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Ecuación de la recta
Prof. Mónica Lordi
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Ecuación de la recta
Las ecuaciones del tipo
y = mx + b
representan rectas en el plano
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Ecuación explícita de la rectaLlamaremos ecuación explícita de la recta a la expresión
y = mx + b
En esta ecuación se pueden distinguir los siguientes elementos:
Recuerda: las expresiones de la forma
y = mx + brepresentan rectas en el
plano
m = pendiente
b = ordenada al origen
x = variable independiente
y = variable dependiente
Ejemplos
• y= 3x+8
• y= x – 7 3
2
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Pendiente
En las ecuaciones • y = 4x , la pendiente es m =
4
y = 4x
y = 3x , la pendiente es m = 3
y = 2x , la pendiente es m = 2
y = x . la pendiente es m = 1
y = 3x
y = 2x
y = x
Se puede observar que la pendiente m
determina la “inclinación” de la
recta respecto del eje X
Observa las siguientes gráficas
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Ordenada al origenObserva, en la gráfica
La recta de ecuación
y= x + 2 , la ordenada al origen es b = 2
y = x + 2
2
1
0
-1
y = x + 1, la ordenada al origen es b = 1y = x + 1
y = x - 1
y = x – 1, la ordenada al origen es b = -1
La ordenada al origen b determina la
intersección de la recta con el eje Y
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Determinar la pendiente y la ordenada al origen de las ecuaciones de siguientes rectas:
• y = 3x - 11m = 3
b = -11
• y = -5x + 20m = -5
b = 20
3
2• y = x m =
3
2
b = 0
Veamos un ejemplo:
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Otros ejemplos de rectas
-4-3-2-1012345678910
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
y
-3-2-10123456789
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
x
y
• Recta creciente, ya que la pendiente es positiva.
• La recta crece dos unidades de y por cada unidad de x.
• Cuando x=0, la ordenada al origen es igual a 1.
• Recta decreciente, ya que la pendiente es negativa.
• La recta decrece una unidad de y por cada unidad de x.
• Cuando x=0, la ordenada al origen es igual 4.
xy 21 xy 4
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Otras formas de ecuaciones lineales
• Forma implícita: Ax + By + C = 0
• Forma segmentaria: Si una recta corta a los ejes en los puntos P = (p,0) y Q = (0,q) su ecuación en forma segmentaria es:
1q
y
p
x
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FORMA SEGMENTARIA
pq
1q
y
p
x
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Si la recta está escrita de otra forma, podemos escribirla en forma explícita y
luego identificar m y bEjemplo 1:
Determinar la pendiente y la ordenada al origen en la ecuación 2x + y – 8 = 0
y = -2x + 8
Se despeja y (de la misma forma que se
despeja cualquier ecuación)
2x + y = 0 + 8
Luego, m = -2 y b = 8
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Ejemplo 2:
Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación 4x – 8y + 16 = 0
y8
16
8
x4
Despejamos y
4x + 16 = 8y
y8
16
8
x4
y22
x1
m =
2
12
1
b = 2
4x – 8y + 16 = 0
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Ejemplo 3:
Encontrar la pendiente y la ordenada al origen de la recta de ecuación
y8
16
8
x4
2
1Despejamos y
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Ejercicio 1: Encontrar la pendiente y la ordenada al
origen de las siguientes rectas:
012y3x9 )f
014y2x7 )e
04yx2 )d
08yx3 )c
1x5
2y )b
1x3y )a
012y3x9 )f
014y2x7 )e
04yx2 )d
08yx3 )c
1x5
2y )b
1x3y )a
g)13Prof. Mónica Lordi
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Cálculo de la pendiente de una recta
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Cuando se tienen dos puntos cualesquiera de una recta
queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadas
y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos,
es decir:
(x1, y1) y (x2 ,y2 )
la pendiente m
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• Cuando se tienen dos puntos de una recta (x1, y1) y (x2 ,y2 )
(x2 , y2)
(x1 , y1)
y2 – y1
x2 – x1
m =y2 – y1
x2 – x1
la pendiente m queda determinada por el cociente entre la diferencia de las ordenadasy la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, es decir:
16
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(x2 , y2)
(x1 , y1)
x2 – x1
y2 – y1
Cálculo de la pendiente de una recta
x1 x2
y1
y2
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Ejemplo 1 • Calcular la pendiente de la recta que
pasa por los puntos ( 7 , 2 ) y ( 9 , 14)
Identificamos los valores de x1 , y1 ,
x2 , y 2
x1 y1x2 y2
Reemplazamos estos valores en la
fórmula
m =y2 – y1 =x2 – x1
14 – 2
9 – 7 =
12
2= 6
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Ejemplo 2• Calcular la pendiente de la recta que
pasa por los puntos ( -5 , 1 ) y ( 9 , -3)
Identificamos los valores de x1 , y1 ,
x2 , y 2
x1 y1 x2 y2
Reemplazamos estos valores en la
fórmula
m =y2 – y1 =x2 – x1
-3 – 1
9 – (-5) =
-4
14=
-2
7
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Ejemplo 3 Encontrar la pendiente de la recta del gráfico:
En este caso debemos identificar las coordenadas de dos puntos de la recta:
(5,0)
(0,4)( 0 , 4 ) y ( 5 , 0)
x1 y1 x2 y2
Identificamos los valores de x1 , y1 , x2 , y 2
Reemplazamos estos valores en
la fórmula
m =y2 – y1
x2 – x1
0 – 4
5 – 0
-4
5= =
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Ejercicio 2
I) Calcular la pendiente de la recta que pasa por los puntos:
• A) (3 , -6) y (-2 , -2)• B) (7 , -9) y (0 , -1)• C) (-3 , -4) y el origen• D) (3 , -4) y ( 2 , -6)
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II) Encontrar las pendientes de las rectas graficadas:
A) B)
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Puntos que pertenecen a una recta
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¿Cómo determinar cuando un punto pertenece
2
1
0
-1 -1 1 2 3
o no pertenece a una recta?
