1
1/-Unità 8.1
-Duration
DurationDuration
2/-Unità 8.1
-Duration
Portafoglio e cash flows (continua)
Un portafoglio può essere definito mediante un vett ore
nel quale la generica componente xs rappresenta la
quantità investita nell’attività s-esima , per s=1,2,…,m
E’ comodo per i calcoli successivi che l’unità di valu ta sia la
stessa ma non è obbligatorio
====
mx
x
x
x...
2
1
2
3/-Unità 8.1
-Duration
Portafoglio e cash flows (segue)
Data una matrice di dimensioni n××××m le cui colonne ∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜn contengono I
cash flows derivanti da un’unità investita nelle sing ole attività, con n
numero degli istanti nei quali hanno luogo i cash f lows:
I cash flows prodotti dal portafoglio x sono semplicemente i flussi del
vettore y = Ax. x∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜm, y∈ℜ∈ℜ∈ℜ∈ℜn.
=
nmnn
m
m
aaa
aaa
aaa
A
21
22221
11211
4/-Unità 8.1
-Duration
Portafoglio e cash flows, esempio (continua)
Dati i due titoli con cedole annue e durata 3 anni così caratterizzati:
- titolo 1: prezzo 95, cedola 5, valor nominale e di rimborso 100
- titolo 2: prezzo 103, cedola 8, valor nominale e di rimborso 100
La matrice A risulta:
=
103
108
95
105103
8
95
5103
8
95
5
A
3
5/-Unità 8.1
-Duration
Portafoglio e cash flows, esempio (segue)
Il portafoglio da analizzare sia il vettore
Il vettore che contiene i cash flows originati dal p ortafoglio e che viene
identificato con il portafoglio medesimo, un po’ imp ropriamente, è dato
da:
=
×+×
×+×
×+×
==62.535
83.33
83.33
103
108300
95
105200
103
8300
95
5200
103
8300
95
5200
xAy
=300
200x
6/-Unità 8.1
-Duration
Il nome portafoglio denota spesso i cash flows {{{{(as,ts)}}}}s=1,2,…,n prodotti agli istanti ts dalle m attività in portafoglio.
Portafoglio e cash flows, esempio (segue)
In numerosi contesti applicativi il portafoglio vie ne definito in forma normalizzata, ossia con la somma delle compon enti pari ad uno, nel qual caso ogni componente rappresenta l a percentuale investita nel singolo titolo.
Altre volte la quantità investita nel singolo titolo viene indicata a valor nominale, ma in questo caso i calcoli risul tano piùcomplessi.
Par.7.1
4
7/-Unità 8.1
-Duration
Valore di un portafoglio (continua)
Il valore di un portafoglio all’istante z, calcolat o al tasso di interesse
composto i – in presenza di una struttura piatta dei tassi di in teresse di
mercato, è dato da:
( ) ( ) ( )4434421
4434421 21
1
,011),(forma
z
forma
n
s
tzs iWiiaizW s +=+=∑
=
−
8/-Unità 8.1
-Duration
Valore di un portafoglio (segue)
Supponendo:
t1 < t2 < … < tp < z < tp+1 < … < tn
il valore del portafoglio si può scomporre nel mont ante dei flussi di cassa
che precedono z e nel valore attuale dei flussi che seguono z:
…
W(z,i) a1 a2 ap ap+1 ap+1 an 0 t1 t2 … tp z tp+1 t p+2 … tn
5
9/-Unità 8.1
-Duration
Valore di un portafoglio (segue)
…ossia in formule:
L’ipotesi sottostante è che tutti i primi p flussi di cassa siano reimpiegati
a tasso i fino all’istante z e in z i restanti n-p flussi siano venduti a tasso i.
( ) ( ) ( ) ( ) ( )izPizMiaiaizWn
ps
tzs
p
s
tzs
ss ,,11,11
+=+++= ∑∑+=
−
=
−
10/-Unità 8.1
-Duration
Choc sulla struttura dei tassi di interesse, esempi o (continua)
Dato il portafoglio: {{{{(300,1),(400,2)(1200,4)}}}}
Calcolarne il valore W(2.5,10%) all’istante z=2.5 al tasso i 0=10%.
