Električni potencijalElektrostatska potencijalna energija
Energija potječe od rada koji čestica obavlja gibajući se u el. polju suprotno od djelovanja el. sile (slično kao kod gravitacijskog polja).
Gledamo el. naboj Q’ koji se giba po putanji abu el. Polju E.
Rad pri gibanju nabijene čestice u el polju?
Istovremeno, neka djeluju neka neelektrična sila F.
Uvodimo koordinatni sistem, smjer tangente na krivulju i okomica na tangentu.
Rastavljamo sile na komponente:
Električni potencijal 2
t – smjer, smjer tangente na krivulju
Jer se čestica giba po tangenti, nema promjene brzine (po iznosu), tj. u y smjeru nema rada.
Rad obavlja samo tangencijalna komponenta .
ϑϕ cos'cos EQFFt +=∑n – smjer, okomica na tangentu (normala)
ϑϕ sin'sin EQFFn +=∑
t
n
0nW F d s= ⋅ =∫� �
Električni potencijal 3
2. Newtoneov zakon povlači: maFt∑ =
uz:
ϑϕ cos'cos EQFma +=
ds
dvv
dt
ds
ds
dv
dt
dva ===
ϑϕ cos'cos EQFds
dvmv +=
dsEQmvdvdsF ϑϕ cos' cos −=
Fizikalno tumačenje?
Električni potencijal 4
dsEQmvdvdsF ϑϕ cos' cos −=
putsiladsF ×= cosϕ diferencijal rada vanjskih sila
kdEmvdmvdv =
= 2
2
1diferencijal kinetičke energije
dsEQ ϑcos'− rad za svladavanje el. sile ili
promjena potencijalne energije naboja u el. polju
elpk dEdEdW +=
Ukupan rad
∫∫∫ −=b
a
b
a
b
a
dsEQmvdvdsF ϑϕ cos' cos
Ukupan rad za pomicanje naboja po krivulji ab?
Specijalni slučajevi:
a) Nema el. polja (E=0).
Rad vanjskih sila ide samo na prirast kinetičke energije i ne ovisi o putu.
22
2
1
2
1 cos ab
b
a
mvmvdsF −=∫ ϕ )()( aEbE kk −=
Ukupan rad b
b) Nema promjene kinetičke energije.
Rad vanjskih sila je utrošen na svladavanje sile kojom el. polje djeluje na naboj, tj. rad promjeni potencijalnu energiju.
∫∫ −=b
a
b
a
sdEQdsF��
' cosϕ
)()(' aEbEsdEQ pp
b
a
−=− ∫��
Ukupan rad c)
c) Nema vanjskih sila (F=0).
0)()(cos' =−+− ∫ aEbEdsEQ kk
b
a
ϑ
0)()()()( =−+− aEbEaEbE kkpp
)()()()( aEaEbEbE kpkp +=+
Definiramo da je Ep u beskonačnosti jednaka nuli.
( ) 0
( ) cos
p
b b
p
E
E b QE ds QEdsϑ∞ ∞
∞ =
= − = −∫ ∫� �
Ep = rad potreban da se naboj Q prenese iz beskonačnosti u točku b
Z.O.E.
Električni potencijal
Ovisi li elektrostatska potencijalna energija o putu kojim se naboj gibao od beskonačnosti do točke b?
Promjena potencijalne energije kod točkastog naboja dana je samo radom po radijalnom dijelu putanje.
Promatramo polje točkastog naboja Q i gibanje u njemu izmeñu točaka a i b.
+a
ba’
Q
∫∫∫ −−=−b
a
a
a
b
a
sdEqsdEqsdF'
'������
090cos ' =⇒⊥⇒ ���sdEaalukza
∫∫∫ −=−=−⇒b
a
b
a
b
a r
drqQsdEqsdF
'2
0' 4πε����
10cos ' radijalno =⇒⇒ ���sdEba
−−=
ba rr
qQ 11
4 0πε
q
Električni potencijal 2
Uzmimo proizvoljnu putanju od a do b?
