Download - Ecuaciones lineales
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Exposición de unExposición de un modeladomodeladoGustavo Canales Rivera
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EnunciadoEnunciado
El isotopo radiactivo del plomo, Pb-209,
decae a una rapidez proporcional a la
cantidad presente en el tiempo ´tµ y tiene
una vida media de 3.3 horas . Si al inicio
esta presente un gramo de este isotopo.
y ¿Cuánto tiempo tardara en decaer 90%
del plomo?
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DatosDatos
-Velocidad a la que decae
-Valores iníciales
kP V !
2
1)3.3( ! P
1)0( ! P
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Ecuación diferencialEcuación diferencial
P= cantidad de plomo gramos (g)
(variable dependiente)
t= tiempo segundos (s)
(variable independiente)
k= constante de proporcionalidad
kP dt
dP !
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Ecuaciones linealesEcuaciones lineales
Forma estándar de una E. lineal
-Homogéneas ( no existe f(x) )
-No homogéneas ( existe f(x) )
)()( x f y x P d x
d y!
d x x f eece y
ce y
d x x P d x x P d x x P
d x x P
)()()()(
)(
´´´´!
´!
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AcomodamosAcomodamos
P(x)=k f(x)=0
Como f(x) no existe entonces decimos que nuestra
ecuación es homogénea y obtenemos la solución general:
k dt
d ! 0! k
dt
d
dt k
ce P ´!
kt cet P
!)(
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Obtenemos constantes ́ kµ y ́ cµObtenemos constantes ́ kµ y ́ cµ
1)0( ! P kt cet P !)(-
Solución particular 1
)0(
1
k
ce
!
01 ce!
)1(1 c! 1!c
kt
et P
!
)(
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-
Solución particular 2
kt et P !)(
2
1)3.3( ! P
)3.3(
2
1 k e!
)3.3(21 k In !
k
In
! 3.3
2
1
2100446.!k
t et P 2100446.
)(
!
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Regresando al problemaRegresando al problema
¿Cuánto tiempo tardara en decaer 90% del plomo?
- t et P 2100446.)( !
10
1)( !t P
t
e2100446.
10
1
!
t In 2100446.
10
1!
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El tiempo que tarda en decaer el 90% del
plomo es de 10.96 hrs ó
10: 57:36 (hrs:min:s)
t
In
! 2100446. 10
1
96.10!t
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GraficaGrafica