵′ + 𝑼 = 𝑾cos𝜷
𝑻 = 𝑾sin𝜷
𝑻 =𝑺
𝑭=𝒄𝑳 + 𝑵′ tan𝝋
𝑭=𝒄𝑳 + (𝑾cos𝜷 − 𝑼) tan𝝋
𝑭
𝑭 =𝒄𝑳 + (𝑾cos𝜷 − 𝑼) tan𝝋
𝑾sin𝜷𝑯 = 𝑳 sin𝜷
𝑭 =𝒄
𝑯sin𝜷
+ (𝑾cos𝜷 − 𝑼) tan𝝋
𝑾sin𝜷𝑾 =?
Equilíbrio na direção normal
Equilíbrio na direção tangencial estático
Limite
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28/3/2016 Waldemar Hachich 46
𝑾 =𝟏
𝟐𝜸𝑯𝟐
𝟏
tan𝜷−
𝟏
tan𝜶
𝑨 =𝟏
𝟐𝑳𝑰 sin(𝜶 − 𝜷) 𝑰 =
𝑯
sin𝜶
𝑨 =𝟏
𝟐
𝑯
sin𝜷
𝑯
sin𝜶[sin𝜶 cos𝜷 − sin(𝜷) cos𝜶]
𝑨 =𝟏
𝟐𝑯𝟐
𝟏
tan𝜷−
𝟏
tan𝜶
𝑾 = 𝜸𝑨
𝑭 =𝒄
𝑯sin𝜷
+ (𝑾cos𝜷 − 𝑼) tan𝝋
𝑾sin𝜷
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28/3/2016 Waldemar Hachich 47
𝑭 =𝒄
𝑯sin𝜷
+𝟏𝟐𝜸𝑯𝟐 𝟏
tan𝜷−
𝟏tan𝜶
cos 𝛽 − 𝑈 tan𝝋
𝟏𝟐𝜸𝑯𝟐 𝟏
tan𝜷−
𝟏tan𝜶
sin𝜷
𝑭 =𝟐
𝒄𝜸𝑯
𝟏sin𝜷
+𝟏
tan𝜷−
𝟏tan𝜶
cos 𝛽 −2𝑈𝜸𝑯𝟐 tan𝝋
𝟏tan𝜷
−𝟏
tan𝜶sin𝜷
𝑭 =𝟐𝑵𝑬
𝟏sin𝜷
+𝟏
tan𝜷−
𝟏tan𝜶
cos 𝛽 −2𝑈𝜸𝑯𝟐 tan𝝋
𝟏tan𝜷
−𝟏
tan𝜶sin𝜷
Qual o 𝜷que leva ao
F mínimo?
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12/10/2018
Talude íngreme: equilíbrio limite
d
dEd
F
N
H
c
bb
cossen
)sen()sen(
2
1
−−==
POSIÇÃO da superfície crítica
20 d
c
F bb
b
+===
Waldemar Hachich 48
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12/10/2018
F de talude íngreme
d
dEd
F
N
H
c
cossen4
)cos(1
−−==
2: d
cCom
b+
=
Waldemar Hachich 49
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Talude genérico
Ábacos para pré-dimensionamento(também obtidos pelo processo de
equilíbrio limite usual)
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12/10/2018
Ábacos de estabilidade
de taludes (taludes em
geral)
1 / NE
O mesmo NE, número de estabilidade, do talude infinito!
Waldemar Hachich 51
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Talude genérico
Processos de análise de equilíbrio limite
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12/10/2018
◼ Identificar tipo de instabilidade (modo de ruína)
◼ Escolher superfície de escorregamento para análise
◼ Identificar massa em escorregamento delimitada pela superfície escolhida
◼ Identificar forças atuantes na massa
◼ Atribuir às tensões na superfície de escorregamento valor compatível com o critério de resistência (minorado por F)
◼ Escrever equações de equilíbrio
◼ Pesquisar superfície mais crítica
Análise de estabilidadeProcesso do equilíbrio limite
Waldemar Hachich 53
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12/10/2018
Escorregamento rotacional
Waldemar Hachich 54
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12/10/2018
Escolher superfície para análise (2D?)