Promjena potencijalne energije kod pomicanja naboja q u el. polju ne ovisi o putu nego samo o početnoj i krajnjoj točki pomaka.
Svaku putanju možemo aproksimirati infinitezimalnim pomacima po kružnim putanjama.
090cos =⇒⊥⇒ ���sdElukoveza
∫∫∫∫∫ −=−−−−=−⇒b
a
b
a
a
a
a
a
b
a r
drqQsdF
20''''
''
'
'
4...
πε��
10cos radijalno =⇒⇒ ���sdE
−−=
ba rr
qQ 11
4 0πε
+a
b
Q
a’q
Za slučaj kada imamo više točkastih naboja
0
1 1
4
b
jj a ba
qFds Q
r rπε
− = − −
∑∫� � Promjena potencijalne energije u el.
polju ne ovisi o izboru putanje, većsamo o početnoj i krajnjoj točki pomaka. (Coulombova sila je konzervativna sila)-početna točka a→∞
( )04
jp
j j
QqE r
rπε= ∑
�
Q1
Q2
Q3
Qj
A
Bq
r j
Potencijalna energija = skalarna funkcija koordinate točke u prostoru.
Električno polje možemo opisati skalarnom veličinom jednoznačno definiranom u svakoj točki polja.
0Fds− =∫� �
�
( ),j jr d Q B=
Električni potencijal 3
Promatramo poseban slučaj:�Točka a je u beskonačnosti�Promatramo jedinični naboj (q = 1)
Električni potencijalu nekoj točki polja, jednak je radu koji se treba izvršiti da bi se jedinični naboj prenio iz beskonačnosti u tu točku.
0
1( )
4
QV r
rπε=�
( ) ( )b b b
p p
a a
E b E a Fds qEds Eds∞
− = − = − ⇒ −∫ ∫ ∫� � �� � � )(bV=
[ ] J JV
C As = =
( )( ) pE b
V bq
=Ako naboj nije jedinični: potencijal u točki b jednak je potencijalnoj energiji naboja q u točki b podijeljenoj s iznosom naboja q. (Rad po naboju.)
[ ] V NE
m C = =
Električni potencijal 4
Potencijal u polju točkastog naboja Q
0
1( )
4
QV r
rπε=�
Potencijal u polju više točkastih naboja Qj
0
1( )
4j
j j
QV r
rπε= ∑
�
Potencijal u polju prostorne raspodjele naboja ρ(r)= ρ(x,y,z)
( ) ( )0
', ', '1( ) , ,
4 '
x y zV r V x y z dV
r
ρπε
= = ∫�
Električni potencijal u ravnini oko točkastog pozitivnog naboja.
1( )V r
r
�∼
Električna napetost / napon
Razlika potencijala izmeñu dvije točke u električnom polju zove se električna napetost (napon).
Razlika potencijala ili električna napetost Uba izmeñu dvije
točke b i a jednaka je radu koji treba izvršiti da se jedinični naboj prenese iz točke a u točku b.
∫∫∞∞
+−=−ab
ab sdEsdEVV����
∫−=b
a
sdE��
baU= [ ]V
1 eV = energija koju dobije nabijena čestica naboja e (elektron ili proton) ubrzana razlikom potencijala 1 V
- energetski nivoi atoma ~ 1 eV- energetski nivoi jezgre ~ 1 MeV- energija elektrona u katodnoj cijevi (televizor) ~5 keV
0ab baU U Eds= − ⇒ =∫� �
�
Električni potencijal i električno polje
Gledamo razliku potencijala izmeñu dvije točke na beskonačno maloj udaljenosti.
