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Ecuaciones binomias y trinomias
Ecuación binomia
Es una ecuación compuesta por dos términos en donde uno de los cuales es independiente de la incógnita.
Genéricamente una ecuación binomia se representa por la fórmula:
Resolución de ecuaciones binomias
El método más práctico de resolver ecuaciones binomias lo encontramos en la factorización o descomposición de factores.
Resolver las ecuaciones
Ecuación trinomia o cúbica
Son ecuaciones ordenadas respecto a x, que constan de tres términos y vienen dadas por la fórmula general , donde el primer término tiene un exponente doble en comparación con el segundo término y el tercer término es independiente de x.
La ecuación trinomia , también puede escribirse de la forma:
Donde aplicando la ecuación general de segundo grado se halla el valor de , y extrayendo la raíz enésima se encuentran los valores de x. Las ecuaciones trinomias que presentan como primer término , reciben el nombre de ecuaciones cuadráticas.
Enunciados
Se sabe que el volumen de un cubo es igual al valor de su arista elevada al cubo
Entonces:
Funciones exponencial y logarítmica
Función exponencial
En forma general la función de la forma se denomina función exponencial con b como base, x es la variable independiente.
Función exponencial de base e
Son las funciones que vienen dadas por la fórmula y que reciben el nombre de función exponencial natural.
Función logarítmica
Recordemos que la potenciación y la logaritmación son operaciones inversas. En la potenciación, conocida la base y el exponente, se halla el valor de la potencia, en la logaritmación, conocida la base y la potencia se halla el exponente.
La función , permite intercambiar su dominio y rango sin que deje de ser función. Es decir invertir el orden de las parejas ordenadas, a estas funciones con estas características se les llama funciones inversas y se denotan por , que se lee x a la menos uno de x. Para obtener la expresión correspondiente a una función inversa, en cualquier función, se reemplaza la variable x por la variable y, y se despeja la variable y.
Por lo tanto si , entonces pero como lapotenciación y la logaritmación son operaciones inversas entonces:
En la figura se observa que el dominio de la función es el conjunto de los R+, y elrango el conjunto de los R. Cuando la base es el número e, la abreviatura de lafunción logarítmica de base e es ln y su expresión será:
Logaritmos comunes
Son los logaritmos decimales, que es el sistema empleado generalmente y que tienen por base el número 10. La aplicación de los logaritmos es facilitar los cálculos numéricos en los que intervienen operaciones de multiplicación, división y potencias de números reales. En forma general se utiliza como se ha visto el símbolo log x, que representa en realidad para todo x >0. La tecla denominada que aparece en la calculadora sirve para hallar con aproximación los logaritmos decimales o comunes.
Recordando, nuevamente que la logaritmación es una operación inversa de la potenciación, se tiene que:
De estas potencias se pueden deducir las siguientes propiedades para los logaritmos comunes o logaritmos de base 10.
Log 1 = 0
Log 10 = 1......................log 0,1 = -1
Log 100 = 2....................log 0,01 = -2
Log 1000 = 3..................log 0,001 = -3
Log 10000 = 4.................log 0,0001 = - 4 etc.
También se puede concluir:
El logaritmo de todo número diferente de una potencia de base 10, es una fracción propia o un número entero más una fracción propia.
Se sabe por las propiedades anteriores que log 1 = 0 y log 10 = 1, entonces losnúmeros comprendidos entre 1 y 10 tendrán un logaritmo mayor que 0 y menor que 1; luego, su logaritmo será una fracción propia.
Así sucesivamente se tiene que log 100 = 2 y log 1000 = 3, entonces los números comprendidos entre 100 y 1000 tendrán un logaritmo mayor que 2 y menor que 3;luego, su logaritmo será 2 más una fracción propia.
Por esto log 564 = 2 + 0,751279 = 2,751279.
También el logaritmo de un número comprendido entre 0,01 y 0,001 será mayorque -3 y menor que -2; luego, será -3 más una fracción propia.
Característica y mantisa
Se ha visto que el logaritmo de todo número que no sea una potencia de base 10esta conformado por una parte entera y una parte decimal. La parte entera recibe el nombre de característica, y la parte decimal, mantisa.
Log 25 = 1,397940
La característica es 1 y la mantisa 0,397940 La mantisa siempre es positiva, pero la característica puede ser cero si el número esta comprendido entre 1 y 10; positiva, si el número es mayor que 10 o negativa si el número es menor que 1.
Las potencias de base 10 sólo poseen característica y su mantisa es cero.
Logaritmos naturales
Se ha definido también la función exponencial natural donde la funciónlogarítmica de base e se llama función logarítmica natural. Estas expresiones sesimbolizan como Los logaritmos naturales cumplenlas mismas propiedades de los logaritmos decimales o comunes, de esta manerase tiene que:
Ecuaciones logarítmicas y exponenciales
Una ecuación es exponencial o logarítmica cuando la incógnita está ubicada o expresada como exponente o logaritmo. En la solución de estas ecuaciones, las funciones logarítmicas y sus propiedades al igual que las de logaritmos naturalesson de gran aplicación y ayuda.
Ecuaciones exponenciales
En forma general una ecuación exponencial se describe como:
Que significa que para todo número a, real positivo diferente de 1, una función f esfunción exponencial de base a si y solo si el exponente de a pertenece a los números reales.
Resolver las siguientes ecuaciones
Ecuaciones logarítmicas
Como se dijo anteriormente, es la ecuación donde aparece el logaritmo de la incógnita.