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Equazioni Differenziali
OrdinarieEsercizi
R. Argiolasanno accademico 2003/2004
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Equazioni Differenziali Ordinarie
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Sommario
Introduzione
Richiami
1)
Equazioni differenziali lineari del primo ordine 5
2) Equazioni a variabili separabili 8
3) Equazioni differenziali lineari del secondo ordine 13
3.a Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee a coefficienti costanti
3.b Ricerca degli integrali particolari dell’equazione completa
4) Equazioni differenziali omogenee di ordine superiore al secondo 38
5) Equazioni differenziali non omogenee di ordine superiore al secondo 41
6) Il Metodo Della Variazione Delle Costanti Arbitrarie 43
7) L’Equazioni di Bernoulli 45
8) Il Problema di Cauchy: le condizioni iniziali 48
9) Il Teorema di Cauchy: esistenza e unicità della soluzione 51
9.a Il teorema di Cauchy in 2ℜ 9.b Il corollario del teorema di Cauchy
10) Integrali singolari per equazioni in forma normale 59
11) Equazioni differenziali in forma non normale 70
11.a L’Equazioni di Clairaut
12) Il Problema di Cauchy per equazioni in forma non normale 74
13) Integrali Singolari per equazioni in forma non normale 79
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Equazioni Differenziali Ordinarie
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Introduzione
Le equazioni differenziali ordinarie nacquero come risposta diretta a molti problemi
fisici sorti nel Settecento, ma buona parte delle ricerche sulle equazioni differenziali
hanno coinvolto anche la meccanica e la geometria. Sarà Cauchy che porrà e risolverà il
problema di dimostrare a priori l’esistenza e l’unicità della soluzioni per equazioni
differenziali in forma normale introducendo per esse il problema dei dati iniziali che poi
prenderà il suo nome. Verso la fine del diciannovesimo secolo nascono invece problemi
connessi con la dipendenza continua dai dati e del comportamento della soluzione nelle
vicinanze dei punti stazionari.
Successivamente, studiando sopratutto problemi connessi con le corde vibranti, i
matematici introdussero le equazioni alle derivate parziali.
Scopo di questa dispensa è illustrare, attraverso esempi ed esercizi, le più comuni
tecniche di risoluzione delle equazioni differenziali ordinarie, ponendo attenzione
sopratutto ai metodi di risoluzione delle equazioni differenziali del secondo ordine a
coefficienti costanti. Inoltre verrà affrontato il problema di esistenza e unicità della
soluzione del Problema di Cauchy per equazioni in forma normale e non normale.
Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno darmi consigli e segnalarmi
eventuali errori che permetteranno di migliorare il mio lavoro.
R.A.
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Equazioni Differenziali Ordinarie
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Richiami
Definizione
Sia f(x) una funzione definita su un intervallo I. Un’ equazione differenziale ordinaria èuna equazione che coinvolge f ed un certo numero di sue derivate e vale per ogni I x ∈
Definizione
Si dice ordine di una equazione differenziale l’ordine più alto di derivazione che
compare nell’equazione.
Definizione
Si dice che f(x) è soluzione dell’equazione differenziale( ) 0),...,,( =′ n y y y x E se per
qualsiasi I x ∈ risulta:
( ) ( ) ( ) 0),...),(,( =′ x f x f x f x E n
Definizione
Una famiglia di funzioni dipendenti da un certo numero di parametri si chiama
integrale (soluzione) generale se contiene tutte le soluzioni dell’equazione
differenziale.
Definizione
Si chiama integrale (soluzione) particolare di un equazione differenziale quella
soluzione dell’equazione che non dipende da parametri.
Definizione
Le condizioni che permettono di determinare una soluzione particolare dall’integrale
generale si chiamano condizioni iniziali .
Definizione
Assegnata un equazione differenziale e delle condizioni iniziali, il problema che
permette di determinare l’integrale particolare dell’equazione differenziale che soddisfi
le condizioni iniziali prende il nome di Problema di Cauchy (in piccolo).
Definizione
Un equazione differenziale risolta rispetto alla derivata di ordine massimo, cioè deltipo:
( ) ),...,,( 1−′= nn y y y x E y
si dice equazione differenziale in forma normale.
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Equazioni Differenziali Ordinarie
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1. Equazioni differenziali lineari del primo ordine
Equazioni lineari
Definizione
Un equazione differenziale 0),...,,( 1 =′ −n y y y x E si dice lineare se
ℜ∈∀≠∀ bavuvu ,,,, si ha:
( ) ( )( )( )( ) ( )( )nn
nn
vvvbE uuuaE
bvauvbuabvau E
,.....,,,.....,,
,.....,,
′+′
=+′+′+
L’equazione differenziale della forma
( ) ( ) )()( xb x y xa x y =+′
di primo grado rispetto ad y y ,′ si chiama equazione lineare non omogenea se
0)( ≠ xb , altrimenti si dice omogenea.
La formula risolutiva di tale equazione è:
+=
∫
∫∫−
dxe xbce y
dx xadx xa )()(
)(
Vediamo qualche esempio.
Esempio
Risolvere la seguente equazione differenziale lineare del primo ordine:
2 x y y =+′
Utilizzando la formula risolutiva, si ha:
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Equazioni Differenziali Ordinarie
6
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )( ) .2222
:quindi
22222
:hasiintegraleultimol'nteseparatamecalcolando
222
2222
22
+−+=+−+=+=
+−=+−=−=
+=
+=
−−−
−−
∫
∫∫
∫∫ ∫∫
x xcee x xcedxe xce x y
e x xe xee xdx xee xdxe x
dxe xcedxe xce x y
x x x x x
x x x x x x x
x xdxdx
Esempio 2
Risolvere la seguente equazione differenziale lineare del primo ordine:
x y x y 2cos2tan =⋅−′
Svolgimento
Utilizzando la formula risolutiva, si ricava:
( ) .2
2sin
2cos
12cos
2cos
1
2cos2cos)2log(cos
2
1)2log(cos
2
12tan2tan
+=+=
=
+=
+=
∫
∫∫ −−∫∫
xc
x xdxc
x
dxe xcedxe xce y x x xdx xdx
Esercizio 1
Risolvere la seguente equazione differenziale lineare del primo ordine:
x y y sin=+′
Svolgimento
Si trova:
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Equazioni Differenziali Ordinarie
7
( )
( )
( ) ( ) ( ) x xcee x xcedx xece y
e x xdx xe
dx xe xe xedx xe xedx xe
dx xecedx xece y
x x x x x
x x
x x x x x x
x xdxdx
cossin2
1cossin
2
1sin
:Pertanto
cossin2
1sin
sincossincossinsin
:ottienesiintegraleultimol'nteseparatamecalcolando
sinsin
−+=
−+=+=
−=
⇒−−=−=
=+=
+=
−−−
−−
∫
∫
∫∫∫
∫∫ ∫∫
Esercizio 2
Risolvere la seguente equazione differenziale lineare del primo ordine:
x y x y 2sinsin =⋅+′
Svolgimento
Si trova:
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( ) xcee xcedx xece y
e x
et dt tedx xe
dx xecedx xece y
x x x x x
x
t t x
x x xxdx xdx
cos12cos122sin
:cheseguequestoda
cos12
ndorisostitue122)tcosx posto(2sin
:integraleultimol'nteseparatamecalcoliamo
2sin2sin
coscoscoscoscos
cos
cos
coscossinsin
++=++=+=
+=
==+=−===
+=
+=
−−
−
−−−
−−
∫
∫∫
∫∫ ∫∫
Esercizio 3
Risolvere la seguente equazione differenziale lineare del primo ordine:
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Equazioni Differenziali Ordinarie
8
( )( )3
3
4
3
12
>−
−=
−+′ x
x
x y
x y
Svolgimento
Si trova:
( ) ( )( )
( ) .43
1
3
1
33
4
3
1
3
4
3
2
3
12
3
1
−+
−=
=
−
−
−+
−=
−
−+= ∫∫
∫∫ −−−
xc x
dx x x
xc
xdxe
x
xce y
dx x
dx x
Esercizio 4
Risolvere la seguente equazione differenziale lineare del primo ordine:
2
4sin2
x
x y
x y =+′
Svolgimento
Si trova:
x x x
c xc
xdx x
x
xc
x
dxe x
xcedxe
x
xce y
x xdx
xdx
x
4cos4
14cos
4
114sin1
4sin4sin
222
2
22
log2
2
log2
2
2
2
−=
−=
+=
=
+=
+=
∫
∫∫ −
− ∫∫
2. Equazioni a variabili separabiliLe equazioni a variabili separabili sono del tipo:
( ) ( ) ( ) yb xa x y =′
dove a(x) e b(y) sono funzioni continue.
