변화하는 자기장과 전자기 유도 * 제 18 장
정전류에 의한 자기장 – 변화하는 자기장과 전자기 유도 – (물질의 자기적 성질) – 교류 회로
이 장에서는...
1. 전자기 유도
2. 유도 기전력과 Faraday 법칙
3. 유도 전기장
4. 상호(mutual) 인덕턴스와 자체(self) 인덕턴스
5. 자기 에너지
6. R-L 직류 회로
7. R-L-C 직류 회로
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변화하는 자기장과 전자기 유도 * 제 18 장
전자기 유도
코일에 유도 기전력(induced emf)에 의한 유도 전류(induced current)가 흐르는 실험적인 상황들
● 영구 자석과의 거리가 가까워지거나 멀어질 때
● 전류가 흐르는 다른 코일과의 거리가 가까워지거나 멀어질 때
● 인접한 다른 코일에 흐르는 전류가 변할 때
● 일정한 자기장을 수직으로 자르고 지날 때
● 면적 벡터가 자기장에 수직한 축에 대해 회전할 때
코일에 자석이 다가올 때 코일에서 자석이 멀어질 때
유도 기전력은 코일(coil)을 통과하는 자기 선속(magnetic flux; B )의 변화에 의해 발생!
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유도 기전력의 크기와 방향; Faraday 법칙 & Lenz 법칙
자기 선속(자속)은 자기장과 코일 면적 벡터의 스칼라곱
B = Bcos A = B⋅A , 또는 B =∫Bcosda =∫B⋅d a
* 자속의 단위는 Wb /Weber/ ( 1 T = 1 Wb/m2 )
Faraday 법칙: 코일에 발생하는 유도 기전력의 크기는
코일을 통과하는 자기 선속의 시간 변화율과 코일의 감은
횟수에 비례
Lenz 법칙: 방향은 자기 선속 변화의 반대 (상쇄 방향)
∣ℰ∣ = NdB
dt 또는 ℰ = − N
dB
dt (N 감은 횟수)
자기장의
세기
코일의
면적
면적
벡터의
방향
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(예제) 균일한 자기장 속에서 운동하는 직선 도선 양 끝 사이의 전위차
Lorentz 힘에 의한 접근 Faraday 법칙에 의한 접근
도선 속의 전자에 가해지는 Lorentz 힘
F = qv ×B = qv B y
그림의 전하 분포에 의해 전기장 E = −E y 발생;
막대가 계속 속도 v로 이동하면 전자에 가해지는
Lorentz 힘과 전기장에 의한 힘이 평형을 이루므로
∣−qE y∣ = ∣qvB y∣ 또는 E = v B
길이 L 인 도선 양 끝의 전위차는 V = E L = v BL
(자기장 등은 조건 같음) 긴 ㄷ 자 모양의 도선 위에서
운동하는 직선 도선; 그림의 화살표에 둘러쌓인 면적 A
의 증가율은 dA/dt = Ldx /dt , 이 면적을 지나는 총
자속은 B = B A이므로, Faraday 법칙에 의해 다음과
같은 유도 기전력 발생; 전위차에 해당!
∣ℰ∣ =dB
dt= B
dAdt
= BLdxdt
= BLv
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(예제) Faraday의 원판 발전기; 균일한 자기장 속에서 회전하는 도체판의 중심과 가장자리 사이의 전위차
Lorentz 힘에 의한 접근 Faraday 법칙에 의한 접근
중심으로부터 거리 r 인 지점에서 속도 v로 운동하는
단위 전하가 받는 힘은 v × B (Lorentz 법칙);
미소 거리 d r 양 끝 사이의 전위차는
dℰ = d r ⋅v × B = v Bdr ( v ⊥ B , dr ∥ v × B )
중심과 가장자리 사이 전위차(기전력)는
ℰ = ∫0
Rv Bdr = B∫0
Rr dr =
12BR2
원판의 임의의 기준축(반지름)이 시간 dt 동안 휩쓰는
면적은 dA = R2dt /2 ;
면 dA를 통과하는 자속은
dB =12
R2Bdt
Faraday 법칙에 의해 유도 기전력(전위차)은
ℰ =dB
dt=
12
R2B
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Faraday disk
(homopolar/monopolar generator)
유도 전기장
정지해 있는 고리형 도선에도 유도 기전력 발생 가능
● 자기력(Lorentz 힘)에 의한 전자의 이동으로 해석할 수 없음
● 시간에 따라 변하는 자속 이 전기장을 만들어낸 것으로 해석; 유도 전기장
유도 전기장은 보존 역장(conservative field)이 아니다!