6
11/-Unità 8.1
-Duration
Choc sulla struttura dei tassi di interesse, esempi o (segue)
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) 77.1805%10,5.2%10,5.2%10,5.2
14.1040%1012001%1012001%10,5.2
63.765%101400%101300
%101400%101300%10,5.2
5.145.2
5.05.1
25.215.2
====++++========++++====++++====
====++++++++++++====
====++++++++++++====
−−−−−−−−
−−−−−−−−
PMW
P
M
12/-Unità 8.1
-Duration
Choc sulla struttura dei tassi di interesse, esempi o (segue)
In caso di uno shock positivo di +1% sui tassi a q uanto ammonterebbero
M(2.5, i), P(2.5 , i) e W(2.5, i) ?
Viceversa a quanto ammonterebbero in caso di uno sho ck negativo di
–1%?
7
13/-Unità 8.1
-Duration
Choc sulla struttura dei tassi di interesse, esempi o (segue)
Le formule per calcolare M(2.5, i), P(2.5 , i) e W(2 .5, i) sono:
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
%9%,11
1200114001300,5.2,5.2,5.2
1200112001,5.2
1400130014001300,5.2
5.15.05.1
5.145.2
5.05.125.215.2
====++++++++++++++++++++====++++====
++++====++++====
++++++++++++====++++++++++++====
−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
i
iiiiPiMiW
iiiP
iiiiiM
14/-Unità 8.1
-Duration
Choc sulla struttura dei tassi di interesse, esempi o (segue)
Rappresentiamo in forma sintetica i calcoli precede nti nella seguente tabella:
i 300 400 1200 M(z,i) P(z,i) W(z,i)
i0 10% 346,1069 419,5235 1040,141 765,63 1040,14 1805,77
i0+1% 11% 350,8373 421,4262 1026,117 772,26 1026,12 1798,38
i0-1% 9% 341,398 417,6123 1054,488 759,01 1054,49 1813,50
8
15/-Unità 8.1
-Duration
Choc sulla struttura dei tassi di interesse, esempi o (segue)
Lo choc positivo produce un aumento di M ed una diminuzione di P ed una complessiva riduzione di W
Lo choc negativo produce una diminuzione di M ed un aumento di P ed un complessivo aumento di W
16/-Unità 8.1
-Duration
Choc sulla struttura dei tassi di interesse, formalizzazione (continua)
Se si verifica prima di tprima di t 11, cioè prima del primo flussoprima del primo flusso , uno choc sui tassi di
interesse di ampiezza ∆∆∆∆i, le due componenti del valore W(z,i) del portafoglio
subiscono variazioni di segno opposto, dipendenti d al segno di ∆∆∆∆i :
∆∆∆∆i > 0 M(z,i+ ∆∆∆∆i) > M(z,i) , P(z, i+∆∆∆∆i) < P(z,i)
∆∆∆∆i < 0 M(z,i+ ∆∆∆∆i) < M(z,i) , P(z, i+∆∆∆∆i) > P(z,i)
M si dice soggetta a rischio di reimpiego, P soggett a a rischio di prezzo, W(z,i)
a rischio di tasso.
9
17/-Unità 8.1
-Duration
Choc sulla struttura dei tassi di interesse, formalizzazione (segue)
In generale le due oscillazioni subite dalle compon enti M(z,i) e P(z,i),
essendo di segno opposto, si compensano, ma non com pletamente.
Si pone il problema di cercare un istante z* che immunizzi il
portafoglio dal rischio di tasso, faccia in modo ci oè che il valore W al
più subisca una variazione trascurabile, a fronte di uno di choc sul
tasso.
