Ecuaciones diferenciales
Matemáticas Avanzadas
Alumno: Rolando Fernando
Echavarría Velázquez
Profesor: Lic. Edgar Mata Ortiz
Grupo: 7º ‘’A’’ T.M.
Concepto de ecuaciones
diferenciales Una ecuación diferencial es una expresión que
involucra a una función desconocida y sus
derivadas.
Ejemplo:
Y+Y¹= 0
Definición de y
Y’ = Y prima
Y’’= Y biprima
Las ecuaciones diferenciales se clasifican en :
-Ordinarias
-Parciales
Orden de una ecuación diferencial: Son los
grados y El orden de la derivada máxima que
aparece en la ecuación
Solución de una ecuación
diferencial
La solución en una función
desconocida’’ y’’ la variable
independiente ‘’X’’ definida en un
intervalo y es una función que satisface
la ecuación diferencial para todos los
valores de ‘’X ‘’en el intervalo
1-. Solución Y’’ + 4y =0
Y= sen2x + cos2x
Y’= 2cos2x – 4cos (2x)
Y’’= – 4sen2x – 4 cos (2x)
La comprobación nos arroja
– 4sen2x – 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0
– 4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0
Esto nos arroja una solución general
2-. Y= 5sen2x + 3cos2x
5 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x)
Y¹= – 6sen2x + 10cos2x
Y¹¹= – 20sen2x – 12cos2x
Comprobación :
–20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x) = 0
– 20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x= 0
Esto nos arroja una solución particular
Comprobar
3-. Y= X² – 1 es solución de (Y¹) +Y² = – 1
Y¹ = 2x
2x + (x² – 1 ) ²= 1
4-. Y’ + Y² = 0
Y= 1
𝑥
Y’= –1
𝑋²
Y’’= 2
𝑋³
–1
𝑋²+ – (
1
𝑋)² = 0
–1
𝑋²+ –
1
𝑋²= 0
5-. Y = 𝑒2𝑥
Solución :Y’’ + Y’ – 6 Y = 0
Y’=2 𝑒2𝑥
Y’’= 4 𝑒2𝑥
Comprobacion:
4 𝑒2𝑥 + 2 𝑒2𝑥 – 6 ( 𝑒2𝑥) = 0
6 𝑒2𝑥 – 6 𝑒2𝑥 = 0
6-.Y= 𝑒^(−2𝑥) + 𝑒^3𝑥
Solución :Y’’ + Y ‘ - 6Y = 0
Y ‘ = - 2 𝑒−2𝑥 + 3 𝑒3𝑥
Y’’ = - 4 𝑒−2𝑥 + 9𝑒3𝑥
Comprobación
-4 𝑒−2𝑥 + 9 𝑒3𝑥 - 2 𝑒−2𝑥+ 3 𝑒3𝑥 - 6 (𝑒−2𝑥 +
𝑒3𝑥) =0
7-. Y= x² + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥
Solución : y¨ + y´- 2y = 2(1+ x - x2 )
Y’ = 2 x² + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥
Y’’ = 2 + 𝑒𝑥 + 4 𝑒−2𝑥
2+ 𝑒𝑥 + 4 𝑒−2𝑥 + 2x + 𝑒𝑥 - 2 𝑒−2𝑥 -2 (x² + 𝑒𝑥 + 𝑒−2𝑥)= 0
2 + 𝑒𝑥 + 4 𝑒−2𝑥 + 2x + 𝑒𝑥 - 2 𝑒−2𝑥- 2 x²- 2 𝑒−2𝑥 =