∮CE⋅d l = ℰ ≠ 0 또는 ∮C
E⋅d l = −dB
dt (Faraday 법칙에 의해)
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상호 인덕턴스
두 코일(각각 (1), (2))이 서로 나란히 놓여 있으며 (1)번 코일만 스위치를 통해 전원에 연결되어 있을 때
(1)번 코일의 스위치를 닫아 전류가 통하면 자기장이 발생,
(2)번 코일에도 자속의 변화에 따라 유도 기전력이 생겨난다.
ℰ2 =−N2
dB2
dt( N2 는 (2)번 코일의 감은 횟수, N2B2 는 (2)번 코일을 지나는 총 자속)
(2)번 코일을 지나는 총 자속은 (1) 번 코일에 흐르는 전류에 비례 ; 비례 상수 M21
N2B2 = M21 I1
ddt
N2B2 =ddt
M21I1 또는 N2
dB2
dt= M21
d I1dt
(코일의 형태와 상대 위치 변하지 않을 때)
그러므로 (2)번 코일에서의 유도 기전력은 (1) 번 코일에서의 전류 변화율에 비례
ℰ2 =−M21
d I1dt
비례 상수 M21 는 상호 인덕턴스(mutual inductance); M21 =N2B2
I1=
N1B1
I2= M12 ≡ M
어떤 코일에 흐르는 전류에 의한 자기장이 다른 코일에 영향을 미치는 정도 (기하학적 구조에만 관계)
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자기 인덕턴스
하나의 코일에서도 전류가 바뀔 때 자기장의 변화에 의해 자체 유도 기전력(self-induced emf) 발생
이 경우에도 유도 기전력은 코일을 흐르는 전류의 변화율에 비례
ℰ = −L d Idt
비례 상수 L은 자기 인덕턴스(self inductance); L =N
I
인덕터(inductor) 또는 초크(choke): 자체 유도 기전력을
이용해 자기 에너지를 저장하는 회로의 구성 요소;
L
* 인덕턴스의 단위는 H /Henry/
( 1 H = 1 Wb/A = 1 V⋅s/A = 1 ⋅s )
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인덕터에 저장되는 에너지
자기 에너지 저장의 의미; 흙으로 언덕 쌓기
– 쌓는 비율은 일정 (일정한 인덕턴스 L)
– 흙을 끌어올리는 동안 일을 하고, 언덕이 높아질수록 더 힘이 든다.
인턱터가 포함된 회로에 전류가 흐르면 전류의 증가
방향과 반대로 유도 기전력 ℰ ( V i ) 발생; 이 유도 기전력을
극복하고 인턱터 양 끝의 전위를 회로 전체의 전위로
유지하기 위해 일을 해줘야 함 (누가? 외부 기전력이!)
어떤 순간 회로에 흐르는 전류 i, 이 전류의 변화율이
di /dt일 때 인덕터 양 끝의 전위차는 ℰ i = Ldi /dt
이 전위차를 극복하고 전류 i 가 회로에 흐르게 하기 위해 필요한
일률은 dW /dt = ℰ i i = L idi /dt ; 시간 dt 동안 한 일은 dW = Li di
회로의 전류가 0 I 까지 증가하는 동안 한 일은
W =∫0
IL idi = 1
2L I2
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자기장 에너지와 에너지 밀도
회로에 전류 I 만큼 흐르도록 해준 일은
인덕터가 가지게 된 에너지 &
인덕터의 코일 속에는 자기장이 생성
☺
☞
자기장 안에도 에너지 있다!
(전기장에도 있었으니까,
전자기장 안에 에너지 있다!)
인덕터에 저장된 내부 에너지 U 는 다음과 같고;
이 에너지는 자기장 형태로 저장된다.
U = W =12
L I2
단면적 A 인 코일이 N 번 감겨 있는 반지름 r 인 고리형
솔레노이드(toroidal solenoid)의 인덕턴스는
L =0N2 A
2r(참고) 교재 p. 403-404 예제 8
자기장 에너지와 에너지 밀도(energy density)는 각각 다음과 같다.
