Download - eficienta-cap1si2
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Capitolul 1
Chestiuni fundamentale din Analiza convexă
1.1. Spaţii liniare
Toate consideraţiile care urmează sunt în acord cu
conţinutul capitolului 6 din [93]. Fie X o mulţime nevidă, K un
corp, + × →: X X X o operaţie care induce pe X o structură de
grup abelian şi ⋅ × →: K X X o aplicaţie denumită uzual
înmulţirea cu scalari, având următoarele proprietăţi:
1234 1
) ( ) , , , ;) ( ) , , , ;) ( ) ( ) , , , ;) ,
α α α αα β α β α β
α β α β α β
⋅ + = ⋅ + ⋅ ∀ ∈ ∈+ ⋅ = ⋅ + ⋅ ∀ ∈ ∈
⋅ = ⋅ ∀ ∈ ∈⋅ = ∀ ∈
x y x y K x y Xx x x K x X
x x K x Xx x x XK
unde 1K este elementul neutru în raport cu operaţia notată
multiplicativ din corpul K.
În aceste condiţii, tripletul ( , , )X + ⋅ se numeşte spaţiu liniar
(vectorial) peste corpul K.
Exemple.
1. Se observă imediat că mulţimea
X'= :ϕ ϕX K→ liniară în raport cu operaţia + × →: ' ' 'X X X şi
⋅ × →: ' 'K X X definite prin ( )( ) ( ) ( ),ϕ ϕ ϕ ϕ1 2 1 2+ = + ∀ ∈x x x x X
şi ( )( ) ( ),λ ϕ λ ϕx x x X= ⋅ ∀ ∈ este, de asemenea, un spaţiu liniar
peste corpul K, numit dualul algebric al lui X. Dualul algebric
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
corespunzător lui X', notat cu X'', se numeşte bidualul algebric
al spaţiului X.
2. Un alt exemplu de spaţiu liniar generat de un spaţiu
liniar X este mulţimea tuturor funcţiilor definite pe o mulţime
nevidă oarecare, cu valori în X în raport cu operaţiile definite
într-un mod similar celui de mai sus.
3. Rn (n ∈ N*) şi C sunt spaţii liniare reale.
4. Spaţiul liniar real al tuturor şirurilor de numere reale
conţine următoarele subspaţii liniare reale:
4.1. mulţimea m a tuturor şirurilor mărginite;
4.2. mulţimea c a tuturor şirurilor convergente;
4.3. mulţimea c0 a tuturor şirurilor convergente la zero;
4.4. mulţimea lp (p ≥ 1) a şirurilor (xn) p-sumabile, deci cu
proprietatea că seria xnp
n=
∞
∑0
este convergentă;
5. Spaţiul liniar real Lp([a,b]) (p ≥ 1) al funcţiilor f:[a,b] →
C p-integrabile în sens Lebesgue, adică f t dtp
a
b
( ) .< ∞∫
6. Spaţiul liniar real al tuturor funcţiilor reale continue pe
o mulţime nevidă arbitrară din R.
7. Spaţiul liniar real B(M) al funcţiilor mărginite pe o
mulţime nevidă oarecare M.
7
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
8. Spaţiul liniar real al tuturor funcţiilor cu variaţie
mărginită respectiv absolut continue pe un interval nebanal şi
compact arbitrar al axei reale.
9. Spaţiul liniar real al tuturor funcţiilor reale de argument
real primitivabile pe un interval oarecare nebanal din R.
10. Considerăm X1 un subspaţiu liniar al unui spaţiu liniar
X peste corpul K. Pe X se defineşte următoarea relaţie ρ de
echivalenţă:
x y x y X x y Xρ ( , )∈ ⇔ − ∈ 1 .
Deoarece orice clasă de echivalenţă x este de forma x+X1 (x ∈
X), următoarele operaţii induc pe spaţiul cât al lui X prin X1,
notat prin X/X1= ˆ :x x X∈ (mulţimea claselor de echivalenţă
corespunzătoare) o structură de spaţiu liniar peste corpul K:
·
¶ˆ ˆ
, , , .ˆ
x y x yx y X K
x xα
α α
+ = +∀ ∈ ∈
⋅ =
11. Fie (X,+, ⋅ ) un spaţiu liniar peste un corp K şi A o
submulţime nevidă a lui X. Mulţimea
... : *, , , , ( )λ λ λ λ1 1 2 2 1⋅ + ⋅ + + ⋅ ∈ ∈ ∈ = =a a a n N a A K i n S An n i i
se numeşte subspaţiul liniar generat de A. Se constată imediat că
S(A) coincide cu intersecţia tuturor subspaţiilor liniare în X care
conţin mulţimea A : S(A) = A V XVsubspatiuliniar
V⊆ ⊆I
.
8
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
12. Spaţiul liniar real al tuturor vectorilor din R3.
Dacă S şi T sunt submulţimi nevide arbitrare într-un
spaţiu liniar X peste corpul K, atunci se pot defini în mod natural
următoarele mulţimi:
a) suma algebrică: S+T=s+t:s ∈ S, t ∈ T;
b) diferenţa algebrică: S-T=s-t: s ∈ S, t ∈ T;
c) K1 ⋅ S=k ⋅ s:k ∈ K1 şi s ∈ S, ∀ ⊆K K1 .
O mulţime nevidă X1 dintr-un spaţiu liniar (X,+, ⋅ ) peste
un corp K se numeşte subspaţiu liniar atunci când X1 împreună
cu restricţiile operaţiilor care generează pe X structura de spaţiu
liniar este un spaţiu liniar peste K, adică dacă şi numai dacă
X X X1 1 1+ ⊆ şi K X X⋅ ⊆1 1 .
O submulţime nevidă S dintr-un spaţiu liniar real (X,+, ⋅ )
se numeşte convexă dacă λ λx x S x x S1 2 1 21+ − ∈ ∀ ∈( ) , , şi
λ ∈ [ , ]0 1 şi echilibrată când λ λ⋅ ⊆ ∀ ∈ −S S , [ , ]1 1 . Orice mulţime
convexă şi echilibrată se numeşte absolut convexă. Se verifică cu
uşurinţă că orice intersecţie de mulţimi convexe, echilibrate sau
absolut convexe (în particular, de subspaţii liniare) ale aceluiaşi
spaţiu liniar este o mulţime convexă, respectiv echilibrată
respectiv absolut convexă (respectiv un subspaţiu liniar). În plus,
orice reuniune de mulţimi echilibrate este o mulţime echilibrată.
O mulţime nevidă B dintr-un spaţiu liniar X peste C se numeşte
9
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
absorbantă dacă pentru orice x X∈ , existăδ > 0 aşa ca
λ λx B C∈ ∀ ∈, cu λ δ< . Familia tuturor mulţimilor absorbante
dintr-un spaţiu liniar X este închisă la reuniunile arbitrare şi
intersecţiile finite.
Înfăşurătoarea convexă a oricărei mulţimi nevide A
dintr-un spaţiu liniar real arbitrar X se defineşte ca fiind
intersecţia tuturor submulţimilor convexe ce conţin mulţimea A,
deci: ( ) ( ) .
X S AS convexa
conv A co A S⊇ ⊇
−
= = I
Este evident că
( ) ( ) ( ), , , , , , .co A B co A co B A B X A B Rα β α β α β+ = + ∀ ⊆ ≠ ∅ ∀ ∈
Fie A o submulţime nevidă oarecare a unui spaţiu liniar
real X. Atunci mulţimea
cor A a A x X cu a x A( ) : , , [ , ]= ∈ ∀ ∈ ∃ > + ∈ ∀ ∈−
λ λ λ λ0 0
se numeşte interiorul algebric al mulţimii A. Dacă A=cor(A), se
spune că mulţimea A este algebric deschisă.
Frontiera algebrică a mulţimii A este mulţimea X\[cor(A)∪ cor(X\A)].
Un element x X∈ se numeşte liniar accesibil prin mulţimea A
dacă există a A x∈ \ astfel încât α α αa x A+ − ∈ ∀ ∈( ) , ( , ].1 0 1
Reuniunea dintre mulţimea A şi mulţimea tuturor
elementelor liniar accesibile prin A este închiderea algebrică a
10
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
mulţimii A notată uzual cu lin(A). Dacă A=lin(A), atunci
mulţimea A se numeşte algebric închisă, iar când pentru fiecare
a A∈ şi x X∈ există λ 1 0> astfel că a x A+ ∉ ∀ >λ λ λ, 1 , atunci
mulţimea A se numeşte algebric mărginită. Se observă că cor(A)
şi lin(A) sunt mulţimi convexe, cor(cor(A))=cor(A),
lin(cor(A))=lin(A) şi cor(lin(A))=cor(A) dacă cor A( ) .≠ ∅
O mulţime nevidă A dintr-un spaţiu liniar oarecare se
numeşte liniar independentă dacă originea spaţiului nu se poate
reprezenta ca o combinaţie liniară finită nebanală de elemente
din mulţimea A. Orice submulţime neliniar independentă într-un
spaţiu liniar arbitrar se numeşte liniar dependentă.
Exemple de mulţimi liniar independente
1. În R n Nn ( )∈ ∗ mulţimea B=e1, e2, ..., en unde
e R i nin∈ =( , )1 are componentele de rang i egale cu 1, iar restul
componentelor identic nule.
2. Mulţimea A=1, X, X2,...., Xk,... din spaţiul complex
C[X] al polinoamelor cu coeficienţi în C.
3. În l pp ( )≥ 1 mulţimea T e n Nn= ∈ ∗ : unde e k Nk ( )∈ ∗
este şirul cu termenul de rang k egal cu 1, ceilalţi termeni fiind
nuli.
Orice submulţime liniar independentă a unui spaţiu liniar
oarecare X cu proprietatea că subspaţiul liniar generat coincide
11
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
cu X se numeşte bază (algebrică) Hamel (Hamel Georg Karl
Whilhelm (1877-1954) (a se analiza exemplele precedente)).
Teorema 1. În orice spaţiu liniar nebanal X peste un
corp de scalari K există baze algebrice; orice două asemenea
baze ale aceluiaşi spaţiu liniar sunt cardinal echivalente
(cardinalul corespunzător se numeşte dimensiunea algebrică a
spaţiului liniar respectiv). Următoarele afirmaţii sunt
echivalente:
(i) B bază algebrică în X;
(ii) B este un sistem minimal de generatori pentru X
(orice alt sistem de generatori pentru X are cardinalul cel puţin
egal cu cardinalul mulţimii B);
(iii) B este o mulţime liniar independentă maximală (orice
altă submulţime în X liniar independentă are cardinalul cel
mult egal cu cardinalul mulţimii B).
Demonstraţie.
Axioma lanţurilor maximale (Lema lui
Kuratowski) asigură existenţa unui lanţ maximal
L B i Ii= ∈ : în mulţimea tuturor submulţimilor liniar
independente din X ordonată de relaţia de incluziune. Fie
B Bi I i= ∪
∈ . Mulţimea B este liniar independentă căci dacă
originea 0x a spaţiului liniar X se va exprima sub forma
12
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
0 1 1 2 2x n nb b b= + + +λ λ λ... cu λ i K∈ şi b Bi ∈ pentru orice
i n n N= ∈ ∗1, ( ) , atunci b i ni ( , )= 1 se va găsi în aceeaşi
mulţime liniar independentă din B, ceea ce nu este posibil.
În plus, subspaţiul liniar generat de B coincide cu X, adică
B este şi un sistem de generatori pentru X (în caz contrar,
dacă măcar un element x X0 ∈ nu s-ar găsi în subspaţiul
liniar generat de B, atunci mulţimea B x∪ 0 ar fi liniar
independentă, iar lanţul L B x∪ ∪ 0 ar fi strict mai
amplu decât L, în contradicţie cu maximalitatea acestuia.
În concluzie, B este o bază Hamel pentru X.
Fie acum B1 şi B2 două baze algebrice ale aceluiaşi
spaţiu liniar X având cardinalele α 1 respectiv α 2 .
Deoarece orice element al bazei B1(B2) se reprezintă în
mod unic ca o combinaţie liniară finită de elemente din B2
(B1) şi B2(B1) este reuniunea acestor mulţimi finite care
furnizează reprezentările elementelor din B1 respectiv din
B2 rezultă că α α α1 2 1≤ ≤ , deci α α1 2= . Argumente
similare justifică a doua parte a teoremei.
1.2. Spaţii liniare ordonate
Fie ( , , )X + ⋅ un spaţiu liniar real. O mulţime nevidă K X⊆
se numeşte con dacă λ λ⋅ ∈ ∀ ∈ ≥x K x K, , .0 Evident că un con K
are vârful în originea 0x a spaţiului liniar X (este ascuţit) când
13
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
K K x∩ − =( ) ,0 generează spaţiul dacă X=K-K şi este o
mulţime convexă numai pentru K K K+ ⊆ . O submulţime nevidă
şi convexă B a unui con convex nebanal K K x( )≠ 0 se numeşte
bază pentru K dacă orice element x K x∈ \ 0 admite o
reprezentare unică de forma x b= ⋅λ în care b B∈ şi λ > 0 . Dacă
H X⊆ este o mulţime nevidă oarecare, atunci conul
cone H h h H( ) := ⋅ ∈λ şi λ ≥ 0 se numeşte con generat de H. Se
verifică imediat că dacă 0 x cor H∈ ( ) , atunci cone(H)=X şi
cone(B)=K pentru orice bază B a unui con K; în plus,
cor K x( ) ∪ 0 este con convex şi cor(K)=K+cor(K) oricare ar fi
conul convex K în X cu interiorul algebric nevid.
O relaţie " "≤ în X se numeşte relaţie de (parţială)
ordonare dacă satisface următoarele proprietăţi pentru orice
elemente x y z w X, , , ∈ supuse condiţiilor corespunzătoare:
a) x x≤ ;
b) x y y z x z≤ ≤ ⇒ ≤, ;
c) x y w z x w y z≤ ≤ ⇒ + ≤ +, ;
d) x y x y≤ ⇒ ≤ ∀ ∈ + ∞α α α, [ , ).0
Dacă are loc şi implicaţia x y y x x y≤ ≤ ⇒ =, , atunci
relaţia " "≤ se numeşte antisimetrică. Orice spaţiu liniar real
înzestrat cu o relaţie de (parţială) ordonare se numeşte spaţiu
liniar (parţial) ordonat. Când orice două elemente dintr-un astfel
de spaţiu sunt comparabile în sensul unei relaţii de preordine
14
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
(parţială ordonare) atunci spaţiul liniar respectiv se numeşte
spaţiu liniar (parţial) total ordonat.
Următoarea teoremă cu demonstraţie imediată conţine
conexiunea directă dintre noţiunea de con şi cea de relaţie de
(parţială) ordonare într-un spaţiu liniar oarecare X.
Teorema 1.
i) pentru orice con convex K în X relaţia " "≤ K definită
prin x y x y X y x KK≤ ∈ ⇔ − ∈( , ) este o relaţie de parţială
ordonare pe X: dacă conul K are vârful în originea spaţiului,
atunci relaţia " "≤ K este şi antisimetrică;
ii) oricare ar fi relaţia " "≤ de parţială ordonare pe X,
mulţimea K x X xK= ∈ ≤ : 0 este un con convex (cu vârful în
originea spaţiului dacă relaţia " "≤ este antisimetrică).
Exemple.
1. X R n Nn= ∈ ∗( ) şi
K x x x x R x i nnn
i= = ∈ ≥ ∀ = ( , ,..., ) : , , 1 2 0 1
2. Fie X spaţiul liniar real al tuturor şirurilor de numere
reale convergente, iar K=(an)ÎX : lim nna
→ ∞∃ ³ 0. Atunci,
- K =(bn)ÎX : lim nnb
→ ∞∃ £0 şi KÈ(- K) = (tn):
lim 0nn
a→ ∞
∃ = = c0 .
Deci, K nu este ascuţit, dar generează spaţiul .
3. X l x x R i Npi i N i= = ∈ ∀ ∈∈( ) : , şi x pi
p
i N< + ∞ ≥
∈∑ ( )1 şi
15
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
K x x l x i Ni i Np
i= = ∈ ≥ ∀ ∈∈ ( ) : , .: 0
X este spaţiu Banach separabil în raport cu norma
x x x xp i
p
i N
p
i i N=
∀ =∈
∈∑1/
, ( ) , iar K un con convex cu interiorul
topologic vid.
4. X l x x R i Ni i N i= = ∈ ∀ ∈∞∈( ) : , şi sup : x i Ni ∈ < + ∞
şi K x x l x i Ni i N i= = ∈ ≥ ∴ ∈∈∞ ( ) : , .0
X este spaţiu Banach neseparabil în raport cu norma
x x i N x xi i i N∞ ∈= ∈ ∀ =sup : , ( ) ,
iar K un con convex cu interiorul topologic nevid (de exemplu,
(1,1,...) ∈ int(K)).
5. X L T f T R f t dt pp
T
p= = → < + ∞ ≥∫( ) : / ( ) ( )1
(T R n Nn⊆ ∈, * este o mulţime nevidă şi compactă din Rn şi
orice două funcţii care coincid aproape peste tot pe T se
identifică) şi K f L T fp= ∈ ≥ ( ): 0 . X este un spaţiu Banach
separabil în raport cu norma f f t dtp
p
T
p
=
∫ ( )
/1
, iar K un con
convex cu interiorul topologic vid.
6. X=C(T)=f:T → R f continuă pe T cu T un spaţiu
topologic compact şi separat Hausdorff oarecare, iar
16
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
K f C T f= ∈ ≥ ( ): 0 , X este un spaţiu Banach (separabil pentru
T R n⊆ ) în raport cu norma uzuală definită prin
f f t t T f X= ∈ ∀ ∈sup ( ) , , iar K un con convex închis cu
interiorul topologic nevid.
7. Fie X spaţiul liniar real al măsurilor Radon µ
mărginite pe un spaţiu topologic compact şi separat Hausdorff T
înzestrat cu norma dată prin
µ µ= ∫sup :f dT
f funcţie continuă, cu suport compact în T şi
( ) 1, ,f x x T≤ ∀ ∈
iar K conul convex al măsurilor Radon pozitive pe T. X este un
spaţiu Banach, iar K este o mulţime închisă.
8. Conul convex ( ): (0, ) /( 1) 0,n nC f R f n N= ∞ → − ≥ ∀ ∈
al tuturor funcţiilor complet monotone este alcătuit din funcţiile
de forma0
( ) ( )xf x e d xα µ∞
−= ∫ cu µ măsură Radon pozitivă pe [0,
∞ ], unic determinată, iar 0α ≥ . Aceste funcţii au fost introduse
de Bernstein Serghei în anul 1914, caracterizarea lor şi alte
proprietăţi importante fiind stabilite în anul 1928, cu
semnificative aplicaţii ulterioare pentru transformările Laplace.
1.3. Spaţii liniare topologice
17
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Reamintim mai întâi, în sinteză, concepte şi rezultate
esenţiale privind spaţiile topologice.
Fie X o mulţime nevidă, oarecare. Prin topologie τ pe X
se înţelege orice familie nevidă de submulţimi din X care conţine
mulţimea vidă, mulţimea X şi este închisă în raport cu reuniunile
arbitrare şi intersecţiile finite. În orice asemenea condiţii, cuplul
(X, τ ) se numeşte spaţiu topologic, iar elementele mulţimii τ
mulţimi deschise (τ -deschise). Un spaţiu topologic (X, τ ) este
separat Hausdorff dacă oricare ar fi x x X1 2, ∈ cu
x x D D1 2 1 2≠ ∃ ∈, , τ cu x D x D1 1 2 2∈ ∈, şi D D1 2∩ = ∅ . Orice
mulţime, dintr-un spaţiu topologic arbitrar, care se poate
reprezenta ca o intersecţie numărabilă de mulţimi deschise se
numeşte de tip Gδ , iar dacă este reprezentabilă ca o reuniune
numărabilă de mulţimi închise, atunci se numeşte de tip Fσ . În
orice spaţiu metrizabil fiecare mulţime închisă (respectiv
deschisă) este de tip Gδ (respectiv Fσ ). Dacă τ 1 şi τ 2 sunt două
topologii pe X, atunci τ 2 este mai fină decât τ 1 (τ 1 este mai
puţin fină decât τ 2 ) dacă orice mulţime τ 1 - deschisă este şi
τ 2 - deschisă. O mulţime nevidă V dintr-un spaţiu topologic (X,
τ ) se numeşte vecinătate pentru un element oarecare x X∈
dacă există D ∈ τ astfel încât x D V∈ ⊆ . Un punct x X0 ∈ este
interior unei mulţimi S X⊆ ( , )τ dacă există U,vecinătate pentru
18
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
x0, cu U S⊆ . Mulţimea tuturor punctelor interioare unui mulţimi
oarecare S X⊆ ( , )τ se numeşte interiorul mulţimii S, notat cu
int(S). O astfel de mulţime este deschisă dacă S=int(S) şi închisă
numai când X S\ ∈ τ . Un element x X∈ este aderent pentru o
mulţime nevidă A X⊆ dacă V A∩ ≠ ∅ pentru orice vecinătate
V a lui x. Mulţimea acestor puncte se numeşte aderenţa
(închiderea) mulţimii A, notată cu A . Evident că o mulţime A
este închisă într-un spaţiu topologic (X, τ ) numai dacă A A= . O
mulţime nevidă ( , )A X τ⊆ se numeşte densă în ( , )B X τ⊆ , dacă
B A⊆ , iar un spaţiu topologic se numeşte separabil dacă conţine
cel puţin o submulţime numărabilă, densă în mediul ambiant
creat prin topologia pe care o deţine. O mulţime A dintr-un
spaţiu topologic ( , )X τ se numeşte rară dacă are interiorul
aderenţei vid, adică int( )A = ∅ . Orice submulţime nevidă a unui
spaţiu topologic cu proprietatea că se poate reprezenta ca o
reuniune numărabilă de mulţimi rare se numeşte mulţime de
prima categorie Baire (Baire René - Louis (1874-1932)),
respectiv de a doua categorie Baire,în caz contrar. Orice spaţiu
topologic în care fiecare mulţime nevidă şi deschisă este de a
doua categorie Baire se numeşte spaţiu Baire.
Următoarele afirmaţii sunt echivalente pentru un spaţiu
topologic (X, τ ):
(i) X este spaţiu Baire;
19
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
(ii) orice intersecţie numărabilă de mulţimi deschise
dense în X este o mulţime densă în X;
(iii) orice submulţime de prima categorie Baire are
interiorul vid.
Exemple de spaţii Baire
1. Orice spaţiu local compact (un spaţiu topologic cu
proprietatea că pentru orice punct al spaţiului există măcar un
sistem fundamental de vecinătăţi compacte) .2. Orice spaţiu
metric complet. 3. Orice mulţime nevidă şi deschisă dintr-un
spaţiu Baire. 4. Complementara oricărei mulţimi de prima
categorie Baire din orice spaţiu Baire.
O mulţime nevidă (I, p ), parţial ordonată (înzestrată cu
o relaţie reflexivă şi tranzitivă “p ”), se numeşte dirijată dacă
oricare ar fi i j I, ∈ , există u I∈ astfel ca ip u şi jp u. Orice
funcţie definită pe o mulţime dirijată I cu valori într-o mulţime
nevidă X se numeşte şir generalizat în X, notat prin ( )xi i I∈ . Un
şir generalizat ( )xi i I∈ dintr-un spaţiu topologic ( , )X τ converge
la x X∈ dacă oricare ar fi V vecinătate pentru x, există j I∈
astfel ca x V i Ii ∈ ∀ ∈, cu jp i. În fiecare asemenea caz, se scrie
x xi I i=
∈lim . Convergenţa este specifică spaţiilor topologice, iar
şirurile generalizate sunt decisive în orice proces de convergenţă.
De exemplu, o mulţime nevidă A, dintr-un spaţiu topologic, este
închisă dacă limita oricărui şir generalizat de elemente din A
20
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
aparţine mulţimii A şi compactă numai dacă orice şir generalizat
de elemente din A conţine măcar un subşir generalizat cu limita
în A; o funcţie f S X Y X: ( , ) ( , ) (( , )⊆ →σ τ σ şi ( , )Y τ spaţii
topologice arbitrare) este continuă în x S0 ∈ dacă oricare ar fi
vecinătatea U pentru f(x0), există V, vecinătate pentru x0, astfel
încât f V S U( )∩ ⊆ sau, echivalent, dacă pentru orice şir
generalizat ( )xi i I∈ din S pentru care există limi I ix x
∈= 0 ,
∃ =∈
lim ( ) ( )i I if x f x0 . Funcţia f se numeşte continuă pe S dacă este
continuă în orice punct x S0 ∈ sau, echivalent vorbind, dacă
contraimaginea oricărei mulţimi deschise (închise) din ( , )Y τ este
o mulţime deschisă (închisă) în raport cu urma topologiei σ pe
mulţimea S definită prin
:S D S Dσ σ= ∩ ∈ . Un caz particular important de spaţii
topologice îl constituie spaţiile metrice. Dacă X ≠ ∅ este o
mulţime oarecare, atunci orice funcţie d X X R: × → , care
satisface următoarele condiţii se numeşte metrică pe X
(M1) d x y x y( , ) = ⇒ =0 ;
(M2) d x y d y x x y X( , ) ( , ), ,= ∀ ∈ ;
(M3) d x y d x z d z y x y z X( , ) ( , ) ( , ), , ,≤ + ∀ ∈ , iar cuplul (X,d)
spaţiu metric. În orice spaţiu metric X, fiecare mulţime
( ) : ( , ) ( 0V x y X d x y ε ε= ∈ < > număr real arbitrar) este
vecinătate pentru un element arbitrar x X∈ , iar
21
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
τ = ⊆ :D X D ∈ ( )V x , x D∀ ∈ ∪ ∅ reprezintă topologia
definită de metrica d. Orice spaţiu topologic, cu topologia
generată de cel puţin o metrică, în maniera precedentă, se
numeşte metrizabil, metrizabilitatea fiind caracteristică doar unei
secvenţe din ampla categorie a spaţiilor topologice. În orice
astfel de context, un şir ( )xn n N∈ este fundamental (şir Cauchy)
dacă pentru orice număr real ε > 0 , există
: ( , ) , ,n p nn N d x x n n p Nε εε+∈ < ∀ > ∀ ∈ (în general, în spaţiile
metrice, proprietăţile centrale se pot caracteriza cu şiruri uzuale
(mulţimea de indici dirijată este N) în locul şirurilor generalizate
arbitrare).
Teorema 1. Orice şir fundamental ( )xn n N∈ dintr-un
spaţiu metric arbitrar (X,d), cu măcar un subşir având limită,
are aceeaşi limită.
Teorema 2 (Cantor). Un spaţiu metric (X,d) este complet
dacă şi numai dacă orice şir descrescător (în raport cu relaţia
de incluziune obişnuită) de submulţimi nevide şi închise cu
diametrul convergent către zero are intersecţia nevidă.
(Ind. Reamintim că dacă A X d⊆ ( , ) este o mulţime nevidă,
atunci diametrul mulţimii A se defineşte prin
diam A d a a a a A( ) sup ( , ): , = ∈1 2 1 2 , se consideră diam( )∅ = − ∞ ,
iar mulţimea A se numeşte mărginită când diam A( ) < + ∞ ; dacă
22
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
(X,d) este un spaţiu metric complet şi ( )Tn n N∈ este un şir
descrescător (T T n Nn n+ ⊆ ∀ ∈1 , ) de mulţimi închise cu
lim ( )n ndiam T
→ ∞= 0 , atunci oricare ar fi n N∈ şi x Tn n∈ rezultă
x x T n p mn p m, , ,∈ ∀ ≥ , deci d x x diam Tn p m( , ) ( )≤ care împreună cu
lim ( )m mdiam T
→ ∞= 0 antrenează ( )xn n N∈ şir fundamental. (X,d) fiind
complet implică ∃ = ∈ = ∀ ∈→ ∞
lim ,n n n nx x T T n N adică .n
n N
x T∈
∈ I
Reciproc, fie ( )xn n N∈ un şir Cauchy într-un spaţiu metric
(X,d). Deci ∀ > ∃ ∈ < ∀ >ε εε ε0 2, : ( , ) / , ,n N d x x n m nn m .
Considerăm A x x xn n n n= + + , , ,...1 2 şi F A n Nn n= ∈, .
Evident că A A n N A A n Nn n n n⊇ ∀ ∈ ⇒ ⊇ ∀ ∈+ +1 1, , , deci
F F n Nn n⊇ ∀ ∈+ 1 , . Dar diam A diam A diam F n Nn n n( ) ( ) ( ), .= = ∀ ∈
Cum d x x n n p Nn m( , ) / , ,< ∀ > ∈ε ε2 şi x x A p Nn n p n+ ∈ ∀ ∈, ,
obţinem diam A n nn( ) ,< ∀ >ε ε . În consecinţă, ∃ =→ ∞
lim ( )n ndiam A 0 .
Ipoteza asigură existenţa unui element 0 nn N
x T∈
∈ I , iar din
d x x n n p Nn n p( , ) , ,)+ < ∀ > ∀ ∈ε ε , fixând n n> ε şi considerând
p → ∞ rezultă că d x x diam F n nn n( , ) ( ) ,0 < < ∀ >ε ε . Aşadar
0nx x→ .
Teorema 3 (Baire).
(i) Oricare ar fi (X,d) un spaţiu metric complet şi (Dn)23
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
un şir de mulţimi nevide, deschise şi dense în X, nn N
D∈I este o
mulţime densă în X;
(ii) În orice spaţiu metric complet (X,d) care se poate
reprezenta sub forma X Fnn N
=∈U unde F F n Nn n= ∀ ∈, , există
măcar o mulţime Fn0 cu interior nevid.
(Ind. (i) Dacă A este o mulţime nevidă şi deschisă arbitrară,
ipoteza teoremei asigură pentru fiecare i N∈ existenţa unui
element x y X d x y r Di i i i+ +∈ ∈ < ∩1 1 : ( , ) şi r onn→ ∞ → . Atunci
şirul (Fn) dat prin F y X d x y r n Nn n n= ∈ < ∈ : ( , ) , satisface
condiţiile din ipoteza teoremei 2, deci există
1 1;nn N
x D cuF A D∈
∈ ⊆ ∩I
(ii) presupunând contrariul se aplică (i) considerând
D X F n Nn n= ∈\ , , ceea ce conduce la X Fnn N
\ ( )∈
= ∅U densă în
X, contradicţie).
Un spaţiu liniar real X înzestrat cu topologia τ se
numeşte spaţiu liniar topologic dacă operaţiile uzuale care induc
structura de spaţiu liniar + × →: X X X şi ⋅ × →: R X X sunt
continue. Într-un astfel de spaţiu (X, τ ) o mulţime nevidă B X⊂ ( , )τ se numeşte mărginită dacă oricare ar fi V0 vecinătate
pentru originea spaţiului, există λ ∈ R aşa ca B V⊆ λ 0 . O
24
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
submulţime nevidă W dintr-un spaţiu liniar topologic (X, τ ) se
numeşte completă dacă orice şir Cauchy generalizat de elemente
din W are limita în W, adică oricare ar fi şirul generalizat ( )i i Ix ∈
cu termenii în W şi lim ( )( , )i j I I i j Xx x
∈ ×− = 0 , există x W∈ astfel ca
x xi I i=
∈lim . Orice spaţiu liniar topologic în care fiecare mulţime
nevidă, închisă şi mărginită este completă se numeşte
cvasi-complet. Când metrica provine dintr-o normă pe un spaţiu
liniar, spaţiul respectiv se numeşte spaţiu liniar normat. Dacă, în
plus, un astfel de spaţiu este şi complet, atunci se numeşte spaţiu
Banach. Orice spaţiu liniar normat X peste un corp de scalari
reali sau complecşi Г în care norma este generată de un
produs scalar ,⟨ ⟩ cu proprietăţile caracteristice : (S1)
, 0, ; , 0 0;x x x X x x x⟨ ⟩ ≥ ∀ ∈ ⟨ ⟩ = ⇔ =
(S2) , , ,x y y x⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ ,x y X∀ ∈ ;
(S3) , , , , , , , ,x y z x y y z x y z Xα β α β α β⟨ + ⟩ = ⟨ ⟩ + ⟨ ⟩ ∀ ∈ Γ ∀ ∈
respectiv
(N1) 0, ; 0x x X x x Xθ≥ ∀ ∈ = ⇔ = ∈ (θ vectorul nul din X ) ;
(N2) , ,x x x Xχ χ χ= ∀ ∈ Γ ∀ ∈ (proprietatea de absolută
omogeneitate) ; (N3) , , ,x y x y x y X+ ≤ + ∀ ∈ (proprietatea de
subaditivitate) prin , ,x x x x X= ⟨ ⟩ ∀ ∈ reprezintă un spaţiu
25
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
pre-Hilbert respectiv o normă hilbertiană ; dacă este şi complet,
atunci spaţiul respectiv se numeşte spaţiu Hilbert ; o normă pe
un spaţiu liniar X este hilbertiană [90] numai dacă satisface
identitatea paralelogramului :
2 2 2 22[ ], , .x y x y x y x y X+ + − = + ∀ ∈
Aşadar, orice spaţiu Hilbert se identifică cu un spaţiu Banach
având norma generată de un produs scalar.