Waldemar Hachich 55
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12/10/2018
Massa em escorregamento
Waldemar Hachich 56
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12/10/2018
Forças atuantes na massa
sd
Waldemar Hachich 57
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12/10/2018
Tensão de cisalhamento na superfície = resistência / F
sd = s / Fsd
Waldemar Hachich 58
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12/10/2018
De acordo com a situação, resistência / F pode ser...
su / F
ou
c’ / F + s’ (tg ’ ) / Fsd
sd =
=ds
Waldemar Hachich 59
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12/10/2018
Equações de equilíbrio da massa
◼ Equilíbrio de forças na direção vertical
◼ Equilíbrio de forças na direção horizontal
◼ Equilíbrio de momentos
◼ MS = W1 ℓ1 – W2 ℓ2
◼ MD = MR/F = sd (arco) x 1 x r
◼ Equilíbrio limite: MS=MD
Waldemar Hachich 60
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Equilíbrio de momentos da massa
12/10/2018 Waldemar Hachich 61
2211
2
WW
rsF
−=
◼ MS = W1 ℓ1 – W2 ℓ2
◼ MD = MR/F = s/F ( x r) x 1 x r
◼ Equilíbrio limite: MS=MD
◼ 𝐹 =𝑀𝑅
𝑀𝑆
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Superfície analisada é a mais crítica?
sd
=ds
2211
2
WW
rsF
−=
Necessário pesquisar superfície
de mínimo F
12/10/2018 Waldemar Hachich 62
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12/10/2018
Pesquisar superfície crítica (Fmín)
Waldemar Hachich 63
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12/10/2018
Massa precisa ser dividida em fatias (lamelas)?
sd = s / Fsd
Waldemar Hachich 64
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12/10/2018
Massa precisa ser dividida em fatias (lamelas)?
sd = s / Fsd
Waldemar Hachich 65
Fatias só se a resistência (s)
depender da tensão normal
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Talude genérico com s = su
Se s = su (s não depende de atrito)...
sd
2211
2
WW
rsF
−=
12/10/2018 Waldemar Hachich 66
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12/10/2018
Mas se s depende do atrito (e, portanto, da tensão normal)...
sd = c’ / F + s’ (tg ’ ) / F
sd
Waldemar Hachich 67
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Qual a força normal resultantena massa em escorregamento?
12/10/2018 Waldemar Hachich 68
N ?
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Qual a força normal resultantena massa em escorregamento?
12/10/2018 Waldemar Hachich 69
SOLUÇÃO:
Dividir em Lamelas
N ?
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12/10/2018
Não havia problema em talude infinito
W
T
N
= inclinação da superfície de escorregamento z
b
ℓ
Waldemar Hachich 70
W T
N=N’+U
Porque a direção de N era conhecida!
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Não havia problema em talude íngreme
W
T
N
H
= inclinação do talude
b = inclinação da superfície de escorregamento (bc para a crítica)
b
W
N
T
b
12/10/2018 Waldemar Hachich 71
Porque a direção de N era conhecida!
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12/10/2018
Lamelas: essencialmente para calcular forças normais
W
T
N
H
Lamelas desnecessárias Lamelas necessárias
Waldemar Hachich 72
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Forças atuantes na lamela i
12/10/2018 Waldemar Hachich 73
Xi+1
Xi
i
i
F
SST i
di i==
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Problema hiperestático: Incógnitas > Equações
• n = 1, lamela (ou cunha) única
• Mais hipóteses simplificadoras
• Introdução da rigidez do material para cálculo
tensão-deformação
12/10/2018 Waldemar Hachich 74
Xi+
1Xi
i
i
(ou )
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Equilíbrio de momentos da massa (sem lamelas)
◼ MS = W1 ℓ1 – W2 ℓ2
◼ MD = MR/F = sd ( x r) x 1 x r
◼ Equilíbrio limite: MS=MD
◼ 𝐹 =𝑀𝑅
𝑀𝑆
12/10/2018 Waldemar Hachich 75
2211
2
WW
rsF
−=
sd
s não depende de s’ (e N’)
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Equilíbrio de momentos da massa (com lamelas)
12/10/2018 Waldemar Hachich 76
= iiS RWM sin
Xi
+1Xi
i
iiii UNN −=
iiiii NlcS tan+=O único problema é
mesmo determinar Ni
=ii
i
W
SF
sin
R
i
Wi
Xi
Xi+1
Ei+1Ei
Ni
Ti
𝐹 =𝑀𝑅
𝑀𝑆
𝑀𝑅 =𝑆𝑖𝑅