Consideriamo un intervallo J in cui ( ) 0≠ yb e dividiamo entrambi i membridell’equazione per ( ) yb :
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Equazioni Differenziali Ordinarie
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( )( )
( ) xa yb
x y=
′
Integrando ambo i membri rispetto ad x, si trova:
( )( )( )
( )∫∫ =′
dx xadx x yb
x y
da cui segue che:
( ) ( ) cdx xa
yb
dy+= ∫∫
Esempio
Risolvere la seguente equazione differenziale a variabili separabili
( ) ( )213 y x x y +=′
Svolgimento
Si trova:
∫∫ =+
xdx y
dy3
1 2
integrando:
c x y += 22
3arctan
da cui segue che:
+= c x y 2
2
3tan
Esercizio 1
Risolvere la seguente equazione differenziale a variabili separabili
( ) 22 1 ye x y x −=′
svolgimento
Si osservi che ( ) 22 1 ye x y x −=′ è definito per 01 2 ≥− y quindi [ ]1,1−∈ y . Si osserviche poter dividere è necessario richiedere che 1±≠ y ,
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Equazioni Differenziali Ordinarie
10
∫∫ =−
dxe y
dy x221
da cui segue che
ce
y x
+=2
arcsin2
quando [ ]1,1−∈ y
quindi:
+= c
e y
x
2sin
2
purché222
2 π π ≤+≤− c
e x
Esercizio 2
Risolvere la seguente equazione differenziale a variabili separabili
( )( )2
2
1
1
x xy
y x y
−
−=′
Svolgimento
L’equazione è definita per 0 e 1,1,0 ≠∀−≠∀ y x
Si osservi che poter dividere è necessario richiedere che 1±≠ y ,
Separando le variabili si ottiene:
( )( )22 1
1
1 x x x y
y
y
−=′
−
integrando separatamente primo e secondo membro:
( ) ( )( ) 22
2
2
1log1log
2
11log
2
1log
11
1
1
1
1log2
1
1
x
xcc x x xdx
x x xdx
x x
ydy y
y
−=++−−−=
+−=
−
−=−
∫∫
∫
da cui segue che:
2
2
1log1log
2
1
x
xc y
−=−
esplicitando si ricava:
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Equazioni Differenziali Ordinarie
12
Supponendo che ( ) 0≠t N l’equazione è a variabili separabili. Dividendo per ( )t N eintegrando rispetto a t si ottiene:
( ) ( ) pt c pt Aeet N c pt t N −+− ==⇒+−=log
La costante A indica che non è possibile conoscere il numero dei neutroni all’istante t se
non si conosce il numero di neutroni all’istante iniziale0
t . Ponendo 00 == t t si ottiene
( ) A N =0 , di conseguenza la costante A rappresenta il numero di neutroni presentiall’istante 0. Possiamo quindi dire che ( ) pt Aet N −= è soluzione del problema diCauchy:
( ) ( )
( )
=
−=′
A N
t pN t N
0
Esempio
Il modello di Malthus per la dinamica delle popolazioni
Si considera una popolazione che evolve isolata, i cui fattori di evoluzione sono soltanto
la fertilità e la mortalità.
Indichiamo con ( )t N il numero di individui presenti al tempo t e con α e β rispettivamente il numero di nuovi nati e di morti per individuo nell’unità di tempo t.
In un intervallo temporale h il numero di individui in un tempo h sarà:
( ) ( ) ( ) ( )t hN t hN t N ht N β α −=−+
dividendo per h facendo tendere h a zero si ottiene:
( ) ( ) ( )t N t N β α −=′
la cui soluzione (procedendo separando le variabili) è:
( ) ( )t
Aet N
β α −
= .
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Equazioni Differenziali Ordinarie
13
3.Equazioni differenziali lineari del secondo ordine
Le equazioni differenziali lineari del secondo ordine si presentano nella seguente forma:
(1) )()()()()()( x f x y xb x y xa x y =+′+′′
E’ possibile dimostrare che l’insieme delle soluzione dell’equazione differenziale del
secondo ordine è, in generale, costituita da una famiglia di funzioni dipendenti da due
parametri21
, cc . Tale famiglia prende il nome di integrale generale dell’equazione
differenziale del secondo ordine. Se il termine noto f(x) è uguale a zero l’equazione si
dice omogenea, in caso contrario non omogenea. Se poi a(x) e b(x) sono costanti,l’equazione si dirà a coefficienti costanti.
Sappiamo che l’integrale (soluzione) generale dell’equazione differenziale lineare del
secondo ordine (1) può essere scritta come somma dell’integrale generaledell’equazione omogenea associata alla (1) più un integrale particolare della (1).
In particolare si ha:
Teorema fondamentale delle equazioni differenziali lineari
“L’insieme delle soluzioni dell’equazione differenziale lineare non omogenea (1) è dato
dall’insieme delle soluzioni dell’equazione omogenea associata sommata ad una
soluzione particolare dell’equazione non omogenea.”
In altre parole l’integrale generale dell’equazione non omogenea (cioè la soluzione) può
essere rappresentato come somma di una soluzione particolare della stessa equazionenon omogenea sommata all’integrale generale dell’equazione omogenea.
3.a Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee a coefficienti
costanti.Iniziamo quindi a vedere come è possibile determinare le soluzione di un’ equazioneomogenea a coefficienti costanti, cioè un equazione del tipo:
(2) 0)()()( =+′+′′ xcz x z b x z a
Le soluzioni di tale equazione si trovano risolvendo prima l’equazione caratteristicaassociata alla (2):
(3) 02 =++ cba λ λ
La (3) rappresenta un’equazione di secondo grado, le cui radici sappiamo dipendono dal
segno del delta: acb 42 −=∆ Sappiamo che possono verificarsi tre casi:
1. 042 >−=∆ acb
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Equazioni Differenziali Ordinarie
14
In tal caso l’equazione (3) presenta due radici reali distinte .,21
λ λ L’integrale generale
della (2) sarà:
x x ecec x z 22
1
1)( λ λ +=
2. 042 =−=∆ acb
l’equazione (3) ha due soluzioni reali coincidenti .21 λ λ λ =≡ . L’integrale generale
della (2) sarà:
x x xecec x z λ λ 21
)( +=
3. 042 ∆
x x xecec λ λ 21
+ se 0=∆
)sincos(21
xc xce x β β α + se 0
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Equazioni Differenziali Ordinarie
15
Il polinomio caratteristico associato all’equazione omogenea e’ 0384 2 =+− λ λ , le cui
radici reali distinte sono2
3 ,
2
121 == λ λ .
Seguendo lo schema precedente, l’integrale generale cercato e’ 23
22
1
x x
ecec y += .
b) 02116 =−′−′′ y y y
Il polinomio caratteristico associato e’ 021162 =−− λ λ , anche in questo caso le radici
del polinomio sono reali distinte sono6
1 ,2 21 −== λ λ .
L’integrale generale cercato e’ 6
2
2
1
x
x ecec y−
+= .
c)
051112 =−′−′′ y y y
Il polinomio caratteristico associato e’ 051112 2 =−− λ λ , la cui radici reali distinte
sono4
5 ,
3
121 =−= λ λ . L’integrale generale cercato e’
4
5
23
1
x x
ecec y += −
.
d) 02110 =−′+′′ y y y
Il polinomio caratteristico associato e’ 021102 =−+ λ λ , la cui radici reali distinte
sono5
7 ,
2
321 =−= λ λ . L’integrale generale cercato e’
5
7
22
3
1
x x
ecec y += −
.
e) 016249 =+′−′′ y y y
Il polinomio caratteristico associato e’ ( ) 04316249 22 =−=+− λ λ λ . In questo caso le
radici sono reali coincidenti e sono3
421 == λ λ .
Seguendo lo schema sopra indicato si ha che l’integrale generale cercato e’
3
4
23
4
1
x x
xecec y += .
f) 049284 =+′+′′ y y y
Il polinomio caratteristico associato e’ ( ) 07249284 22 =+=++ λ λ λ , la cui radici reali
coincidenti sono2
721 −== λ λ . L’integrale generale cercato e’
2
7
22
7
1
x x
xecec y−−
+= .
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Equazioni Differenziali Ordinarie
16
g) 069 =+′−′′ y y y
Il polinomio caratteristico associato e’ ( ) 013169 22 =−=+− λ λ λ , la cui radici reali
coincidenti sono3121 == λ λ . L’integrale generale cercato e’
32
31
x x
xecec y += .
h) 0366025 =+′−′′ y y y
Il polinomio caratteristico associato e’ ( ) 065366025 22 =−=+− λ λ λ , la cui radici
reali coincidenti sono5
621 == λ λ . L’integrale generale cercato e’
5
6
25
6
1
x x
xecec y += .
i) 08119 =+′−′′ y y y
Il polinomio caratteristico associato e’ 08119 2 =+− λ λ , la cui radici complesse sono
18
167
18
11 ,
18
167
18
1121 ii −=+= λ λ . L’integrale generale cercato e’
+= xc xce y
x
18
167sin
18
167cos 21
18
11
.
j) 0972 =+′−′′ y y y
Il polinomio caratteristico associato e’ 0972 2 =+− λ λ , la cui radici complesse sono
4
23
4
7 ,
4
23
4
721 ii −=+= λ λ . L’integrale generale cercato e’
+= xc xce y
x
4
23sin
4
23cos 21
4
7
.
k) 075 =+′+′′ y y y
Il polinomio caratteristico associato e’ 0752 =++ λ λ , la cui radici complesse sono
2
3
2
5 ,
2
3
2
521 ii −−=+−= λ λ . L’integrale generale cercato e’
+=
−
xc xce y
x
2
3sin
2
3cos 21
2
5
.
l)
0234 =+′+′′ y y y
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Equazioni Differenziali Ordinarie
17
Il polinomio caratteristico associato e’ 02342 =++ λ λ , la cui radici complesse sono
4
23
4
3 ,
4
23
4
321 ii −−=+−= λ λ . L’integrale generale cercato e’
+=
−
xc xce y
x
4
23sin
4
23cos 21
4
3
.
