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ELEMENTU FINITUEN METODOAREN OINARRIAK
![Page 2: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/2.jpg)
GAI ZERRENDA: 1. Sarrera 2. Metodoaren oinarriak 3. Barra elementua 4. Habe elementua 5. Ariketak
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1. INTRODUCCIÓN
Diseño preliminar
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA Desarrollo de sistemas mecánicos y procesos de fabricación
Cálculo de componente: - Dimensionamiento
- Verificación del diseño - Selección del material
Cálculo de proceso: - Selección de parámetros de
proceso - Diseño de útiles
Industrialización
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1. INTRODUCCIÓN:
Métodos de cálculo
- Métodos analíticos:
- Empleo de ecuaciones analíticas que representan la pieza, producto o proceso a analizar.
- Ventajas: relativamente rápidos de resolver.
- Inconvenientes: difícil de representar fielmente piezas, productos o fenómenos complejos (no siempre aplicables).
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- Métodos numéricos (Método de los elementos finitos MEF)
- Dividir un problema complejo en muchos problemas sencillos (elementos).
- Obtención de resultados mediante métodos numéricos.
- Ventajas: capacidad de resolver problemas muy complejos
- Inconvenientes: • proceso de resolución largo y costoso. • necesidad del empleo de ordenadores.
1. INTRODUCCIÓN:
Métodos de cálculo
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Mecánica de sólidos: cálculos estructurales estáticos
Puesta a punto Diseño FEM
1. INTRODUCCIÓN:
Aplicaciones
![Page 7: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/7.jpg)
Mecánica de sólidos: procesos de conformado y mecanizado
vc = 300 m/min vc = 600 m/min
1. INTRODUCCIÓN:
Aplicaciones
![Page 8: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/8.jpg)
Simulación flujo del aire en un F1
Mecánica de fluidos: ejemplos lineales y no lineales
Simulación de un huracán
1. INTRODUCCIÓN:
Aplicaciones
![Page 9: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/9.jpg)
Termodinámica:
Simulación de la transferencia de calor en una turbina
Simulación del patrón de temperaturas de un tubo y el molde
1. INTRODUCCIÓN:
Aplicaciones
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•Elemento finito (EF): porción del volumen bajo análisis, de geometría sencilla, en la cual es sencillo resolver las ecuaciones de comportamiento.
•Nodos: puntos de referencia en los que se van a calcular los desplazamientos (grados de libertad). Por lo general se encuentran en los límites del elemento (vértices, aristas, centroide,…).
• Funciones de interpolación: permiten determinar los desplazamientos de cualquier punto mediante la interpolación de los desplazamientos nodales.
Elemento finito
Nodos
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Definiciones
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u v w θx θy θz
6 Grado de Libertad (GDL) por nodo en 3D.
X Y
Z
u v
w
θx
θy
θz
u: Desplazamiento en X v: Desplazamiento en Y w: Desplazamiento en Z θx: Rotación respecto de X θy: Rotación respecto de Y θz: Rotación respecto de Z
=
Problema real División del problema en sub-problemas de solución conocida.
DISCRETIZAR
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Grados de libertad
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• Por geometría:
- Unidimensionales
- Bidimensionales
- Tridimensionales
• Según el orden de interpolación:
- Lineales
- Parabólicos
- …
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Clasificación de los elementos finitos
![Page 13: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/13.jpg)
Lineales Parabólicos
Unidimensionales: una dimensión prima frente al resto
Bidimensionales: una dimensión es despreciable frente al resto
Tridimensionales:
geometrías complejas
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Clasificación de los elementos finitos
![Page 14: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/14.jpg)
Atendiendo a la GEOMETRÍA:
• Menos nodos, más imprecisos.
• Se adaptan mejor a geometrías complejas
• Más nodos, más precisos.
• Mayor tiempo de cálculo.
• Dificultad de adaptar a geometrías complejas
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Clasificación de los elementos finitos
![Page 15: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/15.jpg)
v1 v2 v1 v3 v2
Interpolación lineal Interpolación parabólica
v(x) = m x + b v(x) = a x2 + b x + c
x x
Según el orden de interpolación:
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Clasificación de los elementos finitos
Elementos lineales vs. parabólicos:
• Ventaja: los elementos parabólicos dan un resultado más exacto porque aproximan mejor la solución.