𝑀𝐷 =𝑇𝑖𝑅 =𝑆𝑖𝐹𝑅
Equilíbrio limite: MS=MD
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12/10/2018
Comparação dos processos de lamelas (pormenores)
◼ Diferenças◼ F por equilíbrio de momento da massa,
superfície circular◼ Fellenius: resultante das forças inter-
lamelares é paralela à base da lamela (viola equilíbrio de uma lamela para a próxima)
◼ Bishop: equilíbrio correto de cada lamela, com hipótese sobre relação entre componente normal e tangencial, mas muito trabalhoso
◼ Bishop simplificado: componentes verticaisdas forças inter-lamelares se equilibram na lamela
◼ F por equilíbrio de força horizontal da massa, qualquer superfície
◼ Janbu: similar ao Bishop simplificado, mas F determinado pelo equilíbrio de forças na horizontal para toda a massa
◼ F por equilíbrio de momento e forçahorizontal da massa, qualquer superfície
◼ Spencer: relação constante (determinada na análise) entre componentes horizontal e vertical da força inter-lamelar
◼ Morgenstern-Price: relação variável (admitida) entre componentes horizontal e vertical da força inter-lamelar
Waldemar Hachich 77
◼ Semelhanças◼ Todos fazem equilíbrio em
cada lamela para estimar a força normal na base
◼ Todos fazem alguma hipótese simplificadora (umas mais realistas, outras menos) sobre as forças nas faces laterais das lamelas
◼ Todos escrevem uma ou mais equações de equilíbrio de toda a massa para estimar F
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12/10/2018
Comparação dos processos de lamelas (resumo)
◼ Semelhanças◼ Todos fazem equilíbrio em
cada lamela para estimar a força normal na base
◼ Todos fazem alguma hipótese simplificadora (umas mais realistas, outras menos) sobre as forças nas faces laterais das lamelas
◼ Todos escrevem uma ou mais equações de equilíbrio de toda a massa para estimar F
◼ Diferenças
Waldemar Hachich 78
Só momento Fellenius, Bihop
Só força horizontal Janbu
Forças e momento Spencer, M&P
Fellenius Resultante paralela à base
Bishop, Janbu Resultante horizontal
Spencer Direção constante (calculada)
M&P Direção variável definida por função
Forças na direção normal à base
Fellenius
Forças na vertical Bishop, Janbu
Equilíbrio completo Spencer, M&P
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Inclinação das forçasinterlamelares: variação
12/10/2018 Waldemar Hachich 79
Xi+1
Xi
(x)
i
x
)( xi =
)()( xfx =
variação de com x
x = ordenada da interface i
Pode-se escrever, por exemplo:
f(x) é uma função (entre 0 e 1) que define
somente a forma variação de com x
é um escalar que define a escala dos valores
de (x)
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Inclinação das forçasinterlamelares: expressão geral
12/10/2018 Waldemar Hachich 80
Xi+1
Xi
(x)
i
x
)()( xfx =variação de com x
x = ordenada da interface i
Simplificações dos processos de lamelas usuais
• Bishop simplificado: =0 , (x) =0 (componentes
verticais das forças inter-lamelares se equilibram)
• Spencer: f(x) =1 e é incógnita a ser
determinada pelo processo (com imposição de
equilíbrio completo)
• Morgenstern e Price: f(x) é escolhido e é
incógnita a ser determinada pelo processo (com
imposição de equilíbrio completo)
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12/10/2018
Comparação dos resultados: M&P, Spencer, Bishop
M&P: X = E f(x)
Spencer: f(x) = 1
Bishop simplificado:
= 0Fm – equilíbrio de
momentos apenas
Ff – equilíbrio de
forças apenas
F = 1,058
Waldemar Hachich 81
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12/10/2018
Forças em uma lamela: superfície circular
Waldemar Hachich 82
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12/10/2018
Forças em uma lamela: superfície qualquer
Waldemar Hachich 83
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12/10/2018
Forças em uma lamela: superfície poligonal
Waldemar Hachich 84
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12/10/2018
Processo das cunhas: cunhas = caso particular de lamelas
Waldemar Hachich 85
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12/10/2018
Pressões neutras no processo das lamelas
Não esquecer das pressões neutras na superfície de escorregamento!