Un caso semplice
• Risolvere la seguente equazione differenziale del secondo ordine omogenea acoefficienti costanti:
0=′′ y
Procedendo come negli esempi precedenti si verifica facilmente che il polinomio
caratteristico associato ha due soluzioni reali coincidenti ed uguali a zero, quindi
l’integrale generale dell’equazione differenziale è:
xcc y21
+=
Un altro metodo per risolvere questo tipo di equazione è quello di integrale membro a
membro (rispetto ad x) e dopo una prima integrazione si trova:
c y =′
Integrando ulteriormente si ricava:
d cx y += .
• Risolvere la seguente equazione differenziale del secondo ordine non omogeneaa coefficienti costanti:
a y =′′
Procedendo come negli esempi precedenti si verifica facilmente che il polinomio
caratteristico associato ha due soluzioni reali coincidenti ed uguali a zero, quindi
l’integrale generale dell’equazione differenziale è:
xcc y21
+=
L’integrale particolare sarà un polinomio di grado due del tipo
2~ Ax y =
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Equazioni Differenziali Ordinarie
18
Derivando e sostituendo nell’equazione differenziale si trova:
22
a Aa A =⇒=
quindi
2
2
~ xa
y =
l’integrale generale è:
2
21
2
xa
xcc y ++=
Un altro metodo per risolvere questo tipo di equazione è quello di integrale membro a
membro (rispetto ad x) e dopo una prima integrazione si trova:
bax y +=′
Integrando ulteriormente si ricava:
cbx xa
y ++= 2
2
.
Esercizi proposti
Determinare l’integrale generale delle seguenti equazioni differenziali del secondo
ordine omogenee.
a) 0247324 =+′−′′ y y y
b)
094864 =+′−′′ y y y
c) 025309 =+′−′′ y y y
d)
0432 =+′+′′ y y y
e)
074 =+′+′′ y y y
f) 0542120 =−′−′′ y y y
g) 08307 =+′+′′ y y y
h) 0753 =+′−′′ y y y
i)
01112011 =−′−′′ y y y
j) 02616526 =−′−′′ y y y
Soluzioni
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Equazioni Differenziali Ordinarie
19
a) L’integrale generale cercato e’ 83
23
8
1
x x
ecec y += .
b) L’integrale generale cercato e’ 83
28
3
1
x x
xecec y += .
c)
L’integrale generale cercato e’ 35
23
5
1
x x
xecec y += .
d) L’integrale generale cercato e’
+=
−
xc xce y
x
4
23sin
4
23cos 21
4
3
.
e) L’integrale generale cercato e’ ) xc xce y 3sin3cos 212x += − .
f) L’integrale generale cercato e’ 56
24
9
1
x x
ecec y−
+= .
g) L’integrale generale cercato e’ 72
2
4
1
x
x ecec y−
− += .
h) L’integrale generale cercato e’
+= xc xce y
x
6
59sin
6
59cos 21
6
5
.
i) L’integrale generale cercato e’ 11
2
11
1
x
x ecec y−
+= .
j) L’integrale generale cercato e’ 132
22
13
1
x x
ecec y−
+= .
3.b Ricerca degli integrali particolari
Ci occupiamo ora di determinare una soluzione dell’equazione differenziale lineare non
omogenea. Sappiamo già come si determinare l’integrale dell’equazione omogenea
associata, iniziamo a considerare il caso in cui il termine noto si presenta in una maniera
particolarmente semplice.
• Termine noto di tipo polinomiale.
)()()()()()( x f x y xb x y xa x y =+′+′′ con )()( x p x f n
= polinomio di grado n.
Nel caso in cui il termine noto sia di tipo polinomiale, per determinare l’integrale
particolare dell’equazione completa si sommano il grado del polinomio assegnato con
il grado minimo di derivazione.
Indicheremo con ( ) x y l’integrale generale dell’omogenea associata e con ( ) x y~
l’integrale particolare.
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
20
Esempio 1:
Risolvere la seguente equazione differenziale
2373710 −=+′−′′ x y y y
Svolgimento
Iniziamo a calcolare l’integrale generale dell’omogenea associata, calcoliamo quindi le
soluzioni del polinomio caratteristico:
Il polinomio caratteristico associato all’equazione completa e’ 073710 2 =+− λ λ .
le cui radici reali distinte sono2
7 ,
5
121
== λ λ .
L’integrale generale dell’omogenea associata e’ 27
2
5
1
x x
ecec y += .
Per determinare una soluzione particolare dell’equazione completa asserviamo che il
termine noto è un polinomio di grado uno e l’ordine più basso di derivazione (al primo
membro) è zero, cerchiamo quindi una soluzione particolare della forma ( ) bax x y +=~ ,dove il grado di ( ) x y~ è dato dalla somma del grado del polinomio p(x) assegnato piùl’ordine minimo di derivazione. Derivando si ha:
( )
( )
( ) 0~
~
~
=′′
=′
+=
x y
a x y
bax x y
Sostituendo nell’equazione assegnata si trova:
237737 −=++− xbaxa
Sfruttando il principio di identità dei polinomi (condizione che equivale che i due
membri dell’equazione sono uguali) si trova:
−=+−
=
2737
37
ba
a
⇒
=
=
49
97
7
3
b
a
segue che ( ) 4997
7
3~ += x x y .
La soluzione cercata e’49
97
7
32
7
2
5
1 +++= xecec y
x x
.
Esempio 2
Risolvere la seguente equazione differenziale
7683 +=′−′′ x y y
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
21
Svolgimento
Il polinomio caratteristico associato e’ 083 2 =− λ λ , la cui radici reali distinte sono
3
8
,0 21 == λ λ . L’integrale generale cercato e’3
8
21
x
ecc y += . Cerchiamo una
soluzione particolare della forma ( ) )(~ bax x x y += in quanto il termine noto ha gradouno e l’ordine minimo di derivazione è uno. Sostituendo nell’equazione assegnata e
sfruttando il principio di identità dei polinomi si trova:
=+−
=−
768
616
ab
a ⇒
−=
−=
32
27
8
3
b
a
segue che ( ) )32
37
8
3( −−= x x x p . La soluzione cercata e’
)32
37
8
3(3
8
21 +−+= x xecc y
x
.
Esempio 3
Risolvere la seguente equazione differenziale
353 −=′′ x y
Svolgimento
Il polinomio caratteristico associato e’ 032 =λ , la cui radici reali coincidenti sono
021 == λ λ . L’integrale generale cercato e’ xcc y 21 += . Cerchiamo una soluzione
particolare della forma ( ) )(~ 2 bax x x y += in quanto il termine noto ha grado uno el’ordine minimo di derivazione è due . Sostituendo nell’equazione assegnata e
sfruttando il principio di identità dei polinomi si trova:
−=
=
36
518
b
a ⇒
−=
=
2
1
18
5
b
a
segue che ( ) )2
1
18
5(~ 2 −= x x x y . La soluzione cercata e’ )
2
1
18
5(2
21 −++= x x xcc y .
Schema riassuntivo
termine noto ( ) xb integrale particolare ( ) x y~ grado dell’integraleparticolare
p
p xb xb xbb ++++ ...2
210
polinomio di grado p
q
q xa xa xaa ++++ ...2
210
polinomio di grado q
r pq += dove r è
l’ordine minimo di
derivazione
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
22
Esercizi
Determinare una soluzione delle seguenti equazioni differenziali non omogenee:
a)
153972 2 +−=−′−′′ x x y y y b)
326122 2 ++=′−′′ x x y y
c) 543 2 +=′′ x y
Svolgimento
Esercizio a)
Il polinomio caratteristico associato e’ 09722 =−− λ λ , la cui radici reali distinte
sono 2
9
,1 21 =−= λ λ .
L’integrale generale cercato e’ x22
9
1
−+= ecec y x
.
Cerchiamo una soluzione particolare della forma ( ) cbxax x p ++= 2 .Sostituendo nell’equazione assegnata e sfruttando il principio di identità dei
polinomi si trova:
=+−
=+
=−
149
5914
39
ac
ba
a
⇒
−=
=
−=
27
727
29
3
1
c
b
a
segue che ( )
27
7
27
29
3
12 −+−= x x x p .
La soluzione cercata e’27
7
27
29
3
12 x
2
2
9
1 −+−+= − x xecec y
x
.
Esercizio b)
Il polinomio caratteristico associato e’ 0122 2 =− λ λ , la cui radici reali distintesono 6 ,0 21 == λ λ .
L’integrale generale cercato e’ 6x21 ecc y += .
