Eine Reise in die Unendlichkeit
mit Happy End!
Christian Spannagel
Pädagogische Hochschule Heidelberg
http://cspannagel.wordpress.com
Das Unendliche ist weit, vor allem gegen Ende. Alphonse Allais
Wir starten…
© V
ale
nti
n B
esc
here
r
…in der Endlichkeit.
Die Unendlichkeit führt uns an gedankliche
Grenzen…
Ein kleiner Intelligenztest: Wie geht es
weiter?
• 2, 4, 6, 8, …
• 3, 5, 7, …
• 3, 1, 4, 1, 5, …
Die natürlichen Zahlen
1,2,3,4,5,6,…
N
Ein kleiner Intelligenztest: Wie geht es
weiter?
• 2, 4, 6, 8, …
nan 2 Nnfür alle
Die natürlichen Zahlen
1,2,3,4,5,6,…
N
potenzielle Unendlichkeit
aktuale Unendlichkeit
Die natürlichen Zahlen
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 10
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
…
Die Quadratzahlen
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 10
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
…
Angenommen, wir können nicht zählen…
Angenommen, wir können nicht zählen…
Angenommen, wir können nicht zählen…
„Jeder wohl definierten Menge kommt… eine
bestimmte Mächtigkeit zu, wobei zwei Mengen
dieselbe Mächtigkeit zugeschrieben wird, wenn
sie sich gegenseitig eindeutig, Element für
Element, einander zuordnen lassen.“
Wie sieht es hier aus?
1
2
3
5
4
6
7
1
4
9
16
25
36
49
……
Wie sieht es hier aus?
11 14 19 16 25 36 49 64 81 …
21 22 23 24 25 26 27 28 29 …
Wie viele gerade Zahlen gibt es?
12 14 16 8 10 12 14 16 18 …
21 22 23 24 25 26 27 28 29 …
Gibt es mehr ganze Zahlen als natürliche?
1 2 3 4 50-1-2-3-4-5
12 34 56 78 910 11 ……
……
Aber es gibt mehr Bruchzahlen! Oder?
0 11
2
1
4
3
8
1
146734537282454738
Nö.
1
2
1
3
1
4
1
5
1
1
2
2
2
3
2
4
2
5
2
1
3
2
3
3
3
4
3
5
3
1
4
2
4
3
4
4
4
5
4
1
1
2
3 54
1
2
3
4
5 5
2
5
3
5
4
5
5
5
1
Georg Cantor (1845-1918)
„… als eine Krankheit betrachten,
von der man sich erholt hat.“
(Henri Poincaré; 1854-1912)
„Aus dem Paradies, das Cantor
uns geschaffen, soll uns niemand
vertreiben können."
(David Hilbert; 1862-1943)
Hilberts Hotel
1 2 3 4 5 6 7 8
…
Hilberts Hotel: Ein Bus mit unendlich vielen
Personen kommt an.
1 2 3 4 5 6 7 8
…
Hilberts Hotel: Unendlich viele Busse mit
unendlich vielen Personen kommen an.
1 2 3 4 5 6 7 8
…
Dezimalbruchentwicklung
2
10,5
3
10,33333333333… = 0,3
275
1330,4836363636… = 0,4836
7
10,142857142857… = 0,142857
Die Zahl PI
3.1415926535897932384626433832795028841971693
9937510582097494459230781640628620899862803
4825342117067982148086513282306647093844609
5505822317253594081284811174502841027019385
2110555964462294895493038196442881097566593
3446128475648233786783165271201909145648566
9234603486104543266482133936072602491412737
2458700660631558817488152092096282925409171
5364367892590360011330530548820466521384146
9519415116094330572703657595919530921861173
819326117931051…
Die Zahl PI
Zahlbereichserweiterung
1
38
120
-1
-52
-142
1
2
3
4
8
7-
Wie viele reelle Zahlen gibt‘s denn nun?
z1=0,r11 r12 r13 r14 r15 r16 r17 r18 r19 …
z2=0,r21 r22 r23 r24 r25 r26 r27 r28 r29 …
z3=0,r31 r32 r33 r34 r35 r36 r37 r38 r39 …
z4=0,r41 r42 r43 r44 r45 r46 r47 r48 r49 …
…
f=0,
r11
r22
r33
r44
mit fif1 f2 f3 f4 …
Kontinuumshypothese
?
Die Zahl PI
3.1415926535897932384626433832795028841971693
9937510582097494459230781640628620899862803
4825342117067982148086513282306647093844609
5505822317253594081284811174502841027019385
2110555964462294895493038196442881097566593
3446128475648233786783165271201909145648566
9234603486104543266482133936072602491412737
2458700660631558817488152092096282925409171
5364367892590360011330530548820466521384146
9519415116094330572703657595919530921861173
819326117931051…http://www.angio.net/pi/piquery
Mehr als jede andere Frage hat das Problem des Unendlichen das Denken der Menschen beschäftigt; mehr als jede andere Idee hat diejenige des Unendlichen ihre Intelligenz herausgefordert und befruchtet; mehr als jeder andere Begriff erfordert es derjenige des Unendlichen, geklärt zu werden.
David Hilbert
Vielen Dank für Ihre
Aufmerksamkeit!
… ist der Vortrag wirklich
schon zu Ende?
Vielen Dank an Laura Martignon, Joachim Engel und Josef Beck
für ihre hilfreichen Tipps!
Link zum Wiki
http://tinyurl.com/unendlichkeit
Literatur
Spektrum der Wissenschaft Spezial (2005): Das Unendliche.
Spektrum der Wissenschaft Spezial (2005): Unendlich (plus 1).
Zschiegner, M.-A. (2000). Die Zahl π - faszinierend normal! mathematik lehren 98,
43-48.