Komponenta vektora polja u danom smjeru je jednaka negativnoj vrijednosti gradijenta potencijala u tom smjeru.
sdEdUsdEUUb
a
ab
���� −=⇒−=− ∫ dsE ϑcos−= ⇒ : ds
ds
dUE −=ϑcos
zk
yj
xi
∂∂+
∂∂+
∂∂=∇
���
x
zyxUEx ∂
∂−= ),,( ( ) ( ), , , , y z
U x y z U x y zE E
y z
∂ ∂= − = −
∂ ∂
gradUUE −=−∇=�
gradijent, nabla operator
Coulombova sila:
1 202
0 12
1( )
4
q qF r r
rπε=
� � �
Električno polje:
Potencijal:Potencijalna energija:
2
0 12
1( )
4
qV r
rπε=�1 2
0 12
1( )
4p
q qE r
rπε=�
202
0 12
1( )
4
qE r r
rπε=
� � �
Potencijal je karakteristika polja (prostora u kojem polje djeluje), bez obzira na to postoji li testni/probni naboj u polju. Potencijalna energija je karakteristika sustava polje-naboj zbog meñudjelovanja polja i nabijene čestice smještene u to polje.
r0r0
( )( ) pF r E r= −∇� � � ( )( )E r V r= −∇
� � �
Potencijal dipola
Iz točke P povucimo kružnice kroz krajeve dipola (zeleno).
θθ cos2
),( cos2
),(d
rQPdd
rQPd +≈−≈ −++-
d+-
dQ Q
P
r
θ
Eθ
Er
U slučaju da je r>>d , lukovi su praktički ravni i okomiti na r i spojnice točke P s nabojima.
+−
−=
θθπε cos2
cos2
4
1
0d
r
Qd
r
QV
−=
θ
θπε 2
220 cos
4
cos
4
1
dr
Qd
20
cos
4
1
r
dQV
θπε
=2
0
cos
4
1
r
pV
θπε
=
Potencijal dipola 2
+-d
+-d
Q Q
P
r
θ
Eθ
Er
20
cos
4
1
r
pV
θπε
=
r
VEr ∂
∂−= 30
cos2
4
1
r
p θπε
=
1
θθ ∂∂−== V
rEEt 3
0
sin
4
1
r
p θπε
=
1. Točke A i B smještene su u električnom polju. Razlika potencijala VB-VA jea) pozitivna,b) negativna,c) nula.
2. Negativan naboj premješten je iz točke A u B. Promjena potencijalne energije je >a) pozitivna,b) negativna,c) nula.
0b
b a
a
V V Eds− = − <∫� �
( ) ( ) ( )
( )
>0b b
p p
a a
p
E b E a Fds q Eds
E q V
− = − = − −
= −
∫ ∫� �� �
△ △
3. Kolika je razlika potencijala izmeñu točaka A i B u homogenom električnom polju?
4. Kolika je promjena potencijalne energije pri premještanju naboja q0 iz točke A u B?
Ekvipotencijalne plohe
Novi način grafičkog prikaza električnog polja.
Ekvipotencijalna ploha je skup svih točaka prostora u kojima potencijal ima istu vrijednost.
Svojstva:
�Ekvipotencijalna ploha je u svakoj svojoj točki okomita na smjer električnog polja u toj točki.
�Potencijalna energija naboja je ista u svakoj točki ekvipotencijalne plohe.
�Relativna gustoća ekvipotencijalnih ploha je mjera jakosti električnog polja.
primjeri
1. Na slici su dane ekvipotencijalne plohe. Poredaj po iznosu rad električnog polja pri premještanju pozitivnog naboj iz:a) A u B,b) B u C,c) C u D,d) D u E.
02q0
q0
-q0
E
2. Sferni balon ima u svom središtu pozitivni naboj. Ako se balon napuše na veći polumjer, a naboj ostane u središtu, potencijal na sferi / tok električnog polja kroz sferu:a) poraste,b) smanji se,c) ostane isti.