Cerchiamo una soluzione particolare della forma ( ) )( 2 cbxax x x p ++= .Sostituendo nell’equazione assegnata e sfruttando il principio di identità dei
polinomi si trova:
=+−
=+−
=−
3412
21224
636
bc
ab
a
⇒
−=
−=
−=
36
11
6
1
6
1
c
b
a
segue che ( )
−−−=
36
11
6
1
6
1 2 x x x x p .
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
23
La soluzione cercata e’ ( )116636
1 26x21 ++−+= x x xecc y .
Esercizio c)Il polinomio caratteristico associato e’ 03 2 =λ , la cui radici reali coincidenti sono
021 == λ λ . L’integrale generale cercato e’ xcc y 21 += .
Cerchiamo una soluzione particolare della forma ( ) )( 22 cbxax x x p ++= .Sostituendo nell’equazione assegnata e sfruttando il principio di identità dei
polinomi si trova:
=
=
=
56
018
436
c
b
a
⇒
=
=
=
65
0
9
1
c
b
a
segue che ( ) )6
5
9
1( 22 += x x x p .
La soluzione cercata e’ )6
5
9
1( 2221 +++= x x xcc y .
• Termine noto di tipo esponenziale
Consideriamo ora il caso in cui il termine noto sia di tipo esponenziale.
)()()()()()( x f x y xb x y xa x y =+′+′′ con x Ae x f α =)( ℜ∈α
Per determinare l’integrale particolare dell’equazione completa si confronta ℜ∈α conle soluzione dell’equazione omogenea associata.
Esempio 1
Risolvere la seguente equazione differenziale
xe y y y 465 =+′−′′
Svolgimento
Il polinomio caratteristico associato e’ 0652 =+− λ λ , la cui radici reali distinte sono3 ,2
21 == λ λ . L’integrale generale dell’omogenea associata cercato e’
3x
2
2
1ecec y x += . Osserviamo che 4=α non è soluzione del polinomio caratteristico,
quindi cerchiamo un integrale particolare del tipo: x Ae x y 4)(~ = .
Derivando si ha:
x Ae x y 44)(~ =′ x Ae x y 416)(~ =′′
Sostituendo nell’equazione completa si trova:
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
24
x x x x e Ae Ae Ae 4444 64516 =+⋅−
da cui segue che:
2
1162016 =⇒=+− A A A A
L’integrale generale dell’equazione completa è:
x x eecec x y 43x2
2
1
2
1)( ++=
Analizziamo ora il caso in cui α sia soluzione dell’equazione omogenea associata.
Esempio 2
Risolvere la seguente equazione differenziale
xe y y y 4127 =+′−′′
Svolgimento
Il polinomio caratteristico associato e’ 01272 =+− λ λ , la cui radici reali distinte sono3 ,4
21 == λ λ . L’integrale generale dell’omogenea associata cercato e’
3x
2
4
1ecec y x += . Osserviamo che 4=α è soluzione semplice del polinomio
caratteristico. In tal caso si cerca un integrale particolare del tipo: x
Axe x y4
)(~ = .Derivando si ha:
( ) xe x A x y 414)(~ +=′ xe x A x y 4)12(8)(~ +=′′
Sostituendo nell’equazione completa si trova:
x x x x e Axee x Ae x A 4444 12)14(7)12(8 =++⋅−+
da cui segue che (dopo aver diviso ambo i membri per l’esponenziale ed aver raccolto i
termini simili):
1= A
L’integrale generale dell’equazione completa è:
x x xeecec x y 43x2
4
1)( ++= .
Esempio 3
Risolvere la seguente equazione differenziale
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
25
xe y y y 244 =+′−′′
Svolgimento
Il polinomio caratteristico associato e’ 0442 =+− λ λ , la cui radici reali coincidentisono 2
21 == λ λ . L’integrale generale dell’omogenea associata cercato e’2x
2
2
1 xecec y x += . Osserviamo che 2=α è soluzione doppia del polinomio
caratteristico. In tal caso si cerca un integrale particolare del tipo: xe Ax x y 22)(~ = .
Derivando xe Ax x y 22)(~ = si ha:
( ) xe x Ax x y 212)(~ +=′ xe x x A x y 22 )142(2)(~ ++=′′
Sostituendo nell’equazione completa si trova:
x x x x
ee Axe x Axe x x A222222
4)1(24)142(2 =++⋅−++
da cui segue che (dopo aver diviso ambo i membri per l’esponenziale ed aver raccolto i
termini simili):
2
1= A
quindi
x x e xe Ax x y 2222
2
1)(~ ==
L’integrale generale dell’equazione completa è:
x x e x xecec x y 222x2
2
1
2
1)( ++= .
Schema riassuntivo
termine noto integrale particolare xbeλ x Aeλ se λ non è soluzione del
polinomio caratteristico x Axeλ se λ è soluzione semplice
del polinomio caratteristico xe Ax λ 2 se λ è soluzione doppia
del polinomio caratteristico xme Ax λ se λ è soluzione di
molteplicità m del polinomio caratteristico
Osservazione
Per equazioni differenziali del secondo ordine la molteplicità della soluzione sarà al
massimo due. Questo metodo vale anche per equazioni differenziali di ordine superiore
al secondo.
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
26
• Termine noto della forma x A β sin o x A β cos
Consideriamo il caso in cui il termine noto sia di tipo trigonometrico. In questo caso si
può utilizzare il seguente schema:
termine noto integrale particolare
x A β sin x B x A β β sincos + se i β non soddisfa
l’equazione omogenea
associata
( ) x B x A x m β β sincos + se i β soddisfa l’equazioneomogenea associata
In modo analogo:
termine noto integrale particolare
x A β cos x B x A β β sincos + se i β non soddisfa
l’equazione omogenea
associata
( ) x B x A x m β β sincos + se i β soddisfa l’equazioneomogenea associata
Esempio 4
Risolvere la seguente equazione differenziale
x y y y sin65 =+′+′′
Svolgimento
Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 0652 =++ λ λ le cui radici reali distinte sono: 3,2
21 −=−= λ λ . L’integrale generale dell’omogenea
associata è -3x2
2
1ecec y x += −
Il termini noto va ricercato in quelli del tipo: x B x A y sincos~ +=
Derivando si ottiene:
x B x A y cossin~
+−=′ x B x A y sincos~
−−=′′
Imponendo che x B x A y sincos~ += sia soluzione, si trova:
( ) x x B x A x B x A x B x A sin)sincos(6cossin5sincos =+++−+−−
per il principio di identità dei polinomi si ha:
10
1
10
1
5
1
0
=−=⇒
=+−
=+
B A
B A
B A
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
27
da cui segue che
x x y sin10
1cos
10
1~ +−=
L’integrale generale dell’equazione completa assegnata è
)cos(sin10
13x-2
2
1 x xecec y x −++= − .
Osservazione
Il termine noto si può anche presentare come prodotto tra un fattore esponenziale e seno
o coseno. In tal caso si può scegliere un integrale particolare (dell’equazione completa)come indicato nella seguente tabella:
termine noto integrale particolare
x Ae x β α sin oppure
x Ae x β α cos
( ) xc xce x β β α sincos21
+ se β α i+ non soddisfa
l’equazione omogenea
associata
( ) xc xce x xm β β α sincos21
+ se β α i+ soddisfa
l’equazione omogenea
associata
Esempio 5
Risolvere la seguente equazione differenziale
xe y y y x cos22 =+′−′′
Svolgimento
Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 0222 =+− λ λ ,la cui radici sono ii +=−= 1,1
21 λ λ . L’integrale generale dell’omogenea associata
cercato e’ ( ) x B x Ae y x
sincos += .Utilizzando lo schema precedente si ottiene:
11 == β α
quindi l’integrale particolare sarà del tipo:
( ) xc xc xe x y x sincos)(~21
+=
Derivando:
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
28
( ) ( ) ( )( ) xcc xcc xe xc xce x y x x sincossincos)(~212121
+−++++=′
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) xc xc xe xcc xcce x y x x sin2cos2sin2cos2)(~121221
−++−++=′′
sostituendo nell’equazione differenziale si ottiene:
=
=⇒=−
0
2
1
cossin2cos2
1
2
12
c
c x xc xc
quindi l’integrale particolare cercato è:
x xe x y x cos
2
1)(~ =
l’integrale generale dell’equazione differenziale è:
( ) x xe xc xce y x x cos2
1sincos
21 ++= .
Un esercizio, tipo il precedente, può essere risolto in un modo più semplice ragionando
come segue:
EsercizioRisolvere la seguente equazione differenziale
xe y y y x cos2 =−′−′′
Svolgimento
Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 022 =−− λ λ ,la cui radici reali distinte sono 2,1
21 =−= λ λ . L’integrale generale dell’omogenea
associata cercato e’ 2x21ecec y x += − .
Analizziamo, ora il termine noto. I metodi con i quali si può procedere in questo caso
sono diversi. Iniziamo a presentarne uno, sfruttando la conoscenza dei numeri
complessi. Infatti è si può osservare che xe x cos corrisponde alla parte reale del numero
complesso:
)sin(cos)1( xi xee x xi +=+
l’idea è quindi quella di supporre che )sin(cos)(~ )1( xi x Ae Ae x y x xi +== + sia l’integrale
particolare cercato, sostituire nell’equazione differenziale assegnato imponendo che y
sia soluzione della stessa e poi considerare solo la parte reale del numero complesso.
Vediamo come. Se supponiamo che xi Ae x y )1()(~ += sia soluzione dell’equazione
differenziale, si ha:
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Equazioni Differenziali Ordinarie
29
( ) xiei A x y )1(1)(~ ++=′ ( ) xiei A x y )1(21)(~ ++=′′
Da cui segue che:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xi xi xi xi e Aeei Aei A ++++ =−+−+ 111)1(2 211
da questo segue che:
( ) ( )10
1
10
3
10
3
3
11211
2
ii
i A Ai Ai A −−=
+−=
−=⇒=−+−+
Sostituendo si ha:
( ) ( ) x x
x xi xi
e x xie x x
xi xeiei Ae x y
sin3cos10
1sincos3
10
1
)sin(cos10
1
10
3
10
1
10
3)(~ )1()1(
+−−−=
=+
−−=
−−== ++
Del risultato trovato ci interessa solo la parte reale, ovvero:
( ) xe x x sincos3
10
1−−
Finalmente la soluzione dell’equazione differenziale assegnata è:
( ) x x x e x xecec x y sincos310
1)( 2
21 −−+= −
Esempio 6
Risolvere la seguente equazione differenziale
xe y y y x sin34 =+′+′′
Svolgimento
Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 0342 =++ λ λ ,la cui radici reali distinte sono 3,1
21 −=−= λ λ . L’integrale generale dell’omogenea
associata cercato e’ -3x21ecec y x += − .
In questo caso si può osservare che xe x sin corrisponde alla parte immaginaria del
numero complesso:
)sin(cos)1( xi xee x xi +=+
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
30
l’idea è quindi quella di supporre che )sin(cos)(~ )1( xi x Ae Ae x y x xi +== + sia l’integrale
particolare cercato, sostituire nell’equazione differenziale assegnato imponendo che y
sia soluzione della stessa e poi considerare solo la parte immaginaria del numero
complesso. Vediamo come. Se supponiamo che xi Ae x y )1()(~ += sia soluzionedell’equazione differenziale, si ha:
( ) xiei A x y )1(1)(~ ++=′ ( ) xiei A x y )1(21)(~ ++=′′
Da cui segue che:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xi xi xi xi e Aeei Aei A ++++ =++++ 111)1(2 3141
da questo segue che:
( ) ( )85
6
85
7
10
3
67
113141
2
ii
i A Ai Ai A −=
+−=
+=⇒=++++
Sostituendo si ha:
( ) ( ) x x
x xi xi
e x xie x x
xi xeiei Ae x y
sin7cos6851sin6cos7
851
)sin(cos85
6
85
7
85
6
85
7)(~ )1()1(
+−++=
=+
−=
−== ++
Del risultato trovato ci interessa solo la parte reale, ovvero:
( ) xe x x sin7cos685
1+−
Finalmente la soluzione dell’equazione differenziale assegnata è:
( ) x x x
e x xecec x y sin7cos685
1)(
3
21 +−++= −−
.
Esercizio
Risolvere la seguente equazione differenziale
xe y y y x cos22 −=+′+′′
Svolgimento
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
31
Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 0222 =++ λ λ ,la cui radici sono ii −−=+−= 1,1
21 λ λ . L’integrale generale dell’omogenea
associata cercato e’ ( ) xc xce y x sincos21
+= − .
Osserviamo che xe
x
cos
−
corrisponde alla parte reale del numero complesso:
)sin(cos)1( xi xee x xi += −+−
inoltre l’esponente i+−1 è soluzione dell’equazione omogenea associata quindil’integrale particolare dell’equazione completa sarà del tipo:
)sin(cos)(~ )1( xi x Axe Axe x y x xi +== −+−
Derivando si ha:
( ) xieix x A x y )1(1)(~ +−+−=′ ( )( ) xiei xi A x y )1(2122)(~ +−+−++−=′′
sostituendo nell’equazione assegnata e semplificando si ottiene:
22
112
i
i AiA −==⇒=
Sostituendo si ha:
( ) xi x xe xi x xei
xe
i
x y x x xi
cossin2
1
)sin(cos22)(~ )1(
−=+−=−= −−+−
La parte reale è:
x xe x y x sin2
1)(~Re −=
Finalmente la soluzione dell’equazione differenziale assegnata è:
( ) x xe xc xce x y x x sin
2
1sincos)(
21
−− ++=
• Prodotto tra polinomio ed esponenziale
Esempio 7
Risolvere la seguente equazione differenziale
( ) xe x y y y 132 −=−′+′′
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
32
Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 0322 =−+ λ λ ,la cui radici reali distinte sono 3,1
21 −== λ λ . L’integrale generale dell’omogenea
associata cercato e’ -3x21 xecec y x += . Il termine noto si presenta come prodotto tra un
polinomio e un esponenziale. Il procedimento per determinare l’integrale particolaredell’equazione completa non è molto differente dai metodi analizzati negli esercizi
precedenti. Osserviamo intanto che il polinomio 1− x è di primo grado e l’ordineminimo di derivazione è 0, quindi cerchiamo un polinomio di grado uno, del tipo
bax + , inoltre osserviamo che 1=α (esponente dell’esponenziale) è soluzionesemplice del polinomio caratteristico. In tal caso si cerca un integrale particolare del
tipo: x Axe .
Quindi l’integrale particolare è del tipo:
( ) xebax x x y +=)(~ .
Derivando si trova:
( ) xebbxaxax x y +++=′ 2)(~ 2 ( ) xebabxaxax x y 224)(~ 2 ++++=′′
imponendo la condizione che ( ) xebax x x y +=)(~ sia soluzione dell’equazione si trova:
−=
=⇒
−=+
=
16/5
8/1
142
18
b
a
ba
a
da cui segue che:
( ) xe x x x y 5216
1)(~ −=
L’integrale generale è:
x x e x x xecec y )52(16
13x-
21 −++=
OsservazioneLa proprietà di linearità delle equazioni differenziali (lineari) consente spesso permette
di semplificare il procedimento per determinare l’integrale particolare di un equazione
differenziale il cui termine noto è costituito da più termini.
Esempio 8
Risolvere la seguente equazione differenziale
x xe y y y x sin36 2 +=−′+′′
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
33
Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 062 =−+ λ λ ,la cui radici reali distinte sono 3,2
21 −== λ λ . L’integrale generale dell’omogenea
associata cercato e’ -3x2
2
1ecec y x += .
Per avere ora un integrale particolare dell’equazione assegnata, basta addizionare dueintegrali particolari delle due equazioni:
x xe y y y 26 =−′+′′ x y y y sin36 =−′+′′
Il termine noto della prima equazione si presenta come prodotto tra un polinomio e un
esponenziale. Abbiamo già analizzato il procedimento per determinare l’integrale
particolare dell’equazione completa. Osserviamo intanto che il polinomio è di primo
grado e l’ordine minimo di derivazione è 0, quindi cerchiamo un polinomio di grado
uno, del tipo bax + , inoltre osserviamo che 2=α (esponente dell’esponenziale) èsoluzione semplice del polinomio caratteristico. In tal caso si cerca un integrale
particolare del tipo: x Axe 2 .Quindi l’integrale particolare è del tipo:
( ) xebax x x y 21
)(~ += .
Derivando si trova:
( ) xebbxaxax x y 221
222)(~ +++=′ ( ) xebabxaxax x y 221
42482)(~ ++++=′′
imponendo la condizione che ( ) xebax x x y 21
)(~ += sia soluzione dell’equazione si trova:
−=
=⇒
=+
=
25/1
10/1
052
110
b
a
ba
a
da cui segue che:
( ) xe x x x y 21
2550
1)(~ −=
Il termini noto della seconda equazione va ricercato in quelli del tipo:
( ) x B x A x y sincos~2
+=
Derivando si ottiene:
x B x A y cossin~2
+−=′ x B x A y sincos~2
−−=′′
Imponendo che x B x A y sincos~ += sia soluzione, si trova:
( ) x x B x A x B x A x B x A sin3)sincos(6cossinsincos =+−+−+−−
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
34
per il principio di identità dei polinomi si ha:
50
21
50
3
37
07−=−=⇒
=−−
=+− B A
B A
B A
da cui segue che
x x y sin50
21cos
50
3~2
−−=
L’integrale generale dell’equazione completa assegnata è
( ) ( ) ( ) ( ) x xe x xecec x y x y x y x y x x sin50
21cos
50
325
50
1~~)( 23x-2
2
121 −−−++=++= .
Esercizio 9
Risolvere la seguente equazione differenziale
13cos22 22 +++=+′−′′ x xe xe y y y x x
Per avere ora un integrale particolare dell’equazione assegnata, basta addizionare tre
integrali particolari delle equazioni:
xe y y y x cos22 2=+′−′′ x xe y y y =+′−′′ 22 1322 2 +=+′−′′ x y y y
Il polinomio caratteristico relativo all’equazione omogenea associata è 0222 =+− λ λ ,le cui radici complesse sono ii −=+= 1 ,1
21 λ λ . L’integrale generale cercato e’
( ) xc xce y sincos21
x += .