Waldemar Hachich 86
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12/10/2018
Determinação (usual) das pressões neutras de percolação
Waldemar Hachich 87
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Consideração da pressãoneutra
Peso Submerso +
Força de Percolação
Peso Total + Força Resultante das
Pressões Neutras em todas as faces
12/10/2018 Waldemar Hachich 88
Duas formulações estaticamente equivalentes
menos usual mais usual
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Processo de Fellenius(hipótese e consequência)
Hipótese simplificadora adicional:
Consequência conveniente:
Equilíbrio de forças na direção
normal à base da lamela
N independe das forças
inter-lamelares (e de T!)
(𝑬𝒊 + 𝑿𝒊 + 𝑬𝒊+𝟏 + 𝑿𝒊+𝟏) = 𝑩𝒊 é
paralela à base da lamela (não tem
componente radial)
12/10/2018 Waldemar Hachich 89
Xi+1
Xi
i
i
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Xi+1
Xi
i
i
Processo de Fellenius(outras consequências)
12/10/2018 Waldemar Hachich 90
Ur
Ul
Consequência indesejável:
Componentes radiais das pressões
neutras horizontais também são
ignoradas!
Quanto maiores, maior o erro no F: de maneira
geral 5% a 15% a favor da segurança.
Hipótese inclui U nas interfaces!
(𝑬𝒊 + 𝑿𝒊 + 𝑬𝒊+𝟏 + 𝑿𝒊+𝟏) = 𝑩𝒊 é
paralela à base da lamela (não tem
componente radial)
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Xi+1
Xi
i
i
Processo de Fellenius(equações resultantes)
12/10/2018 Waldemar Hachich 91
Ur
Ul
iiii WUN cos=+
i
ii
xl
cos
=
−+
=ii
iiiiiii
W
luWlcF
sin
tan)cos(
iiiii luWN −= cos
Equilíbrio na direção radial:
=ii
i
W
SF
siniiiii NlcS tan+=
Lembrando que (slide 72):
e
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Processo de Bishop (hipótese e consequência)
12/10/2018 Waldemar Hachich 92
Hipótese simplificadora adicional:
Consequências:
𝑿𝒊 + 𝑿𝒊+𝟏 = 𝟎
Equilíbrio de forças na direção
vertical
N independe das forças inter-
lamelares (mas não de T!)
(𝑬𝒊 + 𝑿𝒊 + 𝑬𝒊+𝟏 + 𝑿𝒊+𝟏) = 𝑩𝒊 é
horizontal (não tem componente
vertical)Xi+1
Xi
i
i
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Processo de Bishop (outras consequências)
12/10/2018 Waldemar Hachich 93
Hipótese simplificadora adicional:
Comentário:
Pressões neutras nas interfaces
são mesmo horizontais, tal como
admitido na hipótese
simplificadora
(𝑬𝒊 + 𝑿𝒊 + 𝑬𝒊+𝟏 + 𝑿𝒊+𝟏) = 𝑩𝒊 é
horizontal (não tem componente
vertical)Xi+1
Xi
i
i
UlUr
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Processo de Bishop simplificado (equilíbrio na vertical)
12/10/2018 Waldemar Hachich 94
Xi+1
Xi
i
i
UlUr
i
i
ii
i
ii U
F
SWN −−=
cos
sin
cos
iiiiii WTUN =++ sincos)(
Equilíbrio na direção vertical:
ii
i
ii
i
iiii U
F
SWlcS
tan
cos
sin
cos
−−+=
Lembrando que:
iiiii NlcS tan+=
ii
i
iiii
i
ii U
Wlc
FS
tan
costan
cos
sin11
−+=
+
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Processo de Bishop simplificado (equações resultantes)
12/10/2018 Waldemar Hachich 95
Xi+1
Xi
i
i
UlUr
i
ii
xl
cos
=
( ) iiiiiiiii
ii UWlcF
S
tancoscostansin
cos −+=
+
+=
Fm ii
ii
tansincos
( ) i
mxuWxcS iiiiiii tan−+=
=ii
i
W
SF
sin
Lembrando que
(slide 72):
( )
−+
=ii
iiiiii
W
mxuWxcF i
sin
tan
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Comparação Fellenius x Bishop
12/10/2018 Waldemar Hachich 96
Xi+1
Xi
i
i
Ul
Ur
+
=ii
iiii
W
NlcF
sin
)tan(
( )
−+
=ii
iiiiii
W
mxuWxcF i
sin
tan
−+=
ii
iiiiiiii
W
xuWxcF
sin
costan)cos( 2
Geral
Fellenius
Bishop
+=
Fm ii
ii
tansincos
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Parâmetros de Resistência
Qual a resistência do solo a ser adotada?