• Inconveniente: mayor número de nodos, cálculo más costoso.
Si se utilizan elementos lineales se debe discretizar con muchos elementos las zonas donde haya cambios de tensión.
![Page 16: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/16.jpg)
[M]{δ} + [C]{δ}+[K]{δ} ={Fext} . ..
[M]: Matriz de masa
[C]: Matriz de amortiguamiento [K]: Matriz de rigidez
{δ}: Vector desplazamiento
{δ}: Vector velocidad .
{δ}: Vector aceleración ..
{Fext}: Vector de fuerzas externas
En el campo estático: Aceleración = 0 Velocidad = 0
[K]{δ} ={Fext} [M]{δ} + [C]{δ}+[K]{δ} ={Fext} . ..
Ecuación general del movimiento:
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Ecuación diferencial del movimiento
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Se utilizan para determinar los desplazamientos de cualquier punto mediante la interpolación de los desplazamientos nodales.
1
*1 2e e, ,...,
n
n
N N N N
Ni representa la contribución del desplazamiento del gdl i en el desplazamiento de cualquier punto del elemento.
= vector de desplazamientos de cualquier punto del elemento e.
= desplazamientos nodales del elemento e.
= matriz de funciones de interpolación
e
*
e
N
= funciones de interpolación del gdl i.
= desplazamiento del gdl i. i
iN
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Funciones de interpolación [N]
n = número de gdl
![Page 18: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/18.jpg)
El coeficiente de rigidez Kij representa la fuerza a aplicar en el gdl i para obtener un desplazamiento unitario en el gdl j manteniendo nulos el desplazamiento en el resto de gdl.
11 1 12 2 1 1
1 1 2 2
...
...
n n
n n nn n n
K K K f
K K K f
* *
ee ef K
[K]e = matriz de rigidez del elemento
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Matriz de rigidez [K]
![Page 19: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Once, the nodal displacement vector of the studied system is solved the stress/strain condition at any point can be obtained.
.
. ] N,....,N,N [=}{
n
1
n21e
δ
δ
δ
0 0
0 0
0 0
0
0
0
x
x
yy
z z
xy
y xyz
zx z y
z x
u
v
w
Determination of the elongation at the selected point Strain vector determination
* *N B
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Cálculo de deformaciones
![Page 20: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/20.jpg)
20
The relation between the strain and the stress in the linear elastic domain is given by the generalised Hooke’s law:
1
1
1
x x y z
y y z x
z z x y
E
E
E
2 1
2 1
2 1
xyxy xy
yzyz yz
zxzx zx
G E
G E
G E
Generalized Hooke’s law:
LAMÉ 's_law :
2 1E
G
For isotropic materials
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Cálculo de tensiones
![Page 21: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/21.jpg)
21
The relation between the strain and the stress in the linear elastic domain is given by the generalized Hooke’s law:
1 0 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
1 20 0 0 0 0
21 2 11 2
0 0 0 0 02
1 20 0 0 0 0
2
x x
y y
z z
xy xy
yz yz
zx
E
zx
D
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Cálculo de tensiones
![Page 22: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/22.jpg)
22
Relation between nodal forces an nodal displacements:
Based on CAPLEYRON theory, the external work of the nodal forces is represented:
The internal deformation energy caused by the nodal displacements:
{ } [ ]{ }** δKf =
* *12
Tw f
1
d2
Tu v
* *
*
N B
D D B
As: T T* *1
d2
v
u B D B v
Being w u
* *12
Tw K
T T* * * *1 1
2 2
T
v
K B D B dv
T dv
K B D B v
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Cálculo de la matriz de rigidez
![Page 23: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Transformation matrix
[ ]
=
zyx
zyx
zyx
cccbbbaaa
T
From local coordinate system of the element
To global coordinate system
* *T * *f K * *f K
T T T* * * *f T f T K T K T * *f T f
T* *f T f TK T K T
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Determinación de la matriz de rigidez en coordenadas globales
![Page 24: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/24.jpg)
24
In a real problem different type of external loads can be found:
- Punctual forces
- Moments
- Distributed loads
f*
f
=
For FEM modelling all external load should be applied in the element nodes
- Punctual forces
- Moments
- Distributed loads
NECESITY TO OBTAIN AN EQUIVALENT SYSTEM BASED IN NODAL LOADS
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Determinación de las fuerzas nodales equivalentes
![Page 25: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/25.jpg)
25
T1
1d
2s
w f s
The external work due to all the external load applied to the system is given by
By using the interpolation functions:
Thus the work of the equivalent system can be written as:
T TT T* *
1
1 1d d
2 2s s
w N f s N f s
T* *2
12
w f
1 2w w T TT* * *1 1d
2 2s
N f s f
T* ds
f N f s
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Determinación de las fuerzas nodales equivalentes
![Page 26: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/26.jpg)
Cálculo de desplazamientos
Cálculo de deformaciones
Cálculo de tensiones
Criterio de rigidez
Criterio de resistencia
Ley de Hooke generalizada { } [ ]{ }εσ D=
admδδ ≤
adm
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Cálculo estático lineal. Proceso de cálculo
*B
Cálculo de desplazamientos nodales y reacciones
*
e eN
[K]{δ} ={Fext}
![Page 27: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/27.jpg)
1. PRE-PROCESADO Preparar la geometría del modelo. Definir las propiedades del material. Aplicar las condiciones de contorno. Discretizar el modelo.
2. CÁLCULO
Lanzar el cálculo del comportamiento global del modelo como suma de sus elementos discretos.
3. POST-PROCESADO
Analizar los resultados.
2. FUNDAMENTOS DEL MÉTODO
Fases del cálculo por elementos finitos
![Page 28: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Truss element:
- 2 node one-dimensional element (2DOF)
- Only allows to calculate tractive-compressive condition
Determination of the interpolation function 21 ,
,,,
uuji
zyxNodal displacement vector 1 2,T u u
2 G.D.L 1st order equation xaaxu .)( 10 +=
x
y
1 2
2u1u
L i j
)(xu
Local axis Element nodes Nodal displacements
1)0( uu =
2)( ulu = } laauau
102
01
+== } 1 0
12
1 0
1
u a
au l
211
10
11 ul
ul
a
ua
+−=
= }
−
=
2
1
1
0
1101
uul
laa
1 1
2 2
1 0
1, 1 ,1 1u ux x
u xu ul l
l l
[ ]
=2
121, u
uNNu
lxN −=11 l
xN =2
3. ELEMENTO BARRA
Definición y funciones de interpolación
![Page 29: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/29.jpg)
29
T dv
K B D B v
1 1
, 1 222
1x y
u ux xu N N
uu l l
Stiffness matrix obtaining formula:
2 2
02 2
1 1 11 11 1
, d d1 1 1 1 1
l
v
EAl l lK E v AE xl l l
l l l
3. ELEMENTO BARRA
Matriz de rigidez. Deformaciones y tensiones
1 1 11 2
1 22 2 2
1 1, , ,x
BB