Il termine noto della prima equazione differenziale è xe x cos2 che corrisponde alla parte
reale del numero complesso:
)sin(cos2)2(
xi xee x xi
+=+
Come già più volte osservato,l’idea è quindi quella di supporre che
)sin(cos)(~ 2)2(1
xi x Ae Ae x y x xi +== + sia l’integrale particolare cercato, sostituire
nell’equazione differenziale assegnato imponendo che y sia soluzione della stessa e poi
considerare solo la parte reale del numero complesso. Vediamo come. Se supponiamo
che xi Ae x y )2(1
)(~ += sia soluzione dell’equazione differenziale, si ha:
( ) xiei A x y )2(1
2)(~ ++=′ ( ) xiei A x y )2(21
2)(~ ++=′′
Da cui segue che:
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
35
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) xi xi xi xi e Aeei Aei A ++++ =++−+ 222)2(2 2222
da questo segue che:
( ) ( ) 112222 2 =⇒=++−+ A Ai Ai A
Sostituendo si ha:
xie xe
xi xee Ae x y
x x
x xi xi
sincos
)sin(cos)(~
22
2)2()2(
1
+=
=+=== ++
Del risultato trovato ci interessa solo la parte reale, ovvero:
xe x cos2
L’integrale particolare della prima equazione differenziale è:
xe x y x cos)(~ 21
= .
Il termine noto della seconda equazione si presenta come prodotto tra un polinomio e un
esponenziale. Abbiamo già analizzato il procedimento per determinare l’integrale
particolare dell’equazione completa. Osserviamo intanto che il polinomio è di primo
grado e l’ordine minimo di derivazione è 0, quindi cerchiamo un polinomio di gradouno, del tipo bax + , inoltre osserviamo che 1=α (esponente dell’esponenziale) non èsoluzione del polinomio caratteristico. In tal caso si cerca un integrale particolare del
tipo: x Ae .
Quindi l’integrale particolare è del tipo:
( ) xebax x y +=)(~2
.
Derivando si trova:
( ) x
ebaax x y ++=′ )(~
2 ( ) x
ebaax x y ++=′′ 2)(~
2
imponendo la condizione che ( ) xebax x y +=)(~2
sia soluzione dell’equazione si trova:
=
=
0
1
b
a
da cui segue che:
x xe x y =)(~2
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
36
Il termine noto della terza equazione differenziale è un polinomio di grado due. Il grado
minimo di derivazione è zero quindi cerchiamo una soluzione particolare della forma
( ) cbxax x y ++= 23
~ .
Derivando, sostituendo nell’equazione assegnata e sfruttando il principio di identità dei
polinomi si trova:
=−+
=+−
=
1222
024
32
bac
ba
a
⇒
=
=
=
2
3
2
3
c
b
a
segue che ( ) 232
3~ 23
++= x x x y .
L’integrale generale cercato è:
( ) ( ) 2323cossincos22
21x
++++++= x x xe xe xc xce x y x x .
Esempio fisico
Le vibrazioni lineari
Consideriamo una particella di massa m che si muove lungo una retta e che sia soggetta
ad una forza di richiamo elastica, proporzionale allo spostamento e ad una resistenza
viscosa, proporzionale alla velocità. Secondo la legge di Newton il moto della particella
è descritto dell’equazione (differenziale del secondo ordine):
( ) ( ) ( )t kxt xt xm −′−=′′
dove ( )t x x = è lo spostamento al tempo t rispetto alla posizione di equilibrio, mentre ke sono delle costanti positive che caratterizzano la forza elastica e la resistenza
viscosa e che si chiamano costante elastica e costante di smorzamento del sistema.
Supponiamo che all’istante iniziale t=0 la particella occupi la posizione ed abbia
velocità, in tal caso il moto è descritto dal problema di Cauchy:
( ) ( ) ( )( )
( )
=′
=−′−=′′
0
0
0
0
v x
x x
t kxt xt xm µ
Il precedente sistema descrive molti modelli di sistemi lineari di natura assai diversa.
Si tratta di un’ equazione differenziale omogenea a coefficienti costanti. Per risolverla
consideriamo l’equazione caratteristica associata:
02 =++ k m µλ λ
le cui radici sono:
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
37
m
km
2
42 −±−=
µ µ λ .
Nell’ipotesi in cui non c’è resistenza viscosa 0=µ , l’integrale generale dell’equazione
differenziale è:
( ) t Bt At x sincos +=
dovem
k =ω . Imponendo le condizioni iniziali si ottiene:
ω
0
0
v B x A ==
L’integrale generale è:
( ) t v
t xt x ω ω
ω sincos 00
+=
Utilizzando le formule goniometriche, si può anche scrivere:
( ) ( )φ += t Rt x sin
dove Rv
R xv x R
ω φ φ
ω
00
2
2
02
0cossin, ==+= .
Nell’ipotesi di resistenza viscosa nulla, la particella si muove di moto armonico.
Se invece mk 20
-
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4. Equazioni differenziali omogenee di ordine superiore al
secondo
Lo studio delle equazioni differenziali omogenee di ordine superiore al secondo è deltutto analogo allo studio delle equazioni differenziali del secondo ordine per quanto
riguarda la ricerca dell’integrale dell’omogenea associata (avremo un polinomio
caratteristico di grado superiore al secondo). Vediamo alcuni esempi:
Esempio 1
Risolvere la seguente equazione differenziale
065 =′+′′−′′′ y y y
Il polinomio caratteristico associato e’ ( )( ) 03265 23 =−−=+− λ λ λ λ λ λ , la cui radicireali distinte sono 3 ,2 ,0 321 === λ λ λ . L’integrale generale cercato e’
x x ececc y 332
21 ++= .
Esempio 2
Risolvere la seguente equazione differenziale
073 =′′′− y y IV
Il polinomio caratteristico associato e’ ( ) 07373 334 =−=− λ λ λ λ , la cui radici reali
sono ,37 ,3)ita'(molteplic 0 21 == λ λ . L’integrale generale cercato e’
3
7
4
2
321
x
ec xc xcc y +++= .
Esempio 3
Risolvere la seguente equazione differenziale
06116 =−′+′′−′′′ y y y y
Il polinomio caratteristico associato e’ 06116
23 =−+− λ λ λ , che può essere scrittocome: ( )( )( ) 0321 =−−− λ λ λ . Le radici reali sono 3 2 1
321 === λ λ λ .
L’integrale generale cercato e’ x x x ececec y 33
2
21 ++= .
Esercizi
Risolvere le seguenti equazioni differenziali omogenee di ordine superiore al secondo:
a) 03103 =+′′+′′′ y y y
b) 044 =+−′′−′′′ y y y
c) 0365 =−′′+ y y IV
d)
012197 =−+′′−′′′− y y y y IV
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
39
Svolgimento
a)
Il polinomio caratteristico associato e’
( )( ) 03133103 23 =++=++ λ λ λ λ λ λ , la cui radici reali distinte sono
3 ,3
1 ,0 321 −=−== λ λ λ . L’integrale generale cercato e’
x x
ececc y 333
1
21
−−
++= .
b) Il polinomio caratteristico associato e’
( ) 04144 223 =−−=+−− λ λ λ λ λ , la cui radici reali distinte sono
4 ,1 ,1 321 ==−= λ λ λ . L’integrale generale cercato e’ x x x ececec y 4321 ++=
− .
c) Il polinomio caratteristico associato e’
09)4(365 2224 =+−=−+ λ λ λ λ , la cui radici sono
3 ,3 2 ,-2 4321 ii −==== λ λ λ λ . L’integrale generale
cercato e’ xc xcecec y x x 3sin3cos 432
2
2
1 +++= − .
d)
Il polinomio caratteristico associato e’( ) 0127)1(12197 22234 =+−−=−+−− λ λ λ λ λ λ λ , la cui radici
reali distinte sono 4 ,3 1 ,-1 4321 ==== λ λ λ λ . L’integrale
generale cercato e’ x x x x ecececec y 443
321 +++= − .
Esercizi proposti
Risolvere le seguenti equazione differenziali omogenee a coefficienti costanti di ordine
superiore al secondo
a)
0182723 =+−′′−′′′ y y y
b)
0317228 =++′′+′′′ y y y
c) 01284720 =++′′−′′′ y y y
d) 03 =′′−′′′ y y
e) 0122 =−+′′′ y y
f) 03019 =+−′′′ y y
g) 056 =′′+′′′+ y y y IV
h) 092 =′′− y y IV
i) 015228 =+′′− y y IV
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
40
j) 0939405256 =−+′′−′′′− y y y y IV
Soluzioni
a) L’integrale generale cercato e’ x
x xececec y 3
2
3
3
2
3
1 ++= − .
b)
L’integrale generale cercato e’ x x
x ececec y 41
32
3
21
−−− ++= .
c) L’integrale generale cercato e’ x x
x ececec y 52
34
3
2
2
1
−
++= .
d)
L’integrale generale cercato e’ xec xcc y 3321 ++= .
e) L’integrale generale cercato e’
)5sin5cos( 322
1 xc xceec y x x ++= − .
f)
L’integrale generale cercato e’ x x
x ececec y 6939
36
939
23
1
−+
− ++= .
g) L’integrale generale cercato e’ x x ecec xcc y −− +++= 4
5
321 .
h) L’integrale generale cercato e’ x x
ecec xcc y 23
42
3
321
−
+++= .
i) L’integrale generale cercato e’
x x x x
ecececec y 25
42
5
32
3
22
3
1
−−
+++= .
j) L’integrale generale cercato e’ x x x x
ecececec y 73
42
1
32
3
22
3
1 +++= −
.