1.4. Spaţii liniare normate remarcabile şi dualele lor
Urmând şi completând consideraţiile din paragraful 6.4 expus
în [93] cu rezultatele corespunzătoare din [74] şi [96],
prezentăm următoarea sinteză.
Exemplul 1. Spaţiile Banach de tip Cn ( *n N∈ ), înzestrate cu
unicele norme posibile a fi definite aici prin ,x x x Cα
α= ∀ ∈ ,
pentru fiecare număr real 0α ≥ , arbitrar fixat, exploatate uzual
folosind normele echivalente următoare, care şi-au dovedit deja
semnificativa eficacitate practică: 1/
1
( )pn
pip
ix x
=
= ∑
1 2( , , ..., ) nnx x x x C∀ = ∈ (1 p≤ ≤ ∞ ), cazul p = ∞ fiind acceptat ca
limpp
x→ ∞ . Pentru fiecare funcţională liniară şi continuă *x pe nC ,
există unic 1 2( , , ..., ) nnt t t t C= ∈ astfel încât
26
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
*1 2
1
( ) , ( , , ..., )n
ni i n
ix x t x x x x x C
=
= ∀ = ∈∑ .
Exemplul 2. Spaţiul Banach separabil
( ) : pp k k N k
k Nl x x x R∈ +
∈
= = ∈
∑ ( [1, ))p ∈ ∞ al tuturor şirurilor
p-sumabile în raport cu norma definită prin
1/( ) , ( )p Pk k pp
k Nx x x x l
∈
= ∀ = ∈∑ . Pentru orice funcţională liniară
şi continuă *x pe pl există un şir unic
( )k qt t l= ∈ astfel încât 1/ 1/ 1p q+ = (considerând q = ∞ dacă
1p = ) şi *( ) , ( )k k k p
k Nx x t x x x l
∈
= ∀ = ∈∑ cu *q
x t= .
Menţionăm că l m∞ = este spaţiul Banach neseparabil al şirurilor
cu termeni din C, mărginite , având norma indicată prin
sup : , ( )k kx x k N x x m= ∈ ∀ = ∈ , iar spaţiul liniar
complex al şirurilor care au numai mulţimi finite de termeni
nenuli este dens în pl pentru fiecare 1p ≥ .
Exemplul 3. Norma precedentă induce o structură de spaţiu
Banach separabil pe spaţiul liniar c al tuturor şirurilor
convergente din C şi pentru orice funcţională liniară şi continuă
27
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
*x pe acest spaţiu, există un cuplu unic 1( , )t y C l∈ × astfel că
*( ) , ( )k k kk N
x x tl y x x x c∈
= + ∀ = ∈∑ unde kx l→ , ( )ky y= , iar
*1
x t y= + . În particular, expresia funcţionalelor liniare şi
continue pe subspaţiul Banach, separabil, 0c al tuturor şirurilor
convergente la zero este *
0( ) , ( )k k kk N
x x y x x x c∈
= ∀ = ∈∑ cu
1( )ky y l= ∈ unic pentru fiecare funcţională liniară, continuă şi
*1
x y= .
Exemplul 4. Relativ la un interval compact şi nebanal oarecare
[a, b] din R, fiecare dintre următoarele spaţii liniare este un
spaţiu Banach în raport cu norma convergenţei uniforme :
[ , ]M a b -mulţimea tuturor funcţiilor mărginite ;
[ , ]R a b - mulţimea tuturor funcţiilor integrabile Riemann ;
[ , ]C a b - spaţiul liniar normat, separabil, al tuturor funcţiilor
continue, pentru max ( ) : [ , ] , [ , ]f f t t a b f M a b= ∈ ∀ ∈ , iar
spaţiul liniar [ , ]BV a b al tuturor funcţiilor cu variaţie mărginită
este, de asemenea, un spaţiu Banach faţă de norma reprezentată
prin variaţia totală )f(Vb
a=supV∆(f): ∆ diviziune pentru [a,b]=
= inf T ≥ 0 : ∆∆ ∀≤ ,T)f(V - diviziune pentru [a,b] unde
variaţia unei funcţii oarecare f: [a,b]→R (a,b∈R, a<b) pe o
28
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
diviziune arbitrară ∆:a=x0<x1<...<xn=b (n∈N*) a intervalului
[a,b] se defineşte prin V∆(f)= ∑ −−
=+
1n
0ii1i |)x(f)x(f| . Teorema lui
Riesz ne asigură că orice funcţională liniară şi continuă *x pe
[ , ]C a b este o integrală Riemann-Stieltjes de tipul
*( ) ( ) ( ), [ , ]b
a
x f f t dg t f C a b= ∀ ∈∫ , unde g este o funcţie cu variaţie
mărginită pe [ , ]a b , iar *x coincide cu variaţia totală a funcţiei
g pe acest interval.
Exemplul 5. Spaţiul Banach separabil [ , ]( [1, ))pL a b p ∈ ∞
alcătuit din clasele de funcţii măsurabile Lebesgue obţinute prin
identificarea funcţiilor f ce coincid aproape peste tot, cu
integrala ( )b
p
a
f t dt∫ finită. Aici, norma uzuală este definită prin
pf = 1/( ( ) )
bp p
a
f t dt∫ , [ , ]pf L a b∀ ∈ şi mulţimea elementelor
reprezentate prin funcţii contiune este densă. Pentru fiecare
funcţională liniară şi continuă *x pe [ , ]pL a b există o clasă unică
g ∈ [ , ]qL a b astfel încât *( ) ( ) ( ) , [ , ]b
p
a
x f f t g t dt f L a b= ∀ ∈∫ şi
29
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
*q
x g= , unde 1/ 1/ 1p q+ = . Studiul spaţiilor de tip pL a
generat spaţiile Sobolev, fundamentale în Teoria distribuţiilor,
noţiunea de distribuţie fiind extinsă pentru prima dată la funcţiile
de mulţime în [37] de Hăvârneanu T. şi Postolică V.
Exemplul 6. Relativ la norma indicată în Exemplul 4, [ , ]C a b
este un spaţiu Banach fără a fi un spaţiu Hilbert. Astfel, de
exemplu, dacă 20, 1, ( ) , ( ) , [0,1]a b f t t g t t t= = = = ∀ ∈ ,
1, 2, 1/ 4f g f g f g= = + = − = ,
deci nu provine dintr-un produs scalar. În raport cu fiecare
dintre normele definite prin pf = 1/( ( ) )
bp p
a
f t dt∫ , [ , ]f C a b∀ ∈ (
1p ≥ ) [ , ]C a b este un spaţiu liniar normat incomplet [74]. Să
considerăm acum spaţiul liniar complex
0 ( ) : / ( ), ( )C R f R C f C R supp f compact= → ∈ unde
( ) : ( ) 0supp f x R f x= ∈ ≠ este cea mai puţin amplă mulţime
închisă pe complementara căreia funcţia se anulează. 0 ( )C R este
un spaţiu liniar normat incomplet [74] faţă de oricare din
normele p ( 1)p ≥ . În fiecare caz, completatul este spaţiul
Banach
30
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
( ) : / ( ) pp
R
L R f R C f x dx R+
= → ∈
∫
al tuturor claselor de echivalenţă alcătuite din funcţii măsurabile
Lebesgue care coincid aproape peste tot, integrala fiind
considerată în sens Lebesgue. Acceptarea aici a integralei
Lebesgue în locul integralei Riemann este esenţială.Astfel,
funcţia caracteristică mulţimii Q definită prin
1 ( ) 1, ,1 ( ) 0, \Q Qx x Q x x R Q= ∀ ∈ = ∀ ∈ are integrala Lebesgue nulă
pe orice interval compact şi nebanal al axei reale fără a fi
integrabilă Riemann pe nici un astfel de interval.
Exemplul 7. Pentru orice interval nebanal I din R notăm prin
0 ( )C I∞ spaţiul liniar real infinit dimensional al tuturor funcţiilor
reale, indefinit derivabile pe I , cu suport compact. De exemplu,
pentru fiecare număr real 0t > funcţia definită prin
( )( ), , , ,( ) , ( , ), ( ) 0, ( , ] [ , )
tx a x b
t a b t a bx e x a b x x a bϕ ϕ−
− −= ∀ ∈ = ∀ ∈ − ∞ ∪ + ∞
este în 0 ( )C R∞ . Dacă ( )P I reprezintă spaţiul liniar real al
funcţiilor polinomiale peste I , atunci Teorema 2.8 din [74]
concluzionează :
(i) 0 ( )C I∞ este dens în ( )C I faţă de oricare normă p , 1p ≥ ;
31
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
(ii) 0 ( )C R∞ este dens în 0 ( )C R atât în raport cu norma supremum
uzuală cât şi relativ la oricare normă p , 1p ≥ ;
(iii) 0 ( )C I∞ este dens în ( )pL I ; în particular, 0 ( )C R∞ este dens în
( )pL R , 1p∀ ≥ ;
(iv) ( )P I este dens în ( )pL I pentru orice 1p ≥ dacă I are
lungimea finită.
1.5. Spaţii local convexe
Fie X un spaţiu liniar real (sau complex). Se numeşte
semi-normă pe X orice funcţie p X R: → + , care satisface
următoarele condiţii:
a) p x p x C x X( ) ( ), ,λ λ λ= ∀ ∈ ∈ (p absolut omogenă) ;
b) p x y p x p y x y X( ) ( ) ( ), ,+ ≤ + ∈ (p subaditivă) .
Exemplul 1. Oricare ar fi mulţimea nevidă, convexă,
echilibrată şi absorbantă A din X funcţionala lui Minkowski
ataşată p X RA : → + definită prin p x x AA ( ) inf : = ≥ ∈ ⋅λ λ0 este
o semi-normă. Dacă : P p Iα α= ∈ este o familie nevidă de
semi-norme pe X şi pentru fiecare element x X∈ >, ε 0 şi
n N∈ * considerăm
32
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
1 2( ; , , ..., ; ) : ( ) , 1, nV x p p p y X p y x nαε ε α= ∈ − < ∀ = , atunci
familia
V0 1 2( ) ( ; , , ..., ; ) : *, , 1, , 0nx V x p p p n N p P nαε α ε= ∈ ∈ = >
posedă următoarele proprietăţi:
(V1) ,x V V∈ ∀ ∈ V0(x) ;
(V2) 1 2,V V∀ ∈ V0(x), 3V∃ ∈ V0(x) : 3 1 2V V V⊆ ∩ ;
(V3) V∀ ∈ V0(x), U∃ ∈ V0(x), U V⊆ aşa ca
,y U W∀ ∈ ∃ ∈ V0(y) cu W V⊆ .
Aşadar, V0(x) este un sistem fundamental de vecinătăţi
pentru orice x ∈ X . Considerând
V ( ) :x V X U= ⊆ ∃ ∈ V0(x) cu U V⊆ , mulţimea
:D X Dτ = ⊆ ∈ V ( )x , x D∀ ∈ ∪ ∅ este topologia de spaţiu
local convex generată de familia P, operaţiile uzuale care induc
structura de spaţiu liniar fiind evident continue în raport cu
această topologie. Spaţiul topologic corespunzător (X,P) este
separat (Hausdorff) dacă şi numai dacă familia P este suficientă,
adică pentru fiecare 0 \ 0 ,Xx X p Pα∈ ∃ ∈ cu 0( ) 0p xα ≠ . Dacă,
în plus, fiecare semi-normă p Pα ∈ este hilbertiană, adică
satisface identitatea paralelogramului :
2 2 2 2( ) ( ) 2[ ( ) ( )], , ,p x y p x y p x p y x y Xα α α α+ + − = + ∀ ∈
33
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
atunci aceasta provine dintr-un semi-produs scalar, iar spaţiul
local convex corespunzător se numeşte H-local convex,
identitatea precedentă fiind caracteristică generării semi-normei
pα prin semi-produsul scalar definit de relaţia :
<x,y>a = 2 2 2 21 ( ) ( ) ( ) ( ) ,4
p x y p x y i p x iy p x iyα α α α + − − + + − −
pentru orice x, y Î X. Aceste spaţii au fost introduse de
T. Precupanu [94] şi constituie cadrul natural în care vom
expune, în final, funcţiile spline definite de noi în [78]. Un spaţiu
local convex separat Hausdorff se numeşte nuclear dacă pentru
orice vecinătate convexă şi echilibrată V a originii spaţiului,
aplicaţia canonică I X X XV V V: ~ ( ~→ este completul spaţiului
X X pV V= −/ ( )1 0 , iar pV este seminorma lui Minkowski ataşată
vecinătăţii V) este un operator nuclear, adică se poate reprezenta
sub forma
I f x y x XV nn
n n= ⋅ ⋅ ∀ ∈=
∞
∑ λ1
( ) , cu λ n ≥ 0 , ∀ ∈ ∈=
∞
∑n N R fn nn
*, ,( )λ1
un şir echicontinuu de funcţionale liniare pe X, iar ( )yn n N∈ un şir
conţinut măcar într-o mulţime convexă şi echilibrată mărginită B
din ~XV pentru care subspaţiul liniar generat S(B) este spaţiu
Banach în raport cu norma lui Minkowski definită pe S(B).
Spaţiile nucleare sunt spaţii H-local convexe ca şi spaţiile
studiate în [59] care dovedesc că există semi-norme hilbertiene
34
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
care nu sunt norme. Un con convex K în (X,P) se numeşte
normal dacă satisface una dintre următoarele condiţii
echivalente:
1) există măcar un sistem fundamental V de vecinătăţi ale
originii spaţiului aşa încât
( ) ( ),V V K V K V= + ∩ − ∀ ∈ V ;
2) , ( ) ( ),x y K cu y x K p x p y p P∀ ∈ − ∈ ⇒ ≤ ∀ ∈ ;
3) dacă ( ) ,( )x ys s S s s S∈ ∈ sunt două şiruri generalizate în K
cu y x K s Ss s− ∈ ∀ ∈, şi $ lims S s Xy
∈= 0 , atunci $ lim
s S s Xx∈
= 0 .
Următorul concept a fost introdus de G. Isac în [41] şi
publicat în [42].
Un con convex K dintr-un spaţiu local convex
(X,P = : p i Ii ∈ ) se numeşte supernormal (nuclear) dacă pentru
orice seminormă pi ∈ P, există măcar o funcţională liniară şi
continuă fi pe X astfel ca ( ) ( ),i ip x f x x K≤ ∀ ∈ .
Se cuvine să facem observaţia că cel mai potrivit context
pentru noţiunea de supernormalitate (nuclearitate) ataşată
conurilor convexe este cadrul natural oferit de spaţiile local
convexe separate. În virtutea primului corolar al Propoziţiei 5 din
[42] în orice spaţiu liniar normat un con convex este supernormal
dacă şi numai dacă este generat de o mulţime nevidă, convexă şi
mărginită care nu conţine originea în aderenţă, adică atunci şi
35
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
numai atunci când este "well based" sau, echivalent, "with
plastering", această ultimă noţiune fiind introdusă de
Krasnoselski (a se vedea, de exemplu, [60] şi alte lucrări
conexe). Iniţial, orice con supernormal s-a numit nuclear
deoarece în orice spaţiu nuclear [77] orice con normal este
nuclear în sensul introdus de G. Isac [42] şi reciproc (Propoziţia
6 din [42]). Ulterior, datorită proprietăţlor constatate comparativ
cu conurile normale s-a convenit adoptarea denumirii de "con
supernormal" pentru orice con nuclear. Clasa conurilor
supernormale s-a impus în special prin necesitatea studiului
existenţei punctelor eficiente în sens Pareto pentru mulţimi
complete, urmărindu-se astfel înlocuirea ipotezei de compactitate
asupra mulţimii respective cu cea de completitudine şi stabilirea
unor proprietăţi de bază pentru mulţimile de puncte eficiente
([41]-[46]). Noţiunea de con supernormal introdusă de G. Isac nu
este o simplă generalizare a conceptului introdus de M.A.
Krasnoselski şi studiat ulterior. Supernormalitatea are drept
cadru adecvat orice spaţiu local convex separat Hausdorff la fel
cu nuclearitatea în sens Grothendieck. Astfel, după cum un
spaţiu liniar normat este nuclear în sens Grothendiech dacă şi
numai dacă este izomorf cu un spaţiu euclidian uzual, tot astfel
un con K este supernormal într-un spaţiu liniar normal (X, )
dacă şi numai dacă este "well based" adică se poate reprezenta
36
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
sub forma K B= ⋅≥
λλ 0U cu B mulţime nevidă, convexă, mărginită
în X şi 0 ∉ B . Dacă notăm cu X* dualul topologic al spaţiului X
(mulţimea tuturor funcţionalelor liniare şi continue pe X) atunci
familia tuturor mulţimilor de forma:
V x x X x x x i nx x x in1 2 0 0 1*, ,..., *; ( ) : * ( ) , , ε ε= ∈ − < ∀ =
cu n N x X∈ ∈*, 0 , x x x Xn1 2*, *,..., * *∈ arbitrari, constituie un
sistem fundamental de vecinătăţi pentru x0. Topologia
corespunzătoare pe X se numeşte topologie slabă pe X notată în
mod uzual cu ( , *)X Xσ sau prin w .
Se poate demonstra că un con convex şi normal K
dintr-un spaţiu local convex arbitrar separat Hausdorff este
supernormal dacă şi numai dacă orice şir generalizat din K slab
convergent către originea spaţiului are aceeaşi limită în raport
cu topologia de spaţiu local convex [43] .
1.6. Alte exemple şi comentarii
0. Orice con supernormal este normal.
(Într-adevăr, dacă ( ) ,( )x ys s S s s S∈ ∈ sunt două şiruri generalizate
arbitrare în K cu y x K s Ss s− ∈ ∀ ∈, atunci supernormalitatea
conului K asigură pentru fiecare seminormă p ∈ P existenţa unei
funcţionale liniare şi continue f cu
0 ≤ ≤ ≤ ∀ ∈p x f x f y s Ss s s( ) ( ) ( ), .
37
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Deoarece lim ( )s S sf y
∈= 0 , rezultă că există lim ( )
s S sp x∈
= 0 ,
deci ∃ =∈
lims S s Xx 0 ) .
1.Orice con normal într-un spaţiu local convex separat
Hausdorff este slab supernormal, deci slab normal.
(Dacă p este o seminormă arbitrară σ ( , *)X X continuă, atunci
există M ≥ 0 şi f f f X n Nn1 2, ,... *, *∈ ∀ ∈ astfel încât
p x M f x x Xi n
i( ) sup ( ), ,≤ ∀ ∈≤ ≤1
iar dacă un con convex K este normal, atunci pentru fiecare i n∈ , , ,..., 1 2 3 există hi, gi funcţionale liniare şi continue pe K
astfel încât fi = hi - gi, deci
p x M f x M h g xi n
ii n
i i( ) sup ( ) sup( )( )≤ ≤ + =≤ ≤ ≤ ≤1 1
= + ≤ +≤ ≤ =
∑M h x g x M h g xi n
i i i ii
n
sup( ( ) ( )) ( )( )1 1
).
2. Orice con convex, închis, ascuţit ( cu vârful în origine)
într-un spaţiu euclidian oarecare R k Nk ( *)∈ este supernormal.
3. În orice spaţiu local convex orice con "well based"
(generat de o mulţime nevidă oarecare, convexă şi mărginită
care nu conţine originea spaţiului în închidere) este
supernormal.
4. Un con convex este supernormal într-un spaţiu liniar
normat dacă şi numai dacă este "well based".
38
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
5. Fie n N∈ * arbitrar şi Y spaţiul liniar real al
matricelor simetrice de ordinul n ordonat de conul convex cu
vârful în origine K A Y x Ax x RT n= ∈ ≥ ∀ ∈ : , 0 . Atunci Y este un
spaţiu Hilbert în raport cu produsul scalar definit prin
<A,B>=trace(A ⋅ B), ∀ ∈A B Y, şi K este generat (well based) de
mulţimea B=A ∈ < > =K A I: , 1 unde I este matricea unitate.
6. Orice con convex cu vârful în originea spaţiului, local
compact (slab local compact) din orice spaţiu local convex
separat Hausdorff este supernormal.
7. În orice spaţiu nuclear un con convex este supernormal dacă
şi numai dacă este normal.
8. În orice spaţiu local convex separat Hausdorff, un con convex
este slab supernormal dacă şi numai dacă este slab normal (deci
în raport cu topologia slabă conurile supernormale se identifică
cu conurile normale).
9. În L a b pp ([ , ])( )≥ 1 conul convex
Kp=x ∈ Lp([a,b]) : x(t) ≥ 0 aproape peste tot în [a,b] este
normal pentru orice p³1 şi supernormal numai pentru p=1, caz
în care este generat (well based) de mulţimea
B x K x t dta
b
= ∈ =∫ : ( ) .1 Într-adevăr, dacă p>1, atunci şirul
( )xn n N∈ ∗ definit prin:
39
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
x t n a t a b a na b a n t bn
p
( ), ( ) /
, ( ) /
/
=≤ ≤ + −
+ − < ≤
1 20 2
converge la originea spaţiului în topologia slabă, dar nu este
convergent în raport cu topologia uzuală indusă de norma
definită prin f f t dt f L a bp
a
b p
p=
∀ ∈∫ ( ) , ([ , ]).
/1
Prin urmare, în
virtutea caracterizării conurilor supernormale care precede
secţiunea destinată exemplelor, Kp nu este un con supernormal
pentru fiecare p>1, deşi admite ca bază mulţimea nemărginită
B x K x t dtp pa
b
= ∈ =∫ : ( ) .1 În general, fiecare con convex generat
de o mulţime mărginită B x B x t dt ss pp
a
b
= ∈ ≤∫ : ( ) este evident un
con supernormal. Concluzia privitoare la supernormalitatea
conului Kp se menţine şi în spaţiul Lp(R)(p ≥ 1).
Astfel, în acest caz dacă se consideră o familie numărabilă
(An) de mulţimi disjuncte care acoperă mulţimea R şi
µ µ( ) , (A n Nn = ∀ ∈1 fiind măsura Lebesque), atunci şirul de
funcţii (yn) definit prin:
y tt At R A
n Nnn
n
( ),, \
,=∈∈
∈10
40
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
converge la zero în topologia slabă pe Lp(R) fără a fi convergent
în topologia uzuală la aceeaşi funcţie. Aşadar pentru orice p>1,
conul Kp=f ∈ ≥L R fp ( ): 0 nu este supernormal, deci nu posedă
o bază pentru a fi "well based". K1 este supernormal (Kp este
normal pentru p ≥ 1 ). Aceeaşi constatare privind
supernormalitatea conurilor uzuale este valabilă în spaţiile
Orlicz. Kp are însă interiorul vid pentru fiecare p³1.
10. În l pp ( )≥ 1 înzestrat cu topologia generată de norma
uzuală .p definită prin 1/( ) , ( )
n
p p pnp
n Nx x x x l
∈
= ∀ = ∈∑ conul
C x l x n Np np
n= ∈ ≥ ∀ ∈( ) : , 0 este normal în raport cu această
topologie pentru orice p ≥ 1, dar supernormal numai pentru
p=1. Într-adevăr, oricare ar fi p>1 şirul ( )e lnp∈ în care
e n Nn ( )∈ ∗ are 1 drept termen de rang n şi 0 în rest converge către
şirul identic nul în topologia slabă pe lp, dar nu şi în topologia
obişnuită. În consecinţă, Cp(p>1) nu este supernormal. Pentru
p=1 acest con este supernormal fiind generat (well based) de
baza B x C x= ∈ = : 1 11 .
Dacă se consideră în l1 topologia definită de familia de
seminorme p n Nn : ∈ date prin
p x xn k kk
n
(( )) ,==
∑0
∀ ∈( )x lk1
41
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
(care este mai puţin fină decât topologia slabă uzuală pe l1),
atunci conul C1 rămâne supernormal în topologia de spaţiu local
convex generată (fiind un con normal într-un spaţiu nuclear), dar
nu este "well based". Cum orice spaţiu nuclear este şi un spaţiu
H-local convex în raport cu o familie echivalentă de seminorme
[77], exemplul precedent arată că, chiar într-un spaţiu H-local
convex [94], există conuri supernormale care nu sunt generate
pentru a deveni "well based". Cp(p³1) are interiorul topologic
vid.
11. Să considerăm acum l2 cu topologia H-local convexă
indusă de familia de seminorme definite prin1/ 2
2 2(( )) , , ( ) .n k i ki n
p x x n N x l≥
= ∈ ∈ ∑%
Atunci, conul C x l x k NK k22 0= ∈ ≥ ∀ ∈( ) : , este normal în
spaţiul H-local convex ( , ~ ~ : )l P p n Nn2 = ∈ fără a fi supernormal
(acelaşi şir (en) din Exemplul 10 este slab convergent la şirul
identic nul fără a fi convergent la acest şir în topologia generată
de familia ~P .
12. Un alt exemplu interesant de con normal într-un
spaţiu H-local convex care nu este supernormal este conul
funcţiilor pozitive în spaţiul L2loc(R) al funcţiilor reale de
argument real de pătrat integrabil pe orice interval de lungime
42
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
finită înzestrat cu topologia generată de familia de seminorme:
P p n Nn= ∈ : date prin
p x x t dt x L R n Nnn
n
loc( ) ( ) , ( ), ./
=
∀ ∈ ∈
−∫ 2
1 2
2
În acest caz, şirul de funcţii ( )xk k N∈ cu
x tt k
k t kk ( ), ( , ) ( / , )
, [ , / ]=
∈ − ∞ ∪ + ∞
∈
0 0 1
0 1
este slab convergent la funcţia identic nulă, fără a fi convergent
la această funcţie în raport cu topologia H-local convexă
generată de familia P .
13. În spaţiul Banach C([a,b])(a,b ∈ R şi a<b) al tuturor
funcţiilor reale continue pe [a,b] cu topologia generată de
norma definită prin x x t x C a ba x b
= ∀ ∈≤ ≤sup ( ) , ([ , ]) conul convex
K x C a b x= ∈ ([ , ]): este concavă, x(a)=x(b)=0 şi x t( ) ,≥ 0
∀ ∈t a b[ , ] este supernormal, având drept bază orice mulţime
B(t0)=x ∈ K:x(t0)=1 cu t0 ∈ [a,b] arbitrar. Ipoteza de concavitate
a funcţiilor din K este esenţială pentru supernormalitatea
conului.
14. În l ∞ sau în c0 conul convex al şirurilor de numere
reale cu toate sumele parţial pozitive nu este normal, deci nici
supernormal.
43
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
15. Dacă se consideră spaţiul X al funcţiilor reale local
integrabile pe un spaţiu local compact Y în raport cu o măsură
Radon µ înzestrat cu topologia indusă de familia P=
p A YA :∅ ≠ ⊆ submulţime compactă de seminorme definite prin
p f f d f XAA
( ) ,= ∀ ∈∫ µ , atunci conul
K=f ∈ ≥ ∀ ∈X f x x Y: ( ) , 0
este supernormal.
16. Fie X un spaţiu local convex separat Hausdorff
f n n N∈ un şir de funcţionale liniare şi continue pe X şi K ⊂ X un
con convex astfel încât fiecare fn (n ∈ N ) este pozitivă în raport
cu relaţia de preordine generată de conul K. În aceste condiţii,
K se numeşte semicomplet în raport cu f n n N∈ dacă pentru
orice şir xm m N∈ de elemente din K cu f x m Nn mn
( ) ,< + ∞ ∀ ∈=
∞
∑1
rezultă că x Kmm=
∞
∑ ∈1
.În [46] s-a demonstrat că orice con convex
semicomplet este supernormal.
17. Conul convex al tuturor funcţiilor pozitive armonice
pe un spaţiu local compact în raport cu o teorie axiomatică a
potenţialului (Bauer, Brelot, Constantinescu-Cornea sau
Mokobodzki-Sibony) este supernormal.
44
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
18. Dacă L este o latice convexă ordonată de un con
convex K şi L* este duala topologică corespunzătoare ordonată
de conul dual K*, atunci K este supernormal în topologia de
spaţiu local convex definită pe L de sistemul fundamental al
vecinătăţilor originii de forma [ , ] : *.− ∈f f f K0
19. În orice spaţiu local convex separat Hausdorff X
orice
con normal este supernormal în raport cu topologia slabă pe X.
20. Un con convex K este supernormal într-un spaţiu
H-Fréchet (X, P= : p Iα α ∈ (adică un spaţiu local convex,
separat Hausdorff având topologia generată de o familie
numărabilă de seminorme hilbertiene (fiecare seminormă pα
este definită de un semi-produs scalar ( , ) , )⋅ ⋅ ∈α α I dacă şi numai
dacă pentru orice seminormă pα ∈ P , există y Xα ∈ astfel că
subdiferenţiala seminormei pα în originea spaţiului este
conţinută în translata polarului conului K printr-o funcţională
liniară şi continuă de forma ( , )⋅ yα β cu β ∈ I .
Se cuvine să remarcăm că orice con supernormal K
într-un spaţiu liniar normat arbitrar admite funcţionale liniare
continue strict pozitive. Această proprietate nu este însă
caracteristică conurilor supernormale. Astfel de exemplu, pentru
conul convex normal
45
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
K l x x l xpn
pn= = = ∈ ≥+ ( ) : ,0 ∀ ∈n N ( p N∈ ∗
funcţionala liniară şi continuă ϕ :l Rp → definită prin
ϕ ( ) , ( )x x x x lii
ip= ∀ = ∈
=
∞
∑1
este strict pozitivă însă, după cum s-a putut remarca din
comentariile anterioare, acest con este supernormal numai dacă
p=1.
Un alt exemplu în acest sens este oferit de conul pozitiv
(de asemenea normal) L x L a b x tp p+ = ∈ ≥ ([ , ]): ( ) 0 aproape peste
tot în [ , ]( , ,a b a b R a b∈ < şi p N∈ ∗ ). Funcţionala liniară şi
continuă ϕ : ([ , ])L a b Rp → dată de ϕ ( ) ( ) , ([ , ])x x t dt x L a bp
a
b
= ∀ ∈∫
este strict pozitivă, însă Lp+ este supernormal dacă şi numai dacă
p = 1.