-homogeno el. polje beskonačne nabijene ploče
Silnice el. polja i ekvipotencijalne plohe
-točkasti naboj
-dipol
3. U nekom dijelu prostora električni potencijal duž x-osi jednak je nuli. Ex u tom dijelu prostora je:a) nulab) u smjeru +x,c) u smjeru –x.
4. U nekom drugom dijelu prostora električno polje je nula. Električni potencijal u tom dijelu prostora je:a) nula,b) konstantan,c) pozitivan,d) negativan.
Električni potencijal nabijenog vodiča
-sav naboj se nalazi na površini vodiča-el. polje unutar vodiča = 0, a na površini je okomito na vodič-u ravnoteži, sve točke na površini vodiča imaju isti potencijal (površina vodiča je ekvipotencijalna ploha)-buduću da je E=0 unutar vodiča, to znači da je potencijal unutar vodiča konstantan i jednak potencijalu na njegovoj površini-rad pri pomicanju testnog naboja iz unutrašnjosti na površinu vodiča =0
-za točke A i B vrijedi (integral uz površinu vodiča, E ┴ s):
Polje i potencijal homogeno nabijene sfere.
Prijelaz naboja s vodiča na vodič
-naboji prelaze dok se potencijali vodiča ne izjednače
AB
dQB QA
- vodič A nabijen je nabojem Q; nakon spajanja vodiča tankom vodljivom žicom, na A ostaje QA, a na B prijeñe naboj QB; Q=QA+QB;
A
B
B
A
BAA
B
A
B
BA
A
B
BB
B
A
AA
R
R
E
E
dRRuzR
R
Q
Q
VV
d
Q
R
QV
d
Q
R
QV
=
<<=
=
+=
+=
,
4
1
4
1
0
0
πε
πε
-količina naboja na kuglama proporcionalna je njihovim polumjerima
Kapacitet
Vidjeli smo da je potencijal točkastog naboja:
Slično, potencijal kugle je:
r
QV
04
1
πε=
R
QV
04
1
πε= Q – ukupan naboj
R– polumjer kugle
QRV =⇒ 04πε tj. Q je proporcionalan s V.
Eksperimenti su pokazali da su naboj i potencijal svakog izoliranog vodiča meñusobno proporcionalni (više naboja ↔veći potencijal).
Konstanata proporcionalnosti se zove KAPACITET.
VCQ ⋅=V
QC =⇒
[ ] [ ][ ] [ ] farad FV
QC ==⇒
Kapacitet je omjer naboja i potencijala.
FpF
FnF
FµF
12
9
6
10
10
10
−
−
−
==
=Farad je velika veličina, pa se koriste:
Primjer:
Koliki je kapacitet Zemlje ako je njen polumjerR = 6370 km?
221120
6
1085,8
1037,6
CmN
mR−−−⋅=
⋅=ε
RC 04πε=
612 1037,61085,814,34 ⋅⋅⋅⋅⋅= −C
FC 610708 −⋅≈
FC µ708≈
-samo ako se u blizini ne nalazi nikakav drugi vodič
Kondenzatori
Potencijal nabijenog vodiča ovisi o:- naboju na vodiču- količini i predznaku naboja na okolnim vodičima- rasporedu, obliku i dimenzijama okolnih vodiča
+Q -Q
V
QC =
potencijal se smanji
kapacitet se poveća (Q se ne mijenja)
⇒ kapacitet vodiča možemo povećati dovoñenjem suprotno nabijenog vodiča u njegovu blizinu⇒ kondenzator
Kondenzatori
Kondenzatori
Dva bliska, meñusobno izolirana vodiča nabijena jednakim količinama naboja suprotnog predznaka.
Primjena: pohrana elektrostatske energije, ispravljači, radio, TV, memorija za računala, …
-omogućuju uskladištenje relativno velikih količina naboja uz male razlike potencijala
Pločasti kondenzator
Dvije jednake paralelne ploče, meñusobno udaljene za udaljenost d (d<<dimenzija ploče).