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
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5. Equazioni differenziali non omogenee di ordine superiore al
secondo.
Lo studio delle equazioni differenziali non omogenee di ordine superiore al secondo èdel tutto analogo allo studio delle equazioni differenziali del secondo ordine anche per
quanto riguarda la ricerca dell’integrale particolare (la discussione è del tutto analoga ai
metodi precedentemente descritti).
Vediamo alcuni esempi:
165 +=′+′′−′′′ x y y y
Abbiamo già determinato l’integrale generale dell’omogenea associata:
x x ececc y 33
2
21 ++= .
Il termine noto è un polinomio di grado uno e l’ordine minimo di derivazione è uno,
cerchiamo quindi un integrale particolare che sia un polinomio del secondo ordine del
tipo:
( )bax x y +=~ Derivando, sostituendo nell’equazione e utilizzando il principio di identità dei polinomi
si trova:
=+−
=
1610
112
ba
a
⇒
=
=
36
11
12
1
b
a
segue che ( ) x x x y 3611
12
1~
2
+=
L’integrale generale cercato è:
x xececc y x x
36
11
12
123
3
2
21 ++++= .
Esempio
Risolvere la seguente equazione differenziale
xe y y y y 212198 =−′+′′−′′′
Il polinomio caratteristico associato e’ 012198 23 =−+− λ λ λ , la cui radici reali distintesono 4 3 ,1
321 === λ λ λ . L’integrale generale dell’omogenea associata cercato e’
x x ececec y 43
3x
21 ++= . Osserviamo che 2=α non è soluzione del polinomio
caratteristico, quindi cerchiamo un integrale particolare del tipo: x Ae x y 2)(~ = .
Derivando si ha:
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
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x Ae x y 22)(~ =′ x Ae x y 24)(~ =′′ x Ae x y 28)(~ =′′′
Sostituendo nell’equazione completa si trova:
x x x x x e Ae Ae Ae Ae 22222 12219488 =−⋅+⋅−
da cui segue che:
2
111238328 =⇒=−+− A A A A A
L’integrale generale dell’equazione completa è:
x x x eececec y 243
3x
21
2
1+++= .
Esempio
Risolvere la seguente equazione differenziale
x y y IV 2sin=−
Il polinomio caratteristico associato e’ 014 =−λ , la cui radici sonoii −==−==
4321 1 ,1 λ λ λ λ . L’integrale generale dell’omogenea associata
cercato e’ xc xcecec y x sincos43
x
21 +++= − . Cerchiamo un integrale particolare del
tipo: x B x A x y 2sin2cos)(~ += .Derivando si ha:
x B x A x y 2cos22sin2)(~ +−=′ x B x A x y 2sin42cos4)(~ −−=′′
x B x A x y 2cos82sin8)(~ −=′′′ x B x Asi x y IV 2sin162cos16)(~ +=
Sostituendo nell’equazione completa si trova:
x x A x B 2sin2cos152sin17 =+
da cui segue che:
17
10 == B A
L’integrale generale dell’equazione completa è:
x xc xcecec y x 2sin17
1sincos
43
x
21 ++++= − .
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
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Esercizi proposti
Risolvere le seguenti equazione differenziali non omogenee a coefficienti costanti di
ordine superiore al secondo
a)
2182723 +=+−′′−′′′ x y y y b) x xe y y y =++′′+′′′ 317228
c) 21284720 x y y y =++′′−′′′
d) ( ) xe x y y 313 +=′′−′′′ e) 1122 −=−+′′′ y y
f) 23019 =+−′′′ y y
Osservazione
Tutti i metodi precedentemente descritti si possono applicare quando il termine noto
assume una particolare espressione (polinomio, esponenziale, funzione trigonometrica
etc...). Nel caso in cui il termine noto fosse, ad esempio, un logaritmo nessuno dei
metodi precedenti è efficace per determinare l’integrale particolare dell’equazione
completa. E’ necessario quindi studiare un metodo che consenta una maggiore
applicazione rispetto ai metodi sopra illustrati. Tale metodo, chiamato Metodo della
Variazione delle Costanti Arbitrarie, ha una validità “quasi” generale ma rispetto alletecniche già studiate, quest’ultimo è più elaborato. Come detto più volte tralasciamo la
dimostrazione che il lettore potrò trovare in un qualsiasi testo di analisi matematica II.
6. Metodo di variazione delle costanti arbitrarie
Il metodo di variazione delle costanti arbitrarie permette di determinare una soluzione
particolare dell’equazione completa qualunque sia il termine noto f(x), purché si
conoscano già due soluzioni linearmente indipendenti dell’equazione omogenea
associata. Il metodo di variazione delle costanti è applicabile non solo quando
l’equazione omogenea è a coefficienti costanti ma anche quando i coefficienti sono
variabili. In quest’ultimo caso però non vi sono metodi generali che consentano di
determinare due soluzioni indipendenti dell’equazione omogenea.
Indicate con ( ) ( ) x y x y21
e due soluzioni indipendenti dell’equazione omogenea
associata (osservando che queste sono due soluzioni dell’equazione note), si vuole
determinare una soluzione particolare della forma:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x y xc x y xc x y2211
~ +=
dove ( ) ( ) xc xc21
e non sono costanti ma funzioni di x.
Imponendo che ( ) ( ) x y x y21
e siano linearmente indipendenti e siano soluzioni
dell’equazione differenziale si ottiene:
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
44
( ) ( )1212
1
2
1212
2
1e
y y y y
f y xc
y y y y
f y xc
′−′
−=′
′−′
−=′
Integrando si ottengono
( ) ( ) xc xc
21
e che sostituiti in () danno l’integrale particolare
cercato.
In definitiva il problema di determinare una soluzione dell’equazione completa è
ricondotto a quello di calcolare i due integrali indefiniti.
Esempio
Utilizzando il metodo di variazione delle costanti arbitrarie, risolvere la seguente
equazione differenziale
( ) ( ) x
x y x y2sin
14 =+′′
sapendo che ( ) ( ) x x y x x y 2cose2sin21
== sono due integrali dell’omogenea
associata.
Dobbiamo inizialmente verificare che le soluzioni assegnate siano linearmente
indipendenti. Per questo è sufficiente verificare che risulta non nullo il seguente
determinante:
.21
21
y y
y y
′′
Nel nostro caso si ha:
022sin22cos2
2cos2sin
21
21 ≠−=−
=′′ x x
x x
y y
y y
Cerchiamo un integrale particolare del tipo:
( ) ( ) ( ) xc x xc x x y21
2cos2sin~ ′⋅+′⋅=
( )
( )2
2cot
2
2sin
12cos
2
1
2
2sin
12sin
1212
1
2
1212
2
1
x x x
y y y y
f y xc
x x
y y y y
f y xc
=−
⋅−
′−′
−=′
=−
⋅−=
′−′
−=′
Integrando (rispetto ad x) si ottiene:
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
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( )
( ) b xdx xdx xcc
a xdxdx xcc
+==′=
+==′=
∫∫
∫∫
2sinlog21
22cot
2
1
2
1
22
11
quindi l’integrale particolare cercato è:
( ) ( ) ( ) xb x xa x xc x xc x x y 2cos2sinlog2
12sin
2
12cos2sin~
21
++
+=⋅+⋅=
l’integrale generale, come sempre, sarà dato dalla somma dell’integrale generale
dell’omogenea associata più l’integrale particolare:
( ) xb x xa x xh xk x y 2cos2sinlog2
12sin
2
12cos2sin
++
+++= .
7. L’equazione di Bernoulli
Si chiama equazione di Bernoulli, un equazione differenziale del primo ordine del tipo
( ) ( ) ( ) ( ) ( )α x y xb x y xa x y +=′
con ( ) ( ) xbe xa funzioni continue nell’intervallo [c,d] di α eℜ numero reale diversoda 0 e da 1.
L’equazioni di Bernoulli viene ricondotta, per poter essere risolta, ad un equazione
lineare del primo ordine, tramite una sostituzione.
La sostituzione è:
( ) ( ) α −= 1 x y x z
la cui derivata prima è:
( ) ( ) ( ) ( ) x y x y x z ′−=′ −α α 1
Esempio 1Risolvere la seguente equazione differenziale
(*) ( ) x
y x
x
y x y 32log
2
−−=′ ( )0≠ x
Si tratta di un equazione differenziale di Bernoulli con 2=α . La sostituzione è:
( ) ( ) ( ) 121 −− == x y x y x z ( )0≠ y
derivando:
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
46
( ) ( ) ( ) x y x y x z ′−=′ −2
Sostituendo in (*) si trova:
( ) ( ) ( ) ( )
x
x yy x
x
x y y x y x y
222
2
32log
−−
−
+=′−
da cui segue:
( ) x
x
x
z x z
2log3=−′
che rappresenta un equazione differenziale lineare del primo ordine.