În laticea complet ordonată B([a,b]) (considerată ca
spaţiu Banach în raport cu norma obişnuită definită prin
x x t a t b= ≤ ≤sup ( ) : ) a tuturor funcţiilor reale mărginite pe
un interval compact nebanal arbitrar [a,b] din R conul pozitiv
uzual K u B a b u t t a b= ∈ ≥ ∀ ∈ ([ , ]): ( ) , [ , ]0 este normal, dar fără
bază, deci nu este supernormal. Acest con are însă interiorul
46
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
topologic nevid. Dacă considerăm în l1 topologia definită de
familia de seminorme : p n Nn ∈ ∗ definită prin
p x x x x l n Nn kk
n
k( ) , ( ) ,= ∀ = ∈ ∈=
∗∑0
1 ,
atunci conul convex ( ) : , x x l x k Nk k= ∈ ≥ ∀ ∈1 0 este
supernormal fără a avea o bază.
Înainte de a prezenta conexiunile indicate dintre conurile
supernormale şi punctele eficiente expunem câteva consideraţii
preeliminare.
Fie X un spaţiu liniar ordonat de un con convex K A X, ⊂
o mulţime nevidă şi a A0 ∈ .
Definiţia 1. [79] a0 se numeşte element eficient (punct de
minim în sens Pareto) pentru mulţimea A în raport cu conul K
(în notaţie, a MIN AK0 ∈ ( )) sau a eff A K0 ∈ ( , )) dacă satisface una
dintre următoarele condiţii echivalente:
(i) A a K a K∩ − ⊆ +( ) ;0 0
(ii) K a A K∩ − ⊆ −( ) ;0
(iii) ( ) ( ) ;A K a K a K+ ∩ − ⊆ +0 0
(iv) K a A K K∩ − − ⊆ −( ) .0
Când conul K are vârful în originea spaţiului, adică
K K X∩ − =( ) ,0 proprietatea a MIN AK0 ∈ ( ) este echivalentă cu
fiecare dintre condiţiile:
a) A a K a∩ − =( ) ;0 0
47
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
b) A a K X∩ − = ∅( \ ) ;0 0
c) K a A x∩ − =( ) ;0 0
d) ( \ ( ) .K a Ax0 0∩ − = ∅
Într-o manieră similară se definesc punctele de maxim în
sens Pareto (vectorial).
De fapt, a MAX A a MIN AK K0 0∈ ⇔ ∈ −( ) ( ) . Mai observăm
că a MIN AK0 ∈ ( ) înseamnă că a0 este punct fix pentru fiecare
dintre multifuncţiile
F A A F t a A A a K t K1 1: , ( ) : ( ) ;→ = ∈ ∩ − ⊆ +
F A A F t a A A t K a K2 2: , ( ) : ( ) ;→ = ∈ ∩ − ⊆ +
F A A F t a A A K a K t K3 3: , ( ) :( ) ( ) ;→ = ∈ + ∩ − ⊆ +
F A A F t a A A K t K a K4 4: , ( ) :( ) ( ) ;→ = ∈ + ∩ − ⊆ +
adică a F a ii0 0 1 4∈ =( ), , .
Teorema 4. [80] Dacă notăm
S A K( , ) = : , a A a a K a A1 1∈ − ∈ ∀ ∈ ,
atunci S A K( , ) ≠ ∅ implică MIN A S A KK ( ) ( , )= .
Demonstraţie.
Este evident că S A K MIN AK( , ) ( )⊆ deoarece dacă
a S A K0 ∈ ( , ) şi a A a K∈ ∩ −( )0 , atunci a a K∈ +0 . Fie
acum S A K( , ) ≠ ∅ şi să presupunem că există
a MIN A S A KK0 ∈ ( ) \ ( , ) . Atunci există a A* ∈ aşa ca
a a K* − ∉0 . Fie a S A K∈ ( , ) arbitrar. Atunci
48
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
a a K X0 0− ∈ \ deoarece dacă a a0 = se obţine
a S A K0 ∈ ( , ) în contradicţie cu a a K* − ∉0 . Prin urmare,
a a K X0 0− ∈ \ şi a MIN AK0 ∈ ( ) antrenează a a K∈ +0
care împreună cu a S A K∈ ( , ) conduce la a S A K0 ∈ ( , ) ,
contradicţie. Remarcăm că este posibil ca S A K( , ) ≠ ∅ şi
MIN A AK ( ) = . În acest sens să examinăm următorul
exemplu. Fie X=R2 înzestrat cu topologia de spaţiu local
convex indusă de seminormele
p p X R p x y x p x y y x y R1 2 1 22, : , ( , ) , ( , ) , ( , )→ = = ∀ ∈ ,
K R x y R x y= = ∈ ≥+2 2 0( , ) : , şi A = − ≤ ≤( , ): .λ λ λ1 0 1
Atunci S A K( , ) = ∅ şi MIN A AK ( ) .=
Peste tot în cele ce urmează vom presupune că X este un
spaţiu local convex separat Hausdorff având topologia generată
de o familie P p I= ∈ : α α de seminorme.
Teorema 5. [79] Dacă A X⊂ este o submulţime nevidă
şi K un con convex închis, atunci a MIN AK0 ∈ ( ) dacă şi numai
dacă pentru orice a A a K∈ +\ ( )0 , există x X∗ ∗∈ aşa încât
x a x a∗ ∗<( ) ( )0 şi x K∗ ∈ 0 unde K x X x y y K0 0= ∈ ≤ ∀ ∈∗ ∗ ∗ : ( ) ,
denotă polarul uzual al conului K.
Demonstraţie.
Fie a MIN AK0 ∈ ( ) şi a A a K∈ +\ ( )0 . Atunci
a a K∉ −0 şi o teoremă clasică de separare asigură
49
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
existenţa unei funcţionale liniare şi continue x* pe X astfel
ca x*(a)<x*(a0)-x*(y), ∀ ∈y K . Aşadar x*(a)<x*(a0). Dacă
însă admitem că ar exista y K∈ pentru care x*(y)>0,
atunci x y x a x y∗ ∗ ∗< − ∀ >( ) ( ) ( ),0 0λ λ care pentru λ
suficient de mare conduce la o contradicţie. Deci,
x y y K∗ ≤ ∀ ∈( ) , ,0 adică x K∗ ∈ 0 . Reciproc, să
presupunem că are loc condiţia din enunţ şi că
A a K a K∩ − ⊄ +( ) .0 0 Deci, există a A a K∈ ∩ −( )0 şi
a a K∉ +0 . Prin urmare, a A a K∈ +\ ( )0 şi, în virtutea
ipotezei, există y K∗ ∈ 0 cu y a y a∗ ∗<( ) ( )0 , în contradicţie
cu relaţia y a y a∗ ∗≤( ) ( )0 obţinută din a a K0 − ∈ .
Fie acum K un con convex, ε ∈ K X\ 0 şi A X⊂ o submulţime
nevidă.
Definiţia 2. [74] a0 se numeşte ε − eficient pentru A în
raport cu K (în notaţie a0 ∈ −ε MIN AK ( ) dacă
( ) .a K A0 − − ∩ = ∅ε
Este evident că MIN A MIN A KK K K( ) ( ), \ ⊆ − ∀ ∈ε ε 0 şi
MIN A MIN AK K KK
( ) [ ( ).\
= ∩ −∈ε
ε0
50
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
O funcţie f E R: → definită pe un spaţiu liniar E ordonat de un
con convex K este η + −K crescătoare (η ∈ K ) dacă
f x f x x x E( ) ( ), ,1 2 1 2≥ ∀ ∈ cu x x K K1 2∈ + + ∈η η( ).
Fie T o submulţime nevidă şi compactă într-un spaţiu
liniar topologic E. Dacă S este un con convex de funcţii reale
continue pe T astfel că S conţine funcţiile constante pe T,
inf( , ) , ,f f S f f S1 2 1 2∈ ∀ ∈ (S este min-stabilă) şi S separă punctele
mulţimii T, atunci mulţimea pe M T+ ( ) a măsurilor Radon
pozitive se poate defini următoarea relaţie:
µ ν µ ν≤ ⇔ ≤ ∀ ∈S s s s S( ) ( ), . O măsură µ ∈ +M T( ) se numeşte
minimală în raport cu relaţia definită dacă pentru orice funcţie
f T R: → continuă, µ µ( ) ( )Q f fS = unde Q f s S f sS = ∈ ≤inf : .
În particular, măsura Dirac ε x x T( )∈ este minimală dacă şi
numai dacă ε εx S xQ f f( ) ( ),= adică Q f x f x f T RS ( ) ( ), := ∀ →
funcţie continuă.
Mulţimea tuturor punctelor x T∈ pentru care ε x este o
măsură minimală se numeşte frontiera Choquet a mulţimii T în
raport cu conul S, notată ∂ S T. Deci, dacă C(T) este spaţiul
Banach uzual al tuturor funcţiilor reale continue pe T, atunci
∂ S ST x T Q f x f x f C T= ∈ = ∀ ∈ : ( ) ( ), ( ).
O mulţime nevidă A T⊆ se numeşte S-absorbantă dacă
x A∈ şi ε µx S− ∈ implică µ ( \ ) .X A = 0 Urma pe ∂ S T a
51
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
topologiei pe T în care mulţimile închise coincid cu T sau cu
submulţimile absorbante ale mulţimii T conţinute în
:x T s S∈ ∃ ∈ cu s x( ) < 0 se numeşte topologie Choquet pe ∂ S T .
În acord cu rezultatele stabilite respectiv expuse în
lucrările [18], [84], [88]-[92], prezentăm următoarele conexiuni
imediate dintre Optimizarea Vectorială şi Teoria Potenţialului
când T este o submulţime nevidă şi compactă a unui spaţiu local
convex separat ordonat de un con convex K.
Teorema 6. MINK(T) coincide cu frontiera Choquet a
mulţimii T în raport cu conul convex al funcţiilor reale şi
continue pe T, K - crescătoare. În consecinţă, mulţimea
MINK(T) înzestrată cu urma topologiei initiale este un spaţiu
Baire (orice spaţiu topologic în care fiecare mulţime nevidă şi
deschisă nu se poate reprezenta ca o reuniune numărabilă de
mulţimi rare (cu interioarele aderenţelor vide)). Dacă în plus
mulţimea T este metrizabilă, atunci MINK(T) este de tip Gδ (se
poate reprezenta ca o intersecţie numărabilă de mulţimi
deschise).
Corolarul 6.1.
(i) MIN T x T f x f x x X x KK ( ) : ( ) sup ( ' ): ' ( ),= ∈ = ∈ ∩ −
∀ ∈f C T( ) ;
52
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
(ii) MIN TK ( ) şi MIN T x T s x s SK ( ) : ( ) ( )∩ ∈ ≤ ∈0 sunt
mulţimi compacte în raport cu topologia Choquet;
(iii) MIN TK ( ) este submulţime compactă în T.
Teorema 7. ε − MIN TK ( ) coincide cu frontiera Choquet
a mulţimii T în raport cu conul convex al funcţiilor reale,
continue, ε + K crescătoare pe T, ∀ ∈ε K K\ 0 . Deci, mulţimea
ε − MIN TK ( ) înzestrată cu urma topologiei iniţiale este un
spaţiu Baire şi dacă T este o mulţime metrizabilă, atunci
ε − MIN TK ( ) este o submulţime de tip Gδ în T.
Importanţa conurilor supernormale pentru existenţa
punctelor eficiente în sens Pareto (vectorial) ca şi pentru
proprietăţile mulţimilor de puncte eficiente este ilustrată şi de
următoarele rezultate demonstrate în [41] - [44] şi în [79] - [81].
Definiţia 3. O mulţime nevidă B dintr-un spaţiu liniar
topologic X ordonat de un con convex K se numeşte K-mărginită
dacă există B X0 ⊆ mărginită astfel încât B B K⊆ +0 şi
K - închisă dacă extensia conică B K+ este închisă unde K
denotă închiderea topologică a conului convex K.
Teorema 8.
53
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
(i) Dacă într-un spaţiu local convex X separat Hausdorff
K este un con supernormal, A, B ⊆ X sunt submulţimi nevide
poziţionate prin A B A K⊆ ⊆ + şi B A K∩ −( )0 este o mulţime
mărginită şi completă pentru măcar o mulţime nevidă A A0 ⊆ ,
atunci MIN AK ( ) ≠ ∅ ;
(ii) Dacă X este un spaţiu local convex separat cvasi-
complet (orice submulţime nevidă, mărginită şi închisă este
completă) şi K este un con supernormal şi închis în X, atunci
pentru orice mulţime A K-mărginită şi K-închisă din X obţinem:
MIN AK ( ) ≠ ∅ , A MIN A KK⊆ +( ) , MIN A K A KK ( ) + = + şi
MIN AK ( ) este K-mărginită şi K-închisă;
(iii) În aceleaşi ipoteze de la (ii), MIN AK ( ) ≠ ∅ pentru
orice submulţime nevidă A cu B A K∩ −( )0 mulţime K-
mărginită şi K-închisă când A A X0 ⊆ ⊆ şi A B A K⊆ ⊆ + .
Corolarul 8.1. Fie A B A K⊆ ⊆ + într-un spaţiu local
convex separat X şi K un con convex slab supernormal. Dacă
mulţimea B A K∩ −( )0 este slab completă pentru măcar o
submulţime A A0 ⊆ atunci MIN AK ( ) ≠ ∅ . În particular, când K
este slab supernormal şi A a K∩ −( ) sau ( ) ( )A K a K+ ∩ − este
mărginită şi slab completă pentru cel puţin un element a A∈ ,
54
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
atunci MIN AK ( ) ≠ ∅ . Dacă proprietatea de mărginire cuplată
cu slaba completitudine a mulţimii menţionate este valabilă
pentru orice a A∈ , atunci A MIN A KK⊆ +( ) (relaţia de
dominare).
Corolarul 8.2. MIN AK ( ) ≠ ∅ în fiecare din următoarele situaţii:
(i) K este închis, normal, slab complet şi A este slab
închisă aşa ca A a K∩ −( ) este mărginită pentru cel puţin un
element a A∈ . Dacă A a K∩ −( ) este mărginită pentru orice
a A∈ , atunci A MIN A KK⊆ +( ) ;
(ii) K este închis, normal şi A este o mulţime nevidă, slab
completă oarecare (proprietatea de dominare A MIN A KK⊆ +( )
rămâne valabilă);
(iii) K este închis, normal, slab complet şi A+K este o
mulţime slab închisă astfel încât mulţimea ( ) ( )A K a K+ ∩ − este
mărginită măcar pentru un element a A∈ . Când
( ) ( )A K a K+ ∩ − este mărginită pentru orice a A∈ , atunci
A MIN A KK⊆ +( ) .
Corolarul 8.3. Pentru orice mulţime A nevidă, mărginită
şi închisă dintr-un spaţiu local convex separat Hausdorff
ordonat de un con convex K generat de o mulţime convexă,
55
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
mărginită şi completă care nu conţine originea spaţiului
MIN AK ( ) ≠ ∅ şi A MIN A KK⊆ +( ) .
Spre aprofundare, completăm această secţiune cu
1.7. Un studiu recent asupra Eficienţei cu multiple aplicaţii
1.7.1. Introducere
În general, Eficienţa a fost, este şi rămîne esenţială pentru
existenţă, modelele matematice aferente elaborate prin
investigaţii ştiinţifice din domenii variate ale cunoaşterii umane
fiind unanim acceptate. Acestui subiect îi dedicăm contribuţia
noastră originală care urmează, conţinutul expunerii fiind
organizat astfel: Secţunea 2 conţine generalităţi privind
conceptul de Eficienţă şi unele aplicaţii recente, imediate
respectiv implicaţii semnificative. În Secţiunea 3 prezentăm
Optimalitatea Pareto ca fiind exemplul ilustrativ cel mai
important de Eficienţă dezvoltat până acum, deoarece a generat
acest concept, cu originea în Optimizarea Multicriterială,
punctul de start pentru Modelarea Matematică a Eficienţei
Economice şi, totodată, cazul particular caracteristic Optimizării
Vectoriale Finit Dimensionale. Secţiunea 4 este consacrată
Eficienţei în Spaţiile Liniare Ordonate Infinit Dimensionale şi
conexiunilor directe cu Punctele Critice care descriu Echilibrul
Sistemelor Dinamice, în particular, Echilibrul Economic,
Punctele Fixe ale unor Multifuncţii, Optimizarea Tare şi
56
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Frontierele Choquet. Identificarea şi optimizarea Eficienţei în
spaţii H-local convexe prin funcţii spline sunt prezentate în
Secţiunea 5.
1.7.2. Eficienţă generală şi eficienţă specifică
57
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Limbajul curent defineşte Eficienţa ca fiind” capacitatea de a
produce efectele dorite, în contextul unor cerinţe formulate
”. În lumea actuală caracterizată prin : globalizare cu impact
pozitiv asupra Eficienţei generale, liberalizare,
individualizare, informatizare, non-formalizare,
observabilitate, controlabilitate şi competiţie fără precedent,
etc.(Rotmmans Jan, 2002), Eficienţa este percepută ori de
cîte ori „se lucrează bine, repede şi fără pierderi” , deci este
caracterizată prin”resurse respectiv pierderi minime,
gestionare si prelucrare rapidă, cu profit maxim”. Viaţa
noastră însă este definită prin Eficienţa Divină , cu
proiecţiile în realitate avînd o multitudine de descrieri şi
interdependenţe: Eficienţa Informaţională, Eficienţa
Energetică, Eco-Eficienţa, Eficienţa Economică
(Agricultură, Industrie, Finanţe, Afaceri, etc.), Eficienţa
Matematică (Algoritmi Eficienţi, Frontiere Eficiente,
Statistică, Analize şi Decizii Multicriteriale,Eficienţă în
Economia Matematică, etc.), Eficienţa în Medicină,
Eficienţa Tehnică, etc., toate fiind fundamentate pe
următoarea întrebare:”ce modalităţi de evaluare folosim şi
cum le interpretăm în aplicaţiile concrete?”(Heine Paul,
2000). Astfel, Eficienţa Economică, indiferent de proces,
este caracterizată de conexiunea „optimală” dintre”intrări”
58
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
şi „ ieşiri”, ambele fiind „măsurate” prin bani . Deci,
evaluările monetare sunt esenţiale pentru Eficienţa
Economică asociată în permanenţă cu „sustainabilitatea”
descrisă drept componentă centrală pentru orice proces „de
dezvoltare care atinge şi foloseşte necesităţile prezentului
fără a compromite abilitatea generaţiilor viitoare de a-şi
folosi nevoile proprii” în scopul realizării unei societăţi
„bune”. (Report of Brundtland Commission – The World
Commission on Environment and Development, 1987, p.43).
Totuşi, Eficienţa şi “Sustainabilitatea” nu sunt suficiente
pentru a asigura o evoluţie socială pozitivă cel puţin pentru
că Eficienţa Economică nu include orice element vizat (de
exemplu, distribuţia optimă a bunurilor) (Nyberg et.
al.,2001, p.13), iar “Sustainabilitatea” nu a fost definită încă
suficient de clar (Rosencrantz Holger, 2005). În termenii
Eficienţei Tehnice, o maşină este considerată “utilă” sau “
mai eficientă decît alta” cînd “generează mai multă
“energie” decît primeşte”. Dar, nu este posibil să vorbim
despre “eficienţă completă” măcar pentru că nu există
procedee universale de estimare (a se vedea, de exemplu,
traficul auto urban care angajează persoane diferite din
multe puncte de vedere; în general, orice sistem de transport
acceptat drept funcţional are un grad ridicat de
59
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
complexitate, cu componente conflictuale) . In realitate,
pentru toate procesele, oamenii încearcă o aproximare a
eficienţei reale cu scopul obţinerii unui control cel puţin
minim (Postolică, V., 2006). Un argument în acest sens, dar
şi un exemplu semnificativ, este reprezentat de permanenta
evaluare şi continua supervizare prin analiza simulata a
riscului pentru a obţine balanţa eficientă (optimă) în
managementul bancar efectuată de Kosmidou Kyriaki şi
Zopounidis, Constantin în 2005. Din punct de vedere
decizional, pentru obţinerea Eficienţei, se impune
parcurgerea a cel puţin următoarelor etape cognitive :
- Formularea problemelor de către staff -ul managerial într-un
limbaj care să permită un dialog veritabil cu matematicienii şi
informaticienii implicaţi ;
- Elaborarea modelelor matematice, cu posibilităţi de rafinare
ulterioare;
- Selectarea, prin studii riguroase, a celor mai bune decizii
multicriteriale:
- Studiul existenţei soluţiilor în sens tare (unice şi pentru
cazurile vectoriale);
- Dacă nu există soluţii în sens tare, identificarea sau măcar
aproximarea celor vectoriale ;
60
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
- Precizarea proprietăţilor mulţimii punctelor eficiente, utile în
practică, prin procesări numerice adecvate ;
- Aplicarea concluziilor rezultate;
- Evaluarea Eficienţei.
Elaborarea deciziilor multicriteriale (Stewart, D., J., 2004) şi
aplicarea acestora în condiţii incerte, ambele fiind recunoscute ca
proveninând din situaţiile concrete când oamenii nu deţin
informaţiile cantitative şi calitative pentru a descrie, prescrie
sau anticipa, cu fermitate respectiv a controla numeric,
computerizat, comportarea unui sistem sau a caracteristicilor
sale (Zimmermann, H., 2000) reprezintă riscul real pentru
Eficienţă care, în opinia noastră, o generează şi impune în
existenţa umană. Termenul de “risc” a fost iniţial aplicat
momentelor când probabilităţile rezultatelor erau obiectiv
cunoscute (Zimmermann, H., 2000), deşi Fishburn, P. C. (1984)
îl explica prin “posibilitatea întâmplării a ceva rău”, iar
“incertitudinea” acceptată numai pentru problemele în care
există alternative reale, cu multiple efecte posibile. Riscul este
aşadar un element indispensabil oricărui proiect economic. În
consecinţă, trebuie estimat şi minimizat prin eficienţă. O altă
chestiune importantă este eficacitatea definită ca fiind
« calitatea de a fi eficace » în sensul de a produce (realiza)
efectele (rezultatele) dorite. În opinia noastră, aceasta înseamnă
61
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
a fi eficient » pas cu pas », adică o eficienţă aplicată, discretă,
cu secvenţele corespunzătoare adecvat interconectate. O relaţie
directă între inteligenţă şi eficienţă este următoarea : există
mijloace pentru a »etalona » inteligenţa unui individ uman, dar
acestea nu reflectă decât parţial capacităţile specifice. Astfel, una
dintre cele mai practicate modalităţi este reprezentată de
evaluarea prin « coeficientul » IQ. Acesta este însă un indice
foarte relativ de estimare a inteligenţei, mondial controversat
acum, deoarece « cuantifică » numai inteligenţa cognitivă,
tehnică. Dincolo de şcoli, diplome, know-how-ul tehnic al unor
ani de experienţă profesională, există un alt factor de importanţă
majoră pentru succesul în viaţă: inteligenţa emoţională (EQ)
definită prin capacitatea proprie de identificare şi gestionare
eficientă a propriilor emoţii în raport cu scopurile personale
(carieră, educaţie, familie, etc.). Finalitatea constă în realizarea
obiectivelor, cu conflicte generale minime, iar soluţia este
profunda autocunoaştere.Cunoştinţele şi ideile inteligente
împreună cu managementul eficient al emoţiilor şi sentimentelor
construiesc împăcarea cu sine, echilibrul cu lumea exterioară
prin relaţiile cu ceilalţi şi cariera profesională de succes.
1.7.3. Optimalitatea Pareto : Generatoarea eficienţei generale
actuale, primul exemplu ilustrativ, riguros, de eficienţă
economică, prin modelare matematică
62
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Nu există un model, chiar matematic, universal, nici pentru
economiile de piaţă. Eficienţa de tip Pareto sau Optimalitatea
Pareto (Pareto Vilfredo, 1909) este o Teorie Economică
fundamentală, cu ample Aplicaţii,cel puţin în cercetarea
ştiinţifică a Proceselor Economice, Teoria şi Aplicaţiile Teoriei
Jocurilor, Inginerie şi Ştiinţele Sociale. Acest tip de Eficienţă
reprezintă componenta finit dimensională a Programării
Multicriteriale (cu funcţii-obiectiv respectiv restricţii multiple)
din Optimizarea Vectorială. Intuitiv, aceasta înseamnă că ori de
cîte ori o posibilă « deviere » de la o « soluţie » veritabilă S a
unui astfel de program generează imediat o « îmbunătăţire » a
cel puţin unui « obiectiv » concomitent cu « degradarea » altor
« obiective » , orice astfel de soluţie este denumită ca fiind
« eficientă » sau « nedominată ». Un sistem din Economie
respectiv din Politică este « eficient » în sens Pareto dacă »
orice element component nu poate deveni « mai bun » fără ca cel
puţin altul să fie « mai puţin bun » , ceea ce înseamnă că un stat
este eficient din punct de vedere economic sau optimal în sens
Pareto dacă nici o persoană din societatea aferentă nu poate
« să progreseze » fără ca cel puţin o alta să « regereseze » .
Această caracteristică a eficienţei de tip Pareto a fost relevată de
Pareto Vilfredo ( 1909), Arrow Kenneth (1951, 1963), Debreu
Gerard (1959, 1971), Aubin Jean-Pierre (1993),Taylor Alan D.
63
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
(1995), Hansson, S.O. ( 2004) şi alţii. În termenii alocărilor
elternative, eficienţa Pareto este descrisă prin următoarea
comportare a oricărui set de alocări alternative asociat unui
colectiv arbitrar : orice schimbare de la o alternativă la alta
care produce o « îmbunătăţire » individuală fără a afecta restul
colectivităţii . Prin urmare, o alocare de resurse este eficientă
(optimală) Pareto cînd nici o « îmbunătăţire » nu e posibilă în
acelaşi sens . Dacă alocarea este strict preferată de un membru
al colectivului şi nici o altă alocare nu este « benefică » pentru
ceilalţi membri, atunci aceasta se numeşte Pareto optimală în
sens tare. Fiecare alocare pentru care orice realocare posibilă
ar putea fi preferată de întreg colectivul este considerată « slab »
Pareto optimală (Wikipedia, the free Encyclopaedia, 03
February, 2008). În consecinţă, apreciem că Eficienţa de tip
Pareto este şi un « criteriu aproximativ » de evaluare al
sistemelor economice şi politice cu ipoteze minime asupra
comparabilităţii interpersonale (Postolică, V., 2006).
Justificarea atributului de « aproximativ » constă în cerinţa »
ideală », deci restrictivă, care nu reflectă întotdeauna economiile
reale, dar care asigură existenţa optimelor Pareto : piaţa este
alcătuită din toate bunurile posibile admise, cu competitivitate
perfectă şi tranzacţii de cost neglijabile. În politică, nu orice
« soluţie » în sens Pareto este şi « dorită » (de exemplu,
64
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
strategiile bazate pe beneficii unilaterale) . Aceste argumente au
determinat ca optimalitatea Pareto să fie acceptată cu
incertitudini şi controverse. Totuşi, renumita teoremă a lui
Arrow Keneth stabilită în anul 1951 şi denumită « teorema
imposibilităţii » datorită conţinutului conform căruia « nici o
ordonare socială a preferinţelor bazată numai pe ordonări
individuale nu ar putea satisface o mulţime foarte rezonabilă de
condiţii » conferă optimizării Pareto calitatea de a fi
plauzibilă, cu controverse minime (Rosencrantz, Holger, 2005).
Menţionăm că noţiunea de eficienţă înlocuieşte uneori conceptul
de optimalitate din Optimizarea Multicriterială, deoarece orice
soluţie în sens Pareto a oricărei probleme multivoce de
optimizare, chiar în spaţiile infinit dimensionale ordonate, nu
poate fi »îmbunătăţită » folosind relaţia de (pre) ordine indusă
de conul susţinător. O spectaculoasă legătură dintre Eficienţa în
sens Pareto şi Teoria Generală a Complementarităţii a fost
stabilită de Isac, G., Kostreva, M.,M. şi Wiecek, M., M. în anul
1995. Această teorie are importante aplicaţii şi în : Economie,
Mecanică, Elasticitate, Mecanica Fluidelor, Inginerie, Teoria
Jocurilor, Optimizare (a se vedea, de exemplu, Isac, G.,
Goeleven, D.(1993), Isac, G., Kostreva, M. (1996), Isac, G.,
Carbone, A. (1998) şi referinţele bibliografice aferente).
Consideraţile care urmează sunt destinate Optimizării cu
65
min f(x) = (f1(x); : : : ; fs(x)) where x 2 Rn
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Obiective Multiple, precizării unor dificultăţi întâmpinate când
numărul obiectivelor este suficient de mare, analizei
principalelor componente, unor exemplificări numerice
semnificative şi concluziilor pentru continuarea studiului,
cuplând rezultatele noastre teoretice cu cele numerice obtinute
recent de Lino Costa şi Pedro Oliveira (2007), referitoare la
reducerea dimensiunilor funcţiilor obiectiv vectoriale pentru
identificarea şi vizualizarea soluţiilor programelor de
optimizare vectorială, cu astfel de aplicaţii drept funcţii obiectiv.
3.1. Eficienţă exprimată prin dominarea vectorială Euclidiană
uzuală
Cele mai simple formulări ale eficienţei modelate matematic prin
programe de optimizare multicriterială se exprimă astfel :
(P) Min f(x) = (f1(x), f2(x),…,fs(x)) , x∈ Rn (n∈ N*) cu restricţiile
gj(x) ≥ 0, 1,j m∀ = şi hi(x) = 0, 1,i m m p∀ = + + , s,m,p∈ N*.
Pentru s=n =2, aceste probleme permit uneori controlul şi
interpretări furnizate prin reprezentări grafice de tipul următor :
66
x1
x 2
x1
x 2
f1(x)
f 2(x)
f1(x)
f 2(x)
f
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Fie nÎN*, nr 2 arbitrar fixat. xÎRn domină pe yÎRn , în notaţie,
x y dacă fi(x) b fi(y), " 1,i s= şi există j=1, s cu fj(x) < fj(y) .
xÎRn este optimal în sens Pareto dacă nu există yÎRn astfel
încât y x . Generalizând, în Teoria şi Aplicaţiile Teoriei
Deciziilor, să considerăm D o mulţime nevidă (discretă sau
continuă) de decizii posibile (admisibile) pe care o vom numi
mulţime decizională şi criteriile gi : D → R (i=1, n ) care
generează o aplicaţie criterială g : D → Rn dată prin
67
x 2 Rndominates y 2 R
n(x Á y)
8i 2 f1; : : : ; sg : fi(x) 6 fi(y)^9j 2 f1; : : : ; sg : fj(x) < fj(y)
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
componentele g = (g1,g2,…,gn). Mulţimea realizabilă prin g este
Y = g(D). Minimizarea criteriilor prin optimalitate de tip Pareto
solicită o relaţie de preferinţă care, în acest caz, coincide cu
ordinea naturală din Rn : pentru x = (x1, x2,…, xn), y = (y1, y2,…,
yn)∈ Rn se defineşte : x ≤ y ⇔ xi ≤ yi, ∀ i = 1, n ; x < y ⇔ xi ≤
yi, ∀ i = 1, n şi x ≠ y ; x=y ⇔ xi < yi, pentru orice i = 1, n .
Elementele optimale în sens Pareto sunt cele minimale
(maximale) y0∈ Y în raport cu relaţia de parţială ordine « ≤ »
din Rn, iar deciziile optimale corespunzătoare d0 = g-1(y0). În
consecinţă, o decizie d0∈ D este Pareto optimală în sens
minimal faţă de criteriile gi (i = 1, n ) dacă şi numai dacă pentru
orice d∈ D cu g(d) ≤ g(d0) rezultă că g(d) = g(d0), valoarea
g(d0 ) fiind denumită efect Pareto. În mod similar se definesc
cele maximale, înlocuind conul
1 2( , , ..., ) : 0, 1,n nn iR x x x x R x i n+ = = ∈ ≥ ∀ = cu nR+− . Aşadar,
Optimizarea Multicriterială înseamnă minimizarea sau
maximizarea a cel puţin unui criteriu, considerând restul drept
restricţii sau, echivalent, criteriile în orice problemă de
optimizare multicriterială sunt interschimbabile cu restricţiile.
Mai mult, are loc următoarea
68
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Lemă 1. O decizie admisibilă d0∈ D este Pareto optimală
dacă şi numai dacă pentru fiecare 1,i n= , d0 minimizează ( )ig d
pe mulţimea
0: ( ) ( ), 1, 2,..., \ji jD d D g d g d j n i= ∈ ≤ ∈ .
În practică, este foarte utilă conversia, prin echivalenţă, a
problemelor concrete în studiu, la unul dintre următoarele
programe de optimizare generale :
(i) Program de Optimizare Multicriterială
Fie Ω o mulţime nevidă şi deschisă în Rn (n∈ N*), restricţiile
prin inegalităţi f : Ω → Rm (m∈ N*) şi restricţiile prin egalităţi
descrise de aplicaţia h : Ω → Rk (k∈ N*) care generează
ansamblul total al restricţiilor : ( ) 0 & ( ) 0X x f x h x= ∈ Ω ≤ = .
Dacă notăm cu g = (g1, g2,…,gp) : pX R→ ( p ∈ N*) aplicaţia
criterială (funcţia obiectiv), atunci mulţimea realizabilă este
( ) : ( ) &pY g X y R y g x x X= = ∈ = ∈ . Problema constă în
determinarea deciziilor optimale 0x pentru ( )g x când x
parcurge X .
(ii) Program de Control Multicriterial
Fie Α o mulţime nevidă şi deschisă în Rn (n∈ N*) care conţine
toate” stările” supuse unui control (unei comenzi)
[ ] *0 1: , ( )su t t U R s N→ ⊆ ∈ prin ecuaţiile de sistem controlat (1)
69
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
( , )x f x u′ = unde : 0 0( )x t ∈ ∆ este starea iniţială, 1 1( )x t ∈ ∆ este
starea finală cu nx t= variabilă independentă astfel încât
( , ) 1nf x u = , : nf U B RΑ × → ⊆ aplicaţia viteză, iar U mulţimea
restricţiilor controlate. Orice control u U∈ pentru care sistemul
controlat indicat admite cel puţin o soluţie absolut continuă se
numeşte admisibil şi orice soluţie corespunzătoare traiectorie
admisibilă. Obiectul Teoriei Controlului Sistemelor Diferenţiale
este determinarea controalelor admisibile pentru care soluţiile
corespunzătoare îndeplinesc anumite condiţii aprioric
specificate. Problema generală a Teoriei Controlului Sistemelor
este una de sinteză şi anume aceea a reconstituirii sistemului, în
fapt, a parametrilor săi, cunoscând sau impunând anumite
proprietăţi soluţiilor sale. Cel mai adesea se cere determinarea
controalelor u cu condiţia ca soluţiile corespunzătoare să
optimizeze o anumită funcţie denumită funcţionala cost definită
pe clasa tuturor perechilor ( , )x u care verifică sistemul (1). Dacă
notăm cu *: ( )kg B U R k N⊇ → ∈ aplicaţia criterială definită pe
mulţimea controalelor admisibile B de componente ( 1, )ig i k=
date prin 1
00( ) ( ( ), ( ))
t
i itg u f x t u t dt= ∫ unde 0 : (n
i i if U C R CΑ × → ⊆
deschisă pentru orice 1,i k= ) , atunci spaţiul de stare este descris
prin (2) 0 0( , ), ( ) 0y f x u y t′ = = în care criteriul de stare ky R∈ şi
70
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
0 01 02 0( , , ..., )kf f f f= . Pentru fiecare control admisibil u , fie x
traiectoria corespunzătoare în acord cu sistemul controlat (1).
În aceste condiţii, mulţimea realizabilă este
1: ( )kY y R y s t= ∈ = cu s soluţie arbitrară în (2) pentru cuplul
( , )x u , iar problema de bază revine la obţinerea controalelor
optimale 0u B∈ pentru ( )g u când u B∈ . Prin intermediul
Lemei 1, condiţiile necesare Kuhn-Tucker clasice din
Programarea Neliniară pentru un singur criteriu g0 se pot extinde
la Programarea Multicriterială, înlocuind g0 cu funcţia G
definită prin 1 21
( ) ( )( ( , , ..., ) 0)k
i i ki
G x c g x c c c c=
= = >∑ , iar Principiul
de maxim pentru minimul unui criteriu funcţional din Teoria
Controlului se poate transforma într-unul adecvat problemelor
de control multicriterial considerând 1
( ( )) ( ( ))k
i ii
G u t c g u t=
= ∑ unde
1 2( ( , , ..., )) 0kc c c c= > . Un alt tip de probleme de control
multicriterial sunt cele stochastice( Grecksch, W., Heyde, F.,
Isac, G., Tammer, Chr., 2003). Modalităţile precedente fac parte
din tehnica generală a scalarizării, fundamentată pe următoarele
variante actuale:
71
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
a) metoda lexicografică : să admitem că numărul de ordine al
fiecărui criteriu reflectă şi importanţa lui, primul fiind astfel cel
mai semnificativ. Prin urmare, se minimizează întâi obţinând
° 1 1min ( ) :g g d d D= ∈ , cu mulţimea deciziilor optimale
° 1 1 1: ( )D d D g d g= ∈ = .Apoi, se determină
± 2 2 1min ( ) :g g d d D= ∈ , cu mulţimea deciziilor optimale
± 2 1 2 2: ( )D d D g d g= ∈ = , ş.a.m.d. Procedeul se finalizează cu un
minimum de tip Pareto. Problemele de maximum se tratează prin
analogie.
b) studiul minimulului (maximului ) pentru combinaţii liniare, cu
coeficienţi variabili, de tipul cel mai simplu
1 21
( ) ( )( ( , , ..., ) 0)k
i i ki
G x c g d c c c c=
= = >∑ sau pentru alte aplicaţii cu
diverse ponderi, adecvat construite în sensul
identificării/aproximării soluţiilor, comparării şi interpretărilor
numerice. Orice punct de minim pentru G este o decizie Pareto
optimală. In general, această constatare reprezintă un important
criteriu, deci o condiţie suficientă pentru existenţa deciziilor
optimale. Rafinări ale aplicaţiei G sunt metricile pG definite
72
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
prin 1/
1
( ) ( ) ,1pn
Pp i i
iG y y g p
=
= − ≤ < ∞∑ , cu
min ( ) : , 1,i ig g d d D i n= ∈ = . Când p = ∞ , se obţine metrica
( ) max : 1i iG y y g i n∞ = − ≤ ≤ ale cărei puncte de minim nu mai
sunt decizii Pareto optimale. Pentru aplicaţii multicriteriale cu
cel mult 5 componente algoritmul care urmează s-a dovedit a fi
bun în atingerea soluţiilor Pareto optimale:
iii. Pasul 1. Pentru fiecare 1,3i = se notează :
min ( ) :i im g d d D= ∈ , 1 2 1 1min ( ) : & ( )g d d D g d mη = ∈ = ,
3 2 3 3min ( ) : & ( )g d d D g d mη = ∈ = . Dacă 1 3η η≥ , atunci se ia
1( )g dε ≥ , iar pentru 1 3η η< , valorile 1( )g d şi 2 ( )g d se schimbă
între ele pentru paşii următori.
Pasul 2. Se consideră [ ]2 1,mδ η∈ privind parametrizarea
restricţiei 2 ( )g d δ≤ , selectând numărul t al paşilor şi valorile
dorite parametrice: 1 2 2 1... ...j tmδ δ δ δ η= < < < < < = şi 1.j =
Pasul 3. Urmând parametrizarea restricţiei 1( )g d ε≤ ,pentru
fiecare j , se fixează numărul jt al secvenţelor şi valorile
parametrice:
1 2 ... ...ji tε ε ε ε< < < < < de extremităţi:
73
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
1 1 2min ( ) : & ( ) jg d d D g dε δ= ∈ ≤ ,
1 2 3min ( ) : , ( ) & ( )jt j jg d d D g d g dε δ α= ∈ ≤ = , unde
3 2min ( ) : & ( )j jg d d D g dα δ= ∈ ≤ , ceea ce asigură generarea
numai a soluţiilor Pareto optimale. Fie acum 1i = .
Pasul 4. Se rezolvă problema :
3 1 2min ( ) : , ( ) & ( )i jg d d D g d g dε δ∈ ≤ ≤ . Pentru alegerile
1ε ε< , această problemă nu are soluţii admisibile, iar dacă
jtε ε> , algoritmul generează duplicate ale soluţiilor sau valori
non-optimale.
Pasul 5. Dacă ji t< , se consideră 1i i→ + , cu revenire la Pasul
4. Pentru ji t= , 1j j→ + : când j t< se trece la Pasul 3.
Condiţiile ji t= şi j t= antrenează oprirea algoritmului.
Ingineria actuală propune noi modalităţi de identificare a
reprezentărilor finite respectiv de aproximare pentru mulţimile
de puncte eficiente în sens Pareto : metodele euristice
(algoritmii genetici, etc .), ţinând sema că :
- cea mai bună decizie depinde, totuşi, de preferinţele
managerului decizional ;
- deciziile Pareto optimale sunt echivalente din punct de vedere
matematic ;
74
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
- elaborarea deciziilor se face întâi prin sinteza tuturor
obiectivelor într-o aplicaţie de tip cost, urmată de generarea
mulţimilor de puncte eficiente destinate comparaţiilor finale,
analiza senzitivităţii şi aplicarea metodelor
interactive (Korhonen, P.(2005), Miettinen,
K.(2002)), cu soluţii concrete furnizate de reţele
computaţionale reprezentate de un computer – investigator
decizional central 0P şi informaţiile însuşite/prelucrate de o
echipă informaţională 1 2, , ...P P , reproduse în acord cu
concluziile din Tomas Petkus, Ernestas Filatovas, (2007) :
Structura interactivă computaţională
75
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Schema funcţională a reţelei de calculatoare
76
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
O strategie a fluxului informaţional general
77
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Estimarea succintă a performanţei oricărui computer al reţelei :
78
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Evaluarea Eficienţei în raport cu strategiile utilizate:
79
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
6 Comp. (Basic strategy) 24 Comp. (First strategy)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
0 5 10 15 20 25 30Time (minutes)
Efficie
ncy
80
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
6 Comp. (Basic strategy) 12 Comp. (Second strategy)
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
0 5 10 15 20 25 30Time (minutes)
Efficie
ncy
81
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
12 Comp. (First strategy) 12 Comp. (Second strategy)
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 5 10 15 20 25 30Time (minutes)
Efficie
ncy
cu dependenţele ordonate strategerial şi numeric astfel:
82
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Varianta de bază şi numărul computerelor
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
0 5 10 15 20 25 30Time (minutes)
Comb
ined C
riterio
n
1 Comp.
6 Comp.
Prima strategie
83
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0 5 10 15 20 25 30
Time (minutes)
Comb
ined C
riterion
1 Comp.
6 Comp.
24 Comp.
A doua
84
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 5 10 15 20 25 30Time (minutes)
Comb
ined C
riterion
6 Comp.
12 Comp.
24 Comp.
Compararea primelor două pentru 6 calculatoare
85
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0,35
0 10 20 30
Time (minutes)
Combine
d Crite
rion
6 Comp. (Basic strategy)
6 Comp. (First strategy)
Extinderea la 24 de computere
86
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 5 10 15 20 25 30
Time (minutes)
Comb
ined C
riterion
6 Comp. (Basic strategy)24 Comp. (First strategy)
Baza şi strategia secundă
87
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
0
0,05
0,1
0,15
0,2
0,25
0,3
0 5 10 15 20 25 30
Time (minutes)
Combine
d Crite
rion
6 Comp. (Basic strategy)12 Comp. (Second strategy)24 Comp. (Second strategy)
Primele strategii pentru 12 calculatoare
88
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0 5 10 15 20 25 30
Time (minutes)
Combine
d Crite
rion
12 Comp.(First strategy)12 Comp.(Second strategy)
Aceleaşi, utilizând 24 de computere
89
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
0
0,02
0,04
0,06
0,08
0,1
0,12
0 5 10 15 20 25 30
Time (minutes)
Comb
ined Cr
iterion
24 Comp.(First strategy)24 Comp.(Second strategy)
Noile provocări în cercetarea acestei problematici constau în :
90
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
reducerea dimensionalităţii generate de numărul mare al
obiectivelor şi restricţiilor ; vizualizarea diferitelor alternative
pentru obiective multiple; crearea şi investigarea unor scenarii
decizionale multicriteriale mobile (Wiecek, M . W., Blouin, V. Y.,
Fadel, G. M., Engau, A., Hunt, B.J. and Singh, V. (2006)). Spre
exemplificare enumerăm:
)α Optimizare Financiară şi Selecţia de Portofolii, ambele
caracterizate prin Distribuirea Capitalului Financiar în funcţie
de Specific, prin : Variabilele Decizionale (alegerea
proprietăţilor - în sensul cel mai general - reprezentate de:
situaţia reală, contracte – obligaţii - relaţii, stocuri, fonduri,
măsuri de siguranţă, etc.) şi Selecţia Proporţilor Investiţionale
în raport cu Obiectivele alese: tradiţionale (minimizarea
imediată a riscurilor de investiţii şi maximizarea profiturilor
prin schimburi adecvate) respectiv recente ( dividende,
lichidităţi, responsabilităţi sociale recente, etc.).
)β Optimizare Structurală şi Reprezentarea Conexiunilor prin
Topologiile Aferente (structuri multifuncţionale, cu geometrie
variabilă, pentru: acoperişuri, tavane, plafoane, arcade, case,
poduri sau legături inter/transdimensionale, sateliţi, etc.) cu
Variabilele Decizionale constând în: configurarea şi dispunerea
componentelor interconectate în funcţie de materialele folosite şi
rezistenţa lor respectiv a legăturilor reale şi obiectivele
91
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
principale: minimizarea optimă a cantităţilor de materiale,
greutăţilor specifice şi volumelor, a pieselor separate sau în
ansamblul lor, concomitent cu reducerea optimală a distanţelor
joncţionale pe orice traseu.
γ ) Optimizarea geometriei ambalajelor şi a dispunerii
componentelor unor vehicule în volume specificate, prin
următoarele Variabile Decizionale: proiectarea parametrilor şi
configurarea componentelor vehiculului, urmată de localizarea,
orientarea lor şi succesiunea “împachetării” în volumul
respectiv. Obiective importante: maximizarea înlăturării
obstacolelor constructive, a dinamicii vehiculelor, cu aplicaţiile
militare reprezentate de stabilitate, întreţinere, rezistenţă şi
comportament adecvat în condiţii dificile. Dacă, pentru fiecare
caz, există mai multe descrieri posibile, atunci se aplică
Optimizarea Vectorială corespunzătoare Scenariilor Multiple,
considerând:
)α Obiective: restituiri şi riscul investiţional. Scenarii:
anticipări diferite asupra pieţii.
)β Obiective: greutatea, plasarea şi exploatarea nodurilor
structurale.Scenarii: diverse condiţii de « încărcare « .
92
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
)γ Obiective: parcurgerea rapidă şi dinamica. Scenarii: condiţii
şi manevre diferite de pilotare, în acord cu următoarea schemă
generală pentru Programele cu Multiple Obiective şi Scenarii :
( ) : &sMIN f x s S x X∈ ∈
unde 1, 2,..., ( *)S T t N= ∈ este mulţimea scenariilor, iar
( )1 2 ( )( , , ..., ) : n t s
s s s st sf f f f X R R= ⊆ → ( 1, )s T= aplicaţiile –
obiectiv corespunzătoare în următorul context general:
( ) : &sMIN f x s S x X∈ ∈
[Z b
b
[Z b
Descompunere [Z b
[Z b Integrare
1 11 12 1 (1)( ) ( , ,..., :tMIN f x f f f x X= ∈ b
Coordonare b b
b b
1 2 ( )( ) ( , , ..., :T T T Tt TMIN f x f f f x X= ∈
93
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Mai precizăm că, în general, orice Program de Eficienţă prin
Optimizare şi orice Problemă de Optimizare prin Eficienţă
solicită parcurgerea a cel puţin următorilor paşi :
- descrierea clară a fenomenului fizic investigat ;
- selecţia modelelor matematice adecvate;
- precizarea mulţimii parametrilor permişi, restricţiilor aferente
şi aplicaţiilor obiectiv;
- specificarea preferinţelor respectiv a extremelor dorite şi
transpunerea acestora într-o relaţie de (pre) ordine potrivită; de
exemplu, din punct de vedere economic, cele mai importante
funcţii - obiectiv sunt volumul de investiţii şi nivelul profitului,
cele
din tehnică fiind deseori considerate drept proiecţii ale unora
reprezentative din
economie ;
- selectarea şi aplicarea metodelor analitice respectiv numerice
pentru identificarea sau cel puţin aproximarea acceptabilă a
soluţiilor.
- analiza comparativă a tehnicilor de identificare/aproximare
pentru soluţii, ierahizarea acestora din urmă şi aplicarea lor
concretă.
94
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Revenind la Eficienţa Pareto în spaţiul Euclidian bidimensional
uzual, geometric vorbind, relaţia generală pentru două
componente se poate ilustra şi prin imaginea :
min f1(x), min f2(x)
unde interacţiunea regională este marcată prin IV: I şi
IIIp IVp II, iar compararea soluţiilor cu frontiera optimală în
sens Pareto, în acelaşi context, este reprezentabilă prin
următoarea descriere:
95
Arie dedominare
Regiune deindiferenţăArie de
preferinţă
IV IV
pII
II
III
:I
p
f1(x)
III
IV
IV
IV
f1(x)
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Mulţimea punctelor Eficiente
pentru regiunile
a), b), c), d)
96
f1(x)
f 2( x)
a
b
cd
Frontiera Optimalăîn sens Pareto
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
3.2. Exemplul problemei clasice a lui Schaffer
97
0
1
2
3
4
5
6
-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5x
f(x) f1(x)
f2(x)
Mulţimea Optimală în sens Pareto
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
dacă f1(x) = x2 şi f2(x)= (x-2)2.
98
0
1
2
3
4
5
6
0 1 2 3 4 5 6
f1(x)
f2(x)
Frontieră Pareto Optimală
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
3.3. Dificultăţi pentru multiple funcţii obiectiv
3.3.1. În general, creşterea numărului de funcţii obiectiv
antrenează mărirea dimensiunii spaţiului Euclidian în care se
proiectează mulţimea punctelor eficiente în sens Pareto, cu
frontiera corespunzătoare.
3.3.2. Complicarea studiului în ansamblu datorită :
3.3.2.1. Necesităţii aproximării frontierelor în sens Pareto prin
“populaţii” de puncte.
3.3.2.2. Multiplicării exponenţiale a numărului de puncte
necesare în acest demers.
3.3.3. Pentru mai mult de trei funcţii obiectiv, reprezentarea şi, în
consecinţă, vizualizarea frontierelor optimale în sens Pareto este
anevoioasă şi complicată.
3.4. Noi modalităţi de abordare pentru funcţiile obiectiv
vectoriale
3.4.1. Reducerea dimensionalităţii prin transformarea mulţimii
variabilelor originale într-o nouă mulţime alcătuită din
componente principale care pot fi ordonate astfel încât să se
reţină cea mai reprezentativă variaţie a datelor iniţiale.
99
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
3.4.2. Acestea din urmă pot fi dispuse într-o matrice în care
fiecare linie reprezintă cazuri particulare importante, iar
coloanele sunt alcătuite din variabilele iniţiale.
3.4.3. Centrarea datelor iniţiale prin extragerea mediei traversând
fiecare variabilă.
3.4.4. Principalele componente se determină folosind valorile
respectiv vectorii proprii ai matricii covariante sau ai matricii de
corelare, ultima dovedindu-se mai adecvată pentru unele cazuri
numerice concrete. Corelarea dintre coeficienţi se aproximează
prin cosinusurile unghiurilor dintre vectori : strict pozitivă pentru
unghiuri cu măsura mai mică decât 90 0, strict negativă în cazul
unghiurilor cu măsura mai mare decât 900 şi dovedeşte
independenţa când unghiurile coincid cu cele drepte. Iată un
exemplu în acest sens.
Să considerăm f1(x) = x 2, f2(x) = (x-2) 2, f3(x)=2f1(x),
f4(x)=[f1(x)]2, iar f5(x)∈ [0 ,1]. Reprezentările grafice sunt redate
astfel :
100
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
101- 0 . 5 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 50
1
2
3
4
5
6
7
x
f(x)
f1
( x )
f2
( x )
f3
( x )
f4
( x )
f5
( x )
w u ¼ ;
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Comparaţia importanţei componentelor
Nivele de încărcare
102
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
cu non-concordanţele reprezentate astfel :
Folosind tehnica biplot-urilor, extensia precedentă a clasicei
probleme a lui Schaffer permite următoarele concluzii:
103
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
(i) f1, f3 şi f4 sunt pozitiv corelate;
(ii) f2 este negativ corelată cu f1, f3 şi f4;
(iii) f5 este independentă faţă de oricare din funcţiile obiectiv
componente rămase.
104
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Procentaje de realizare
3.5. Exemple de teste numerice, cu funcţii obiectiv vectoriale şi
noduri multiple
3.5.1.
[ ]1 1 2 1
2
( ) ( 0,1 , 2, ), ( ) ( ) 1 / ( ) ,
( ) 1 9( ) /( 1), 2 :
i
n
ii
f x x x i n f x g x x g x
g x x n n=
= ∈ = = −
= + − ≥∑
105
9.8%f4
9.8%2.4%f3
12.2%100%100%f2
9.8%2.4%2.4%100%f1
f5
f4
f3
f2
Obiectivul
Obiectiv
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
f1(x)
f2(x
)
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
3.5.2.
[ ] 21 1 2 1
2
( ) ( 0,1 , 2, ), ( ) ( ) 1 ( / ( )) ,
( ) 1 9( ) /( 1), 2 :
i
n
ii
f x x x i n f x g x x g x
g x x n n=
= ∈ = = −
= + − ≥∑
1060 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1
0
0 . 1
0 . 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5
0 . 6
0 . 7
0 . 8
0 . 9
1
f 1 ( x )
f2(x)
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
3.5.3.
[ ]1 1
2 1 1
2
( ) ( 0,1 , 2, ),
( ) ( ) 1 / ( ) sin(10 ,( )
( ) 1 9( ) /( 1), 2 :
i
i
n
ii
f x x x i n
xf x g x x g x xg x
g x x n n
π
=
= ∈ =
= − −
= + − ≥∑
1070 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1
- 0 . 8
- 0 . 6
- 0 . 4
- 0 . 2
0
0 . 2
0 . 4
0 . 6
0 . 8
1
f 1 ( x )
f2(x
)
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
3.5.4.
[ ] [ ]1 1 2 1
2
2
( ) 0,1 ( 5,5 , 2, ), ( ) ( ) 1 / ( ) ,
( ) 1 10( 1) 10cos(4 ) , 2 :
i
n
i ii
f x x x i n f x g x x g x
g x n x x nπ=
= ∈ ∈ − = = −
= + − + − ≥ ∑
1080 0 . 1 0 . 2 0 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 1
0
0 . 1
0 . 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5
0 . 6
0 . 7
0 . 8
0 . 9
1
f 1 ( x )
f2(x)
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
3.5.5.
[ ]61 1 1
0.252
2 12
( ) 1 exp( 4 ) sin (4 )( 0,1 , 2, ),
( ) ( ) 1 ( ( ) / ( )) , ( ) 1 9 ( ) /( 1) :
i
n
ii
f x x x x i n
f x g x f x g x g x x n
π
=
= − − ∈ =
= − = + − ∑
1090 . 3 0 . 4 0 . 5 0 . 6 0 . 7 0 . 8 0 . 9 10
0 . 1
0 . 2
0 . 3
0 . 4
0 . 5
0 . 6
0 . 7
0 . 8
0 . 9
f 1 ( x )
f2(x)
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Dacă , în fiecare caz, se păstrează funcţiile 1f , 2f şi se adaugă
aplicaţiile 3 4 5, ,f f f definite respectiv prin :
[ ] 23 1 4 1 5( ) 2 ( ), ( ) ( ) , ( ) (0,1)f x f x f x f x f x= = ∈ , atunci prelucrarea
numerică indică următoarele biplot-uri corespunzătoare :
110
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
3.5.1.
111
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
3.5.2.
112
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
3.5.3.
113
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
3.5.4.
114
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
3.5.5.
115
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Concluziile numerice pentru cazul 3.5.3, de exemplu, sunt
elocvente :
116
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
cu non-concordanţele reprezentate prin :
şi justificate de
117
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Comparaţia importanţei componentelor
Procentaje de realizare 3.5.1-3.5.5
118
Proporţii Cumulative
0.630.840.99 1.001.00
Proporţii de Variaţie
0.630.210.150.010.00
Deviaţia Standard
1.781.02 0.88 0.200.00
Comp.1
Comp.2
Comp.3
Comp.4 Comp.5
6.9%f4
6.9%1.0%f3
5.0%100%100%f2
6.9%1.0%1.0%100%f1
f5
f4
f3
f23.5.1.
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
119
5.0%f4
5.0%1.0%f3
5.0%100%100%f2
5.0%1.0%1.0%100%f1
f5
f4
f3
f23.5.2.
17.2%f4
17.2%3.5%f3
17.2%100%100%f2
34.6%3.5%3.5%100%f1
f5
f4
f3
f23.5.3.
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Acestea dovedesc posibilitatea reducerii dimensiunii funcţiilor
obiectiv de la cinci componente la două, permiţând deci
120
4.0%f4
4.0%1.0%f3
4.0%100%100%f2
4.0%1.0%1.0%100%f1
f5
f4
f3
f23.5.4.
4.0%f4
4.0%1.0%f3
11.9%100%100%f2
4.0%1.0%1.0%100%f1
f5
f4
f3
f23.5.5.
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
înlocuirea Programelor de Optimizare iniţiale cu următoarele
Probleme de Mimimizare Vectorială Bidimensionale :
MIN (f1,f2), MIN (f2,f3) respectiv MIN (f2,f4) .
Completări şi concluzii pe această direcţie de studiu
0 . Optimizarea Multicriterială a fost considerată componentă a
Teoriei Economice aproape 100 de ani, fiind acceptată ca ştiinţă
începând cu lucrarea lui Koopmans, T. C. (1951) care a introdus
conceptele de punct eficient şi con dominant. Cea mai elegantă şi
imediată extindere a acestor noţiuni a fost realizată de Yu, P. L.
(1974), cu multiple dezvoltări ulterioare relevate şi în secţiunea
următoare.
1 . Analiza precedentă a componentelor funcţiilor vectoriale
relevă identificarea
celor inutile, prin dezacordurile numerice precizate, ceea ce a
condus la menţinerea a doar două funcţii obiectiv drept
componente.
2. Biplot-urile s-au dovedit a fi modalităţi grafice adecvate
pentru ilustrarea
raporturilor dintre funcţiile obiectiv componente.
3. Aceste tehnici sunt eficiente pentru manageri deoarece permit
reducerea dimensiunii problemelor prin care se studiază eficienţa
şi stabilirea unor importante conexiuni dintre funcţiile obiectiv
121
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
respectiv soluţiile concrete, posibile, ele putând fi aplicate în
orice moment al investigaţiei stiinţifice.
4. Examinarea mulţimilor de puncte eficiente în sens Pareto se
poate efectua chiar dacă funcţiile obiectiv sunt neliniare,
îmbunătăţind astfel şi metodele statistice destinate reducerii
dimensiunilor programelor de optimizare vectorială.
5. Urmând ultima parte a observaţiei precedente şi variantele de
studiu indicate de Marian, G., Munteanu, M.T. şi Postolică, V.
(2006) , propunem în continuare o altă manieră de abordare
privind selectarea componentelor aplicaţiilor obiectiv vectoriale
prin aplicarea unor ponderi :
Fie *1 2( , , ..., )( , 2)nf f f f n N n= ∈ ≥ o funcţie obiectiv
vectorială, jk > 0 ( 1, )j n=
coeficientul de importanţă acordat componentei ( )j i,njf = şi
*
1
( , 2)t
ii
t N n t=
Ω = Ω ∈ ≥ ≥U o partiţie arbitrară a mulţimii
1 2, , ..., nf f f . Dacă
1 2, , ..., ( 1, )ii i i itf f f i tΩ = = şi °
1
( 1, )it
i ij ijj
f k f i t=
= =∑ , atunci orice
soluţie a programului de optimizare vectorială
122
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
( )ΩΡ ±( )( )MIN MAX f ( °f ° ± °1 2( , , ..., )tf f f= ) este punct eficient
pentru problema
( )Ρ ( )( )MIN MAX f ( 1 2( , , ..., )nf f f f= )
şi orice punct de extrem al funcţiei F date prin 1
n
i ii
F k f=
= ∑
(±FΩ ,± ° °1
t
i ii
F k fΩ=
= ⋅∑ ) defineşte un proiect optimal pentru ( )Ρ
respectiv ( )ΩΡ , ceea ce arată şi o conexiune rapidă cu
Optimizarea Tare. O funcţie :f I R R⊆ → se numeşte
cvasiconvexă dacă
[ ]1 2 1 2 1 2( (1 ) ) max ( ), ( ) , , , 0,1 .f x x f x f x x x Iχ χ χ+ − ≤ ∀ ∈ ∈
Când inegalitatea este strictă pentru 1 2x x≠ , funcţia se numeşte
strict cvasiconvexă. Aceste funcţii sunt deosebit de utile în
problemele de programare matematică ce descriu diverse
modele economice: minimizarea costurilor, maximizarea
profitului, unde funcţiile de producţie sunt cvasiconvexe
(Crouzeix J.P.(2003), Debreu G.(1959), Debreu G., Koopmans
T.C. (1982), etc.).
1.7.4. O nouă abordare : Eficienţă aproximativă, eficienţă şi
optimizare în spaţii liniare ordonate infinit dimensionale şi
aplicaţii
123
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Construcţia abstractă care urmează evidenţiază o posibilitate de
echivalenţă matematică dintre conceptul de « eficienţă » şi cel
de « optimalitate ». În opinia noastră, realitatea dovedeşte însă că
optimalitatea reprezintă un caz particular de eficienţă. Mai
precis vorbind, fiecare situaţie de optimalitate reprezintă un caz
de cea mai bună aproximare pentru mulţimile de puncte
eficiente.
Fie X un spaţiu liniar ordonat real sau complex oarecare, К
ansamblul tuturor conurilor convexe definite pe X şi A o
submulţime nevidă arbitrară a spaţiului ambiant X .Urmând
consideraţiile ulterioare, propunem următoarea relaţie de
incluziune dintre mulţimea tuturor punctelor eficiente ale
mulţimii A şi mulţimile tuturor punctelor care realizează
minimizarea respectiv maximizarea în sens vectorial în raport
cu conurile convexe oarecare K ∈ К :
( ) ( ) ( )K KK K K K
Eff A MIN A MAX A∈ ∈
⊇ UU U .
Evident că orice Program de Optimizare Vectorială are originea
în Problemele de Optimalitate în sens Pareto din Spaţiile
Euclidiene Ordonate Uzuale cu Funcţii Obiectiv Vectoriale şi
poate fi descris astfel:
,( ) : ( )T K KP MIN f T sau ,( ) : ( )T K KP MAX f T
unde K ∈ К, T este o mulţime nevidă oarecare şi :f T X→ o
aplicaţie. Este posibil să se înlocuiască conul convex K printr-o
124
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
mulţime nevidă din X convenabilă, cel puţin în privinţa
prelucrărilor numerice care furnizează soluţiile efective, sau să
se realizeze o combinaţie ilustrată, de exemplu, prin eficienţa
aproximativă următoare. Dacă notăm prin ( , )fS T K mulţimea
tuturor soluţiilor, echivalenţa anunţată se poate justifica prin
relaţia
, :
( ) ( , )fA X T
K K f T X
Eff A S T K∅ ≠ ⊆ ≠ ∅
∈ →
=U U .
În realitate, funcţionează numai incluziunea
, :
( ) ( , )fA X T
K K f T X
Eff A S T K∅ ≠ ⊆ ≠ ∅
∈ →
⊇U U .
Concluzionând, în contrast cu optimalitatea, conceptul de
eficienţă nu poate fi încă descris riguros, deci controlat
matematic, în totalitate, dar este posibilă ordonarea prin
optimizări specifice, obţinând diverse tipuri de eficienţă care pot
fi selectate ulterior.
Fie X o mulţime nevidă, eventual alcătuită din posibile
restricţii, E un spaţiu liniar ordonat de un con convex K, cu
vîrful în origine şi o aplicaţie obiectiv
:f X E→ . Considerăm următorul Program de Optimizare
Vectorială :
( )P ( )min f x
x X
∈,
125
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
A-l “rezolva” înseamnă determinarea tuturor punctelor eficiente
0x X∈ în sensul că ( ) ( ) ( ) 0 0 .f X f x K f x− = I Aşadar, este
important de precizat cînd multimea punctelor eficiente
specificate este nevidă şi ce proprietăţi posedă . Eficienţa în sens
« propriu » introdusă de Kuhn H. W. şi Tucker A. W. (1950) şi
dezvoltată, inclusiv prin aplicaţii adecvate, de Geofrion A. M.
(1968), Borwein J. M. (1977, 1983), Benson H. P. (1977, 1979,
1983), Hening M. I. (1982), Hartley R. (1978), Németh A. B.
(1989), Dauer J. P., Gallagher R. J. (1990), Isac G. (1994), etc.
apare ca un caz particular, adică mulţimea tuturor punctelor
eficiente, eventual pozitive, ale problemei ( )P este o submulţime
a mulţimii tuturor punctelor eficiente. Precizăm că un punct
ox X∈ I este propriu eficient pentru programul ( )P dacă este
eficient şi ( ( ) ( ) )ocl cone f X K f x+ − K∩ = 0 ; cînd există cel
puţin o funcţională liniară şi continuă ϕ pe E astfel încît
( ) 0kϕ > pentru orice k K∈ şi [ ] [ ]( ) ( )of x f xϕ ϕ≤ oricare ar fi
x X∈ , ox este o soluţie proprie, pozitivă pentru ( )P .
Această Secţiune conţine o generalizare recentă a Eficienţei
reprezentată de Eficienţa Aproximativă în Spaţiile Local
Convexe separate Hausdorff, ordonate (Postolică V., 2002) , iar
126
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
chestiunile referitoare la Spaţiile Liniare Topologice Ordonate
sunt utilizate urmînd Peressini A. L., 1967.
Fie E un spaţiu liniar ordonat de un con convex 1,K K o
submulţime nevidă a lui K şi A o parte nevidă din E.
Următoarea definiţie introduce un nou concept de eficienţă
aproximativă care generalizează eficienţa Pareto.
Definiţia 1 (Postolică V., 2002). 0a A∈ se numeşte
1K − eficient în sens minimal pentru ,A în notaţie,
( )0 1, ,a eff A K K∈ ( )( )10 K Kor a MIN A+∈ dacă satisface una dintre
următoarele condiţii echivalente :(i) ( )0 1 0 1;A a K K a K K− − ⊆ + +I
(ii) ( ) ( )1 0 1;K K a A K K+ − ⊆ − −I
Punctele eficiente în sens maximal se obţin înlocuind 1K K+ cu
( )1 .K K− + Este evident că
( )0 0 1A a K a K− ⊆ + ⇒I ( )0 1 0 1A a K K a K K− − ⊆ + + ⇒I
( )0 1 0 ,A a K a K− ⊆ +I
care sugerează alte posibile concepte de eficienţă aproximativă
în spaţiile liniare ordonate.
Observaţia 1. ( )0 1, ,a eff A K K∈ dacă şi numai dacă acest
element este punct fix pentru multifuncţia :F A A→ definită
prin ( ) ( ) 1 1: .F t a A A a K K t K K= ∈ − − ⊆ + +I
127
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
În consecinţă, pentru existenţa punctelor eficiente se pot aplica
teoreme de punct fix privind multifuncţiile ( a se vedea, de
exemplu, Cardinali, T., Papalini, F., 1994, şi alte lucrări conexe)
Observaţia 2. Cînd conul K este ascuţit ( cu vârful în origine),
adică, ( ) 0K K− =I , atunci apartenenţa ( )0 1, ,a eff A K K∈
înseamnă că ( )0 1A a K K− − = ∅I sau, echivalent,
( ) ( )1 0K K a A+ − = ∅I pentru 10 K∉ respectiv
( ) 0 1 0 ,A a K K a− − =I dacă 10 .K∈ În cazul particular 1 0 ,K =
din Definiţia 1 se obţine conceptul uzual de eficienţă în sens
Pareto şi ( )0 ,a eff A K∈ ( )( )0 Kor a MIN A∈ dacă satisface (i), (ii)
sau oricare dintre proprietăţile echivalente:
(iii) (A+K)I (a 0 - K) ⊆ a 0 +K ;
(iv) KI (a 0 - A - K) ⊆ - K .
Prin urmare, 0a este punct fix pentru măcar una dintre
următoarele multifuncţii :
( ) ( ) 1 1: , : ,F A A F t A A K t Kα α→ = ∈ − ⊆ +I
( ) ( ) 2 2: , : ,F A A F t A A t K Kα α→ = ∈ − ⊆ +I
( ) ( ) ( ) 3 3: , : ,F A A F t A A K K t Kα α→ = ∈ + − ⊆ +I
( ) ( ) ( ) 4 4: , : ,F A A F t A A K t K Kα α→ = ∈ + − ⊆ +I
128
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
adică, ( )0 0ia F a∈ pentru cel puţin un 1,4.i = . Aşadar, când conul
K este ascuţit, un element a 0 ∈ A este eficient pentru mulţimea A
în raport cu K numai dacă una dintre următoarele relaţii
echivalente funcţionează :
(v) AI (a 0 - K)= 0a ;
(vi) ( )0 \ 0 ;A a K− = ∅I
(vii) ( ) 0 0 ;K a A− =I
(viii) (K 0 )I (a 0 - A)= ∅ ;
(ix) (A+K)I (a 0 - K 0 )= ∅ .
şi notăm că ( ) ( ) 2
20
, , , .K K
eff A K eff A K K≠ ⊆
= I Mai mult,
( )0 ,a eff A K∈ numai dacă este punct critic (de echilibru) (Isac,
G.,1981,1983, Postolică, V., Scarelli, A.,Venzi, L., 2001,
Postolică, V., 2004) pentru sistemul dinamic generalizat
: 2AAΓ → definit prin ( ) ( ) , .a A a K a AΓ = − ∈I Astfel, ( ),eff A K
descrie momentele de echilibru pentru Γ care, în contextul
pieţii, exprimă echilibrul competitiv alcătuit din cuplul general
preţ-consum. Considerînd 1K ε= ( \ 0Kε ∈ ), obţinem că
( )0 1, ,a eff A K K∈ dacă şi numai dacă ( )0 .A a Kε− − = ∅I În
toate aceste cazuri, mulţimea ( )1, ,eff A K K se notează prin
129
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
( ),eff A Kε − şi este evident că ( ) ( ) \ 0
, , .K
eff A K eff A Kε
ε∈
= − I
Referitor la existenţa punctelor eficiente şi proprietăţi
semnificative ale mulţimii acestor puncte cităm : Bucur, I. and
Postolică, V. ( 1994), Isac, G. (1981,1983,1985,1994,1998),
Isac, G., Postolică, V. (1993), Isac, G. şi Bahya, A. O. (2002),
Loridan, P. (1984), Luc, D.T. (1989), Németh, A. B. (1989),
NG., K. F. and Zheng, X.Y. (2002), Postolică, V. (1993, 1995,
1996, 1999, 2002), Sonntag, Z. şi Zălinescu, C. (2000), Sterna-
Karwat, A. (1986), Truong, X. D. H. (1994) şi alţii.
Următoarea teoremă relevă o legătură imediată dintre eficienţa
aproximativă şi optimizarea tare.
Teorema 1. (Postolică V., 2002). Dacă notăm
( ) 1 1 1 1, , :S A K K a A A a K K= ∈ ⊆ + + şi ( )1, , ,S A K K ≠ ∅ atunci
( ) ( )1 1, , , , .S A K K eff A K K=
Observaţia 3. Teorema precedentă arată că ori de cîte ori
există măcar un punct de minim în sens tare, mulţimea tuturor
punctelor eficiente în sens minimal coincide cu mulţimea tuturor
acestor puncte de minim, rezultatul rămînînd valabil şi pentru
punctele de maxim.
Notăm, de asemenea, că este posibil ca ( )1, ,S A K K = ∅ şi
( )1, , .eff A K K A= . Astfel, de exemplu, dacă se consideră
130
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
( , 2)nX R n N n= ∈ ≥ înzestrat cu topologia de spaţiu H-local
convex separat generată de semi-normele :ip X R+→ ,
( )i ip x x= ,∀ ( )ix x X= ∈ , 1,i n= , nK R+= , 1 (0, ..., 0)K = şi
pentru fiecare număr real c se defineşte mulţimea
1
( ) :n
c i ii
A x X x c=
= ∈ =
∑ , atunci ( )1, ,cS A K K = ∅ , iar
( )1, , .c ceff A K K A=
Peste tot în cele ce urmează vom considera că X este un spaţiu
local convex separat Hausdorff avînd topologia generată de o
familie :P p Iα α= ∈ de seminorme, ordonat de un con convex
K , cu dualul *X . În acest context, următoarea teoremă conţine
un criteriu semnificativ pentru existenţa punctelor eficiente
aproximati, în particular pentru punctele uzuale eficiente ţinînd
cont că dualul conului K este definit prin
( ) * * * *: 0,K x X x x x K= ∈ ≥ ∀ ∈ , iar polarul este 0 *.K K= −
Conul K se numeşte supernormal (nuclear) (Isac, G., 1981)
dacă pentru orice seminormă p Pα ∈ există *f Xα ∈ astfel încît
( ) ( )p k f kα α≤ pentru orice k K∈ . Pentru fiecare funcţie *: P Kϕ → , conul convex
( ) ( ) ( ) : ,K x X p x p x p Pϕ α α αϕ= ∈ ≤ ∀ ∈ reprezintă conul
131
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
nuclear plin ataşat lui K, P şiϕ (Isac, G., Bahya, A. O., 2002) şi
K este supernormal dacă şi numai dacă existăϕ : P → K * 0
astfel încît K ⊆ K ϕ .
Theorem 2. (Postolică V., 2002). ( )0 1, ,a eff A K K∈ dacă
pentru fiercare p Pα ∈ şi ( )0,1η ∈ există x * în conul polar 0K al
conului K cu proprietatea că
( ) ( )*0 0 , .α η− ≤ − + ∀ ∈p a a x a a a A
Theorem 3. (Isac, G. and Postolică, V. (2005)).. Dacă 0∈ K1 şi
există *: \ 0P Kϕ → cu ,K Kϕ⊆ atunci
( ) ( )( ) *
1 1
\ 0
, , ,a A
P K
eff A K K S A a K K Kϕ
ϕ∈
∈ →
= − −IU
pentru orice submulţime nevidă 1K a conului K.
Corolarul 3.1. Pentru orice mulţime nevidă A dintr-un spaţiu
local convex, separat Hausdorff ordonat de un con convex
arbitrar K cu vîrful în origine şi dualul *K are loc coincidenţa
( ) ( )( ) *: \ 0
, ,a A
P K
eff A K S A a K Kϕ
ϕ∈
→
= −IU
Definiţia 2. O funcţie :f X R→ se numeşte
( )1K K+ - crescătoare dacă ( ) ( )1 2f x f x≥ pentru orice
1 2,x x X∈ cu 1 2 1 .x x K K∈ + +
132
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Este clar că orice funcţie reală, crescătoare definită pe un spaţiu
liniar arbitrar ordonat de un con convex oarecare K este K+K1-
crescătoare, oricare ar fi o submulţime nevidă K1 a conului K .
Aşa cum noţiunea de eficienţă este fundamentală în Optimizarea
Vectorială, frontiera Choquet constituie un concept de bază în
Teoria Axiomatică a Potenţialului şi Aplicaţii . Această remarcă
este utilizată aici pentru generalizarea rezultatului de
coincidenţă obţinut de Bucur I. şi Postolică V.(1994) dintre
mulţimea tuturor punctelor de minimum Pareto eficiente ale
unei mulţimi nevide arbitrare, compacte, dintr-un spaţiu local
convex separat Hausdorff ordonat şi frontiera Choquet a
aceleiaşi mulţimi în raport cu conul convex al funcţiilor reale,
crescătoare şi continue definite pe mulţimea respectivă, folosind
noul concept de eficienţă aproximativă.
Theorem 4. (Postolică V., 2005, 2007, 2008) Dacă A este o
mulţime nevidă şi compactă din X, iar
(i) K este un con convex arbitrar, închis, cu vîrful în origine în
X;
(ii) 1K este o submulţime nevidă oarecare a conului K astfel
încît 1K K+ este o mulţime închisă.
Atunci, ( )1, ,eff A K K coincide cu frontiera Choquet a mulţimii
A în raport cu conul convex al tuturor funcţiilor reale,
133
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
1K K+ - crescătoare şi continue pe A. În consecinţă, mulţimea
( )1, ,eff A K K înzestrată cu urma topologiei este un spaţiu Baire
şi dacă ( ), AA τ este un spaţiu metrizabil, atunci ( )1, ,eff A K K
este o submulţime Gδ în X.
Corolarul 4. 1.
(i)
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1, , : sup ' : ' ;eff A K K a A f a f a a A a K K for all f C A= ∈ = ∈ − − ∈I
(ii) ( ) ( ) ( ) 1 1, , , , : 0eff A K K and eff A K K a A s a∈ ≤I ( )s S∈ sunt
mulţimi compacte în raport cu topologia Choquet;
(iii) ( )1, ,eff A K K este o submulţime compactă în A.
Observaţia 4. Teorema precedentă reprezintă o legătură
importantă între Optimizarea Vectorială şi Teoria Potenţialului şi
nu poate fi obţinută folosind Teoria Axiomatică a Potenţialului.
Acest rezultat de coincidenţă oferă posibilităţi noi de
determinare şi investigare a proprietăţilor mulţimilor de puncte
eficiente respectiv ale frontierelor Choquet. În general,
determinarea frontierelor Choquet este dificilă, în timp ce
proprietăţile de densitate ale punctelor eficiente, în raport cu
diverse topologii, permit aproximări acceptabile ale acestora.
Totodată, frontierele Choquet oferă importante proprietăţi
mulţimilor de puncte eficiente.
134
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
1.7.5. Cea mai bună aproximare prin funcţii spline – o
posibilitate de optimizare a eficienţei în spaţiile H-local
convexe
Toate consideraţiile care urmează sunt extrase prin actualizare
din: Postolică, V. (1981), Isac, G.&Postolică, V. (1993),
Postolică, V. (1998), Postolică, V.&Scarelli, A.(2000), Postolică,
V., Scarelli, A.&Venzi, L. (2001), dovedind o Posibilitate
Concretă de Cea mai Bună Aproximare prin Funcţii
Spline şi o Soluţie Unică de Optimizare a Eficienţei în Spaţiile
H-Local Convexe.
Fie ( )IpPX ∈= αα :, un spaţiu H–local convex , adică, un
spaţiu local convex separat Hausdorff, cu fiecare semi-normă
îndeplinind următoarea identitate uzuală a paralelogramului :
( ) ( ) ( ) ( )[ ] Pypxpyxpyxp ∈∈∀+=−++ ααααα pX,yx, ,2222 2 .
Să considerăm M un subspaţiu liniar, eventual închis din X
pentru care există un spaţiu H-local convex ( )IqQY ∈= αα :, şi
un operator liniar, posibil continuu YXU →: astfel încât
( ) IXyUyUxyxXxM ∈∈∀=∈= ααα ,,,,: ,
unde ( ) ( )I ∈⋅⋅ αα, denotă semi-produsul scalar care generează
semi-norma Pp ∈α , iar α⋅⋅, este semi-produsul scalar ce
induce semi-norma I ∈∈ αα ,Qq . Spaţiul liniar real al funcţiilor
135
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
spline în raport cu operatorul U a fost definit pentru prima dată
de Postolică, V. (1981) ca fiind U-ortogonalul subspaţiului
M prin
IMUUxXxM ∈∈∀=∈=⊥ αζζα
,,,: 0 .
Facem precizarea că termenul englezesc « spline » nu are
corespondent în limba română, denumirea provenind din
mecanică, desemnând o bară subţire, cu greutăţi, care pot fi astfel
dispuse încât bara să treacă prin anumite puncte date, numărul
greutăţilor fiind cel mult egal cu numărul punctelor. În
matematică, noţiunea de funcţie spline are originea în civilizaţia
antică grecească când grecii foloseau liniile poligonale pentru
determinarea ariilor şi volumelor. Termenul de « funcţie spline »
a fost utilizat pentru prima dată de I . J . Schoenberg în anul 1946
pentru orice funcţie fragmentar polinomială pe subintervale
adiacente, funcţiile polnomiale componente racordându-se în
noduri împreună cu o suită de derivate consecutive. După cum
vom vedea din exemplele care urmează, construcţia noastră
permite, în particular, şi obţinerea unor astfel de funcţii.
Observăm mai întâi că ⊥M coincide cu ortogonalul natural
pentru M în sens H-local convex, adică,
MyyxXxM ∈∀=∈=⊥ ,,: 0α .
Fie x0 ∈ X şi G o submulţime nevidă a spaţiului X.
136
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Definiţia 1. (Isac G., Postolică V.,1993) g0 ∈ G este element de
cea mai bună aproximare simultană pentru x0 prin elementele
mulţimii G în raport cu familia P (pe scurt, g0 este o
P – c .m.b.a.s. pentru x0 ) dacă pa (x0 - g0) ≤ pa (x0 - g) pentru
orice g ∈ G şi pa ∈ P .Când orice element x ∈ X posedă cel puţin
o P – c.m.b.a.s. în G, mulţimea G se numeşte P – simultan
proximinală.
S g g G p x g p x g p P( ) ' : ( ' ) ( ), = ∈ − = − ∀ ∈α α α0 0
şi dacă f g R I, ∈ ,atunci precizăm că f g≤ ⇔ f g I( ) ( ),α α α≤ ∀ ∈
iar f g f g< ⇔ ≤ şi există α ∈ I astfel încât f g( ) ( ).α α<
Definiţia 2. g G0 ∈ se numeşte element de cea mai bună
aproximare vectorială pentru x0 prin G în raport cu familia de
seminorme P (g0 este o P - c. m. b. a. v. pentru x0) dacă este
îndeplinită una dintre următoarele proprietăţi echivalente:
(i) nu există g G∈ cu 0 0 0( ( )) ( ( ));p x g p x gα α− < −
(ii) pentru orice g G S g∈ \ ( ),0 există p Pα ∈ astfel că
p x g p x gα α( ) ( );0 0 0− < −
(iii) pentru fiecare g G∈ cu
p x g p x g p Pα α α( ) ( ),0 0 0− ≤ − ∀ ∈
rezultă că p x g p x g p Pα α α( ) ( ), ;0 0 0− ≤ − ∀ ∈
(iv) ∩ ∈ − ≤ − = ∅∈α α αA
g G S g p x g p x g \ ( ): ( ) ( ) ;0 0 0 0
(v) [ ( )) ( ( ))] ( ) ;p x G R p x g RA Iα α0 0 0 0− + − − ∩ − =+ +
137
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
(vi) 0 0 0( ( )) ( ( )) : ,IRp x g MIN p x g g Gα α
+− ∈ − ∈
unde S g g G p x g p x g p P( ) ' : ( ' ) ( ), = ∈ − = − ∀ ∈α α α0 0
şi dacă f g R I, ∈ , atunci precizăm că
f g≤ ⇔ f g I( ) ( ),α α α≤ ∀ ∈ , iar f g f g< ⇔ ≤ şi există α ∈ I
astfel încât f g( ) ( ).α α< Ori de câte ori fiecare element din x ∈ X
admite cel puţin o P – c.m.b.a.v. în G, mulţimea G se numeşte P - vectorial proximinală.
Observaţia 1. Orice P – c.m.b.a.s. a oricărui element x0 prin
elementele mulţimii G este şi o P – c.m.b.a.v. pentru x0 prin G,
reciproca nefiind, în general, adevărată după cum o dovedeşte şi
Exemplul 4 următor. În acord cu Teorema 1 din secţiunea
precedentă, pentru un element arbitrar fixat, mulţimea tuturor
P – c.m.b.a.v. coincide cu mulţimea alcătuită din P – c.m.b.a.s.
ori de câte ori aceasta din urmă este nevidă, fapt care poate fi
confirmat şi astfel: să notăm
S x G g G g( , ) :0 0 0= ∈ P- c. m. b. a. s. pentru x0 prin G
şi V x G g G g( , ) :0 1 1= ∈ P- c. m. b. a. v. pentru x0 prin G.
Incluziunea 0 0( , ) ( , )S x G V x G⊆ este evidentă. Dacă S x( 0,G) ≠ ∅
şi presupunem că există g V x G S x G0 0 0∗ ∈ ( , ) \ ( , ), atunci ar exista
p Pα ∈ şi g G∗ ∈ astfel încât p x g p x gα α( ) ( )0 0 0− < −∗ ∗ . Fie
138
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
g S x g1 0∈ ( , ) arbitrar. Deci, p x g p x gα α( ) ( )0 1 0 0− < − ∗ deoarece
dacă p x g p x gα α( ) ( )0 1 0 0− = − ∗ s-ar obţine
p x g p x g g Goα α( ) ( ), ,0 0− ≤ − ∀ ∈∗
adică p x g p x gα α( ) ( )0 0 0− ≤ −∗ ∗ , în contradicţie cu relaţia
derivată din apartenenţa g V x G S x G0 0 0∗ ∈ ( , ) \ ( , ),
Prin urmare, p x g p x gα α( ) ( )0 1 0 0− < − ∗ şi
p x g p x g p P pβ β β α( ) ( ), \ .0 1 0 0− ≤ − ∀ ∈∗
În consecinţă, ( ( )) ( ( ))p x g p x gα α0 1 0 0− < − ∗ care contrazice
plasarea elementului g0∗ în V(x0,G).
Să considerăm acum suma directă X’ = M ⊕ M⊥ şi pentru
fiecare x ∈ X’ notăm proiecţia pe spaţiul spline-urilor M⊥ prin sx.
În aceste condiţii, conform teoremei 4 obţinute de noi în anul
1981, rezultă că această funcţie spline este o cea mai bună
U-aproximare simultană pentru x în raport cu M⊥ deoarece
satisface condiţiile
pα (x - sx) ≤ pα(x - y), ∀ y∈ M⊥ , pα ∈ P .
Mai mult, în virtutea Teoremei 3 indicate în acelaşi context,
următoarele aserţiuni conţin proprietăţile imediate de aproximare
şi interpolare optimală pentru funcţiile spline introduse:
139
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
( )i q U s q U s X Mα ασ η η η σ( ( )) inf ( ( )): , ,− = − ∈ − ∈
∀ ∈ ∈⊥σ α, , ;s M q Q
(ii) q U s x q U x M q Qxα α αη η( ( )) inf ( ( )): , ;− = − ∈ ∀ ∈⊥
(iii) dacă x X∈ ' , atunci z X∈ are proprietăţile z x M− ∈
şi q Uz q Uy y x Mα α( ) inf ( ): = − ∈ pentru orice q Qα ∈ dacă şi
numai dacă z=sx.
O importantă conexiune dintre funcţiile spline introduse şi
optimizarea “tare” respectiv vectorială prin cea mai bună
aproximare este conţinută în
Teorema 1. (Postolică, V., 1998)
(i) pentru fiecare x ∈ X´, unicul element de cea mai bună
aproximare simultană respectiv vectorială în raport cu orice
familie de semi-norme hilbertiene care generează topologia de
spaţiu H-local convex pe X prin subspaţiul funcţiilor spline este
sx. Mai mult, dacă M şi M⊥ realizează o descompunere
ortogonală pentru X, adică X= M ⊕ M⊥ , atunci M⊥ este
simultan şi vectorial proximinal;
(ii) considerând IRK += şi ⊥∈ Ms , orice ⊥∈ Mσ este unica
soluţie a programului vectorial
( )( )( ) ( )M- and ∈⊕∈− ⊥ σηηηα MMsUqMINK :
140
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
(iii) funcţia spline (proiecţia pe ⊥M ) sx corespunzătoare
fiecărui element ⊥⊕∈ MMx este singura soluţie a
următoarelor probleme de optimizare vectorială:
( )( )( ) ( )⊥∈− MxUqMINK ηηα : ;
( )( ) ( )⊥∈− MyyxpMINK :α ;
( )( ) ( )MxyUqMIN yK ∈−:α .
Observaţia 2. În general, chiar dacă ( , : )X P p I= ∈α α este un
spaţiu H-local convex şi G o submulţime nevidă, convexă şi
compactă nu este garantată P-simultana proximinalitate a
mulţimii G aşa după cum se poate remarca şi din următorul
exemplu.
Exemplul 1. Fie X=RN înzestrat cu topologia H-local
convexă indusă de familia de seminorme P p n Nn= ∈ : definite
prin p x x x x Rn n nN( ) , ( ) .= ∀ = ∈ Atunci, în orice mulţime
G x x x x R x x x k Nk kN
k= ∈ + + + = ∈+( , , , ... , , , , ... ) : ... ( )0 1 2 0 10 0 1
nu există elemente care să realizeze o P - c. m. b. a. s. pentru
originea spaţiului, în vreme ce mulţimea tuturor elementelor de
P - cea mai bună aproximare vectorială prin Gk pentru origine
este Gk. Mai mult, orice element al mulţimii
G x X x i Ni i= ∈ ≥ ∀ ∈( ) : ,0 şi xii N
=∈∑ 1 este o P - c. m. b. a. v.
141
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
pentru origine, dar nu există elemente de P - cea mai bună
aproximare simultană ale originii în raport cu G.
În final, indicăm două exemple numerice ilustrative în sensul
că precizăm structura efectivă a funcţiilor spline, iar subspaţiile
M şi M⊥ corespunzătoare realizează o descompunere în sumă
directă pentru spaţiul general de lucru.Toate consideraţiile sunt
fundamentate pe rezultatele obţinute de noi în anul 1981, Isac,
G., Postolică, V.,(1993) şi Postolică, V., (1998) .
Exemplul 2. Fie
( ) ( ) ( ) ( ) 1 m1 2: local absolut continuã si f ,
m 1,
mmlocX f C R f L R−−= ∈ ∈
≥
înzestrat cu topologia de spaţiu H-local convex generată prin
semi-produsele scalare
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )∑ ∫−
= −
=⋅+−⋅−+⋅=1
0
m
h
k
k
mmhhhhk dttytxkykxkykxyx 0,1,2,...k ,,
,
iar ( )RLY loc2= echipat cu topologia de spaţiu H-local convex
indusă de
semi-produsele scalare
( ) ( )∫−
=⋅=k
kk
dttytxyx 0,1,2,...k ,, .
Considerând YXU →: operatorul de derivare cu ordinul m,
conchidem că
142
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
( ) ( ) Z 1-m0,h ∈=∀=∈= νν ,,: 0hxXxM ,
( ) ( ) ( ) ( ) =
=∈∀=∈= ∫−
⊥ 0,1,2,...k M,x k
k
mm dttxtsXsM ,: 0
( ) / , 1: este o functie polinomialã de grad cel mult 2m-1, Zs X s ν ν ν+= ∈ ∀ ∈
.
În lucrările precizate, am dovedit şi utilizat următoarea expresie
a oricărei funcţii spline S :
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 2 1 1
2 1 2 1 2 11 2 0
0 0 0
1 2 ... ...m m m
m m mh h h
h h hS x p x c x c x c x
− − −− − −
+ + += = =
= + − + − + + − +∑ ∑ ∑
unde p R,u ∈∀+
=+ ,2
uuu este o funcţie polinomială de grad
cel mult 2m-1 perfect determinată împreună cu coeficienţii
( )Z 1-m0,h ∈∀= νν ,hc prin condiţiile de interpolare. În
consecinţă, pentru orice funcţie Xf ∈ există o funcţie spline
unică ⊥∈ MS f care o interpolează, împreună cu derivatele
succesive, până la ordinul 1m − prin
( ) ( ) ( ) ( ) Z h ∈−=∀= ννν ,,, 10 mfS hhf şi o aproximează optimal în
acord cu Teorema 1. Astfel, subspaţiile M şi ⊥M oferă şi o
descompunere ortogonală pentru spaţiul ambiant X prin
reprezentarea ca sumă directă ⊥⊕= MMX .
Exemplul 3. Fie acum
143
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
( ) ( ) ( ) ( ) 1 m1 2: este local absolut continuã si fmmX f C R f L R−−= ∈ ∈
cu topologia
H-local convexă indusă de semi-produsele scalare
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )RdttytxyxyxR
mm 2LY Z, =∈+= ∫ νννν ,, având
topologia generată de produsul scalar ( ) ( )∫=R
dttytxyxν
, , iar
YXU →: operatorul uzual de derivare cu ordinul m. În aceste
condiţii, ( ) Z ∈∀=∈= νν ,: 0xXxM , iar
( ) ( ) ( ) ( )
∈∀=∈= ∫⊥
R
mm dttstxXsM Mx ,: 0
În mod similar primului exemplu, ⊥M coincide cu mulţimea
tuturor funcţiilor fragmentar polinomiale de ordin 2m (grad cel
mult 2m-1), cu nodurile de interpolare în punctele întregi ale
axei reale. Prin urmare, pentru fiecare funcţie Xf ∈ , există o
funcţie spline unică ⊥∈ MS f care realizează o interpolare
optimală pentru f pe mulţimea Z, adică, fS satisface relaţiile
( ) ( ) νν fS f = pentru orice Z∈ν şi este singura soluţie a fiecărei
probleme de optimizare indicate în Teorema 1. În plus,
XMM =⊕ ⊥ , deci subspaţiile M şi ⊥M realizează o
descompunere ortogonală pentru X, iar ⊥M se dovedeşte din nou
a fi simultan respectiv vectorial proximinal.
144
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Observaţia 3. Exemplele indicate arată utilitatea construcţiei
noastre abstracte în rezolvarea unor frecvente probleme de
aproximare şi interpolare optimală prin posibilitatea alegerii
convenabile a spaţiilor, semi-produselor scalare şi operatorilor.
Evident că, nu e întotdeauna posibil, ca pentru un subspaţiu liniar
oarecare, eventual închis, al unui spaţiu H-local convex arbitrar
să existe un spaţiu H-local convex Y şi un operator liniar
(continuu) U:X → Y care să funcţioneze în condiţiile iniţiale –
altfel rezolvarea oricărui program de eficienţă care se reduce la o
problemă de cea mai bună aproximare vectorială prin elementele
ortogonalului unui subspaţiu liniar (închis) M pentru
componentele sumei directe M ⊕ M⊥ ar fi echivalentă cu
soluţionarea unei o probleme de cea mai buna aproximare
simultană. În general, o asemenea posibilitate generală nu
există, deoarece chiar într-un spaţiu H-local convex mulţimea
tuturor elementelor de cea mai bună aproximare simultană
poate fi vidă în contrast cu mulţimea tuturor elementelor de cea
mai bună aproximare vectorială, aşa după cum o demonstrează
şi exemplul următor.
Exemplul 4. Fie X= RN înzestrat cu topologia generată de
familia de semi-norme hilbertiene P =pi :i ∈ N definite prin
pi (x)= |xi| (i ∈ N) pentru orice x= (xi) ∈ X, iar
145
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Gt,c = (xi) ∈ X: i=1, t şi i N∈∑ xi = c ( , 2t N t∈ ≥ , c R∈ ). X este un
spaţiu H-local convex, deci P - simultan strict convex ( Isac, G.,
Postolică, V., 1993). Orice element al fiecărei mulţimi Gt,c este o
P–c.m.b.a.v. pentru originea spaţiului în timp ce mulţimea
tuturor elementelor de P–c.m.b.a.s. este vidă.
1.7.6. Modalităţi de optimizare ale planificării producţiei
şi distribuţiei pe piaţa internă a produselor
Investigarea ştiinţifică a planificării producţiei şi distribuţiei
pe piaţa internă,incertă, a maşinilor agricole prin metode
matematice clasice se integrează în modelarea matematică
generală a proceselor economice care conţine : elaborarea
modelelor, în particular, a celor informaţional-decizionale
respectiv destinate alocării resurselor, tehnologiilor şi
producţiei specifice ; modele de estimare a pieţii prin evaluarea
dinamică a raporturilor cereri-preţuri şi
cereri-venituri ; studii asupra structurii ofertei firmei prin
modelarea indicatorilor ofertei de produse şi estimarea evoluţiei
ponderii pe piaţă a unor repere concurenţiale utilizând”
lanţurile” Markoviene; prognozarea vânzării produselor
146
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
folosind metoda vectorilor spectrali şi “ajustarea”
exponenţială; examinarea şi controlul situaţiilor concurenţiale
coerspunzătoare; tratarea ca procese, inclusiv decizionale,
multicriteriale.
Contribuţia noastră începe aici, prin abordarea planificării şi
distribuţiei pe piaţa internă întâi ca procese multicriteriale
organizate în reţele completată de specificarea eficienţei
derivate din optimizarea vectorială, deoarece toate problemele
economice actuale sunt reprezentabile matematic prin aplicaţii
obiectiv multifuncţii sau funcţii de mulţime, combinate cu
restricţii cel puţin vectoriale. Argumentăm acest demers şi prin
faptul că, soluţia concretă aplicată până acum este derivată din
Teoria Probabilităţilor, respectiv folosind Statistica Matematică,
fapt ce conferă o anumită stabilitate satisfăcătoare, pe baza
proiectelor şi realizărilor anterioare, urmărind un program de
fabricaţie flexibil, definit prin necesităţi, ciclicitatea producţiei,
existenţa sau non-existenţa factorilor externi, acordarea sau
non-acordarea de subvenţii, etc..
Actualele tehnici privind entitatea denumită” informaţie”,
împreună cu perspectiva iminentă sunt utilizate continuu pentru
conceperea şi ,îndeosebi, pentru controlul sistemelor
reprezentate prin”reţele” ce se constituie în
147
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
multi-sisteme. Fuziunarea parţială sau totală a unor firme ,
construcţia altora noi, specializarea şi ultraspecializarea
combinate cu mobilitatea pieţelor de desfacere au generat şi
impun organizarea în reţele de sisteme, pe domenii, cu
respectarea unor restricţii adecvate si proiectii directe în
managementul specific fiecărei componente. În particular,
planificarea, proiectarea, realizarea şi desfacerea produselor
reprezintă un sistem multiplu, cu caracteristici proprii, care se
integrează în ansamblul general al economiilor de piaţă. O astfel
de investigaţie o includem şi susţinem în cele ce urmează,
expunând modalităţi originale de concepere, previzionare şi
coordonare în reţele caracteristice fiecărui sistem ce defineşte
un produs, cu integrarea în sistemul multivoc, general, prin
maniere vectoriale ce susţin şi deciziile din sistemele
multicriteriale aferente, cu gestionarea permanentă impusă de
funcţionarea reală.
În general, producţia, diversificarea producţiei şi
desfacerea cu
feed-back-urile aferente, transdisciplinare, reflectă activitatea
economică mondială, iar managementul a evoluat în funcţie de
crizele economice specifice fiecărei ţări, mondializarea pieţei,
ameliorarea productivităţii şi flexibilitatea pe ansamblu.
Proiecţia acestor succinte argumente, indiferent de domeniu,
148
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
prin reţele de unităţi decizionale şi productive , cu o asemenea
eficienţă încât implică benefic şi reducerea ratei şomajului la
nivel naţional o prezentăm aici, insistând şi asupra problemelor
de verdict pe care le specificăm prin consideraţii matematice
asupra deciziilor în concepţia, planificarea şi distribuţia
produselor, cu implicaţii directe în managementul reţelelor de
sisteme.
Fiind dependentă primordial de timp, orice reţea de astfel
de sisteme are expresia S(t) = (F1(t),F2(t),…,Fk(t)), (k Є N*)
unde sunt îndeplinite următoarele condiţii:
a) fiecare Fi este autonom în baza unor interdependenţe
specifice;
b) optimul evoluţiei (în timp) fundamentată pe
interacţiunea dinamică mutuală (posibil
informatizată) este reprezentat de forma completă
indicată pentru Fi, cu respectarea unor restricţii
adecvate
Dacă notăm cu fij = fij(t) (i = k,1 ), j = s,0 )
caracteristicile fiecărui subsistem
Fi (i = k,1) ataşate respectiv componentelor 0) – s), atunci
Fi = Fi(t) = (fi0(t), fi1(t), … ,fi8(t)), i = k,1
149
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Fie Tip (i = k,1 ) intervalul de timp pe care subsistemul Fi
(i = k,1 ) de eficienţă funcţionează optim în sens vectorial
(Pareto, în variantele p), adică dacă, ~
0if , ~
1if ,…, ~f is sunt valori
de eficienţă optimă din punct de vedere economic pentru
componente, atunci inegalitatea
(fi0(t), fi1(t), … fi8(t)) < (~
0if (t), ~
1if (t), …, ~f is (t)), pentru t∈ Tip
(i = k,1 )
((a0, a1, … , a8) < (b0, b1, … , b8) ⇔ ai ≤ bi, si ,0=∀ cu măcar o
inegalitate strictă) este imposibilă.
Existenţa optimelor în sens vectorial este asigurată de
compactitatea mulţimii pe care se studiază în R8. Generalizând,
dacă Fi0 este o firmă (societate) completă cu optimul ~F i0= ~
F i0(t),
t∈ Ti0p, atunci ascensiunea fiecărei firme (societăţi) rămase Fi va
fi asigurată de existenţa unui interval de timp Ti ⊆ Ti0p în care,
Fi să dobândească toate componentele fi (i = s,0 ) după care să
se dezvolte până la stadiile ~F i= ~
F i(t), t∈ Tip, adică să existe ti ∈ T
pentru care itt→
lim Fi(t) = ~
),1(, kjF j = .
150
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Global, reţeaua funcţionează optim pentru k
iip TT
1=
=
mulţime suficient de amplă, aproximativ periodică, sau
k
iii tFtF
10 )()(
=
= , măcar pentru un ki ,10 = şi Tt ∈ .
Dacă notăm cu A mulţimea tuturor punctelor (F1(t), F2(t),
…,Fk(t)), considerăm K=Rk+ şi sistemul dinamic generalizat Γ0
definit prin Γ0(a)=A (a-K), atunci orice punct critic pentru Γ0 în
sensul că satisface una dintre următoarele condiţii echivalente:
(i) ( )0 0A a K a K− ⊆ +I ;
(ii) ( )0K a A K− ⊆ −I ;
(iii) ( ) ( )0 0A K a K a K+ − ⊆ +I ; (iv) ( )0K a A K K− − ⊆ −I .
reprezintă un moment de echilibru al reţelei. Studiul echilibrului
reţelei poate fi aprofundat considerând sisteme dinamice generalizate
de tipul )()()],int([)(1 KaAaKaAa −−=Γ−=Γ εε cu
0\kR+∈ε şi Aa ∈ sau )()( KVaAaV −−=Γ respectiv
)]int([)(0 KVaAaV −−=Γ pentru 0\kRV +⊆≠Φ . În
consecinţă, deciziile chiar şi în momentele „staţionare” (specifice
sistemelor alcătuite din „evenimente discrete” în care evoluţia
este marcată de momente determinate) pot fi realizate şi
parcurgând, sintetic, diagrame de următorul tip specifice
metodelor decizionale evaluative:
151
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Modelare (şi interpretare) # Metode analitice; Optimizare;matematică prin # Simulare;transdisciplinaritate # Modelare multi – criterială; Optimizare vectorială; Cazuri particulare (optimizarea
„tare” şi implicaţii imediate),
respectiv
152
Decizia examinată cu
intenţii (şi posibilităţi) de aplicare
Metode evaluativespecifice
Evaluarea performanţelor (obiectivelor)previzionate
Concluzii
Analiză; comparare cu performanţele (obiectivele) proiectate
Formularea problemelor,
obiective,restricţii
Metode generative actuale şi de perspectivă
Soluţiiopţionale şi
soluţii optimale
Obiecţiuni, lămuriri, alte
probleme formulate
Evaluarea elementelor
neformalizabile tehnicii specifice
existente şi deperspectivă
Timp şi cost minim
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Modelare (şi interpretare) # Programare matematică (discretă şi continuă);
matematică prin # Metode de optimizare combinaţională;transdisciplinaritate # Alte tehnici pentru metodele decizionale
generative.
Strategia expusă se poate generaliza, deci adapta la orice
“zonă“ cu cel puţin predispoziţii de ofertă a resurselor umane şi
materiale. Selecţia acestor zone (mondiale chiar) se face prin
compararea (vectorială) a valorilor funcţiilor obiectiv, moment
urmat de ierarhizarea după criteriile caracteristice specifice, cu
implicaţii multiple, semnificative.
Evident că organizarea oricărei astfel de reţele presupune
ierarhia produselor (diviziuni separate pentru « linii », fiecare
diviziune având propriul sistem de gestiune şi compartimente
adecvate cu mijloace productive, toate conectate şi la
departamentul (departamentele) de desfacere a reţelei), cuplată
în permanenţă cu structuri funcţionale care evită sau cel puţin
diminuează stopările chiar accidentale, astfel că expunerea pe
153
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
diverse pieţe funcţionează cu stabilitatea cel puţin garantată de
interconexiunile dintre subsistemele (firmele sau societăţile)
partenere.
Diferitele structuri de coordonare pot fi reprezentate şi
prin următoarele scheme:
Ierarhia Produselor
154
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Ierarhia Func ionalţ ăunde semnifică “gestionarii” produselor ,
“ gestionarii “ funcţionali, iar simbolurile rămase desemnează
“realizatorii “ atribuţiilor de diverse tipuri.
Referitor la impactul pe piaţă, caracteristicile
subsistemelor reţelei descrise împreună cu arhitectura organizării
– funcţionării proceselor interconectate şi managementul general
dovedesc viabilitatea acestor reţele atât în regimul pieţelor
centralizate, cât şi cel corespunzător pieţelor descentralizate,
respectiv al oricărei pieţe fuzzy. Astfel, în pieţele centralizate,
clienţii nu contactează fiecare furnizor, căci realizarea acestei
funcţii se face printr-un intermediar comun, ceea ce antrenează
centralizarea deciziei. Un exemplu în acest sens îl constituie
Bursa Valorilor, iar diagramatic reprezentarea este următoarea:
155
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
În contrast, pentru pieţele descentralizate, fiecare client
este în contact direct cu fiecare furnizor, fără intermediari, cu
reprezentarea schematică redată astfel:
Cazurile concrete sunt perfect compatibile cu orice astfel
de modele de piaţă. Arhitectura generală metodico – ştiinţifică
descrisă şi argumentată, bazată pe resursele naturale, factorii
economici adecvaţi (care, prin conexiunile concrete solicită, în
actuala şi de perspectivă conjunctură politică, economică, socială
156
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
românească, cheltuieli modice în raport cu beneficiul – în primul
rând pentru reducerea şomajului şi continuarea dezvoltării socio-
economice a zonelor româneşti cu acest specific), competenţa
profesională concomitentă a managerului şi a angajaţilor, în
contextul unor investiţii economice minime, cu surse naturale
încă neexplorate suficient ştiinţific şi prin intermediul
valorificării cel puţin eficiente a potenţialului global disponibil.
Proiecţia problematicii investigate prin contextul general
privind integrarea în programele multicriteriale sugerează
următoarea analiză originală propusă pentru
concretizare.Fiecare program multicriterial destinat unui studiu
de piaţă este un ansamblu alcătuit dintr-o mulţime
1 2 3, , , , pA a a a a= K ( )* N p ∈ care conţine proiecte,
alternative, repere, etc. reprezentate în acest caz particular de
previzionările privind: aprovizionarea, desfacerea, Cash-Flow-
ul , deci managementul specific fiecărui domeniu de activitate şi
indicatorii determinanţi (criteriile max : 1,im m i p= = respectiv prin ( )m1,j k j = coeficientul de
importanţă acordat indicatorului ( )mi,j g j = , rezultă că orice
punct de extrem al funcţiei F date prin ∑=
⋅=m
jjj gkF
1 defineşte
157
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
un proiect optimal. Astfel, dacă secvenţa de proiecte investigate
vizează costurile de producţie, se va urmări atingerea minimului,
iar în cazul proiectelor destinate vânzărilor, realizarea
maximului, etc..
O altă modalitate de studiu pe care o propunem constă în
transformarea programului global într- una dintre următoarele
probleme de Optimizare Vectorială, echivalente acestuia, în
spaţiul Euclidian Rm ordonat prin conul uzual, convex şi
supernormal, K= 0: ≥∈=+ tRtR mm respectiv de - K, în
funcţie de soluţiile dorite reprezentate prin punctele eficiente în
sens minimal sau maximal :
(P0) eff(A, K), (P1) eff(A, - K), (P2 ) eff(A,K,K1),
(P3) eff(A,-K,K2)
unde
A= ( ( )) : 1, , 1,mj j ik g a R i p j m∈ = = considerând 0jk = dacă
( )j ig a nu există, K1 este o submulţime nevidă pentru K, iar K2
denotă o submulţime netrivială a conului K, ultimele probleme
fiind considerate prin „perturbarea” primelor două pentru a
obţine eficienţa aproximativă spre îmbunătăţirea soluţiilor
acestora. Urmând concluzia Teoremei 1 din Secţiunea 6.7.4,
dacă există soluţii în sens simultan (“tare”), atunci nu mai
există alte soluţii vectoriale. În caz contrar, soluţiile “ideale”
158
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
se selectează din cele eficiente folosind restricţii eliminatorii
(ponderile de indiferenţă respectiv de preferinţă ale
indicatorilor) adecvate. Concret, la problemele (P2) şi (P3) se
ajunge prin extinderea intervalelor de variaţie ale criteriilor
(Postolică, V., Scarelli, A., 2000) astfel:
Varianta 1.
1.1.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
*
*
;
.j s j s j j s j s
j s j tj t j t j j t j t
g a g a k g a g ag a g a
g a g a k g a g a
→ + ⋅ => ⇒ → − ⋅ =
1.2.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
*
*
;
.j s j s j j s j s
j s j tj t j t j j t j t
g a g a k g a g ag a g a
g a g a k g a g a
→ − ⋅ =< ⇒ → + ⋅ =
1.3. ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
*
*
;
.j s j s
j s j tj t j t
g a g ag a g a
g a g a
== ⇒ =
Varianta 2.
Fie jq coeficientul care exprimă “ gradul de indiferenţă”
, jp “ indicele de preferinţă”, iar jv “nivelul de
obstrucţionare” pentru criteriul , j=1,m .jg “Dilatarea”
intervalelor de parcurs anunţată se efectuează în acord cu
159
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
următoarele implicaţii care se pot derula, dacă momentul real
permite, urmând “toleranţele” ( jq,
jp , jv) incluse:
2.1. ( ) ( ) (min ) ;j s j t j j s tg a g a q q a a− < ⇒ ≡
2.2.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )j
;(max p )
.
j s j s j j j j sj s j t j
j t j t j j j j t
g a g a k p q g ag a g a p
g a g a k p q g a
→ + − ⋅− ≤ ⇒ → − − ⋅
2.3.
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
;
,
j s j s j j j sj j s j t j
j t j t j j j t
g a g a p g av g a g a p
g a g a p g a
→ + − ⋅≥ − > ⇒ → − − ⋅
v
v
urmată fiind de identificarea soluţiilor problemelor de
optimizare vectorială corespunzătoare, iar selecţia celor “mai
bune soluţii”, acceptabile, se efectuează folosind
“instrumentele” de blocaj , 1,jv j m= .
Propuneri pentru utilizarea funcţiilor spline sunt expuse în
continuare, fundamentate fiind pe rezultatele obţinute şi
sintetizate recent de Oja, P., 2006 asupra funcţiilor spline
raţionale şi funcţiile spline fragmentar polinomiale, cu o
infinitate numărabilă de noduri şi nivele de regularitate
convenabile, introduse de Postolică, V.,1981.
α ) Interpolare raţională elementară
160
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Să presupunem că pentru un fenomen, proces, etc. absolut
arbitrar f
se cunoaşte comportarea în fiecare punct al unei suite oarecare *
0 .... ,na x x b n N= < < = ∈ plasate într-un interval temporal [ ],a b
. Aşadar, f [ ]: ,a b R→ şi ( ) , 0, .i if x f i n= ∀ = Determinarea
efectivă a acestei funcţii sub restricţiile : ( ) i i
i i
a b xf xc d x
+=+ pe
[ ]1 ,i iξ ξ− , 1,i n= , unde
0 0 1 1 2 1 1 1... ...i i i n n n na x x x x x x bξ ξ ξ ξ ξ ξ− − += = < < < < < < < < < ≤ = =
, [ ]10 , nf C ξ ξ∈ şi '
0( ) 0f ξ > , '1( ) 0nf ξ + > sau 0 0( )f fξ < şi
( )n nf fξ > se realizează în acord cu
Teorema 5. (Oja, P.,1999, 2002)
Pentru orice alegere a punctelor ( 0, 1)i i nξ = + şi orice
secvenţă monotonă 0,( )i i nf= , există o funcţie unică f satisfăcând
condiţiile precedente.
Practic, soluţia se obţine prin iterare uzuală, metoda
Gauss-Seidel sau procedeul clasic al lui Newton şi se poate
aplica pentru planificarea fluxului de trezorerie
(Cash-Flow-ului).
β ) Histopolare raţională
Theorem 6. (Oja, P.,2005, 2006)
161
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Dacă 0 1 ... na x x x b= < < < = , 1 20 ... 0nz z zα β< < < < < < > ,
atunci există o funcţie unică [ ]: ,g a b R→ cu proprietăţile :
[ ]1 ,g C a b∈ ; 1
1
( )( )1 ( )
i i i
i i
s t x xg xv x x
−
−
+ −=+ − şi 11 ( ) 0i iv x x −+ − > pentru
orice [ ]1,i ix x x−∈ , iar 1
1( ) ( ), 1,i
i
x
i i ixg x dx z x x i n
−−= − ∀ =∫ .
Acest rezultat poate fi folosit şi pentru întocmirea, prelucrarea
şi interpretarea diagramelor respectiv a histogramelor care conţin
evoluţia cifrei de afaceri, cu proiecţii pe vânzări/ tipuri de
produse.
γ ) Interpolare optimală prin spline-urile fragmentar
polinomiale descrise în secţiunea anterioară.
Concluzii succinte
162
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Am sugerat procedeele ) )α γ− pentru susţinerea
studiului întreprins de noi considerându-le
adecvate, flexibile şi compatibile cu orice model
perfectibil. Construcţia abstractă precedentă a
funcţiilor spline fragmentar polinomiale cu grade
de regularitate rezonabile şi exemplele concrete
anterioare relevă o altă nouă posibilitate de
analiză şi decizie nu numai privind problematica
iniţială, ci pentru orice chestiune decizională, ori
de câte ori este realizabilă,cel puţin o aproximare
dacă nu este posibilă o cunoaştere exactă, măcar
parţială, a comportării obiectivelor, criteriilor şi
performanţelor, cu scopul evaluării prezente şi al
controlului minimal ulterior, inclusiv pentru
estimarea duratei de viaţă a produselor. În final,
precizăm câteva concluzii preliminare, imediate
asupra consideraţiilor efectuate. Analiza generală
a eficienţei şi proiecţia matematică sunt originale.
Procedeele expuse de investigare ştiinţifică a
planificării producţiei şi distribuţiei pe piaţa
internă a produselor reprezentate de : abordarea ca
procese multicriteriale, organizate în reţele ,
utilizarea eficienţei de tip Pareto prin optimizare
163
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
vectorială proprie şi folosirea funcţiilor spline
raţionale respectiv cu o mulţime cel mult
numărabilă de noduri interpolatorii, optimale,
descrise efectiv sunt complet noi, oferind
posibilitatea unor prelucrări şi interpretări
numerice care se impun a fi dezvoltate ulterior.
Pentru prognoze veritabile sunt necesare
examinări prealabile atente, cu date reale.
BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ
1. Alfsen, E. M. - Compact Convex Sets and Boundary
Integrals. Springer - Verlag, Berlin, Heidelberg, New York,
1971.
2. Altomare, F. - Limit semigroups of Bernstein-Schnable
Operators Associated with Positive Projections. Ann. Sc.
Norm. Sup. Pisa, Cl. Sci. IV, Vol. 16, 1983, p. 259-279.
3. Altomare, F., Campiti, M. - Korovkin – Type Approximation
Theory and its Applications. W. de Gruyter, Berlin, New
York, 1994.
4. Altomare, F., Raşa, I. - Towards a Characterization of a
Class of Differential Operators Associated with Positive
Projections. Atti. Sem. Mat. Fis. Univ. Modena Suppl. Vol.
46, 1998, p. 3-38.
164
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
5. Altomare, F., Raşa, I. - Feller Semigroups, Bernstein type
Operators and Generalized Convexity associated with
Positive Projections. Proc. IDOMAT, Vol. 132, Birkhäuser
Verlag, Basel, 1999, p. 9-32.
6. Apetrii, M.A.- Contribuţii la Studiul Monotoniei şi
Convexităţii Generalizate.Teză de Doctorat,
Univ . “Al.I.Cuza “ Iaşi, Facultatea de Matematică, 14
Decembrie, 2007.
7. Arrow, K.J. (1951) – Social Choise and Individual
Values.The second Edition. Yale University Press, 1963.
8. Arrow, K.J., Hahn, F.M. – General Competitive Analisys.
Holden Day, New York, 1971.
9. Aubin, J.P. – Optima and Equilibria. An Introduction to
Nonlinear Analysis. Springer – Verlag Berlin Heidelberg,
1993.
10. Barbu, V., Precupanu, T.- Convexity and Optimization in
Banach Spaces. D. Reidel Publishing Company, 1986.
11. Benson, H.P. – The Vector Maximization Problem: Proper
Efficiency and Stability. SIAM J. Appl. Math. 32, 1977,
p. 64-72.
12. Benson, H.P. – An Improved Definition of Proper Efficiency
for Vector Minimization with respect to Cones. J. Math.
Anal. Appl. 79, 1979, p. 232-241.
165
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
13. Benson, H.P. – Efficiency and Proper Efficiency for Vector
Minimization with respect to Cones. J. Math. Anal. Appl.
93, 1983, p. 273-289.
14. Boboc, N., Bucur, Gh. - Convex Cones of Continuous
Functions on Compact Spaces. Publishing House of
Romanian Academy, Bucharest, Romania, 1976.
15. Borwein, J.M. – Proper Efficient Points for Maximization
with Respect to Cones. SIAM J. Control Optim, 15, 1977,
p. 57 – 63.
16. Borwein, J.M. – On the Existence of Pareto Efficient Points.
Math Oper. Res. 8, no. 1, 1983, p. 64 - 73.
17. Brundtland Commission (World Commission on
Environment and Development) – Our Common Future.
Oxford University Press, Oxford, 1987.
18. Bucur, I., Postolică, V. - A Coincidence Result Between Sets
of Efficient Points and Choquet Boundaries in Separated
Locally Convex Spaces. Research Report at he 4th Workshop
of the German Working Group on Decision Theory, Hotel
Talblick, Holzhau, Germany, March 14-18, 1994.
Optimization, Vol. 36, 1996, p. 231 - 234.
19. Carbone, A., Isac, G. – The Generalized Order
Complementarity Problem : Applications to Economics and
An Existence Result. Nonlinear Studies, Vol.5, No.2, 1998,
166
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
p.139 – 151.
20. Cardinali, T., Papalini, F. - Fixed Point Theorems for
Multifunctions in Topological Vector Spaces. Journal of
Mathematical Analysis and Applications , Vol. 186, 1994,
p. 769-777.
21. Choquet, G. - Ensembles et Cônes Convexes Faiblement
Complets. C. R. Acad. Sci. Paris, VoL 254, 1962, p. 2123-
2125.
22. Choquet, G. - Theory of Capacities. Ann. Inst. Fourier, Vol.
5, 1955.
23. Choquet, G., Deny, J.- Ensembles Semi-reticulés et
Ensembles Reticulés des Fonctions Continues, Journ. Math.
Pures Appl., Vol. 36, 1957, p.179-189.
24. Choquet, G., Meyer, P. A.- Existence et Unicité des
Représentations dans les Convexes Compacts Quelconques.
Ann. Inst. Fourier, Vol.13, p. 139 - 154, 1963.
25. Costa, L., Oliveira, P. – Dimension Reduction in
Multiobjective Optimization. Research Report at The 6th
International Congress on Industrial Mathematics and Applied
Mathematics, July 16 - 20, 2007, Zürich, Switzerland.
26. Crouzeix, J. P. – Contribution à L’Étude des Fonctions
Quasi-Convexes. Thèse de Docteur en Sciences,
Univ. Clermont - Ferrand II, 1977.
167
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
27. Dauer, J. P., Gallagher, R. J. – Positive Proper Efficient
Points and Related Cone Results in Vector Optimization Theory.
SIAM J. Control Optim. 28, no 1, 1990, p. 158-172.
28. Debreu, G. – Theory of Value. Wiley, New York, 1959.
29. Debreu, G., Koopmans, T. C. – Additively Decomposed
Functions. Math Programming, 24, 1982, p. 1 – 38.
30. Dominiak Cezary – Multicriteria Decision Aid under
Uncertainty.In: Multiple Criteria Decision Making’05
(Ed.Tadeusz Trzaskalik),Publisher of The Karol Adamiecki
University of Economics in Katowice,2006, p.63-81.
31. Ehrgott, Matthias – Multicriteria Optimization. Springer
Berlin - Heidelberg, 2005.
32. Fishburn, P. C. – Foundations of Risk Management Science
I.Risk orProbable Loss. Management Science, 30, 1984,
p. 396 – 406.
33. Gass Saul, I., Harris Carl, M. – Enciclopedia of Operations
Research and Management Science. Centennial Edition. Kluwer
Academic Publishers, Boston, Dordrecht, London, 2001.
34. Grecksch, W., Heyde, F., Isac, G., Tammer, Chr. – A
Characterization of Approximate Solutions of Multiobjective
Stochastic Optimal Control Problems. Optimization, Vol. 52,
No.2, 2003, p. 153 – 170.
168
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
35.Hansson, S.O. – Welfare, Justice and Pareto Efficiency.
Ethical Theory and Moral Practise no. 7, 2004.
36.Hartley, R. – On Cone - Efficiency, Cone Convexity and Cone
- Compactness. SIAM J. Appl. Math. 34, no. 2, 1978,
p. 211-222.
37. Hăvârneanu, T., Postolică, V. - Distributions for Set
Functions. An. Şt. Univ. “Al. I. Cuza” Vol. 28, 1982, p. 19-24,
Iaşi, Romania.
38. Hening, M. I. – Proper Efficiency with Respect to Cones. J.
Optim. Theory. Appl. 36, 1982, p. 387-407.
39. Heyne, Paul – Efficiency. Research Report, University of
Washington, 2000.
40. Hyders, D. H., Isac, G., Rassias, T. M. – Topics in Nonlinear
Analysis and Applications. World Scientific Publishing Co, Pte.
Ltd., 1997.
41. Isac, G. - Points Critiques des Systémes Dinamiques. Cônes
Nucléaires et Optimum de Pareto. Research Report, Royal
Military College of St. Jean, Québec, Canada, 1981.
42. Isac, G. - Sur L’Existence de L’Optimum de Pareto. Riv.
Mat. Univ. Parma, Vol.4( 9), 1983, p. 303-325.
43. Isac, G. - Supernormal Cones and Absolute Summability.
Libertas Mathematica, Vol. 5, 1985, p.17-32.
169
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
44. Isac, G., Postolică, V. - The Best Approximation and
Optimization in Locally Convex Spaces. Verlag Peter Lang
GmbH, Frankfurt am Main, Germany, 1993.
45. Isac, G., Goeleven, D. - The Implicit General Order
Complementarity Problem, Models and Iterative Methods.
Annals of Operations Research 44, 1993, p. 63 - 92.
46. Isac, G. - Pareto Optimization in Infinite Dimensional
Spaces: the Importance of Nuclear Cones. Journal of
Mathematical Analysis and Applications, Vol.182 (2), 1994,
p. 393 - 404.
47. Isac, G., Kostreva, M. M., Wiecek, M. M. – Multiple-
Objective Approximation of Feasible but Unsolvable Linear
Complementarity Problem.Journal of Optimization Theory and
Applications, Vol. 86, No.2, 1995, p.389 - 405.
48. Isac, G., Kostreva, M. – The Implicit Generalized Order
Complementarity Problem and Leontief’s Input-Output Model.
Applicationes Mathematicae, 24, 2, 1996, p. 113 - 125.
49. Isac, G. - On Pareto Efficiency. A General Constructive
Existence Principle. Research Report (16 pp.), Department of
Mathematics and Computer Science, Royal Military College of
Canada, 1998.
170
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
50. Isac, G., Bahya, A., O. - Full Nuclear Cones Associated to a
Normal Cone. Application to Pareto Efficiency. Applied
Mathematics Letters, Vol.15, 2002, p. 633 - 639.
51. Isac, G., Bulavsky, V. A., Kalashnikov, V. V. -
Complementarity, Equilibrium, Efficiency and Economics.
Kluwer Academic Publishers, 2002.
52. Isac, G., Postolică, V. - Full Nuclear Cones and a Relation
Between Strong Optimization and Pareto Efficiency. Journal of
Global Optimization 32, 2005, p. 507 - 516.
53. Jablonsky, J. – A Slack Based Model for Measuring Super-
Efficiency in Data Envelopment Analysis. In: Multiple Criteria
Decision Making’05 (Ed.Tadeusz Trzaskalik), Publisher of The
Karol Adamiecki University of Economics in Katowice, 2006,
p.101 - 112.
54. Knight, F. B. - Essentials of Brownian Motion and Diffusion.
Math. Surveys Monogr. Vol.18, AMS, Providence, 1981.
55. Koopmans, T. C. – Analysis of Production as an Efficient
Combination of Activities. In: Activity Analysis of Production
and Allocation (Ed. T.C. Koopmans) Cowles Commission
Monograph No.13, New York, Wiley, 1951, p. 33 - 97.
56. Korhonen, P., Luptáčik, M. – Eco-Efficiency Analysis of
Power Plants : An Extension of Data Envelopment Analysis.
European Journal of Operational Research, 154, 2004,
171
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
p. 437 - 446.
57. Korhonen, P. - Interactive Methods. Multiple Criteria
Decision Analysis. State of the Art Surveys. ISORMS, Vol. 78,
2005.
58. Kosmidou, K., Zopounidis, C. – Managing Interest Rate Risk
in Commercial Banks Via Multicriteria Analysis. Research Paper
presented at The 61st Meeting of The European Working Group
“Multiple Criteria Decision Aiding”, University of Luxembourg,
March 10 -11, 2005.
59. Kramar, E. - Locally Convex Topological Vector Spaces with
Hilbertian Seminorms. Rev. Roum. Math Pures et Appl., Tome
XXVI, no. 1, 1981, p. 55 - 62, Bucharest, Romania.