18/-Unità 8.1
-Duration
Immunizzazione (continua)
La variazione del valore del portafoglio in z conse guente allo choc sui
tassi ∆∆∆∆i è approssimabile mediante l’infinitesimo principal e nell’intorno
di i:
La condizione di immunizzazione si può perciò tradu rre nella
condizione di annullamento dell’infinitesimo princi pale e, dunque,
della derivata prima:
( ) ( ) ( ) ( )ioii
izWizWiizW ∆+∆
∂∂=−∆+ ,
.,
( )0
,
*
=∂
∂
=zzi
izW
10
19/-Unità 8.1
-Duration
Immunizzazione (segue)
L’equazione
permette di trovare la scadenza z* in corrispondenz a della quale
l’infinitesimo principale della variazione compless iva del valore del
portafoglio in corrispondenza allo choc di ampiezza ∆∆∆∆i si annulla
( )0
,
*
=∂
∂
=zzi
izW
20/-Unità 8.1
-Duration
Espressione della funzione valore in due forme diverse ma equivalenti (continua)
La funzione valore può essere espressa in due forme apparentemente diverse, ma, in realtà, del tutto equivalenti come mostrato nell’unitàdidattica dedicata alle rendite in regime di intere ssi composti:
Forma 1 :
Forma 2 :
( )∑=
−+=n
s
tzs
siaizW1
1),(
( ) ( )iWiizW z ,01),( +=
11
21/-Unità 8.1
-Duration
Calcolo di z* , forma 1 (continua)
( )∑=
−+=n
s
tzs
siaizW1
1),(
( ) ( ) ( ) =+−=∂
∂∑
=
−−n
s
tzss
siatzi
izW
1
11,
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ⇒=
+−++=
=+−+=
∑ ∑
∑
= =
−−−
=
−−
0111
11
1 1
1
1
1
n
s
n
s
tss
ts
z
n
s
tss
z
ss
s
iatiazi
iatzi
( ) ( )( )
( )∑
∑
=
−
=
−
+
+==
n
s
ts
n
s
tss
s
s
ia
iatiDiz
1
1
1
1*
22/-Unità 8.1
-Duration
z*(i) = D(i) è la media aritmetica ponderata delle t s con pesi i valori attuali a s(1+i)-ts, ossia la duration della rendita generata dal portafoglio.
Calcolo di z* , forma 1 (segue)
12
23/-Unità 8.1
-Duration
Calcolo di z* , forma 2
( ) ( )iWiizW z ,01),( +=
( ) ( ) ( ) ( ) ( )⇒=
∂∂+++=
∂∂ − 0
,01,01
, 1
i
iWiiWiz
i
izW zz
( ) ( )( ) ( )
( )iWi
iWi
iDiz,0
,01
* ∂∂+
−==
24/-Unità 8.1
-Duration
Le due espressioni per la duration trovate sono equivalenti
Duration , forma 1 e forma 2
(((( )))) (((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))iWi
iWi
ia
iatiDiz
n
s
ts
n
s
tss
s
s
,0
,01
1
1*
1
1 ∂∂∂∂∂∂∂∂++++
−−−−====++++
++++========∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
−−−−
====
−−−−
La duration espressa nella forma 2 non ha un’utilità pratica immediata, nel senso che per calcolarla normalmente si ricorre alla forma 1, ma la forma 2 si presta a più immediate dimostrazioni di i nteressanti proprietà
13
25/-Unità 8.1
-Duration
DEFINIZIONE 1:
La duration z*(i) = D(i) di un portafoglio che dà diritto alla rendita {{{{(as,ts)}}}}s=1,2,…,n è la media aritmetica ponderata degli istanti di esigibilità t s con pesi i valori attuali a s(1+i)-ts
z*(i) possiede la proprietà di immunizzazione , ossia la funzione valore W[z*(i),i] calcolata all’istante z*(i)subisce una variazione in corrispondenza ad uno choc ∆∆∆∆i sul tasso di interesse pari ad un infinitesimo di ordine superiore a ∆∆∆∆i.
26/-Unità 8.1
-Duration
DEFINIZIONE 2:
La duration z*(i) = D(i) di un portafoglio che dà diritto alla rendita {{{{(as,ts)}}}}s=1,2,…,n è la durata di immunizzazione del portafoglio, soddisfacente l’equazione nell’incognita z:
e vale:
( ) ( ) ( )[ ]0
,01, =∂
+∂=∂
∂i
iWi
i
izW z
( ) ( )( )
( ) 0,0
,0
1* =∂∂
+−=iW
i
iW
iiz
14
27/-Unità 8.1
-Duration
Calcolo della duration, esempio (continua)
Dati:
• t0 = 29/09/03 data di valutazione, assunta come origi ne dei tempi
• portafoglio: {{{{(1000,03/12/03),(1500,12/10/07)}}}}
t1 = 65/365 = 0.178 anni dal 29/09/03 al 03/12/03
t2 = 1474/365 = 4.038 anni dal 29/09/03 al 12/10/07
28/-Unità 8.1
-Duration
Calcolo della duration, esempio (segue)
( ) ( )
( )
( )( )
( )2.144445
0042
2974
1
1%10
29741.150010384.41.10001178.01
004278.020117.9831.150011.100011,0
1
1
0384.4178.0
1
0384.4178.0
1
==+
+=
=××+××=+
=+=×+×=+=
∑
∑
∑
∑
=
−
=
−
−−
=
−
−−
=
−
n
s
ts
n
s
tss
n
s
tss
n
s
ts
s
s
s
s
ia
iatD
iat
iaiW
19/11/05≅≅≅≅××××++++==== 36514445.203/09/29
Par.7.2
Data di immunizzazione = data di origine + D(10%) ××××365
15
29/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà analitiche della duration - Calcolo di D(0), esempio
Con riferimento all’esempio precedente calcoliamo l a durationin corrispondenza del tasso i=0
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) 49425.250010001
50010384.40001178.00
150010384.410001178.01
1500110001,0
0384.4178.0
1
0384.4178.0
========++++
××××++++××××====
++++××××××××++++++++××××××××====++++
++++××××++++++++××××====
−−−−−−−−
====
−−−−
−−−−−−−−
∑∑∑∑
tD
iiiat
iiiWn
s
tss
s
Data corrispondente a t = data di origine + t ××××365=
=29/09/03 + 2.49425 ××××365 ≅≅≅≅ 27/03/2006
30/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà analitiche della duration - Calcolo di D(0), formalizzazione
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))aritmetica media scadenza tt
a
at
ia
iatD
n
ss
n
sss
i
n
s
ts
n
s
tss
s
s
,1
10
1
1
01
1 ========++++
++++====
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
====
========
−−−−
====
−−−−
16
31/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà analitiche della duration – Comportamento asintotico della duration, esempio
Con riferimento all’esempio precedente calcoliamo
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]](((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]]
178.00001
0001178.0
1500100011
150010384.40001178.01lim
1500110001
150010384.410001178.0limlim
178.00384.4178.0
178.00384.4178.0
0384.4178.0
0384.4178.0
====××××
====++++××××++++++++
++++××××××××++++××××++++
====++++××××++++++++××××
++++××××××××++++++++××××××××====
++++−−−−−−−−
++++−−−−−−−−
∞∞∞∞→→→→
−−−−−−−−
−−−−−−−−
∞∞∞∞→→→→∞∞∞∞→→→→
ii
ii
ii
iiiD
i
ii
Data corrispondente a t 1 = data di origine + 0.178 ××××365==29/09/03 + 0.178 ××××365 ≅≅≅≅ 3/12/2003
32/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà analitiche della duration - Comportamento asintotico della duration, formalizzazione
( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )1
1
11
1
1
1
1
1
1
1
1
11
11
1
1lim
11
11lim
1
1limlim
ta
at
ia
iat
iai
iati
ia
iatiD
n
s
tts
n
s
ttss
i
n
s
tts
t
n
s
ttss
t
in
s
ts
n
s
tss
ii
s
s
s
s
s
s
==+
+
=++
++=
+
+=
∑
∑
∑
∑
∑
∑
=
+−
=
+−
∞→
=
+−−
=
+−−
∞→
=
−
=
−
∞→∞→
17
33/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà analitiche della duration – Duration come funzione monotòna decrescente del tasso i (continua)
Viene fatta una dimostrazione euristica con un port afoglio con due soli flussi, al fine di snellire le notazioni v iene posto:
(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( ))))(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))[[[[ ]]]] (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))ipip