( )
+−=
+=
=
+=
+=
∫
∫∫ −
−∫∫
12log39
12log
2log2log)(
3
3
4
3
log33
33
x x
c xdx x
xc x
dxe x
xcedxe
x
xce x z
x xloxdx
xdx
x
risostituendo si trova:
( )
( ) ( )( )
+−
=
+−=
⇒
+−==
−
−
12log39
1
112log3
9
1
12log391)()(
3
3
1
3
3
3
31
x x
c x
x x
c x x y
x x
c x x y x z
Esempio 2
Risolvere la seguente equazione differenziale
(*) ye y y x22 =−′
Si tratta di un equazione differenziale di Bernoulli con2
1=α . La sostituzione è:
( ) ( ) ( )21
2
11
x y x y x z == −
derivando:
-
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Equazioni Differenziali Ordinarie
47
( ) ( ) ( ) x y x y x z ′=′ − 21
2
1
Sostituendo in (*) si trova:
( ) ( ) ( ) ( ) ye x y y x y x y x y x22
12
2
1
2
12
1
2
1
2
1
⋅=⋅−′ −−−
da cui segue:
xe z z =−′
che rappresenta un equazione differenziale lineare del primo ordine.
( ) xcedxeece x z xdx xdx
+=
⋅+= ∫ ∫∫
−)(
risostituendo si trova:
( ) ( ) ( )2221
)()( xce x y xce x y x z x x +=⇒+==
-
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8. Il Problema di Cauchy: le condizioni iniziali
Abbiamo già osservato che l’insieme delle soluzione dell’equazione differenziale del
secondo ordine è, in generale, costituita da una famiglia di funzioni dipendenti da due
parametri21
, cc . Tale famiglia prende il nome di integrale generale dell’equazione
differenziale del secondo ordine. Per poter determinare una soluzione particolare
dall’integrale generale è necessario assegnare due condizioni (tante quanti sono i
parametri), se queste sono del tipo:
( )
( )
=′
=
10
00
y x y
y x y
il problema corrispondente si chiama Problema di Cauchy per un equazione
differenziale del secondo ordine a coefficienti costanti.
Esempio 1
Risolvere il seguente problema di Cauchy:
=′
=
=+′−′′
0)0(
0)0(
127 4
y
y
e y y y x
Abbiamo già risolto l’equazione di secondo grado completa e abbiamo trovato comeintegrale generale:
(*) x x xeecec x y 43x2
4
1)( ++=
E’ possibile determinare le due costanti utilizzando le condizioni assegnate. Deriviamo
prima l’integrale generale:
x x x xeeecec x y 443x2
4
1434)( +++=′
Sostituendo le condizioni assegnate si trova:
0)0(21
=+= cc y
0134)0(21 =++=′ cc y
ponendo a sistema e risolvendo si trova:
1121
=−= cc
Sostituendo in (*) il risultato trovato si trova il seguente integrale:
-
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( ) x x ee x x y 341)( +−= .
Naturalmente il problema di Cauchy si può avere anche per un equazione differenziale
del primo ordine:
Esempio 2
Risolvere il seguente problema di Cauchy:
=
=−′
0)0(
22
y
ye y y x
Abbiamo già risolto l’equazione di Bernoulli il cui integrale generale è:
(*) ( ) ( )22 xce x y x +=
Sostituendo la condizioni assegnata si trova:
00)0( 2 =⇒== cc y
Sostituendo in (*) il risultato trovato si trova il seguente integrale:
( ) xe x x y 22=
Esempio 3Risolvere il seguente problema di Cauchy:
=
=′
4)0(
23
y
y y
Integrando membro a membro si ottiene:
( )44 2424
1c x yc x y +±=⇒+=
L’integrale generale è definito per ogni2
c x −≥ .
Imponendo la condizione inizi le si trova:
64c
:quindi positivo,quelloèsceglieredasegnoilcheimplicaquesto
44 4
=
±= c
-
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Si ottiene perciò:
( )4 328 += x y
Esempio 4
Risolvere il seguente problema di Cauchy:
=
+=′
π )0(
cos
31
y
y
x y
Si tratta di un equazione differenziale risolvibile col metodo di separazione delle
variabili. Supposto π π
k y 2
2
+±≠ e moltiplicando ambo i membri per cosy, infine
integrando si ottiene:
c x x y ++= 22
3sin
Determiniamo la costante c imponendo la condizione iniziale e otteniamo c=0 quindi:
2
2
3sin x x y +=
ora verrebbe naturale scrivere
+= 2
2
3arcsin x x y
ma questo non è consentito in quanto ( ) ( ) 00arcsin0 == y e non sarebbe più soddisfattala condizione iniziale. La spiegazione di questo dipende dal fatto che la funzione seno
non è globalmente invertibile, infatti la sua inversa, l’arcoseno, esiste solo
nell’intervallo
−
2,
2
π π . Noi siamo interessati ad invertire la funzione seno in un
intorno del punto π . Per far questo consideriamo la funzione π −= y z che soddisfa lacondizione ( ) 00 = z e inoltre
+−=⇒−−=−=−= 22
2
3arcsin
2
3sin)sin(sin x x z x x y y z π
quindi:
+−= 2
2
3arcsin x x y π .
-
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9. Il Teorema di Cauchy: esistenza e unicità della
soluzione.
A differenza di quanto avviene per le equazioni differenziali lineari, dove in generale è
ragionevole aspettarsi che una o più soluzioni siano definite in tutto un intervallo
assegnato a priori, nel caso di equazioni differenziali non lineari le soluzioni risultano,
in generale, definite soltanto nell’intorno di un punto iniziale assegnato. Ecco perché si
parla di Problema di Cauchy in piccolo (o locale), intendendo con questo che la
soluzione del problema è relativa all’intorno considerato (cioè è locale).
9.a Teorema di Cauchy (in 2ℜ )
Sia ( ) y x f , definita in un intorno rettangolare IxJ del punto ( )2
00 , ℜ∈ y x .Supponiamo che:
1. ( ) y x f , sia continua nel rettangolo IxJ
2. ( ) y x f , sia lipschitziana rispetto ad y uniformemente per I x ∈ , cioè esiste unacostante 0> K tale che:
( ) ( )2121
,, y y K y x f y x f −≤−
per J y y I x ∈∈∀ 21 ,, .
Allora esiste un numero reale 0>δ ed esiste una ed una sola funzione )( x y y = ,
derivabile in [ ]δ δ +−00
, x x , che risolve in tale intervallo il problema di Cauchy
=
=′
00)(
),(
y x y
y x f y
Osservazioni
•
Il teorema di Cauchy da una condizione sufficiente per l’esistenza e unicità dellasoluzione.
• L’ipotesi 1 garantisce l’esistenza della soluzione, mentre l’ipotesi 2 garantiscel’unicità.
Verificare su una funzione è o meno lipschitziana non è sempre facile, ecco perché
spesso non per stabilire la lipschitzianità si ricorre al seguente corollario.
-
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9.b Corollario (del teorema di Cauchy)
Sia ( ) y x f , una funzione reale definita in IxJ . Supponiamo che f con la sua derivata
parziale rispetto ad y, y
f
∂
∂ siano funzioni continue in IxJ . Allora esiste un numero
reale 0>δ ed esiste una ed una sola funzione )( x y y = , derivabile in [ ]δ δ +−00
, x x ,
che risolve in tale intervallo il problema di Cauchy
=
=′
00)(
),(
y x y
y x f y.
Il significato del corollario è il seguente:
y
f
∂∂ continua in ( ) IxJ y x ∈
00, ⇒ ( ) y x f , lipschitziana rispetto ad y uniformemente
rispetto ad x.
Calcolare una derivata e verificare che sia continua nel punto assegnato è senza dubbio
più facile che stabilire la lipschitzianità della funzione.
Osservazione importante.
Se y
f
∂
∂ non è continua in ( ) IxJ y x ∈
00, questo non implica che ( ) y x f , lipschitziana
rispetto ad y uniformemente rispetto ad x. L’implicazione vale solo in un verso!!!
In mancanza della condizione sulla derivata non possiamo che andare a studiare la
lipschitzianità della funzione. Anche se possiamo ancora fare alcune osservazioni.
Dire che y
f
∂
∂ non è continua in ( ) IxJ y x ∈
00, cosa significa?
Essenzialmente due cose.
• Può capitare che nel punto iniziale la derivata della funzione sia illimitata, in tal
caso se il limite del rapporto incrementale è infinito, il rapporto incrementale(che poi sarebbe la condizione di lipschitzianità) non può essere limitato. Quindi
diciamo meglio che se la derivata prima valutata nel punto iniziale non è
continua ma tende all’infinito allora possiamo affermare che la funzione non è
lipschitziana e che quindi la sol