60. Krasnoselski, M. A.- Positive Solutions of Operator
Equations.Groningen, Noordhoff, 1964.
61. Kuhn, H. W., Tucker, A. W. – Nonlinear Programming.
Proceedings of the Second Berkely Sympsium on Mathematical
Statistics and Probability (Neyman J. Ed.), University of
California Press, Berkely, 1950, p. 481 - 492.
62. Loridan, P. - ε -Solutions of Vector Minimization Problems.
J. Optim. Theory Appl., Vol. 43(2), 1984, p. 265 - 276.
63. Luc, D. T. - Theory of Vector Optimization. Springer-Verlag,
1989.
172
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
64. Luptáčik , M., Böhm, B. – Measuring Eco-Efficiency an a
Leontief Input-Output Model. In: Multiple Criteria Decision
Making’05 (Ed.Tadeusz Trzaskalik), Publisher of The Karol
Adamiecki University of Economics in Katowice, 2006,
p. 121-135.
65. Marian, G., Munteanu, M.T., Postolică, V. - New
Optimization Methods Applied in the Production Planning and
the Distribution on National Markets of Agricultural Machines.
Research Paper presented at The Romanian National
Symposium”Complete Solutions for an Efficient Agriculture”,
on the occasion of the 85thAnniversary of S.C.Mecanica Ceahlău
S.A., Piatra Neamţ, România, June 29-July 1, 2006. Published in
the volume”Modern Techniques inthe Management,Conception
and the Achievement of the Machines and the Equipments”,
p. 5-34, Bren Publishing House, Bucharest,2006 and in Studii şi
Cercetări Ştiinţifice, Seria Matematică, Bacău,Romania,
nr.16/2006, p. 209-238.
66. Miettinen, K. – Interactive Nonlinear Muliobjective
Procedures. Multiple Criteria Optimization: state of the art
annotated bibliographic surveys. Internat. Ser. In Operations
Research and Management Science, ISORMS, Vol.52, 2002.
67. Mokobodzki, G. - Principe de Balayage, Principe de
Domination. Seminaire Choquet 1, 1962.
173
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
68. Nachbin, L. - Topology and Order. New York, Van
Nostrand, 1965.
69. Németh, A. B. - Between Pareto efficiency and Pareto ε −
efficiency. Optimization, Vol. 10 (5) , 1989, p. 615 - 637.
70. Ng., K. F. and Zheng, X. Y. - Existence of Efficient Points
in Vector Optimization and Generalized Bishop-Phelps Theorem.
Journal of Optimization Theory and Applications, Vol. 115,
2002, p. 29 - 47.
71. Nyberg, L. et all – Förslag till Transportmål för Stockholms
Län (Suggested Transport Goals for Stockholms County).
Stockholm: Länsstyrelsen i Stockholms Län, 2001.
72. Pallaschke, D., Rolewicz, S. - Foundations of Mathematical
Optimization.Convex Analysis without Linearity. Kluwer
Academic Publishers, 1997.
73. Pareto, Vilfredo – Manuel d’Économie Politique. Girard et
Brière, 1909.
74. Pedersen, M.- Functional Analysis in Applied Mathematics
and Engineering. CRC Press LLC, 2000.
75. Peressini, A. L. - Ordered Topological Vector Spaces.
Harper 8 Row, New York, 1967.
76. Petkus,T., Filatovas, E. – Parallel Solutions Strategies to
Solve Multiple Criteria Optimization Problems. To appear in
Foundations of Computing and Decision Sciences, Institute of
174
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Computing Science, Poznan University of Technology, Poland,
2007.
77. Pietch, A. - Nuclear Locally Convex Spaces.
Springer-Verlag, 1972.
78. Postolică, V. - Spline Functions in H-Locally Convex Spaces.
An. Şt. Univ. “Al. I. Cuza” Vol. 27, 1981, p. 333 - 338, Iaşi,
Romania.
79. Postolică, V. - New Existence Results for Efficient Points in
Locally Convex Spaces Ordered by Supernormal Cones. Journal
of Global Optimization, Vol. 3, 1993, p. 233 - 242, Kluwer
Academic Publishers, The Netherlands.
80. Postolică, V. - Properties of Pareto Sets in Locally Convex
Spaces. Optimization, Vol. 34, 1995, p. 223 - 229.
81. Postolică, V. - Properties of Efficient Points Sets and Related
Topics. Research Report at The Second International Conference
on Multi–Objective Programming and Goal Programming,
Torremolinos, Spain, May 16 - 18, 1996. Published in Advances
in Multiple Objective and Goal Programming, Lecture Notes in
Economics and Mathematical Systems, Vol.455 edited by Rafael
Caballero, Francisco Ruiz, Ralph E. Steuer, 1997, p. 201 - 209.
82. Postolică, V. - A Method which Generates Splines in
H-Locally Convex Spaces and Connections with Vectorial
Optimization. Positivity, Vol. 2, No. 4, 1998, p. 369 - 377.
175
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
83. Postolică, V. - Conditions for Pareto Efficiency in Locally
Convex Spaces. Mathematical Reports of Romanian Academy 2,
Vol. 1(51), April-June, 1999, p. 257 - 269.
84. Postolică, V., Scarelli, A. - Some Connections between Best
Approximation, Vectorial Optimization and Multicriterial
Analysis. Nonlinear Analysis Forum, Vol. 5, 2000, p. 111 - 123.
85. Postolică, V. Scarelli, A., Venzi, L. - On the Equilibrium of a
Multidimensional Ecosystem. Nonlinear Analysis Forum 6(2),
2001, p. 321 - 335.
86. Postolică, V. - Pareto Efficiency, Choquet Boundaries and
Operators in Hausdorff Locally Convex Spaces. Nonlinear
Analysis Forum, Vol. 7(2), December, 2002, p. 215 – 230.
87. Postolică, V. – A Class of Generalized Dynamical Systems in
Connection with Pareto Efficiency and Related Topics. Research
Paper submited to the International Conference “Complex
Systems, Intelligence and Modern Technological Applications”,
Cherbourg, France, September 19 - 22, 2004. Published in the
corresponding Electronics Proceeding Volume.
88. Postolică, V. – Eficienţă prin Matematică Aplicată: Analiză
matematică. Aplicaţii multiple. Eficienţă şi optimizare. Editura
Matrix Rom, Bucureşti, 2007.
176
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
89. Postolică, V. – Choquet Boundaries and Efficiency.
Computers and Mathematics with Applications (2007), doi:
10.1016/j.camwa.2007.03.022.
90. Postolică, V. – A Coincidence Result between the Sets of
Approximate Efficient Points and Choquet Boundaries in
Separated Locally Convex Spaces. Research Paper presented at
The 6th Congress of Romanian Mathematicians, June 28 - July 4,
2007. To appear in the corresponding Proceedings of the
Congress, the Publishing House of the Romanian Academy.
91. Postolică, V. – Efficiency and Optimization. Research Report
presented at The 6th International Congress on Industrial and
Applied Mathematics, Zürich, Switzerland, 16 – 20 July, 2007.
Accepted for publication in the corresponding Proceedings
Volume.
92. Postolică, V. – Choquet Boundaries and Efficiency.
Computers and Mathematics with Applications 55, 2008,
p. 381 - 391.
93. Postolică, V. – Baze ale Matematicii actualizate prin
Eficienţă. Matrix Rom, Bucureşti, 2008.
94. Precupanu, T. - Espaces Linéaires à Semi-Normes
Hilbertiennes. An. Şt. Univ. “Al. I. Cuza”, Vol. 15, 1969,
p. 83 - 93, Iaşi, Romania.
177
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
95. Precupanu, T. - Scalar Minimax Properties in Vectorial
Optimization. International Series of Numerical Mathematics,
Birkhäuser Verlag Basel, Vol. 107, 1992, p. 299 - 306.
96. Precupanu, T. – Analiză Funcţională pe Spaţii Liniare
Normate. Editura Universităţii “ Al .I.Cuza” Iaşi, 2005.
97. Raşa, I. - Feller Semigroups, Elliptic Operators and
Altomare Projections. Research Report at the 4th International
Conference on Functional Analysis and Approximation Theory.
98. Rockafellar, R.Tyrrell – Analiză Convexă. Theta, Bucureşti,
2002.
99. Rosencrantz, Holger – Transport Policy Goals, Welfare
Concerns, and Rationality. Research Report presented at The
62-nd Meeting of The European Working Group “Multiple
Criteria Decision Aiding”, Borlänge, Sweden,
22 - 24, September, 2005.
100. Rotmans, Jan – New Trends in Modelling: Complexity,
Sustainable Development, Ethics. The International Centre for
Integrative Studies (ICIS). Plenary Talk at the 12th Mini Euro
Conference organized by the Euro Working Groups Decision
Support Systems (DSS), Human Centered Processes (HCP) and
Prometheus (Ethics), Vrije University of Brussels, Belgium,
April 2 - 5, 2002.
178
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
101. Sonntag, Z., Zălinescu, C. - Comparison of Existence
Results for Efficient Points. Journal of Optimization Theory and
Applications, Vol. 105, 2000, p. 161 - 188.
102. Sterna - Karwat, A. - On the Existence of Cone Maximal
Points in Real Topological Linear Spaces. Israel Journal of
Mathematics, Vol. 54(1), 1986, p. 33 - 41.
103. Stewart, D. J. – Uncertainties in MCDA. In: Multi Criteria
Decision Analysis (Ed. P. Greco). Springer-Verlag, 2004.
104. Taylor, A. D. – Mathematics and Politics. Strategy, Voting,
Power and Proof. Springer – Verlag New York, Inc., 1995.
105. Truong, X. D. H. - A Note on a Class of Cones Ensuring
the Existence of Efficient Points in Bounded Complete Sets.
Optimization, Vol.31, 1994, p.141 - 152.
106. Truong, X. D. H. - On the Existence of Efficient Points in
Locally Convex Spaces. Journal of Global Optimization, Vol. 4,
1994, p. 265-278.
107. Wiecek, M. W., Blouin, V. Y., Fadel, G. M., Engau, A.,
Hunt, B. J., Singh, V. – Multi-Scenario Multi-Objective
Optimization with Applications in Engineering Design.
MOPGP’06 Post-Conference, 2006.
108. www.wikipedia.org .
109.Yu, P. L. – Cone Convexity, Cone Extreme Points and
Nondominated Solutions in Decision Problems with
179
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Multiobjectives. Journal of Optimization Theory and
Applications, 14(3), 1974, p. 319 - 377.
110. Zhang Cong – Jun. – Generalized bi – quasi - variational
inequalities and generalized quasi - variational inequalities.
Acta Analysis Functionalis Applicata, vol.7, no.2, June, 2005,
p. 116-122 .
111. Zălinescu, C. – Convex Analysis in General Vector Spaces.
World Scientific Publishing House, Singapore, 200é
112. Zimmermann, H. – An Application - Oriented View of
Modeling Uncertainty. European Journal of Operation Research,
122, 2000, p. 190 - 198.
1.8. Alte aplicaţii
1.8.1. Asupra echilibrelor ecosistemelor
multidimensionale
Consideraţiile care urmează sunt selecţiuni din [2].
Să admitem că un ecosistem este alcătuit din ∗∈ Nn , 2n ≥
componente Xi ( n,1i = ). Dacă )x,x,t(f iji ( n,1j,i = ) marchează
rata de creştere a calităţii vieţii pentru Xi în raport cu Xj, atunci
urmând studiile conţinute în [2] şi [3], interacţiunile mutuale care
conduc la stadiile de echilibru dintre Xi şi Xj pot fi descrise cel
puţin aproximativ, dar cu erori acceptabile şi comparabile, în
180
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
sens pozitiv, cu realitatea, prin sisteme de ecuaţii diferenţiale
definite prin:
(*) n,1j,i),t(rx)x,x,t(fx ijiijii =−=
unde xi „reprezintă”, numeric vorbind, nivelul „calităţii” de
existenţă pentru Xi, rij(t) exprimă dependenţa temporară
ji XX ↔ , iar funcţia fi satisface condiţii adecvate ( n,1j,i = ),
precizate pentru situaţii particulare bidimensionale specifice din
[3], respectiv ipotezele modelelor economice unidimensionale
privind Teoria Economică şi Management-ul Resurselor indicate
parţial în [1] şi analizate în secţiunea 2 din [4].
Dacă n,1i = şi există *ix soluţie pentru (*) cu
proprietatea: i*i xx ≤ pentru toate posibilităţile xi şi [ ]i0 t,tt ∈ ,
atunci *ix este o soluţie veritabilă care asigură „supremaţia”
concurenţei individuale cel puţin în intervalul de timp [ ]i0 t,t .
Orice evoluţie fundamentată pe negocieri reciproce este
supusă „controlului” impus de sistemele
(Sij) n,1j,i,ji,)t(x)t(x
)t(x)t(x
j*j
i*i =≠
≤
≤
181
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
care identifică evoluţiile datorate înţelegerilor reciproce.
Proiecţiile în Optimizarea Vectorială în sens Pareto (finit
dimensională) prin Optimizarea tare (uzuală) respectiv prin
funcţiile spline din spaţiile H – local convexe fiind imediate sunt
evidente [2].
BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ
1.A.C. Capelo – Modelli Matematici in Biologia. Decibel
Editrice, Padova, 1989.
2.V. Postolică, A. Scarelli, L. Venzi – On the Equilibrium of
a Multidimensional Ecosystem. Nonlinear Analysis Forum
6 (2), 2001, p. 321-335.
3. A. Scarelli, L. Venzi – An Ecosystem and its Equilibrium
Points. Applying Multiple Criteria Aid for Decision to
Environmental Management (M. Paruccini, Ed.), 1994
ESCS, EEC, EAEC, Brussels and Luxembourg. Printed in
The Netherlands, p. 233-246.
4. J. Scheffran – Modeling Sustainable Use of Natural
Resources. Operations Research Proceedings 1999,
Inderfurth (G. Schwödiouer, W. Domschke, F. Juhnke, P.
Kleinschmidt and G. Wäscher, eds.), Springer-Verlag,
Berlin, 2000, p. 560-565.
1.8.2. Eliberarea mediatorului chimic în procesele
neuro-musculare : un exemplu inedit de
182
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Bio-Eficienţă
Următoarele consideraţii sunt în acord cu [2] şi [4].
1.8.2.1. Date anatomo-fiziologice elementare
Unitatea morfo-funcţională a sistemului nervos o constituie
neuronul .Orice neuron este format din:
- corp ;
- prelungiri neuronale de tipul:
- prelungiri ale neuronului care « aduc influxul nervos denumite
dendrite ;
- prelungiri ale neuronului care duc influxul nervos către un alt
neuron sau către un efector numite axoni . În organismele vii,
transmiterea informaţiei, sub formă de impulsuri nervoase, se
face de la un neuron la altul sau de la un neuron la celule
efectoare. Zona de contiguitate dintre neuroni se numeşte
sinapsă, iar contactul funcţional dintre neuronii motori şi celulele
musculare este denumită joncţiune neuro-musculară. Orice
sinapsă este formată din:
- butonul terminal al axonului alcătuit din vezicule pline cu
mediator chimic;
- membrana presinaptică (acea porţiune din membrana
neuronală care face faţă structurii efectoare).
- spaţiul sinaptic (dintre cele două structuri).
183
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
- membrana postsinaptică care înveleşte structura efectoare
(celulă nervoasă, celulă musculară, etc.), cu diferenţieri
subcelulare specifice.
1.8.2.2. Mecanismul general al transmiterii influxului nervos
Influxul nervos se deplasează de la dendrite la axoni sub
forma unor unde de depolarizare ale membranei. Transmiterea
sinaptică în joncţiunea neuromusculară este procesul prin care
unda de depolarizare care soseşte din neuronii sistemului nervos
central, de-a lungul fibrelor nervoase, determină la nivelul
membranei fibrei musculare o nouă depolarizare ce declanşează
contracţia.
Existenţa spaţiului sinaptic împiedică propagarea directă a
undei de depolarizare de la nerv la muşchi. Datorită acestui fapt,
transmiterea este asigurată doar de mediatorul chimic din butonul
terminal care, în cazul joncţiunii neuromusculare, este
184
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
acetilcolina. Substanţa este stocată în interiorul butonului
terminal şi, odată eliberată, traversează spaţiul sinaptic spre
membrana postsinaptică. La acest nivel, substanţa se cuplează cu
structuri moleculare specifice, numite receptori, declanşând
apariţia unor modificări ale permeabilităţii ionice membranare a
căror consecinţă este depolarizarea membranei postsinaptice.
Procesul de eliberare al mediatorului este un proces cuantal.
Substanţa se eliberează în pachete de molecule variabil
congruente, care acţionează simultan la nivelul membranei
postsinaptice. În condiţii de repaus, există o eliberare spontană,
continuă şi lentă a cuantelor, care determină la nivelul
membranei postsinaptice depolarizări locale, de mică
amplitudine, incapabile să asigure generarea unor unde de
depolarizare propagate deja pentru declanşarea contracţiilor
musculare. Ori de câte ori fibra nervoasă primeşte un « pachet »
alcătuit din unde de depolarizare (influxul nervos), procesul de
eliberare al cuantelor se multiplică exponenţial. Atunci, se
« descarcă » mediatorul care, ajungând la nivelul postsinaptic,
declanşează depolarizări ample, capabile să inducă contracţia
musculară. Atât eliberarea spontană cât şi cea evocată se
realizează cu participarea unor mecanisme ionice complexe în
care rolul central este jucat de ionul de CA2+. Sinteza
mediatorului, constituirea cuantelor şi eliberarea mediatorului
185
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
sunt procese energo dependente. Butonul terminal conţine toate
elementele necesare producerii, stocării şi eliberării acestei
energii.
1.8.2.3. Investigaţia electro-fiziologică a eliberării
mediatorului şi înregistrarea datelor
Procesul de eliberare al mediatorului s-a urmărit prin
înregistrarea depolarizărilor spontane şi evocate la nivelul
membranei postsinaptice.
186
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Pentru controlul condiţiilor experimentale s-a utilizat un
preparat neuromuscular izolat în vitro şi tratat cu o soluţie
fiziologică de compoziţie cunoscută. Cu ajutorul unor
microelectrozi de sticlă cu rezistenţa de 10 – 15 MOhmi plasaţi
la nivelul membranei postsinaptice, s-a urmărit activitatea
electrică declanşată de contactul cuantelor de mediator cu
aceasta. În acest scop s-a utilizat un sistem de culegere –
înregistrare alcătuit din: receptor – repetitor catodic,
amplificator, osciloscop, fotorecordină tip Tönnier.
În cazul eliberării spontane s-au înregistrat pe perioade
mari de timp potenţiale electrice de amplitudine redusă şi
constantă denumite convenţional potenţiale miniaturale (mepps).
Intervalele dintre depolarizări s-au măsurat vizual pe
înregistrările foto. În cazul eliberării evocate, la fiecare stimulare
electrică a nervului se înregistrează o depolarizare amplă,
denumită potenţial de placă motorie (epps).
1.8.2.4. Modelarea matematică a procesului cuantal187
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
În studiul procesului de eliberare la nivelul joncţiunii
neuro-musculare ne-am propus următoarele obiective:
a) studiul potenţialului depozitului cuantal;
b) modelarea matematică locală a întregului sistem
energetic neuro – muscular;
c) examinarea” intrărilor” respectiv a ” ieşirilor”, cu
concluzii adecvate ;
Eliberarea energiei se face în pachetele cuantale,
manifestându-se la ieşire sub forma unor impulsuri. Pachetele
cuantale sunt identice în ce priveşte cantitatea de energie, lucru
justificat şi de faptul că eliberarea are loc o dată cu atingerea
unui prag energetic. Înregistrările făcute privesc timpii dintre
două impulsuri consecutive (eliberării de pachete cuantale). Se
poate presupune că în fiecare moment în interiorul celului există
un singur pachet cuantal ce se pregăteşte pentru eliberare şi că
constituirea unui nou pachet cuantal începe din momentul
eliberării pachetului anterior şi culminează cu eliberarea sa. Aşa
stând lucrurile, putem considera timpii înregistraţi ca fiind timpii
de constituire a energiei în pachete cuantale.
188
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
- dacă ij este impulsul cu numărul j atunci tj va fi timpul scurs de
la apariţia impulsului ij-1 la cea a impulsului ij
Ne putem permite chiar să spunem că, de fapt, procesul de
eliberare demarează în momentul începerii constituirii pachetului
cuantal acest lucru permiţându-ne să afirmăm că eliberarea este
un proces continuu.
Privind celula ca un depozit de energie, un prim pas a fost
studiul potenţialului energetic al acestuia.
1.3.Potenţialul depozitului este caracterizat de frecvenţa
de emitere a impulsurilor, aceasta fiind dată de
formula
(1)tn=ν
unde n este numărul de emiteri până la momentul t, deci în
intervalul[t0,t] .
Modul de lucru:
Pentru 5 emiteri cu timpii: 17, 4, 14, 9, 13 rezultă că
;...353
144173;
212
4172;
171
321 =++
==+
== ννν .
Între două valori consecutive se procedează prin
interpolare.
Reprezentarea grafică arată că frecvenţa tinde să devină
constantă în timp, se uniformizează. Acest lucru ne spune că
189
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
procesul este întreţinut, adică, pe lângă procesul de eliberare mai
are loc şi un proces de refacere a potenţialului energetic, celula
tinzând la un echilibru.
b) Privit în ansamblu întregul proces poate fi gândit ca
un proces dinamic. Acest lucru nu intră în contradicţie cu faptul
că, pe porţiuni, avem de-a face cu sisteme statistice. Deci,
procesul poate fi gândit ca un sistem cu o intrare (refacerea
potenţialului) şi o ieşire (eliberarea pachetului cuantal).
Să notăm la fiecare moment t valorile următoarelor
funcţii:
N(t) - funcţia ce caracterizează refacerea potenţialului;
X(t) - funcţia ce caracterizează soluţia internă a celulei;
M(t) - funcţia ce caracterizează eliberarea cuantală.
Astfel spus, X(t) ne oferă energia existentă la momentul t
în interior, iar N(t) şi M(t) exprimă cantitatea de energie care la
momentul t este pe punctul de a intra, respectiv părăsi celula. (t0
= 0)
190
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Pentru un interval de timp suficient de mic [t,t+dt] se
poate presupune că, atât intrarea cât şi ieşirea sunt proporţionale
cu timpul.
Deci, pentru intervalul [t,t+dt] avem:
N(t)·dt unităţi de energie intră în sistem şi
M(t)·dt unităţi de energie părăsesc sistemul.
Aşadar,
(2) X(t + dt) = X(t) + N(t)·dt – M(t)·dt,
X(t + dt) - X(t) = [N(t) – M(t)]·dt,
X(t dt) - X(t) N(t) M(t)dt
+ = − ,
deci
(3) )t(M)t(N)t(X −=
Aceasta este, în mare, ecuaţia ce caracterizează întregul
sistem.
Observăm că atât N(t) cât şi M(t) depind în mod necesar
de X(t) (precum şi de alţi factori: Ca, K, … ).
Putem presupune chiar că M(t) este o fracţiune din X(t),
adică
(4) M(t) = m(t)·X(t)
unde m(t) va fi numită rata eliberării.
191
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Acest lucru este justificat şi nu constituie o restricţie, dacă
presupunem că acţiunea celorlalţi factori se răsfrânge asupra
ratei de eliberare. Analog, notând cu n(t) rata de refacere vom
avea:
(5) N(t) = n(t)·X(t)
Înlocuind (4) şi (5) în ecuaţia (3) obţinem:
(6) )t(X)]t(m)t(n[)t(X ⋅−= ,
de unde, rezolvând ecuaţia şi considerând X0 ca fiind cantitatea
de energie existentă în interior la momentul iniţial t0, avem:
(7) 0
[ ( ) ( )]
0( )
t
t
n s m s ds
X t X e−∫
= ⋅
Prin această ecuaţie, cunoscând evoluţia ratei de eliberare
m(t) şi a ratei de refacere n(t) se anticipează evoluţia
potenţialului energetic X(t).
Investigăm, mai întâi, procesul de eliberare propriu-zis.
d) Să notăm cu Q(t) cantitatea de energie eliberată în
intervalul de timp [t,t+dt] şi să studiem evoluţia funcţiei
Q=Q(t) în acest interval. Pornind de la t0 = 0, Q(t) estimează
cantitatea de energie eliberată până la momentul t prin
(8) Q(t+dt) = Q(t) + M(t)·dt (cu dt suficient de mic),
sau
(9) Q(t+dt) = Q(t) + m(t)·X(t)·dt, de unde
(10) )t(X)t(m)t(Q ⋅=
192
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Rezolvând ecuaţia (10) se obţine:
(11) 0
0( ) ( ) ( ) ( )t
t
Q t Q t m s X s ds= + ⋅∫
care exprimă legătura dintre potenţialul interior şi cantitatea de
energie totală eliberată. Dar, Q(t) este direct măsurabilă deci, cu
ipotezele ratei de eliberare, se obţin informaţii directe asupra
potenţialului X şi de aici, prin intermediul ecuaţiei (6) (sau (7))
rezultă concluzii asupra ratei de refacere. Pentru a obţine
informaţii asupra ratei de eliberare s-a mai apelat la faptul că atât
Ca cât şi potenţialul K favorizează numai eliberarea de pachete
cuantale fără a afecta (cel puţin practic) în vreun fel refacerea.
Dar, unde, cât şi cum se acţionează? În acest scop am studiat trei
experimente asupra unei aceleeaşi celule, în condiţii aproape
identice, dar cu diferite concentraţii de calciu (0.6, 1.2 şi 1.8 în
cazul examinat). Pentru a obţine informaţii privind acţiunea
calciului asupra procesului de eliberare am apelat la procedee
statistice adecvate: medie, dispersie, repartiţie, etc. Media
valorilor măsurate (timpii) este invers proporţională cu frecvenţa
de eliberare.
Am constatat din studiul efectuat că, pentru concentraţiile
0.6 şi 1.2, frecvenţa este aceeaşi, iar pentru concentraţia 1.8
calciul a efectuat evident ieşirea, frecvenţa fiind mult mai mare.
193
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
De aici s-ar putea trage concluzia că, sub o anumită
limită, calciul nu are nici o acţiune, iar pentru valori peste limită
acţiunea este proporţională cu diferenţa la limită.
Ce se întâmplă cu calciul sub limita L?
O ipoteză ar fi existenţa unui depozit de Ca, acţiunea
asupra eliberării fiind dată numai de cantitatea ce nu încape în
depozit.
Un studiu şi un anumit număr de experienţe ne vor lămuri
asupra acestui fenomen. Mai departe, am reprezentat grafic
repartiţiile timpilor pentru toate cele trei experienţe. Am
constatat astfel că pentru toate repartiţia este de acelaşi tip
-evident cu alţi parametri, adică o repartiţie de tip exponenţial.
Deci, Ca nu afectează forma repartiţiei.
d) Să aflăm acum câteva informaţii asupra refacerii
potenţialului depozitului energetic. În acest scop, am fixat în
jurul valorii medii două praguri Ti şi Ts, respectiv un prag
inferior şi un prag superior.
(12) Ti ≤ Vm ≤ Ts,
Vm fiind valoarea medie a timpilor înregistraţi.
194
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Am făcut observaţii asupra succesiunii de timpi inferiori:
(13) ti ≤ Ti,
timpi intermediari:
(14) Ti ≤ ti ≤ Ts
şi de timpi superiori:
(15) Ts ≤ ti.
Investigaţiile de până acum conduc la concluzia că funcţia de
refacere este aproximativ periodică, adică refacerea fiecărui
potenţial are loc cu intensităţi temporale, „aproape” maxime, la
intervale de timp „aproape” egale. Un studiu mai aprofundat ne
poate oferi informaţii precise asupra acestui fapt, cât şi privind
perioada corespunzătoare. Apreciem deci că un astfel de proces
decurge după următoarea reprezentare:
Să admitem că la un moment dat a avut loc o refacere.
Imediat eliberarea pachetelor cuantale se accelerează, frecvenţa
creşte. Acest fenomen nu este permanent ci, în timp, frecvenţa
195
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
începe să scadă până la un moment când este obligatorie o
refacere, îmbătrânirea celulei fiind lentă, dacă celula nu este
supusă unor agresiuni. O explicaţie importantă a procesului
cuantal de eliberare este şi permanenta tendinţă a organismelor
spre echilibrul energetic general, justificată şi de evoluţia
potenţialelor depozitelor energetice.
În final, se impun câteva observaţii utile. Orice sinapsă ca şi
fiecare joncţiune neuro-musculară conţine atât elemente de
natură chimică, cât şi de natură electrică, ce se îmbină într-o
perfectă funcţionare Divină, fără a fi cunoscute în totalitate până
acum. Mediatorul chimic asigură conducerea unidirecţională a
impulsurilor nervoase, fiind prezent numai în butonii sinaptici ai
fibrelor presinaptice. În timp ce axonii conduc impulsurile
nervoase în ambele sensuri, mediatorii chimici ordonează
funcţiile nervoase. Orice mediator este caracterizat, sintetic, prin:
prezenţa în zonele structurilor sinaptice, reproducerea cât mai
fidelă a acţiunilor stimulilor nervoşi naturali şi controlul
acţiunii sale. Realizarea de către o substanţă a funcţiei de
mediator chimic presupune următoarele procese succesive:
sinteză, depozitarea în cuante, trecerea în spaţiul sinaptic,
interacţiunea cu membrana postsinaptică şi inactivarea.
Cuantele se „nasc” în butonul terminal, traversează membrana
presinaptică, ajungând în spaţiul sinaptic, unde are loc „o
196
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
frânare” a vitezei lor datorată impactului cu lichidul extra-
celular care „umple” spaţiul sinaptic. Apoi, cuantele « se
sparg », producînd depolarizări care excită celula postsinaptică.
Menţionăm că impulsurile nervoase de pe fibra presinaptică nu
modifică conţinutul de mediator - fapt confirmat experimental -
ci cresc frecvenţa de spargere a « veziculelor » cu mediator ,
generând astfel depolarizări care depăşesc pragurile de excitare
ale membranelor postsinaptice. Modelul matematic propus
reprezintă o abordare originală, dar susceptibilă de modificări şi
completări potrivite, meritând, fără îndoială, aspre critici. Nu
avem pretenţia unei surprinderi exacte a fenomenului, fapt
motivat de altfel. Am dorit să prezentăm, pe baza unor informaţii
şi de natură experimentală, un control minim asupra acestui
proces atât de complex denumit transmiterea sinaptică şi
neuromusculară.
1.8.3. Propuneri de studiu pentru programele decizionale
multicriteriale
Toate consideraţiile care urmează sunt expuse în acord cu
[6].
Problemele uzuale decizionale multicriteriale sunt definite
de cupluri alcătuite dintr-o mulţime nevidă A = a1, a2, …
197
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
conţinând alternativele (proiectele) şi o mulţime
)Nm(m,1j:gG j∗∈== de criterii. În aceste condiţii,
performanţa oricărui proiect Aai ∈ prin G este mulţimea
)a(g),...,a(g),a(g imi2i1 , iar o alternativă Aas ∈ este
preferată faţă de o alta Aa ∈ dacă
m,1j),a(g)a(g jsj =∀≥ .
Notând prin kj ( m,1j = ) coeficientul de importanţă
acordat criteriului gj ( m,1j = ), este clar că orice punct de
maximum „tare” al funcţiei definite prin ∑==
m
1jjj gkF reprezintă
un proiect optimal.
O altă modalitate de investigare ştiinţifică constă în
transformarea programului iniţial într-o problemă de optimizare
de tip Pareto:
(P) MAXK (T)
unde
0k:RkRK mm ≥∈== + ,
At:)t(g),...,t(g),t(gT m21 ∈= ,
198
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
iar ( )TMAXt K0 ∈ înseamnă Tt0 ∈ şi ( ) 00 tKtT =+∩
respectiv, expresia echivalentă, ( ) ( ) 0TtK 0 =−∩− .