2( 1+ X - x² )
2( 1+ X - x² ) = 2( 1+ X - x² )
8-.Y= C1 𝑒2𝑥 + C2 𝑒2𝑥
Solución : y‘’ - 4y´ + 4y = 0
Y’= 2 C1 𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑥𝑒2𝑥 + C 2 𝑒2𝑥
Y’’= 4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥
Comprobación
=4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥 - 4(2 C1 𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑥𝑒2𝑥 + C 2 𝑒2𝑥 ) + 4 (C1 𝑒2𝑥 + C2 𝑒2𝑥 ) =0
4 C1 𝑒2𝑥 + 4C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 2C 2 𝑒2𝑥 + 2 C2 𝑒2𝑥 - 8C1 𝑒2𝑥 -8C 2 𝑥𝑒2𝑥 - 4 C 2 𝑒2𝑥 + 4C1 𝑒2𝑥 + 4 C2 𝑒2𝑥 = 0
8C1 𝑒2𝑥 + 8C 2 𝑥𝑒2𝑥 + 4 C 2 𝑒2𝑥 -12C2 𝑒2𝑥 - 8 C1 𝑒2𝑥 = 0
Y= 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑦
𝑥
∫ 𝑑𝑦
𝑦= ∫
𝑑𝑥
𝑥
Lny= Lnx + l n C1
Lny = LnC1x
Aplicado antilogaritmos
Y= C1x
Comprobación
Y= C1x𝑑𝑦
𝑑𝑥= C1
Comprobación:
𝒚 = 𝑪𝟏𝒙𝒅𝒚
𝒅𝒙= 𝑪𝟏
Sustituyendo:𝒅𝒚
𝒅𝒙=𝒚
𝒙
𝑪𝟏 =𝑪𝟏𝒙
𝒙𝑪𝟏 = 𝑪𝟏
𝒅𝒚
𝒅𝒙=
𝒙
𝒚
𝒚𝒅𝒚 = 𝒙𝒅𝒙
𝒚𝟐
𝟐=𝒙𝟐
𝟐+𝑪𝟏
𝟐2
𝒚𝟐 = 𝒙𝟐 + 𝑪𝟏
Ecuaciones diferenciales exactas1-. 𝑥2 + 2𝑥𝑦 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑦2dy = 0
𝑀 = 𝑋2 + 2𝑥𝑦 + 𝑥
𝑁=𝑦2
∂ 𝑀∂ 𝑦
=2𝑥∂ 𝑁∂ 𝑥
=0
5𝑥 + 4𝑦 𝑑𝑥 + 4𝑥 − 8𝑦3 𝑑𝑦 = 0𝑥 5𝑑𝑥 + 4𝑑𝑦 + 4𝑦 𝑑𝑦 − 2𝑦2𝑑𝑦 = 05𝑥𝑑𝑥 + 4𝑦𝑑𝑥 + 4𝑥𝑑𝑦 − 8𝑦3𝑑𝑦 = 0
No existe posibilidad para separar las variables , por lo tanto se tiene que buscar otro metodo
𝑀 = 5𝑥 + 4𝑦 𝑁 = 4𝑥 − 8𝑦3
∂ 𝑀∂ 𝑦
= 4∂ 𝑁∂ 𝑥
=4
Si es una ecuación diferencial exacta por que :
∂ 𝑀∂ 𝑦
= 4 es igual a ∂ 𝑁∂ 𝑥
=4
2-. 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0
𝑀 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 𝑁 = 𝑥𝑦
∂ 𝑀∂ 𝑦
= 2𝑦∂ 𝑁∂ 𝑥
=𝑦
No es exacta porque: ∂ 𝑀∂ 𝑦
= 2𝑦
son diferentes ∂ 𝑁∂ 𝑥
=𝑦
A veces es posible encontrar un factor ( que llamamos factor
integrante), el cual al multiplicarse por la ecuación diferencial
la convierte en exacta. Para encontrar este factor integrante
Se usa la siguiente formula:
utilizamos este resultado para obtener el factor integrante por
medio de la expresión:
𝜇 𝑥 = 𝑒 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒 1
𝑥𝑑𝑥 𝑒
𝑑𝑥
𝑥 𝑒𝑙𝑛𝑥 = 𝑥Ahora multiplicamos la ecuación diferencial original por este
integrante y el resultado de la multiplicación será una ecuación
diferencial exacta.
𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0 𝑥𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 + 𝑥2𝑦𝑑𝑦 = 0
𝑀 = 𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2 𝑁 = 𝑥2𝑦
∂ 𝑀∂ 𝑦
=2𝑥𝑦∂ 𝑁∂ 𝑥= 2𝑥𝑦
Simplemente aplicamos el método de solución de ecuaciones
diferenciales exactas:
Integramos: 𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥
𝑥3 + 𝑥𝑦2 + 𝑥2 𝑑𝑥 = 𝑥3𝑑𝑥 + 𝑦2 𝑥𝑑𝑥 + 𝑥2𝑑𝑥
𝑥4
4+ 𝑦2
𝑥2
2+𝑥3
3+ 𝑔𝑦
𝑓 =𝑥4
4+ 𝑦2
𝑥2
2+𝑥3
3+ 𝑔𝑦
‘’f’’’ significa función
𝑥2𝑦 + gy = 𝑥2𝑦
Simplificando:
+𝑔𝑦 = 𝑥2𝑦- 𝑥2𝑦 𝑔𝑦=0
Si 𝑔𝑦=0 entonces gy= C1
Por lo tanto la función buscada es :
Y la solución se obtiene igualando esta función a una
constante C2:
𝑥4
4+ 𝑦2
𝑥2
2+𝑥3
3+ 𝐶1 = 𝐶2
Simplificando𝑥4
4+𝑥2𝑦2
2+𝑥3
3+ 𝐶
Multiplicando por 12 3𝑥4 + 4𝑥3 + 6𝑥2𝑦2 + 𝐶
3-. 3𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 0SOLUCION : 3𝑥2 + 𝑦2
𝑀 = 3𝑥2 + 𝑦2 𝑁 = −2𝑥𝑦𝑑𝑦𝜕𝑀
𝜕𝑦= 2y
𝜕𝑁
𝜕𝑋= −2y
No son exactas por lo cual se aplica la formula para encontrar el factor integrante: 𝜕𝑀
𝜕𝑦−𝜕𝑁
𝜕𝑥
𝑁= 2𝑦−(−2𝑦)
−2𝑥𝑦=2𝑦+2𝑦
−2𝑥𝑦=
4𝑦
−2𝑦=−2
𝑥
𝜇 𝑥 = 𝑒 𝑔 𝑥 𝑑𝑥 =
𝑒 −2
𝑥𝑑𝑥 𝑒−2
𝑑𝑥
𝑥 𝑒𝑙𝑛𝑥−2
= 𝑥−2 =1
𝑥2
3𝑥2 + 𝑦2 𝑑𝑥 − 2𝑥𝑦𝑑𝑦 = 01
𝑥2
3 +𝑦2
𝑥2𝑑𝑥 −
2𝑦
𝑥𝑑𝑦 = 0
𝑀 = 3 +𝑦2
𝑥2𝑁 = −2𝑦
𝑥
𝜕𝑀
𝜕𝑦=2𝑦
𝑥2𝑢 = −2𝑦 𝑣 = 𝑥
𝑣𝑑𝑢
𝑑𝑥−𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2
𝑑𝑢
𝑑𝑥= 0
𝑑𝑣
𝑑𝑥= 1
𝜕𝑁
𝜕𝑥=𝑥 0 − 2 −2𝑦 (1)
(𝑥)2
𝜕𝑁
𝜕𝑥= 2𝑦
𝑥2
Integramos : 3 +𝑦2
𝑥2dx
3 +𝑦2
𝑥2dx =3 𝑑𝑥 + 𝑦2
𝑑𝑥
𝑥2= 3𝑥 + 𝑦2 𝑥−2
𝑓 = 3𝑥 + 𝑦2𝑥−1
−1+ 𝑔𝑦
𝑓 = 3𝑥 −𝑦2
𝑥+ 𝑔𝑦
Determinar : 𝑔𝑌𝜕𝑓
𝜕𝑦= −
2𝑦
𝑥+ 𝑔𝑦
−2𝑦
𝑥+ 𝑔𝑦=−
2𝑦
𝑥
𝑔𝑦=−2𝑦
𝑥+2𝑦
𝑥= 𝑔𝑦=0
Sustitución 𝑓 = 3𝑥 −𝑦2
𝑥+ 𝐶1 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛: 3𝑥 −
𝑦2
𝑥+ C1 = C2
Reduciendo 3𝑥 −𝑦2
𝑥= C 𝑥
Multiplicando por x 3𝑥𝑦2
𝑥= C 𝑥
Solución = 3𝑥2 − 𝑦2 = 𝐶𝑥