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¡Muy sencillo!¡Se reemplaza las coordenadas del punto dado (x , y)
en la ecuación y = mx + b!
Ejemplo 1: Determinar si el punto (1,3)
pertenece a la recta y = -3x + 6
( 1 , 3 ) Reemplazamos x = 1 , y = 3 en la ecuación
3 = -3 • 1 + 6 y resolvemos las operaciones para verificar si hay equilibrio entre ambos miembros
3 = -3 + 6
3 = 3Por lo tanto, el punto (1,3) pertenece a la
recta y = -3x + 6 25
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( -1 , 3 ) Reemplazamos x = -1 , y = 3 en la ecuación
3 = 2 • (-1) + 1 y resolvemos las operaciones para verificar si hay equilibrio entre ambos miembros
Por lo tanto, el punto (-1,3) no pertenece a
la recta y = 2x + 1
Ejemplo 2:
Determinar si el punto (-1,3) pertenece a la recta y = 2x + 1
3 = -2 + 1
3 = -1
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Ejercicio 3: Determinar si los puntos pertenecen a la
recta dada
• A) ( , 0) ; (-2 , 7) ; (0,1 ) a la recta y = -3x + 1
• B) (-3 , 1) ; (9,9) ; (-6,1) a la recta y = x + 3
• C) (4,2) ; (-6,-7) ; (-4,-4) a la recta 3x – 4y – 4 = 0
3
2
3
1
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Ecuación de la recta a partir de dos puntos del plano
y = mx + b
(x1, y1)
(x2, y2)
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Ecuación de la recta que pasa por dos puntos
• Sean P = (x1 ,y1) y Q = (x2 , y2 ) dos puntos de una recta. En base a estos dos puntos conocidos de la recta, es posibledeterminar su ecuación.
P(x1 , y1)
• Como P, Q y R pertenecen a la misma recta, se tiene que PQ y PR deben tener la misma pendiente, es decir
que también se puede expresar como:
Q(x2 , y2)
R(x , y)
• Tomemos un tercer punto R(x,y), también perteneciente a la recta.
y
Entonces:
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¿Y cómo usamos esta fórmula?
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2 , 4) y (5, 10)
Identificamos x1 , y1 , x2 , y2
x1 y1 x2 y2
Reemplazamos estos valores en la fórmulay – y1
x – x1
=y2 – y1
x2 – x1
y – 4
x – 2
10 – 4
5 – 2=
y – 4
x – 2=
6
3
y – 4
x – 2=
2
1
Efectuamos los “productos cruzados”
y – 4 = 2x - 4 ordenamos
y = 2x – 4 +4
y = 2x Y tenemos nuestra
ecuación
30
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Otra forma de enfrentar la misma tarea
• Se calcula la pendiente:
Determinar la ecuación de la recta que pasa por los puntos (2 , -4) y (6, 12)
Identificamos x1 , y1 , x2 , y2
x1 y1 x2 y2
y2 – y1
x2 – x1
=12 – (-4)
6 – 2=
16 4 = 4
• Se reemplaza m en la ecuación y = mx + b
y = 4x + b
• Se toman las coordenadas x e y de uno de los dos puntos y se reemplaza en la ecuación y = 4x + b
(2 , -4) -4 = 4•2 + b y despejamos b
-4 = 8 + b-4 – 8 = b
-12 = b
Finalmente reemplazamos b en
y = 3x + b , quedando y = 3x – 12
=m
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Ejercicio 4 : I) Encontrar la ecuación de recta que
pasa por los puntos
• A) (3,5) y (2, 8)• B) (-2 , -3) y (5 , 3)• C) (3 , 5 ) y ( -4, 5)• D) (-1, 1) y el origen
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II) Encontrar la ecuación de recta de los siguientes gráficos
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