Za električno polje izmeñu 2 paralelne ploče, izveli smo izraz:
σεε 00
11 ==S
QE
Jer je polje skoro homogeno, potencijal (rad za prijenos jediničnog naboja) je:
( )S
QddEdEsFUab
0
11
ε=⋅=⋅⋅=⋅= ��
abV
QC =Definicija kapaciteta daje:
d
SC 0ε=
Pločasti kondenzator 2
Permitivnost vakuuma, dielektrična konstanta
d
SC 0ε=
S
dC ⋅=⇒ 0ε [ ]
=⇒m
F0ε
1. Kondenzator je nabijen nabojem Q uz napon V. Ako se napon udvostruči:a) C se smanji na pola, a Q ostaje isti,b) C i Q se smanje upola,c) C i Q se udvostruče,d) C ostaje isti, Q se udvostruči
2. Tipka na tipkovnici radi na principu promjenjivog kondenzatora. Kada se tipka stisne, meki izolatorski sloj se stanji, a kapacitet se:a) poveća,b) smanji,c) promijeni na nepoznati način .
Kuglasti kondenzator
- dvije vodljive koncentrične kugline ljuske
Jer kugle nemaju jednake površine, polje nije homogeno. Silnice su radijalni pravci (izlaze iz + nab. kugle i ulaze u – nabijenu kuglu.
2
1
1R
ab
R
U F s E dr= ⋅ = ⋅ ⋅∫ ∫� �
Npr. puna metalna kugla unutar šuplje
Električno polje izmeñu kugli jednako je kao i polje točkastog naboja Qkoji bi bio u središtu kugle:
204
QE
rπε=
2
1
204
R
ab
R
Q drU
rπε= ∫
0 1 2
1 1
4
Q
r rπε
= −
Kuglasti kondenzator 2
QC
U=Definicija kapaciteta daje:
Pretpostavka da je vanjska kugla beskonačno velikog polumjera �
0 1 2
1 1
4
QU
r rπε
= −
0 1 2
1 14
QC
Q
r rπε
=
−
1 20
2 1
4r r
Cr r
πε=−
04C rπε= Kapacitet usamljene kugle – ovisi samo o polumjeru.
Cilindrični kondenzator
Dvije koaksijalne valjkaste obloge polumjera R1 i R2 jednakih visina.
Kapacitet=?
Gaussov zakon
0εQ
SdES
=⋅∫∫��
) ( , rzakonstESdE =��
∫∫∫∫ ⇒⋅=⋅SS
dSESdE θcos��
02 επ
QdSE
lr
=∫∫
Cilindrični kondenzator 2
Rad?0
2ε
π QlrE =
02
1
επQ
lrE =⇒
∫ ⋅=2
1
R
R
drEU ∫=2
102
1R
R r
drQ
l επ
=
1
2
0
ln2
1
R
RQ
l επ
⇒=U
QC
=
1
2
0
ln
2
RR
lC πε Samo ovisnost o
geometriji kondenzatora
Vrste kondenzatora
Prema načinu izrade i načinu primjene:
- stalni i promjenljivi- papirni, keramički, elektrolitički
Lajdenska boca– najstariji tip kondenzatora
Lajdenska boca– Staklena boca (čaša) obložena metalnom folijom izvana i iznutra, s poklopcem od izolatora kroz koji je provučena metalna šipka koja je spojena s unutrašnjom oblogom.
Kapacitet– reda 1 nF (napon desetak tisuća volta!!!)
Vrste kondenzatora 2
Papirni kondenzatori – 2 dugačke, vrlo tanke metalne (alumijske) folije odvojene parafiniranim papirom. Folije se uviju u obliku valjka
Kapacitet– od nekoliko nF do nekoliko µµµµF
Keramički kondenzatori– koriste se razni keramički materijali velikih dielektričnih konstanti.
