Download - Elemente de Geometrie Fractala1
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
1/29
Elemente de geometrie
fractala
Profesor: Fulop Renata
Elevi: Dimancea Diana
Elek Emilia
Georgies Hajnalka
Holhos Olivia
Tivadar Timea
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
2/29
Cuprins
Introducere
Caracteristicile unui fractalTipuri de fractali
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
3/29
Introducere
Fractalii sunt obiecte geometriceneuniforme, fragmentate, cu propietatea
ca o parte din respectivul obiect se
aseamana foarte mult cu obiectul mare
(sau privit de la o scara mai mare)
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
4/29
In 1975 Mandelbrot introduce numele de fractal.In primul capitol din cartea "Les objects
fractals" a lui Benoit Mandelbrot acesta explica
etimologia cuvantului fractal. Acesta provine
din latinescul fractuscare inseamnaneregulat
sau intrerupt.
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
5/29
In antichitate filosofii si "matematicienii" vremii incercau saabstractizeze natura, sa o "imblanzeasca" sa ii impuna
anumite sabloane cu ajutorul carora sa o poata intelege, sa-i
prezica evolutia si sa o struneasca in folosul lui. Din aceastapornire au aparut geometria, fizica, algebra, astronomia sialte stiinte exacte. Acum, la scoala, la ora de geometrieinvatam despre linie, cerc, punct, patrat, teoreme peste
teoreme, demostratii abstracte. Dar toate acestea isi pierdcomplet semnificatia daca ne uitam pe geam si observam un
copac Acesta nu abunda in linii drepte si unghiuri cuproportii bine definite.Benoit Mandelbrot parintele fractalilor si-a dedicat
munca incercand sa "inteleaga matematic" aceste forme, acercetat relatia dintre fractali si natura. El a aratat ca in
natura exista multi fractali si ca acestia pot modela cuprecizie unele fenomene
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
6/29
Un bun exemplu de obiect fractal ilgasim in bucatarie. Este vorba de
conopida (sau variatia ei americana,broccoli) Incercati sa o definiti ca
fiind rotunda. sau patrata, sauprismatica! Nu veti putea. Dar veti
putea zice ca e puternic ramificata, sica pe masura ce te uiti mai atent
descoperi noi detalii, noi ramificatii,
toate parca semanand intre ele.
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
7/29
Conopida fractala
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
8/29
In matematica exista mai multe tipuri
de fractali in functie de modul in care
sunt construiti.
Formele fractale nu sunt o inventie asecolului 20, ei existau inca de la
inceput in jurul nostru dar nu am avut
"puterea" sa ii reproducem. Abia cu
aparitia calculatoarelor a fost posibila
desenarea lor. De exemplu, pentru
cea mai "aratoasa" clasa de fractali
sunt necesari ani de zile pentru a"afisa" o portiune relativ mica si
saraca in detalii
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
9/29
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
10/29
Caracteristicile unuifractal
Structura fina la scari arbitrar de mici
Prea neregulat pentru a fi descris in limbajgeometric
Autosimilar(macar aproximativ saustochastic)
Dimensiunea Hausdorff mai mare decatdimensiunea topologica
Definitie simpla si recursiva
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
11/29
Deoarece par identici la orice nivel de
magnificare, fractalii sunt de obiceiconsiderai ca fiind infinit compleci.
Printre obiectele naturale care aproximeazfractalii pn la un anumit nivel se numr:
norii, lanurile montane, arcele de fulger,liniile de coast i fulgii de zpad.
Totui, nu toate obiectele autosimilare suntfractalide exemplu, linia real (o linie
dreapt Euclidian) este autosimilar, dar nundeplinete celelalte caracteristici.
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
12/29
Fractalii se afla peste tot in jurul nostru,
luand forma unui lant muntos sau seregasesc in unduirea liniei de tarm.
Conceptul matematic de fractalcaracterizeaza obiecte cu o diversa gama de
structura si care astfel reflecta principiulierarhic de organizare.
Obiectele fractale nu isi schimba forma inmod semnificativ cand sunt observate la
microscop.
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
13/29
Tipuri de fractali
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
14/29
Iterated Function System(IFS)
Sunt generati pornind de la o forma asupracareia aplicam in mod repetat acelasi procedeu.De exemplu:
1.Luati un triunghi echilateral plin.2.Uniti mijlocul laturilor triungiului. Astfel vetiimparti triunghiul mare in 4 triunghiuri mici.Eliminati mijlocul (zona va ramane alba)
3.Continuati la infinit acelasi procedeu pentrurestul de 3 triunghiuri mici ramase si pentru
noile triunghiuri generate
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
15/29
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
16/29
Sunt numeroase forme, unele foartespectaculoase, rezultatul depinzand de
imaginatia noastra. Evident, sunt
programe specializate, carora lespecificam forma initiala (triunghi, cerc,
linie, etc) si metoda (elimina treimeamedie si procedeaza la fel cu ce a ramas,
etc) iar soft-ul ne arata rezultatul
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
17/29
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
18/29
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
19/29
O feriga care nu este chiar feriga. Privind
o frunza de feriga reala observam cumramificatiile principale seamana foarte multcu cele secundare si tertiare. Fractalul de
mai jos surprinde acest aspect
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
20/29
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
21/29
LSystems
Oarecum similari cu sistemele IFS din
prisma imaginilor produse, L-systemsincearca sa simuleze cresterea naturala a
organismelor
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
22/29
Se spune ca dintr-o celula de tipul A se vor naste 3celule ABA, iar dintr-o celula de tip B se vor naste
CACBCA. Pornind de la o singura celula A si repetandprocedeul de multe ori obtinem un sir de caractere pecare daca il reprezentam grafic obtinem niste fractalidraguti. (In literatura se spune ca avem o broscuta
care traseaza in urma ei o linie. Noi ii dam indicatii infunctie de literele intalnite in sirul nostru.) In jos este
un copac obtinut cu un astfel de sistem.
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
23/29
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
24/29
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
25/29
Fractali iterativi
Acestia sunt probabil cel mai spectaculosi siaratosi fractali. Ei se obtin folosind oecuatie matematica (de multe ori foarte
simpla) pe care o iteram de multe ori(sute, mii de ori, in functie de puterea decalcul a sistemului nostru). Ca valoare de
pornire folosim un punct din plan. Infunctie de rezultatul ecuatiei colorampunctul respectiv cu un cod de culoare
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
26/29
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
27/29
Primul (si cel mai celebru) astfel de fractal
este Ansamblul Mandelbrot descris deinsusi cel care a introdus notiunea defractal.Ecuatia lui este foarte simpla,Z=Z*Z+C. Ceea ce obtinem in urma
acestei"mici" ecuatii este un fractal de ocomplexitate si frumusetedeosebita.Infinitatea de detalii te face
uneori sa te pierzi tot explorand noi si noizone.
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
28/29
AnsamblulMandelbrot
-
8/3/2019 Elemente de Geometrie Fractala1.
29/29
Incheiem cu un clip minunat: