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Aula 3 - ÁlgebraE
Ellís CarvalhoLuiz Afonso
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Nu(T) = {v ∈ V / T(v) = 0}
Im(T) = {w ∈ W / w = T(v), para algum v ∈ V}
Teorema: dim Nu(T) + dim Im(T) = dim V.
Revisando Núcleo e Imagem...
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T(v) = T(u) -> v = u
Uma transformação é injetiva se e somente se Nu(T) = {0}.
T: ℛ³→ℛ² T(x, y, z) = (x + y, x + z)
Transformação Injetiva
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w ∈ W -> ∃ v ∈ V / T(v) = w
Uma transformação é sobrejetiva se e somente se Im(T) = W ou dim Im(T) = dim W, onde W é o contra-domínio da transformação.
Transformação Sobrejetiva
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Uma transformação é bijetiva se ela for injetiva e sobrejetiva.
A isso, damos o nome de isomorfismo.
T é bijetiva -> dim V = dim W
Transformação Bijetiva
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Exercício
A partir disso, verifique injetividade e sobrejetividade para T, S, SoT e ToS.
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Para uma transformação linear possuir inversa, ela deve ser bijetiva.
Logo, dim V = dim W.
Inversa de uma transformação
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A matriz de uma transformação linear é uma forma de representar a transformação.
Seu uso se deve à facilidade que ela oferece, uma vez que a transformação “T(v) = u” pode ser feita pela multiplicação de matrizes:
[T]βα x [v]β = [u]α.
Onde [v]β é a representação do vetor ‘v’ na base β, [u]α o vetor ‘u’ na base α e [T]β
α a matriz da transformação T de β para α.
Matriz de uma transformação
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α = { u1, u2, ... , um }
β = { v1, v2, ... vn }
u = x1.u1 + x2.u2 + ... + xm.um
v = y1.v1 + y2.v2 + ... + yn.vn
Matriz de uma transformação
mx
x
x
u...2
1
ny
y
y
v...2
1
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
T
...
............
...
...
21
22221
11211
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Como achar [T]βα?
Observe que quando v = v1
E para esse v1, temos
Matriz de uma transformação
0
...
0
1
v
mx
x
x
uvT...
)( 2
1
1
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Como pode ter surgido T(v1) ?
x1 = 1.a11 + 0.a12 + ... + 0.a1n
x2 = 1.a21 + 0.a22 + ... + 0.a2n
...
Matriz de uma transformação
0
...
0
1
...
............
...
...
...)(
21
22221
11211
2
1
1
mnmm
n
n
m aaa
aaa
aaa
x
x
x
uvT
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Dessa forma temos: a11 = x1
a12 = x2
... a1m = xm
Analogamente podemos fazer isso com os vetores v2, v3 ... e vn
Matriz de uma transformação
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E chegamos a seguinte matriz da transformação:
Matriz de uma transformação
)(
...)()( 21 nvTvTvT
T
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Uma forma rápida de encontrar uma T qualquer nas bases canônicas:
α = { (1,0,...,0), (0,1,...,0) , ... , (0,0,...,1) } ou
{1,t,..,tm} ou etc...
Obs.: dim(α) pode ser diferente de dim(β)
Atenção: Nem todos os espaços podem ser escritos na forma canônica. Exemplo: Se o domínio de T fosse o plano x+y+z=0 do R3, esse método não poderia ser aplicado.
Matriz de uma transformação
10
00,
01
00,
00
10,
00
01
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Lembremos de 2 propriedades das transformações lineares:
λ . T(v) = T(λ.v)
T(v) + T(u) = T(v+u)
Matriz de uma transformação
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Se temos:
T(x1,y1,...,z1) = (a1,b1,...,c1) T(x2,y2,...,z2) = (a2,b2,...,c2) T(x3,y3,...,z3) = (a3,b3,...,c3)
Atenção: (x1,y1,...,z1), (x2,y2,...,z2), (x3,y3,...,z3) ... Devem formar um gerador do domínio. Senão a transformação não será definida.
Matriz de uma transformação
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Podemos fazer uma combinação linear das transformações a fim de obter:
T(1,0,..,0), T(0,1,..,0),... e T(0,0,..,1) A maneira mais prática de fazer isso é
colocar os vetores v e u “emparelhados” em uma matriz e deixá-la na forma escada:
Matriz de uma transformação
............
...
...
............
0...10
0...01
............
...
...
............
...
...
222
111..
222
111
222
111
tsr
tsr
cba
cba
zyx
zyxLC
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Observe que agora temos a matriz:
Então basta transpô-la e obtemos a matriz de transformação:
Matriz de uma transformação
...
)0,...1,0(
)0,...0,1(
............
0...10
0...01
T
T
)(
...)()( 21 nvTvTvT
T
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Ainda de:
Que representa na verdade: T(1,0,...0) = (r1, s1, ..., t1) T(0,1,...0) = (r2, s2, ..., t2) ...
Podemos fazer: x.T(1,0,...0) = x.(r1, s1, ..., t1) y.T(0,1,...0) = y.(r2, s2, ..., t2) ...
E somar: T(x,y,...,z) = (x.r1 + y.r2 + ..., x.s1 + y.s2, ..., ... )
Matriz de uma transformação
...
)0,...1,0(
)0,...0,1(
............
0...10
0...01
T
T
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E dessa forma, podemos escrever facilmente a matriz de transformação linear nas bases canônicas a parti de sua representação de costume:
Ex: T(x,y,z) = (x + y – z, y, -x+2z)
Matriz de uma transformação
201
010
111T
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Matriz de uma transformação Questões:
Qual a matriz de transformação T na bases canônicas?
000
312
101
303
1000
0100
0010
0001
211
101
011
112
1110
1010
1101
1111
..LC
3
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Nu(T) = v | T(v) = 0
Nu(T) = { (1,-3,0,0), (0,0,0,1) }
Matriz de uma transformação
0313
0100
0213
T
0
0313
0100
0213
w
z
y
x
T
0
0000
0100
003/11
w
z
y
x
T
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u = T.v T-1.u = T-1.T.v v = T-1.u
Inverte-se T:
T-1(x,y,z) = (x-½y+ ½ z,x- ½ y- ½ z,-x+y)
Matriz de uma transformação
011
2/12/11
2/12/111T
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S( a0+a1t+a2t² ) = ( a1+a2, a0+2a1+4a2 ) α e β são as bases canônicas do P2 e R².
Matriz de uma transformação
421
110S
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Exemplo:
Matriz de uma TL composta
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Im( SoT ) = { (3,0,1,0), (1,-1,0,1),(4,-1,1,1), (1,-4,-1,4) } = { (3,0,1,0), (0,3,1,-3) }
Im( ToS ) = { (4,2,0), (0,3,0), (-4,4,0) } = { (1,0,0), (0,1,0) }
Matriz de uma TL composta
4110
1101
4110
1413
SoT
000
432
404
ToS
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Exercício
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Algumas “teóricas”:Falso: contra-exemplo:T(x,y) = (x,y,0)S(x,y,z) = (y,z)
SoT(x,y) = (y,0)(claramente não-isomorfismo)
Falso: contra-exemplo:T(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f)S(a,b,c,d,e,f) = (a,b,c,d,e,f,0)SoT(a,b,c,d,e,f,g) = (a,b,c,d,e,f,0)
Se a transformação tem uma inversa, essa inversa tem uma inversa também que é a própria transformação.
Como uma transformação tem inversa se e somente se for um isomorfismo, a inversa dessa transformação é isomorfismo.
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