Qual o ensaio mais adequado para estimar essa
resistência?
Ensaios triaxiais?
CD, CU, UU?
12/10/2018 Waldemar Hachich 97
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12/10/2018
Escolha do modelo de resistência
◼ Como são as tensões efetivas no terreno antes das novas solicitações (da obra)?
◼ Iguais à tensão de pré-adensamento ◼ Solo normalmente adensado (OCR=1)
◼ Envoltórias (Mohr-Coulomb) de ensaios CD e CU passam pela origem (c’=0; c=0)
◼ Envoltória (Tresca) de ensaios UU (s=su; u=0)
◼ Inferiores à tensão de pré-adensamento (ou pré-compressão)
◼ Solo sobre-adensado (OCR>1)
◼ Nenhuma envoltória linear passa pela origem (c’0; c0; su0)
◼ Atenção: compactação tem o efeito de conferir ao solo uma certa tensão de pré-adensamento
◼ Como será a variação de tensões provocada pela obra? Velocidade da solicitação vs. velocidade de drenagem (critério de velocidade: cv )
◼ Lenta drenagem plena◼ OCR=1
◼ Envoltória de tensões efetivas (só ’ , c’=0 )
◼ OCR>1◼ Envoltória de tensões efetivas (c’ e ’ )
◼ Rápida drenagem restrita◼ Solo saturado: admite-se drenagem nula, a favor da
segurança
◼ OCR=1
◼ Resistência não drenada associada à tensão de pré-adensamento (su /s’a=cte ); ou
◼ Previsão de sobrepressões neutras + envoltória de tensões efetivas (só ’ , c’=0 )
◼ OCR>1
◼ Resistência não drenada associada à tensão de pré-adensamento (su/s’a=f(OCR) ); ou
◼ Previsão de sobrepressões neutras + envoltória de tensões efetivas (c’ e ’ )
◼ Solo não saturado: drenagem nula ou parcial◼ Envoltória de tensões totais (c e , retilínea como
aproximação de envoltória curva); ou
◼ Envoltória de tensões totais com c (e ) variáveis em função da sucção (ua-uw )
Waldemar Hachich 98
F
A
S
E
D
E
P
R
E
P
A
R
O
F
A
S
E
D
E
R
U
P
T
U
R
A
![Page 99: Equilíbrio limite (segurança contra ELU em Geomecânica) · 2019. 10. 4. · Teoria da Plasticidade (vide, por exemplo, soluções para capacidade de carga de fundações) Waldemar](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022071516/6139b4430051793c8c00a1e5/html5/thumbnails/99.jpg)
Ensaios triaxiais: nomenclatura
FASE
S (Consolidated ) S (Drained ) CD (SS) Adensado, drenado Lento (S)
S (Consolidated ) N (Undrained ) CU (SN) Adensado, não drenado Adensado-rápido (R)
N (Unconsolidated ) N (Undrained ) UU (NN) Não adensado, não drenado Rápido (Q)
S = com drenagem N = sem drenagem
PREPARO ou ADENSAMENTO RUPTURA ou CISALHAMENTO ENSAIO
12/10/2018 Waldemar Hachich 99
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12/10/2018
FASE
DRENAGEM
PREPAROou
ADENSAMENTO
S
(Consolidated)
S
(Consolidated)
N
(Unconsolidated)
RUPTURA
ou
CISALHAMENTO
S
(Drained)
N
(Undrained)
N
(Undrained)
ENSAIO
CD
(SS)Adensado, drenado
Lento (S)
CU
(SN)Adensado, não
drenado
Adensado-rápido (R)
UU
(NN)Não adensado, não
drenado
Rápido (Q)
Waldemar Hachich 100
Ensaios triaxiais: nomenclatura