Prednost – vrlo male dimenzije
Elektrolitički kondenzatori– aluminijska elektroda, obložena elektrolitom.
Kapacitet– nekoliko stotinaµµµµF
Spajanje kondenzatora
Serijski spoj kondenzatora
21 QQ =
21 UUU +=
U
QC =
⇒
21 UUU +=
2
2
1
1
C
Q
C
Q
C
Q += Q:
21
111
CCC+=
∑=i iCC
11
Spajanje kondenzatora 2
Paralelni spoj kondenzatora
21 UU =
21 QQQ +=
U
QC =
⇒
21 QQQ +=
2211 UCUCCU += U:
21 CCC +=
∑=i
iCC
Primjer:
Kapaciteti kondenzatora na slici su: C1 = 4 µF, C2 = 6 µF i C3 = 2 µF. Neka je točka b uzemljena, a točka a na potencijalu Ua = 1200 V. Odredi naboje na svakom od kondenzatora te potencijal u točki c.
VU
FC
FC
FC
a 12000
2
6
4
3
2
1
====
µµµ
FCCC µ8263223 =+=+=
FCCCC u
u
µ3
8
8
1
4
1111
231
=⇒+=+=
Ukupni naboj:
abuUCQ = Cµ32001200103
8 6 =⋅⋅= −
Jer je C1 serijski s C2-C3, vrijedi:Q1 = Q23 = Q
VC
QUCQ ac 800
4
32003200
1
11 ===⇒= µ
VUUUUUU acaccaac 4008001200 =−=−=⇒−=
VUUU bccb 4000400 =−=−=
FUCQ cb µ2400400106 622 =⋅⋅=⋅= −
FUCQ cb µ800400102 633 =⋅⋅=⋅= −
FQQQ µ32008002400321 =+=+=
2. Nañi ekvivalentni kapacitet izmeñu točaka a i b. Zadane vrijednosti su u mikrofaradima.
Energija pohranjena u nabijenom kondenzatoru
Nabijanje kondenzatora = prijenos naboja s obloge nižeg potencijala na oblogu višeg potencijala.
tj. treba uložiti rad, utrošiti energiju
C
QUab =
C
QQdQ
CdWW
Q 20
0 2
11 0
=== ∫∫
Primjer. Dodajemo malu količinu elektriciteta dQna prazan kondenzator, a konačni naboj neka bude Q0.
UQW ⋅=⇒ 02
1 energija pohranjena u kondenzatoru
21
2W C U= ⋅ - izrazi vrijede za svaki kondenzator,
neovisno o njegovom geometrijskom obliku
Energija električnog polja
prekidač→ E → gibanje elektrona s lijeve ploče kroz žicu na desnu ploču→ razdvajanje naboja na pločama→ povećanje električne potencijalne energije (na račun kemijske energije akumulatora)
Energija električnog polja
EdU = napon izmeñu ploča kondenzatora
d
SC 0ε= kapacitet kondenzatora
21
2W C U= ⋅ energija pohranjena u kondenzatoru
( ) ( )2 20 0
1 1
2 2
SW Ed Sd E
dε ε = =
volumen20
2Ew
ε= gustoća energije električnog polja
0
2 V
W E EdVε= ⋅∫� �
Domaća zadaća
1. Kako treba spojiti tri kondenzatora na bateriju da bi pohranili najviše energije?a) serijski,b) paralelnoc) oba načina spajanja pohranit će istu količinu energije
2. Pločasti kondenzator je nabijen i odspojen od baterije. Kada se ploče razdvoje na veliku udaljenost, objasni što će se dogoditi sa sljedećim veličinama:a) Cb) Qc) E izmeñu pločad) Ue) energijom pohranjenom u kondenzatoru, W?
3. Isto pitanje kao i prethodno, samo što ovoga puta kondenzator ostaje spojen na bateriju.