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Profº Jaime Mariz Eletrotécnica Básica
Potência Elétrica
De grande interesse nos equipamentos elétricos.
Ex.: Potência de um transformador, de um alternador, de um
transmissor de rádio, etc
Se a tensão na figura ao lado for
função do tempo, a corrente resultante
também o será. O produto da tensão
pela corrente, em qualquer instante, se
chama Potencia Instantânea e é dada
por: p = vi
A potência p pode ter valores positivos e negativos.
“p” positiva transferência de energia da fonte para o circuito.
“p” negativa transferência de energia do circuito para a fonte.
Consideremos o caso ideal em que o circuito passivo consta
de um elemento indutivo e apliquemos a ele uma tensão senoidal
da forma v = Vmax.sent; a corrente resultante terá a forma
i = Imax.sen(t-/2). Assim a potência será:
p = vi = Vmax.Imax. sent[sen(t-/2)]
Como sen(t-/2) = -cost
p = Vmax.Imax.sent[-cos(t)]
Como senX.cosX = ½ sen2X
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A potencia tem freqüência duas vezes
maior que a corrente e tensão.
Quando v e i são + p é + energia
Quando v e i são - p é - energia
No caso de um circuito puramente
capacitivo os resultados são análogos.
Se aplicarmos, agora, uma tensão v = Vmax.sent a uma
estrutura que só contenha resistência, a corrente será
I = Imax.sent e a potência será:
p = Vmax.Imax.sen2t
como sen2x= ½ (1-cos2x)
Então a potencia nesse tipo de circuito tem freqüência duas vezes
mais que a tensão ou corrente. Além disso, a potência aqui é
sempre positiva e varia de zero ao valor máximo Vmax.Imax
O valor médio da potência nesse caso
será:
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Consideremos finalmente o caso de um circuito passivo genérico
em que aplicada v = Vmax.sent teremos uma corrente resultante
I = Imax.sen(t+)
será positivo se o circuito for capacitivo
será negativo se o circuito for indutivo
Então
p = vi = Vmax.Imax.sent.sen(t+)
como sen.sen = ½ [cos(-)-cos(+)] e cos(-) = cos
Então a potencia em cada instante tem uma componente
cossenoidal cujo valor médio é zero, e também um termo
independente do tempo e constante igual a
O valor médio de p é: , como
P = VIcos
cos é chamado de fator de potência. O ângulo é o ângulo de V
e I e seu valor varia de +90° a –90°. Portanto, cos e
conseqüentemente P são sempre positivos. Entretanto, para indicar
o sinal de , diz-se que um circuito indutivo, que tem a corrente
atrasada em relação à tensão, tem um fator de potência atrasado.
Num circuito capacitivo a corrente está adiantada em relação à
tensão e diz-se que tem um fator de potência adiantado.
Potência Aparente (S):
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O produto VI chama-se potência aparente e representa-se pelo
símbolo S. A unidade é o Volt-ampere (VA) e o seu múltiplo mais
usado é o Quilovolt-ampere (KVA) = 1000VA
Potência Reativa (Q):
O produto VIsen chama-se potência reativa e indica-se pelo
símbolo Q. A unidade é o Volt-ampere-reativo (VAr) e o seu múltiplo
mais empregado é o Quilovolt-ampere-reativo (KVAr) = 1000Var.
Triângulo de Potências:
Circuito Indutivo
Circuito Capacitivo
|S|2 = |Q|2 + |P|2 S = P jQ
|KVA|2 = |KVar|2 + |KW|2
Potência Média ou Real (P) Potência Transformada em calor
Potência Aparente (S) Potência Total do circuito
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Atrasado
Adiantado
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Potência Reativa (Q) Potência Gasta para haver a troca de
energia entre o sistema e o
capacitor/indutor
Observemos que:
Seja v = |V|ej e i = |I|ej( + )
S = VI* = |V|ej.|I|e-j( + ) = VIe-j
S = VIcos - jVIsen S = P - jQ
Potência Média ou Real (P)
[VI*]
Potência Reativa (Q)
[VI*]
Potência Aparente (S) S = VI = I2Z = V2/Z valor absoluto de [VI*]
Fator de Potência
Exemplo 01)
Dado um circuito de impedância Z = 3 + j4 e uma tensão
V=10030° determine o triângulo de potencias.
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Método 1:
P = I2R = (20)2x3 = 1200W
Q = I2X = (20)2x4 = 1600Var atrasada
S = I2Z = (20)2x5 = 2000VA
cos = cos53,1° = 0,6 atrasado
Método 2:
S = VI = 100x20 = 2000VA
P = VIcos = 2000.cos53,1° = 1200W
Q = VIsen = 2000.sen53,1° = 1600Var
fp = cos = cos53,1° = 0,6 atrasado
Método 3:
S = VI* = 10030°x2023,1° = 2000(cos53,1° + jsen53,1°)
S = 1200 + j1600
P = 1200W
Q = 1600Var
S = 2000VA
Correção de fator de potência
Instalações industriais cargas indutivas – corrente atrasada em
relação à tensão aplicada
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No triângulo de potencias a hipotenusa “S” indica a
potencia total requerida do sistema, e o cateto “P” indica a
potencia útil fornecida.
É, portanto, desejável que “S” se aproxime o máximo e “P”,
isto é, que o ângulo se aproxime de zero, para que o fator de
potência (cos) se aproxime da unidade.
No caso de uma carga indutiva aumenta-se o fator de potência
colocando-se capacitores em paralelo com a carga. Como a tensão
nos terminais da carga permanece a mesma, a potência útil P não
varia. Como o fator de potência é aumentado, a corrente e a
potência aparente diminuem, obtendo-se assim uma utilização
mais eficiente da instalação industrial.
P = VI.cos
S = VI*
Exemplos:
1) Corrigir o valor do o fator de potência do exemplo anterior (Z=3+j4 e V = 10030°) para 0,9 atrasado, acrescentando capacitores em paralelo. Achar S’ após a correção, e a potência reativa dos capacitores.
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S = 2000Va
P = 1200w
Q = 1600Var
cos = 0,6 atrasado
cos’ = 0,9’ = arccos 0,9 = 26°
cos’ = P/S’S’ = 1200/0,9 = 1333VA
sen’ = Q’/S’
Q’ = S’.sen26° = 1333sen26°
Q’ = 585Var
A potência reativa dos capacitores será:Qcap = Q – Q’ = 1600 – 585
Qcap = 1015Var adiantado
2) Dado um circuito em que, aplicada a tensãov = 150sen(t+10°), a corrente resultante éi = 5sen(t – 50°), determinar o triângulo das potências.
S = VI* = (10610)(3,5450)
S = 37560°= 187,5 + j325
P = Re[VI*] = 187,5W
Q = Im[VI*] = 325Var atrasado
S = 375 VA
fp = cos60° = 0,5 atrasado
3) Em um circuito série de dois elementos a potência é 940 watts e
o fator de potência é 0,707 adiantado. Sendo
v = 99sen(6000t + 30°) a tensão aplicada, determinar as
constantes do circuito.
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P = VIcos
940 = 70I(0,707)
Como o fator de potência é 0,707 adiantado, o fasor corrente está adiantado em relação à tensão, do ângulo de = arccos0,707 = 45°, então:
I = 19(45+30) I = 1975°
Como Z = R – jXc = R –j(1/C)
R = 2,6
Outro Método:
I = 19A P = RI2 940 = R(19)2
Z = |Z|45° = R – jXc = 2,6 – jXc
Como = -45° Xc = 2,6
4) Dado o circuito série abaixo, determinar o triângulo das potências.Z =3+j6–j2 = 3+j4 = 553,1°
S = VI* = [50(-90)](10143,1)
S = 50053,1° S = 300 + j400
P = 300w
Q = 400Var atrasado
S = 500Va
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Outro método
I = 10A P = RI2 = 3.102 = 300w
Qj6 = 6.102 = 600Var atrasado
Q-j2 = 2.102 = 200Var adiantado
Q = Qj6 - Q-j2 = 600 – 200 = 400Var atrasado
5) A corrente eficaz total no circuito abaixo é 30A. Determine as potências.
P = IT2R = 302x2,4 = 2160w
Q = IT2X = 302x0,533 = 479,7Var adiantado
6) Determinar o triângulo das potências de cada braço do circuito
abaixo e soma-los para obter o triângulo do circuito todo.
Ramo 01:
S1 = VI1* = (2060°)[5(-30°)]
= 10030° = 86,6 + j50
Logo:51
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P1 = Re[VI1*] = 86,6w
Q1 = Im[VI1*] = 50Var atrasado
S1 = [VI1*] = 100Va
fp1 = P1/S1 = 0,866 atrasado
Ramo 02:
S2 = VI2* = (2060°)(40°)
= 8060° = 40 + j69,2
Logo:P2 = Re[VI2*] = 40w
Q2 = Im[VI2*] = 69,2Var atrasado
S2 = [VI2*] = 80Va
Fp2 = P2/S2 = 0,5 atrasado
Exemplo 06 (continuação)
Total: PT = P1 + P2 = 68,6 + 40 = 126,6w
QT = Q1 + Q2 = 50 + 69,2 = 119,2Var
ST = PT + jQT = 126,6 + j119,2 = 17443,4°
ST = |ST| = 174Va
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7) Um motor de indução cuja saída é 2HP tem rendimento de 85%.
Com essa carga o fator de potência é de 0,8 atrasado.
Determinar as potências de entrada.
2HP = 1755w
S = 1755/0,85 = 2190Va
= arcos 0,80 = 36,9º
Q = 2190sen36,9 = 1315Var (atrasado)
P = Scos = 2190 x 0,80 = 1752w
8) Determinar o triângulo das potências totais do circuito paralelo
abaixo, sendo de 20w a potência dissipada no resistor de 2.