u u uu N NN N
u u ux x x x l l
x xE
![Page 30: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/30.jpg)
30
1 1
1
21
2,
,
cos sin 0 0
0 sin cos 0 0
0 0 cos sin
0 0 0 sin cos X Yx y
u u
v
uvv
3. ELEMENTO BARRA
Matriz de rigidez en coordenadas globales
Naming
sin
cos
e
e
0 0 0 01 0 1 0
0 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 00 0 0 0
0 0 0 00 0 0 0
TK T K T
EAK
l
2 2
2 2
e 2 2
2 2
EAK
l
![Page 31: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/31.jpg)
31
2v1v
z
x
y
12
Beam element:
- 2 node unidimensional element (4DOF)
- Only allows to calculate behind loading condition
1
1
2
2
v
v
T 1
1 2 3 41
1 2 3 4 2
2
d d d dd d d d
vN N N Nv
N N N N vx x x x
12 3 2 32 3 2 3
2 2 1
2 2 2 2 2
2 3 2 2 3 22
1 3 2 , 2 , 3 2 ,
6 6 , 1 4 3 , 6 6 , 2 3
vx x x x x x x x
xvl l l l l l l l
vx x x x x x x xl l l l l l l l
Beam element interpolation function:
4. ELEMENTO VIGA
Definición y funciones de interpolación
![Page 32: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Beam deflection 2
2
d dd dx
vy y
x x
2 2
* *2 2
d dd dx
vy y N B
x x
T dv
K B D B v
2 3
22
2 3 2 2 3 20
2 3
2
612
46
6 4 6 212 , 6 , 12 , 6 d d
612
26
l
s
xl l
xx x x xl lK E x y s
x l l l l l l l ll l
xl l
dbeing
dvx
2 3 2 2 3 2
6 4 6 212 , 6 , 12 , 6
x x x xB y
l l l l l l l l
4. ELEMENTO VIGA
Matriz de rigidez. Deformaciones y tensiones
x xE
![Page 33: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/33.jpg)
33
Naming
sin
cos
3 2 3 2
2 2
e
3 2 3 2
2 2
0 0 0 0 0 0
12 6 12 60 0 0 0 0 0 0 00 00 0 0 0 0 0 0 0
6 4 6 20 00 0 1 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 00 0 0 0
12 6 12 60 0 0 00 0
0 0 0 0 0 16 2 6 4
0 0
z
l l l l
l l l lK EI
l l l l
l l l l
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0 0 1
23
23 3
2 2
e2 2
3 3 2 3
2 23 3 2 3 3
3 2 2
12
12 12
6 6 4
12 12 6 12
12 12 6 12 12
6 6 2 6 6 4
z
l
l l
l l lK EI
l l l l
l l l l l
l l l l l l
4. ELEMENTO VIGA
Matriz de rigidez en coordenadas globales
![Page 34: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/34.jpg)
34
Complete Beam element:
- 2 node one-dimensional element (6DOF)
- Only allows to calculate behind loading condition
1
1
1T
2
2
2
u
v
u
v
1
1
1 21
3 4 5 62
3 4 5 6 2
2
0 0 0 0
0 0
d d d d0 0
d d d d
u
vN Nu
v N N N N uN N N N vx x x x
1
1
2 3 2 32 3 2 3 1
2 22
2 2 2 22
2 3 2 2 3 22
1 0 0 0 0
0 1 3 2 2 0 3 2
0 6 6 1 4 3 0 6 6 2 3
ux x
vl lu
x x x x x x x xv x ul l l l l l l l
vx x x x x x x xl l l l l l l l
Complete Beam element interpolation function:
2v1v
z
x
y
12
2u1u
4. ELEMENTO VIGA
Viga completa
![Page 35: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/35.jpg)
35
Naming sin
cos
2 2
3
2 23 3
2 2
2 2 2 23 3 2 3
2 2 2 23 3 2 3 3
2 2
12
12 12 .
6 6 4
12 12 6 12
12 12 6 12 12
6 6 2
Te e
EI EAL L
EI EA EI EA syL L L L
EI EI EIL L L
K T k TEI EA EI EA EI EI EA
L L L L L L L
EI EA EI EA EI EI EA EI EAL L L L L L L L L
EI EIL L
µ λ
µλ µλ λ µ
µ λ
µ λ µλ µλ µ µ λ
µλ µλ λ µ λ µλ µλ λ µ
µ λ
+
− + +
−
= =
− − − +
− − − − − + +
− 2 2
6 6 4
cossin
EI EI EI EIL L L L
µ λ
λ θµ θ
−
==
4. ELEMENTO VIGA
Viga completa
![Page 36: Elementu Finituen Metodoaren Oinarriak 2014_2015](https://reader031.vdocuments.site/reader031/viewer/2022012316/559f2f221a28ab8d168b4693/html5/thumbnails/36.jpg)
36
Calcular las reacciones y desplazamientos nodales. Calcular la deformación y tensión del punto C.
F L1
L2
30º
Point C
L1
L2
L3
M
30º
Point C
Point C
5. EJERCICIOS