Download - Ecuații de gradul Ii
ECUAŢIA DE GRADUL ECUAŢIA DE GRADUL DOIDOI
2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a
Forma generalForma generalăă2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a
20 0, , ; 0b ax c a c R a 20 0, , ; 0c ax bx a b R a
20 0, ; 0b c ax a R a
Forme particulareForme particulare
Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul Natura soluţiilor ecuaţiei de gradul doidoi depinde de semnul numaruluidepinde de semnul numarului ΔΔ
Relaţiile lui Viète Relaţiile lui Viète 2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a
1 2
1 2
bx xa
cx xa
bSacPa
22 21 2 1 2 1 2
23 31 2 1 2 1 2 1 2
24 4 2 2 2 21 2 1 2 1 2
2 21 2 1 2 1 2
2
3
2
( ) ( ) 4
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
FORMULE UTILE !FORMULE UTILE !2 2 21 2
3 3 31 2
4 4 2 2 21 2
21 2
21 2
2
3
( 2 ) 2
4
4
x x S P
x x S PS
x x S P P
x x S P
x x S P
François VièteFrançois Viète (1540 – 1608) (1540 – 1608)
François VièteFrançois Viète diplomat şi matematician francez, a fost unul dintre creatorii algebrei
mederne.
Date numerele reale x1 şi x2 calculăm
este ecuaţia care are ca soluţii numerele date.
1 2 1 2,S x x P x x
02 PSxx
Formarea ecuaţiei de gradul doi Formarea ecuaţiei de gradul doi când se cunosc soluţiilecând se cunosc soluţiile
unde x1 si x2 sunt soluţiile ecuaţiei
Descompunerea trinomului în factori liniari
212 xxxxacbxax
02 cbxax
Semnul soluţiilor ecuaţiei de Semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doigradul doi
00
00
00
00
Dacă:
00
0
Dată ecuaţia
Având în vedere proprietăţile amintite, cu ajtorul Având în vedere proprietăţile amintite, cu ajtorul cui putem stabili farcui putem stabili farăă a rezolva ecuaţia dacă soluţiile a rezolva ecuaţia dacă soluţiile xx11 şi x şi x22 au acelaşi semn sau semne contrare ? au acelaşi semn sau semne contrare ?
ÎNTREBARE ?ÎNTREBARE ?
2 0, , , ; 0ax bx c a b c R a
Semnul numSemnul număărulruluui i
Semnul numSemnul număărulruluui i
RĂSPUNS CORECT !RĂSPUNS CORECT !
PP
SS
Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi Semnele soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de semnul numarelor P şi depind de semnul numarelor P şi SS
!!! !!! NATURA ŞI SEMNUL soluţiilor NATURA ŞI SEMNUL soluţiilor ecuaţiei de gradul doi depind de ecuaţiei de gradul doi depind de semnele numerelor semnele numerelor Δ, P, SΔ, P, S
ΔΔ > 0 > 0 ( ( + + ))
P < 0P < 0 ( ( – – ))
S > 0S > 0 ++
S = 0 S = 0 00
S < 0S < 0 – –
P = 0P = 0 S > 0S > 0 ++
S < 0S < 0 – –
P > 0P > 0 ( ( + + ))
S > 0S > 0 ++
S < 0S < 0 – –
ΔΔ = 0 = 0P > 0P > 0( ( + + ))
S > 0S > 0 ++
S < 0S < 0 – –
P = 0P = 0 S = 0S = 0 00
ΔΔ < 0 < 0 -- --
1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x 1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x
1 2 1 2 1 2 1 2, , , 0, 0,x x R x x x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2 1 2, , , 0, 0x x R x x x x
1 2 1 2, , 0x x R x x
1 2,x x R
Natura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doiNatura şi semnul soluţiilor ecuaţiei de gradul doi
EXERCITIIEXERCITII
1. 1. Stabiliţi semnul soluţiilor fară a rezolva ecuaţiile:
2 5 0x x
2 7 3 0x x
23 7 2 0x x
23 5 2 0x x
ecuaţia are soluţii de semne opuse
ecuaţia are soluţii de acelaşi semn
ecuaţia are soluţii de semne opuse
ecuaţia are soluţii de acelaşi semn
1 1 20 ,x x x
1 20 , 0x x
1 1 20 ,x x x
1 20 , 0x x
SOLUŢIE CORECTĂ ?!SOLUŢIE CORECTĂ ?!
2 05 0
0P
x xS
2 07 3 0
0P
x xS
2 03 7 2 0
0P
x xS
2 03 5 2 0
0P
x xS
22. . Să se determine parametrul m pentru care soluţiile ecuaţiei sunt:
ambele pozitive de semne opuse ambele negative egale
EXERCIŢIIEXERCIŢII
2 2 3 0,x x m m R
m - ∞ 3 4 + ∞ΔΔ + + + + + + + + + + 0 - - - - - - - - - -
- PP - - - - - - - - 0 + + + + + + + + + + + + SS - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
SOLUŢIESOLUŢIE
ambele pozitive ΔΔ > 0 , P > 0 , S > 0 > 0 , P > 0 , S > 0 m
de semne opuse ΔΔ > 0 , P < 0 > 0 , P < 0 m ( - ∞. 3)
ambele negative ΔΔ > 0 , P < 0 , S < 0 > 0 , P < 0 , S < 0 m ( 3, 4)
egale negative ΔΔ = 0 , P > 0 , S < 0 = 0 , P > 0 , S < 0 m = 4
33. . Să discute natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei
după valorile parametrul real m.
Algoritm de lucru:Algoritm de lucru:calculăm ΔΔ, SS şi PPstabilim semnele acestor numere într-un tablou comunanalizând semnele pe intrevalele rezultate din tabloul de semn stabilim natura şi semnele soluţiilor ecuaţiei
EXERCITIIEXERCITII
2 3 2 1 0,x x m m R
Fie ecuaţia
determinaţi parametrul m aşa încât ecuaţia să aibă: soluţii reale pozitivesoluţii reale de semne opuse
Test de autoevaluareTest de autoevaluare
2 2 0,x x m m R