Urmând Teorema 2.1 din [6], dacă mulţimea
Tt,Ktt:Tt)K,T(S 11 ∈∀∈−∈=
a punctelor de maxim „tare” în raport cu conul K este nevidă,
atunci MAXK(T) = S(T,K). Prin urmare, nu există alte elemente
de maximum în sens Pareto (vectorial) în afara celor tari. În caz
contrar, selecţia soluţiilor ideale din mulţimea punctelor eficiente
în sens Pareto se poate efectua folosind ponderile de indiferenţă
(ignorare) respectiv de preferinţă, extinzând intervalele de
variaţie pentru performanţă astfel:
Varianta 1.
1.1.
=−→
=+→⇒>
∗
∗
);a(g)a(gk)a(g)a(g
);a(g)a(gk)a(g)a(g)a(g)a(g
jjjjj
sjsjjsjsjjsj
1.2.
=+→
=−→⇒<
∗
∗
);a(g)a(gk)a(g)a(g
);a(g)a(gk)a(g)a(g)a(g)a(g
jjjjj
sjsjjsjsjjsj
1.3.
∈==
=⇒=
∗
∗
.Aa,a,m,1j,)a(g)a(g
);a(g)a(g)a(g)a(g
sjj
sjsjjsj
Varianta 2.
199
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Fie jq indicele de indiferenţă (ignorare) şi jp cel care
exprimă preferinţa fiecărui criteriu ( )m,1jg j = .
2.1. aaq)a(g)a(g sjjsj =⇒<− ;
2.2.
⋅−−→
⋅−+→⇒≤−
);a(g)qp(k)a(g)a(g
);a(g)qp(k)a(g)a(gp)a(g)a(g
jjjjjj
sjjjjsjsjjjsj
2.3.
∈=⋅−−→
⋅−+→⇒
⇒>−≥
.Aa,a,m,1j);a(g)pv()a(g)a(g
);a(g)pv()a(g)a(g
p)a(g)a(gv
sjjjjj
sjjjsjsj
jjsjj
Se reconsideră problema de optimizare vectorială în noul
context, selecţia „celei mai bune soluţii” operându-se în funcţie
de indicii de „vetto” m,1j,v j = şi folosind Teorema 2.2 din [6].
În concluzie, eficienţa de tip Pareto poate fi aplicată
pentru analiza şi rezolvarea programelor decizionale
multicriteriale, ţinând seama de specificul acestor probleme şi
variantele precizate. De asemenea, funcţiile spline din spaţiile
H – local convexe introduse în [5], dezvoltate în [3] şi exploatate
deja în studiul destinat reţelelor de firme şi societăţi sunt
deosebit de utile pentru identificarea soluţiilor interpolatorii
optimale privind procesele decizionale pe termen lung, când se
cunosc deciziile dintr-un interval de timp şi se doreşte estimarea
200
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
deciziilor ulterioare. În afara acestei abordări originale, detalii
pertinente sunt expuse în [1], [7] şi alte lucrări conexe
BIBLIOGRAFIE SELECTIVĂ
1. F. Aleskerov, B. Monjardet – Utility, Maximization, Choice
and Preference. Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York,
2002.
2. D.V.Filimon, V. Postolică – Incursiune în Acupunctură.
Numărul de Aur în Structura şi Energetica Sistemelor Vii . Ed.
Polirom, Iaşi, 2000.
3. G. Isac, V. Postolică – The Best Approximation and
Optimization in Locally Convex Spaces. Verlag Peter Lang Grub
H, Frankfurt and Main, Germany, 1993.
4. V. Postolică, Şt. Săndel - Studiul Eliberării Mediatorului
Chimic în Procesele Neuro-Musculare prin Modelare
Matematică. Colocviul Naţional de Informatică, Univ. "Al. I.
Cuza" Iaşi, 1979.
5. V. Postolică– Spline Functions in H – Locally Convex Spaces.
An.Şt.Univ.”Al. I. Cuza”, Iaşi, tomul XXVII, s. I-a, f.2, 1981, p.
333-338.
6.V. Postolică, A. Scarelli– Some Connections between Best
Approximation, Vectorial Optimization and Multicriteria
Analysis. Nonlinear Analysis Forum, vol. 5, July 2000,
201
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
p. 111-123.
7. C. Raţiu-Suciu – Modelarea şi simularea Proceselor
Economice. Ed. Didactică şi Pedagogică, Bucureşti, 1995.
Capitolul 2
Convexitate uzuală
202
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
2.1. Generalităţi
Precizăm că sursele bibliografice explorate spre a fi utilizate în
următoarele două capitole sunt parţial menţionate în prima
bibliografie selectivă aferentă capitolului precedent, iar tratarea
este originală. Fie X ≠ ∅ şi :f X → ¡ . Mulţimea
( ) : ( ) dom f x X f x= ∈ < + ∞ este domeniul efectiv, iar
epigraful ( ) ( , ) : ( ) epi f x t X f x t= ∈ × ≤¡ . Dacă X este o
mulţime convexă , adică , , , , 0x y X x y Xα β α β+ ∈ ∀ ∈ ∀ ≥ ,
cu 1α β+ = , atunci funcţia f este convexă când
( ) ( ) ( ), , , , 0f x y f x f y x y Xα β α β α β+ ≤ + ∀ ∈ ≥ cu
1α β+ = , iar membrul drept are sens. Pentru funcţiile reale de
argument real,geometric vorbind, aceasta înseamnă că pantele
secantelor la reprezentarea graficului funcţiei cresc în următorul
sens:
3 1 3 22 11 2 3
2 1 3 1 3 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , , , ( ).f x f x f x f xf x f x x x x dom fx x x x x x
− −− ≤ ≤ ∀ ∈− − −
Dacă inegalitatea este strictă, atunci funcţia se numeşte strict
convexă. O funcţie :g X → ¡ este concavă (strict concavă)
dacă f = - g este convexă (strict convexă). Orice funcţie care nu
ia valoarea − ∞ şi nu este identică cu + ∞ se numeşte proprie.
Evident că o funcţie :f X → ¡ este convexă numai dacă
203
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
epigraful este o mulţime convexă în X × ¡ . Într-un spaţiu liniar
oarecare X, o mulţime nevidă T este convexă numai dacă funcţia
indicatoare ataşată : ( , ]TI X → − ∞ + ∞ dată
prin 0,
( ), \T
x TI x
x X T ∈
= + ∞ ∈ este convexă.
Proprietăţile specifice funcţiilor convexe (concave) şi
generalizările ulterioare au recomandat această clasă de funcţii
întâi în studiul şi soluţionarea unor probleme de aproximare
interpolatorie şi optimizare. Pentru X un spaţiu topologic (liniar
topologic oricând contextul de lucru impune această
particularizare) arbitrar, o funcţie :f X → ¡ se numeşte
inferior semicontinuă într-un punct 0x X∈ dacă
0 0
0( )
( ) lim inf ( ) ( )sup infx x x Vv V x
f x f x f x→ ∈∈
= = ,
respectiv superior semicontinuă în 0x când
0 00
( )( ) lim sup ( ) ( )supinf
x x v V x x Vf x f x f x
→ ∈ ∈= =
unde 0( )V x este un sistem de vecinătăţi pentru 0x .
Urmează că o funcţie f este superior semicontinuă numai dacă
– f este inferior semicontinuă. De exemplu, dacă X este un
spaţiu local convex separat Hausdorff oarecare, atunci pentru o
funcţie :g X R→ următoarele condiţii sunt echivalente:
204
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
(i) g convexă şi inferior semicontinuă ;
(ii) g convexă slab inferior semicontinuă ;
(iii) ( )epi g mulţime convexă închisă;
(iv) ( )epi g mulţime convexă slab închisă.
În particular, pentru orice funcţie : nf R R→ ( *n N∈ )
următoarele proprietăţi sunt echivalente:
(i) f inferior semicontinuă pe nR ;
(ii) fiecare mulţime : ( ) ( )nx R f x Rα α∈ ≤ ∈ este închisă;
(iii) ( )epi f este o mulţime închisă în 1nR + .
Observaţia 1. Funcţiile semicontinue au fost introduse de
René Baire (1874-1932) la începutul secolului XX, ca o
importantă generalizare a funcţiilor continue. Astfel, înzestrând
¡ cu topologii adecvate, inferioara (superioara)
semicontinuitate echivalează cu continuitatea. De exemplu,
familia tuturor mulţimilor de forma ( , ]( )a a+ ∞ ∈ ¡ completată
cu ∅ şi ¡ reprezintă topologia inferioară iτ pe ¡ şi o funcţie
:f X → ¡ este inferior semicontinuă în 0x X∈ numai când
: ( , )if X τ→ ¡ este continuă în 0x . În mod analog,
semicontinuitatea superioară este echivalentă cu continuitatea
relativă la topologia superioară pe ¡ . Totodată, continuitatea
oricărei funcţii definite pe un spaţiu topologic arbitrar şi valori în
205
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
R (considerat cu topologia uzuală), într-un punct oarecare al
spaţiului, este echivalentă cu simultana semicontinuitate
(inferioară şi superioară) a funcţiei în acel punct. Cele două
tipuri de semicontinuitate sunt importante şi în problemele de
optim uzuale, cel puţin datorită următorului binecunoscut
rezultat de tip Weierstrass.
Teorema 1. Orice funcţie inferior (superior) semicontinuă pe
un spaţiu topologic compact arbitrar îşi atinge efectiv marginea
inferioară (superioară).
Teorema 2. Pentru orice funcţie :f X → ¡ definită pe un
spaţiu liniar topologic oarecare, următoarele aserţiuni sunt
echivalente :
(i) f este inferior semicontinuă pe X;
(ii) mulţimile de nivel : ( ) ,x X f x α α∈ ≤ ∀ ∈ ¡ sunt
inchise în X ;
(iii) ( ) ( , ) : ( ) epi f x t X f x t= ∈ × ≤¡ este inchis în X × ¡ .
Demonstraţie .1 : ( ) ([ , ])x X f x fα α α−∀ ∈ ⇒ ∈ ≤ = − ∞¡ cu [ , ]α− ∞
mulţime închisă în ( , )iτ¡ . Ţinând seama de echivalenţa dintre
inferioara semicontinuitate şi continuitatea în raport cu topologia
iτ şi de faptul că o funcţie între două spaţii topologice este
206
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
continuă numai dacă contraimaginea oricărei mulţimi închise
(deschise) este o mulţime închisă (deschisă) rezultă echivalenţa
( ) ( )i ii⇔ . Considerând acum aplicaţia : [ , ]F X × → − ∞ + ∞¡
definită prin ( , ) ( ) , ,F x f x x Xα α α= − ∀ ∈ ∈ ¡ se observă că
inferioara semicontinuitate pe X a funcţiei f este echivalentă cu
inferioara semicontinuitate a aplicaţiei F pe X × ¡ . Deoarece
epi(f) este o mulţime de nivel pentru F, aplicând aceleeaşi funcţii
echivalenţa dintre (i) şi (ii) se obţine ( ) ( )i iii⇔ .
2.2. Optimizare prin convexitate
Definiţia 1. (i) 0x X∈ este un punct de minim pentru
:f X → ¡ dacă 0( )f x < + ∞ şi 0( ) ( ),f x f x x X≥ ∀ ∈ ;
(ii) 0x este punct de maxim pentru o funcţie :f X → ¡ dacă
0( )f x < + ∞ şi 0( ) ( ),f x f x x X≤ ∀ ∈ .Dacă
0 0( ) ( ), \ f x f x x X x> ∀ ∈ (respectiv
0 0( ) ( ), \ f x f x x X x< ∀ ∈ ), atunci 0x se numeşte punct de
minim strict (punct de maxim strict). Înlocuind X cu V X∩
(respectiv 0( \ )V X x∩ ), oricând există V vecinătate pentru 0x
satisfăcând (i), (ii) sau completările efectuate, 0x reprezintă un
punct de extrem local (strict) pentru aplicaţia f pe mulţimea de
207
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
referinţă. Evident că în orice punct de minim (maxim) cel puţin
local funcţia f este inferior (superior) semicontinuă.
Orice program de optimizare liber pe spaţiu sau însoţit,
eventual, de restricţiile corespunzătoare, care impun identificarea
soluţiilor într-o mulţime nevidă 1X X⊆ , este reductibil la o
problemă de minimizare sau maximizare de tipul
(P) 1 1
( ) ( ( ))supinfx X x X
f x f x∈ ∈
şi se compune din :
(P1) determinarea sau măcar aproximarea elementelor
1 1
( ) ( ( ))supinfx X x X
f x f x∈ ∈
şi, dacă e posibil, stabilirea
condiţiilor când aceste extreme sunt efectiv atinse ;
(P2) demonstrarea existenţei punctelor 0 1x X∈ veritabile, de
minim (maxim) ;
(P3) precizarea tuturor acestor puncte ;
(P4) proprietăţi de densitate care să permită identificarea unor
algoritmi privind cel puţin aproximarea punctelor 0x ce
soluţionează (P2) şi concretizarea mulţimilor de limite
prin
convergenţă ale acestor puncte din (P3) ;
(P5) precizarea vitezelor de convergenţă ale algoritmilor
aferenţi prin specificarea benzilor de eroare;
(P6) evaluarea eficienţei prin estimarea impactului în
B
B
208
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
cercetarea ştiinţifică fundamentală şi aplicabilitatea
corespunzătoare.
Imaginile prin funcţiile obiectiv f ale oricăror soluţii efective
sunt interpretate ca valori optimale asociate problemelor de tip
(P) care le produc. Următoarele inegalităţi elementare sunt
implicate în probleme curente de optimizare.
1.Inegalitatea mediilor
* , 2, 0, 1,in N n a i n∀ ∈ ≥ ∀ ≥ = ⇒ 1
1
1
1
n
i ni n i n
i
i i
ana
na
=
=
=
≥ ≥∑
∏∑
,
cu egalitate numai dacă 1 2 ... .na a a= = = O justificare imediată
este dată de comportamentul funcţiei 1: , ( ) ; '( ) 0 1xf R R f x e x f x x−→ = − = ⇔ = unicul punct de
minim absolut al funcţiei f pe R : ( ) (1),f x f x R≥ ∀ ∈ cu egalitate
numai dacă 1x = . Considerând succesiv /ix a S= unde
1
( ) /n
ii
S a n=
= ∑ şi multiplicând inegalităţile obţinute rezultă prima
inegalitate anunţată, cu precizarea clară când se transformă în
egalitate. A doua componentă reiese din prima efectuând
B
B
209
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
schimbările 1/ , 1, .i ia a i n→ ∀ = Aşadar, următoarele probleme de
optimizare, cu restricţii, au soluţiile unice indicate:
(P1)
1 1
min : , 2, 0, 1, ,n n
ni i i
i ia n N n a i n a p n p
= =
∈ ≥ ≥ ∀ = = =
∑ ∏ ;
(P2)
1 1
max : , 2, 0, 1, , ( )n n
ni i i
i i
sa n N n a i n a sn= =
∈ ≥ ≥ ∀ = = =
∏ ∑ ;
(P3)
1 1
1min : , 2, 0, 1, , ( )n n
ni i
i i i
na n N n a i n ta t= =
∈ ≥ > ∀ = = =
∏ ∑ ;
(P4)
1 1
1min : , 2, 0, 1, ,n n
i i ni ii
nn N n a i n a va v= =
∈ ≥ > ∀ = = =
∑ ∏ .
2. Inegalitatea lui Young
cu egalitate numai dacă
Într-adevăr, dacă se examinează reprezentarea indicată a
graficului funcţiei
B
B
210
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
atunci, 1qx y −= , aria dreptunghiului obţinut este ab , aria
(I)= /pa p , iar aria (II)= /qb q . Egalitatea are loc numai
când aria (III)=0, adica p qa b= .
3. Inegalitatea lui Hölder
1, 1,1/ 1 / 1 p qp q p q fg f g∀ > + = ⇒ ≤
unde
1/( ( ) ) , ( ) : / ( ) , 1.s sp s
sR R
h h x dx h L R R R x dx R sϕ ϕ +
= ∀ ∈ = → ∃ ∈ ∀ >
∫ ∫
cu egalitate numai dacă există 0α > astfel încât p qf gα= .
B
B
Ia
b
II III
0
y
x
211
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Demonstraţie. Relaţie evidentă dacă f = 0 sau g = 0. Pentru
, 0p q
f g ≠ , inegalitatea precedentă justifică transformarea în
egalitate şi conduce la
( ) ( ) ( ) ( )1/ 1/
p q
p qp q p q
f x g x f x g xp q
f g f g≤ +
care antrenează
( ) ( )1/ 1/ 1
R p q
f x g xdx p q
f g≤ + =∫ .
Cazul particular p = q = 2 reprezintă inegalitatea stabilită de
Cauchy şi Schwartz:
21 2 2 , , ( )fg f g f g L R≤ ∀ ∈ .
4. Inegalitatea lui Minkowski
1, , ( )pp p pp f g L R f g f g∀ ≥ ∀ ∈ ⇒ + ≤ + ,
care devine egalitate numai dacă există 0β > cu p qf gβ= .
Demonstratie. Dacă p = 1, concluzia este imediată. Pentru
p>1, şi, urmând inegalitatea lui Hölder, se obţine :
212
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
1 1
1 1/
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) .
p p p
R R Rp
p
p pR
f x g x f x f x g x dx g x f x g x dx
f g f x g x dx
− −
−
+ ≤ + + + ≤
≤ + +
∫ ∫ ∫
∫
Observaţia 2. Este clar că inegalităţile anterioare se menţin şi
dacă funcţiile reprezintă şiruri cu cel mult o mulţime finită de
termeni nenuli.Consideraţiile precedente rămân valabile prin
înlocuirea mulţimii numerelor reale cu orice interval nebanal din
R şi orice extensie adecvată.
5. Inegalităţile integrale ale lui Cebâşev
Fie a,b∈R+, a<b şi f,g:[a,b]→R două funcţii. Atunci:
(i) ∫⋅∫≥∫ ⋅− ba
ba
ba dt)t(gdt)t(fdt)t(g)t(f)ab( dacă f şi g sunt
ambele crescătoare (descrescătoare);
(ii) ∫⋅∫≤∫− ba
ba
ba dt)t(gdt)t(fdt)t(g)t(f)ab( , dacă una este
crescătoare şi cealaltă descrescătoare.
(i) Pentru demonstraţie se observă că
[f(s)-f(t)][g(s)-g(t)] ≥0, ∀s,t∈[a,b] ⇒
0≤ [ ][ ]( )∫ ∫ −−ba
ba dsdt)t(g)s(g)t(f)s(f ⇒
213
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
0≤(b-a) ∫⋅∫−∫ ba
ba
ba ds)s(gds)s(f2ds)s(g)s(f +(b-a) ∫ ba dt)t(g)t(f .
(ii) Se justifică în aceeaşi manieră.
Deoarece funcţiile convexe au un rol important în programele
de optimizare, am deschis acest capitol cu aceste funcţii, urmând
să precizăm proprietăţi pe care le considerăm semnificative.
Teorema 3. O funcţie convexă inferior continuă pe un spaţiu
Banach reflexiv îşi atinge marginea inferioară pe orice mulţime
nevidă, convexă, mărginită şi închisă.
Teorema 4. O funcţie convexă proprie definită pe un spaţiu
liniar topologic real X oarecare este continuă pe interiorul
domeniului efectiv numai dacă este mărginită superior pe măcar
o vecinătate a unui punct interior domeniului efectiv.
Demonstraţie. Necesitatea condiţiei este evidentă. Deoarece X
este un spaţiu liniar, continuitatea într-un punct 0x X∈ este
echivalentă cu continuitatea în origine a aplicaţiei
0 0( ) ( )x f x x f x→ + − . Deci, se poate presupune că punctul
anunţat este originea spaţiului şi f(0) = 0. Fie V o vecinătate
echilibrată a originii ( ,V Vλ λ⊆ ∀ ∈ ¡ cu 1λ ≤ ) şi
214
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
( ) , .f x x Vα≤ ∀ ∈ Atunci
( ) ( (1 )0) ( ) , [0,1],x xf x f t t tf t t x tVt t
α= + − ≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈ .
Totodată,
10 (0) ( ) [ ( ) ( )]2 2 2x xf f f x f x= = − ≤ + − antrenează
( ) ( ) , , ( ) ,f x f x t x tV f x t x tVα α− ≤ − ≤ ∀ ∈ ≤ ∀ ∈ , adică f
este continuă în origine. Dacă x este un punct oarecare interior
domeniului efectiv, atunci există t > 1 cu 0 ( )x tx dom f= ∈ .
Pentru 1( ) (1 )V x x Vt
= + − şi 1(1 ) ( )u x z V xt
= + − ∈ se obţine
0 0 01 1 1 1 1 1( ) [ (1 ) ] ( ) (1 ) ( ) ( ) (1 )f u f x z f x f z f xt t t t t t
α= + − ≤ + − ≤ + −
adică f este majorată pe V(x) şi se aplică prima parte a
demonstraţiei.
Corolarul 4.1. Orice funcţie convexă, superior semicontinuă
într-un punct arbitrar interior domeniului efectiv este continuă
pe interiorul domeniului efectiv.
Corolarul 4.2. Orice funcţie convexă pe un spaţiu liniar
topologic, separat Hausdorff finit dimensional este continuă pe
interiorul domeniului efectiv.
215
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Definiţia 2. Pentru orice spaţiu liniar topologic X cu dualul
corespunzător *X subdiferenţiala unei funcţii convexe proprii,
arbitrare : [ , ]Xϕ → − ∞ + ∞ este operatorul multivoc* * * *( , ) ; ( ) ( ) ( ) ( ), x x X X x y x x x y y Xϕ ϕ ϕ∂ = ∈ × − ≤ − ∀ ∈ ,
iar mulţimea subgradienţilor funcţiei ϕ într-un punct oarecare
x X∈ este * * * *( ) : ( ) ( ) ( ) ( ), x x X x y x x x y y Xϕ ϕ ϕ∂ = ∈ − ≤ − ∀ ∈ . În
consecinţă, ϕ este subdiferenţiabilă în x X∈ numai dacă
( )xϕ∂ ≠ ∅ .
Dacă ϕ este inferior semicontinuă pe X, atunci ( )xϕ∂ este o
mulţime convexă şi închisă în *X , x X∀ ∈ .
Teorema 5 .
(i) 0x X∈ punct de minim pentru ϕ ⇔ 00 ( )xϕ∈ ∂ ;
(ii) o funcţie convexă, inferior semicontinuă are măcar un
punct de minim pe X numai dacă conjugata * *: [ , ]Xϕ → − ∞ + ∞
dată prin * * * * * *( ) [ ( ) ( )] inf [ ( ) ( )],sup
x Xx Xx x x x x x x x Xϕ ϕ ϕ
∈∈= − = − − ∀ ∈
este subdiferenţiabilă în origine.
Mai mult, următoarele condiţii sunt echivalente :
(i) * ( )x xϕ∈ ∂ ;
(ii) * * *( ) ( ) ( )x x x xϕ ϕ+ ≤ ;
216
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
(iii) * * *( ) ( ) ( )x x x xϕ ϕ+ = .
Pentru ϕ şi inferior semicontinuă, fiecare din condiţiile
precedente este echivalentă cu (iv) * *( )x xϕ∈ ∂ . Deci, dacă
:f X R→ este o funcţie convexă, definită pe un spaţiu local
convex arbitrar, separat Hausdorff, atunci **0 0( ) ( )f x f x= în
orice punct de inferioară semicontinuitate 0 ( )x dom f∈ , unde ** * *( )f f= . Aşadar,
* ** *
* * * * * *( ) sup[ ( ) ( )] inf [ ( ) ( )]x Xx X
h x x x h x h x x x∈∈
= − = − − , pentru orice
funcţie convexă şi inferior semicontinuă : nh R R→ şi nx R∈ .
Teorema 6 (Rockafellar). Dacă :f T R→ este o funcţie
convexă proprie arbitrară definită pe o mulţime nevidă şi
convexă dintr-un spaţiu local convex separat Hausdorff
oarecare X , cu dualul *X , astfel încât ( ) int( )dom f T∩ ≠ ∅ sau
f are măcar un punct de continuitate în ( ) int( )dom f T∩ , atunci
0t T∈ este soluţie a problemei de optimizare
( )P min ( ) :f t t T∈
numai dacă 0 0( ) ( , )f t K T t∂ ∩ ≠ ∅ , unde 0( , )K T t este dualul
conului închis 0( )cone T t− , fiind definit prin
* * *0 0( , ) : ( ) 0, ( )K T t x X x x x cone T t= ∈ ≥ ∀ ∈ − .
217
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Demonstraţie. 0t T∈ este soluţie pentru ( )P numai dacă
minimizează aplicaţia Tf I+ , deci numai atunci când
00 ( )( )Tf I t∈ ∂ + . Dar, în condiţiile indicate,
0( )( ) ( ) ( ) ( ) ( , ), ( )T Tf I t f t I t f t K T t t dom f T∂ + = ∂ + ∂ = ∂ − ∀ ∈ ∩ .
Evident că mulţimea soluţiilor problemei ( )P conţine cel mult
un element dacă f este strict convexă.
Corolarul 6.1. În condiţiile teoremei precedente, dacă
:f T R→ este o funcţie convexă, proprie, inferior
semicontinuă, atunci:
(i) *inf( ) (0)f f= − ;
(ii) f îşi atinge infimumul numai dacă *f este subdiferenţiabilă
în origine, iar mulţimea punctelor de minim este *(0)f∂ , convexă
şi închisă;
(iii) mulţimea punctelor de minim pentru f este nevidă şi
mărginită numai dacă *0 int[ ( )]dom f∈ ;
(iv) pentru nT R∅ ≠ ⊆ ( *n N∈ ), mulţimea punctelor de minim
constă dintr-un unic element reprezentat de gradientul în origine
al conjugatei *f numai dacă aceasta este diferenţiabilă în 0.
Un alt caz particular important şi în aplicaţiile cu spectru
economic este următorul : fie nT R∅ ≠ ⊆ o mulţime convexă şi
programul
218
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
1( )P 1min ( ) :f t t T∈
unde 1 : ( ) 0, 1, , ( ) 0, 1,i jT t T f t i p f t j p q= ∈ ≤ ∀ = = ∀ = +
(mulţimea soluţiilor posibile),
*, , , , : ( 1, )ip q N p q f f T R i p∈ < → = funcţii convexe, iar
: ( 1,jf T R j p q→ = + ) aplicaţii afine, deci de tipul
( ) , , , 1,jf t t t T j p qα β= ⟨ ⟩ + ∀ ∈ ∀ = + , cu nRα ∈ , Rβ ∈ arbitrari şi
.,⟨ ⟩ produsul scalar uzual din spaţiul Euclidian nR .Orice element
1 2( , , ..., ) qq Rχ χ χ ∈ pentru care 0, 1,i i pχ ≥ ∀ = , iar infimumul
funcţiei convexe proprii 1
q
i ii
g f fχ=
= + ∑ este real şi coincide cu
min ( ) :f t t T∈ se numeşte vector(de tip)
Kuhn-Tucker. În limbaj economic, coeficienţii ( 1, )i i qχ = sunt
interpretaţi ca preţuri de echilibru, iar ( )f t costul soluţiei
posibile t .
Teorema 7. Dacă 1 2( , ,..., ) qq Rλ λ λ ∈ este un vector
Kuhn-Tucker al problemei
1( )P , 1 1, : 0iI i p λ= = = , 2 11,2,..., \I q I= ,
2 ; ( ) ( ), T t T g t g t t T= ∈ ≤ ∀ ∈ , atunci mulţimea tuturor
219
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
soluţiilor veritabile (optimale) pentru 1( )P este
3 2 1 2 : ( ) 0, , ( ) 0, j I i jT t T f t i I f t= ∈ ≤ ∀ ∈ = ∀ ∈% % % .
Demonstraţie. ( ) 0, 1, , i if t i q t Tλ ≤ ∀ = ∀ ∈ soluţie
posibilă pentru 1( )P , deci ( ) ( )g t f t≤ cu egalitate numai dacă
t este soluţie posibilă şi ( ) 0, 1,i if t i qλ = ∀ = .
Corolarul 7.1. Dacă fiecare funcţie ( 1, )if i p= este şi
inferior semicontinuă, iar t% este un punct de minim unic pentru
g, atunci t% este soluţia optimală unică a programului 1( )P .
Observaţia 2. Sunt situaţii când nu există vectori de tip
Kuhn-Tucker. Astfel, pentru
2 21 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2, ( , ) 3 , ( , ) , ( , ) 7T R f x x x f x x x f x x x x= = = = −
programul corespunzător are originea ca o unică soluţie posibilă.
Dacă ar exista un vector Kuhn-Tucker 1 2( , )λ λ , atunci
1 2, 0λ λ ≥ şi 2 21 1 2 2 2 1 1 20 3 ( 7 ) , ( )x x x x x Rλ λ λ≤ + − + ∀ ∈ , o
contradicţie.
Observaţia 3. Programele de tipul 1( )P pot fi abordate şi
folosind tehnica multiplicatorilor lui Lagrange, care oferă
totodată caracterizări pentru vectorii Kuhn-Tucker. Astfel,
Lagrangianul (funcţia lui Lagrange) ataşat (ataşată) programului
1( )P este aplicaţia : q nL R R× dată prin
220
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
0( ) , ( ) , , ;( , ) , , ;
, \n
f t f t S t TL t S t T
t R T
α αα α
+ < > ∈ ∈= − ∞ ∉ ∈ + ∞ ∈
unde
1 2 0 1 2 ( , ,..., ) : 0, 1, , ( , ,..., )qq i qS R i p f f f fα α α α α= = ∈ ≥ ∀ = =
iar ,< ⋅ ⋅ > seminifică produsul scalar uzual din qR . Orice cuplu
( , )t S Tα ∈ × cu proprietatea
( , ) ( , ) ( , ), ( , )L t L t L t t S Tα α α α≤ ≤ ∀ ∈ × se numeşte
punct şa pentru L.
Observaţia 4.
1 21
( , ) inf ( ) : ( , ,..., ) q
i i q ti
L t f t Sα α β β β β β=
= + = ∈∑ unde
: ( ), 1, , ( ), 1, .qt i i j jS R f t i p f t j p qβ β β= ∈ ≥ ∀ = = ∀ = +
În limbajul economiilor de piaţă, ( , )L tα reprezintă costul
minim pentru a-l obţine pe t când din variaţiile de preţ se alege
α . Următoarea teoremă surprinde o conexiune imediată dintre
punctele şa, vectorii Kuhn-Tucker şi soluţiile optimale ale
programului 1( )P
221
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
Teorema 8. 1 2( ( , , ..., ), )q t S Tα α α α= ∈ × punct şa pentru L
numai dacă α este vector Kuhn-Tucker şi t soluţie optimală a
programului 1( )P , condiţii îndeplinite numai atunci când
(i) 0, ( ) 0, ( ) 0, 1,i i i if t f t i pα α≥ ≤ = ∀ = ;
(ii) ( ) 0, 1,jf t j p q= ∀ = + ;
(iii)1
0 ( ) ( )q
i ii
f t f tα=
∈ ∂ + ∂∑ .
Demonstraţie. ( , )t S Tα ∈ × punct şa pentru L numai dacă t
este soluţie posibilă a programului 1( )P şi
inf ( ) : ( ) ( )g t t T g t f t∈ = = , adică α vector Kuhn-Tucker
şi t soluţie optimală. Totodată,
1( ) inf ( ) : 0 ( ) ( ) ( ).
n
i ii
g t g t t T g t f t f tα=
= ∈ ⇔ ∈ ∂ = ∂ + ∂∑
222
Vasile Postolică Eficienţă şi Optimizare
223