U =12
L I2 =12
0N2 A
2 rI2 , u =
U2 r A
=B2
20 ( u ... 자기장이 가지는 에너지 밀도; 15 장 참고)
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R-L 직류 회로
저항 장치(R)와 인덕터(L ; 자기 인덕턴스)로 구성된 직류 회로
(제 16 장 R-C 직류 회로 참고)
스위치 S1 닫았을 때(인덕터에 자기 에너지 저장)
외부 기전력 ℰ (전압 V), 저항 R, 그리고 인덕터 L 로
이루어진 폐회로에 대해 Kirchhoff 법칙 적용
V − I R − L d Idt
= 0 또는 −VR
I−1
d I = −RL
dt
적분하면 It = V /R Be−Rt /L ; 초기 조건 I0 = 0 이라 두면
I = I t = VR1 − e−Rt /L
( L/R은 유도 시정수)
스위치 S1 을 열고 S2 닫았을 때(자기 에너지 방출)
앞서와 동일한 Kirchhoff 법칙에서 V = 0으로 두고 계산; 초기 조건 I0 = V /R 이라 두면
I = I t = VR
e−Rt /L ( L/R은 유도 시정수; L/R time constant)
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R-L 회로에서는 전류가 쌓이며 자기 에너지 저장 (R-C 회로에서는 전하가 쌓이며 전기 에너지 저장)
자기 에너지 저장 곡선 자기 에너지 방출 곡선
I = I t = VR1 − e−Rt /L
I = I t = VR
e−Rt /L
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이상적 L-C 회로
저항(R)을 무시하고 인덕터(L)와 축전기(C)만으로 구성한 가상적인 회로
축전기 C 에 걸린 전위차에 의해 시계 반대 방향으로 전류 발생
vs. 인덕터 L 에서는 유도 기전력에 의해 시계 방향으로 유도 전류 발생
축전기의 기전력은 q/C , 인덕터에서의 유도 기전력은 Ld I /dt이므로,
회로에 대해 Kirchhoff 법칙을 적용하면
L d Idt
qC
= 0
회로에 흐르는 전류 I 는 축전기 전하의 시간 변화율, 즉 I ≡ dq /dt 이므로
d2qdt2
1
LCq = 0 (제 9 장 진동과 조화 운동 참고)
이런 형태의 미분 방정식은 단조화 진동자(simple harmonic oscillator)를 의미; 시간에 따라 진동하는 q ( t )
해는 다음과 같이 진동하는 형태로 주어지고(삼각 함수 또는 지수 함수),
q = qt = q0cos0t ( q0 진폭; 초기 위상각; 0 ≡ 1/LC 각진동수)
전류는 I = dqdt
= −q00sin0t 로 구해진다.
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축전기와 인덕터 사이의 장 에너지(field energy) 교환
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R-L-C 직류 회로
R-L-C를 모두 갖춘 회로: 진동하는 L-C 회로에 마찰(저항) R 추가
그림의 d-a가 연결되었을 때 Kirchhoff 법칙 적용하면;
L d Idt
I R qC
= 0 또는 d2q
dt2
RL
dqdt
1LC
q = 0
이런 형태의 미분 방정식은 감쇄 조화 진동자(damped harmonic oscil.);
시간에 따라 진동하면서 저항에 의해 줄어드는 q ( t ) .
해는 R, L, 그리고 C 의 관계; D ≡ RL
2
−4
LC의 부호에 따라
● D 0 : R2 4L/C (과감쇄 – overdamping)
q = A1e−t A2e−−t (
±≡ −R ± R2
− 4L /C /2L )
● D = 0 : R2= 4L/C (임계 감쇄 – critical damping)
q = e−R/2L tA1 A2 t ( A0 , A1 , A2 는 초기 조건으로 결정)
● D 0 : R2 4L/C (미급감쇄 – underdamping)
q = A0e−R/2Ltcos' t ( ' = 1/LC − R/2L2 )
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시간에 따른 각 감쇄(damping)의 특징
Underdamping
q = A0 e−R/2Ltcos' t ( ' = 1/LC − R/2L2 ) I = dqdt
축전기에 걸린 전압
(전하량 q 에 비례)
저항에 걸린 전압
회로를 흐르는 전류
(전하량 q 의 변화율)
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Overdamping Critical damping
q = A1 e−t A2 e−
−t
( ±≡ −R ± R2
− 4L /C /2L )
I = dqdt
(극값을 갖지 않는다!)
q = e−R/2L t A1 A2 t
I = dqdt
(극값을 가진다!)
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