Z1 = 5,38(-68,2º)
V = I1Z1 = 3,16 x 5,38 17v
Tomando V = 170º
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IT = I1 + I2 = (1,17 + j2,93) + (8,48 – j8,48)
IT = = 9,65 – j5,55 = 11,1(-29,9º)
ST = V.IT* = 170 x 11,129,9 = 18929,8 = 164 +j94
PT = 164w , QT = 94Var (atrasado) , ST = 189Va
Cos = 164/189 = 0,868 (atrasado)
8) Determinar as potências de uma associação de 3 cargas individuais, assim especificadas: Carga 1 - 250Va, fp = 0,5 atrasado; Carga 2 - 180w, fp = 0,8 adiantado; Carga 3 - 300Va, 100Var atrasado.
Carga 01:S = 250va
cos = 0,5atrasado
P = S/cos = 250/0,5 = 125w
= arccos 0,5 = 60º
Q = Ssen = 250sen60º = 216Varatrasado
Carga 02:S = 180va
cos = 0,8adiantado
S = P/cos = 180/0,8 = 225w
= arccos 0,8 = 36,9º
Q = Ssen = 225sen36,9º = 135Varadiantado
Carga 03:
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S = 300va
Q = 100Varadiantado
= arcsenQ/S = arcsen 100/300 = 19,5º
P = Scos = 300cos19,5º = 283w
Então: PT = 125 + 180 + 283 = 588w
QT = 216 – 135 + 100 = 181Var atrasado
ST = PT + jQT = 588 +j181 = 61617,1 ST = 616Va
cos = P/S = 588/616 = 0,955 atrasado
9) Um transformador de 25Kva fornece 12Kw a uma carga com
fator de potência 0,6 atrasado. Determinar a percentagem de
plena carga que o transformador alimenta. Desejando-se
alimentar cargas de fp unitário com esse mesmo transformador,
quantos Kw podem ser acrescidos, até que o transformador
esteja a plena carga.
P = 12 Kw S = P/cos = 12/0,6 = 20KVa
A percentagem de plena carga é: (20/25)x100 = 80%
cos = 0,6 = arccos 0,6 = 53,1º
Q = Ssen = 20sen53,1 = 16Kvar atrasado
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Como as cargas adicionais tem fp=1, Q permanece
inalterado
Quando o trafo estiver a plena S’ = 25KVa
’ = arcsen Q/S’ = arcsen 16/25 = 39,8º
PT = S’cos’ = 25cos39,8º = 19,2Kw
Então a carga adicional = PT – P = 19,2 – 12 = 7,2Kw
10) Um transformador de 500KVa está operando a plena carga
com fator de potência total de 0,6 atrasado. O fator de potência
é melhorado, acrescentando-se capacitores, para 0,9 atrasado.
Quantos KVar capacitivos são necessários? Após a correção
do fator de potência, que percentagem da plena carga o
transformador estará alimentando?
Plena carga
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P = VIcos = 500 x 0,6 = 300Kw
= arccos0,6 = 53,1º
Q = VIsen = 500sen53,1º = 400Kvar atrasado
Quando cos’ = 0,9 atrasado
’ = arccos0,9 = 26º
S’ = 300/0,9 = 333KVa
Q’ = 333sen26º = 146KVar atrasado
Então carga capacitiva = Q – Q’ = 400 – 146
= 254KVar adiantado
% plena carga = (330/500)x100 = 66,7%
11) Considere o circuito abaixo, ao qual se aplica uma voltagem
de freqüência igual a 50Hz. Determinar qual deve ser a
capacitância para que o fator de potência do circuito seja 0,80,
e neste caso, dizer se a corrente estará em avanço ou em
atraso.
Se cos = 0,80 = arccos 0,80 = 36,87º
Ramo ab: Z1 = 5 Y1 = 1/557
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Ramo cd: Z2 = 2 + j4
Yfg = Y1 + Y2
Zfg =
Ramo ef: Zef = 2 -jXc
Impedância Total: ZT = Zef + Zfg =
ZT =
tg = tg36,87º = 0,75 = X/R
20 - 13XC = 56 x 0,75 = 72
Então
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Parte imaginária Positiva, então
corrente atrasada
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Ressonância em circuitos de corrente alternada
Um circuito está em ressonância quando a tensão aplicada em
fase com a corrente resultante, apesar do circuito ter reatância
capacitiva e indutiva. Portanto Z = R. V em fase com I fator de
potência = 1
Ressonância em Série
em ressonância X=0
isto é, 2LC = 1
como ciclos/seg
0na ressonância:
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Com a corrente vai ser máxima
Se a freqüência do circuito for menor que 0 o circuito passa a
ter a reatância capacitiva maior do que a reatância indutiva saindo
então da ressonância.
Se a freqüência do circuito for maior que 0 o circuito passa a ser
predominantemente indutivo. O circuito sai da ressonância.
Ressonância Paralela
R, L, C elementos puros
O circuito está em ressonância quando B = 0, isto é, quando:
Na ressonância Y = G +jB portanto Y é mínimo, a corrente
(I = VY) também será
Quando < 0 BL > BC predominantemente indutivo
Quando > 0 BL < BC predominantemente capacitivo
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