ipttt
ipip
ipttipipt
ipip
iptttipt
ipip
iptipt
iaia
iatiatiD
tt
tt
21
2121
21
212211
21
212111
21
2211
21
2211
21
21
11
11
++++−−−−++++====
++++−−−−++++++++====
====++++
−−−−++++++++====
====++++++++====
++++++++++++++++++++++++==== −−−−−−−−
−−−−−−−−
(((( )))) (((( )))) 2,1,1 ========++++ −−−− sipia st
ss
34/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà analitiche della duration – Duration come funzione monotòna decrescente del tasso i (segue)
Supposto ∆∆∆∆i>0, si analizza:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )iipiip
iipttt
iipiip
iiptiiptiiD
∆++∆+∆+−+=
∆++∆+∆++∆+=∆+
21
2121
21
2211
Se i aumenta p 1 e p2 diminuiscono, la diminuzione di p 2 èperò maggiore in quanto p 2 contiene il fattore di attualizzazione con durata t 2>t1 , il quoziente
diminuisce e con esso anche D(i)
( )( ) ( )ipip
ip
21
2
+
Per una dimostrazione più rigorosa vedi le dispense
18
35/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà analitiche della duration – Duration come funzione monotòna decrescente del tasso i (segue)
Pochè la funzione D(i) è monotona decrescente, ne consegue che per i≥≥≥≥0 la duration è compresa fra la scadenza del primo flusso e la media aritmetica ponderata delle scadenze, che sono, rispettivamente estremo inferiore e massimo di tale funzione. In simboli: ( ) ( )01 ≥≤< itiDt
Par.7.3
36/-Unità 8.1
-Duration
Cambio della data origine per il calcolo della duration, esempio (continua)
Con riferimento all’esempio trattato in precedenza, anticipiamo di un anno la data di valutazione e di origine, portandola dal 29/09/03 al 29/09/02.
Il tasso i sia lo stesso e così pure il portafoglio, ossia: {{{{(1000,03/12/03),(1500,12/10/07)}}}}
Gli istanti di esigibilità dei flussi aumentano di uno:
t1 = 65/365 +1 = 1.178 anni dal 29/09/02 al 03/12/03
t2 = 1474/365 +1 = 5.038 anni dal 29/09/02 al 12/10/07
Quanto vale la duration D(i)?
19
37/-Unità 8.1
-Duration
Cambio della data origine per il calcolo della duration, esempio (segue)
La duration è aumentata esattamente di 1, ma la data di immunizzazione è rimasta la stessa
(((( )))) (((( ))))
(((( ))))
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))3.144445
========++++
++++====
====++++====
====××××××××++++××××××××====++++
====++++====××××++++××××====++++====
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
−−−−
====
−−−−
−−−−−−−−
====
−−−−
−−−−−−−−
====
−−−−
77.182147.7285
1
1%10
47.728551.467596,1052
1.150010384.51.10001178.11
77.182198.92779.8931.150011.100011,0
1
1
0384.5178.1
1
0384.5178.1
1
n
s
ts
n
s
tss
n
s
tss
n
s
ts
s
s
s
s
ia
iatD
iat
iaiW
Data di immunizzazione: 29/09/02 + 3.144445 ××××365 ≅≅≅≅19/11/05
38/-Unità 8.1
-Duration
Cambio della data origine per il calcolo della duration, formalizzazione (continua)
In generale, posto:
F={(as,ts)}
F∆∆∆∆={(as,ts+∆∆∆∆)},
si ha:
(((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))
(((( )))) (((( ))))∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
∆∆∆∆++++−−−−
====
∆∆∆∆++++−−−−
====
∆∆∆∆++++−−−−
====
∆∆∆∆++++−−−−
====
∆∆∆∆++++−−−−
∆∆∆∆
++++
++++∆∆∆∆++++++++====
++++
++++∆∆∆∆++++====
n
s
ts
n
s
ts
n
s
tss
n
s
ts
n
s
tss
s
ss
s
s
ia
iaiat
ia
iatiz
1
11
1
1*
1
11
1
1
20
39/-Unità 8.1
-Duration
Cambio della data origine per il calcolo della duration, formalizzazione (segue)
(((( ))))(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))(((( )))) ∆∆∆∆++++====
++++
++++∆∆∆∆++++
++++
++++====
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
∑∑∑∑
====
−−−−
====
−−−−
====
−−−−
====
−−−−
∆∆∆∆ izia
ia
ia
iatiz
n
s
ts
n
s
ts
n
s
ts
n
s
tss
s
s
s
s
*
1
1
1
1*
1
1
1
1
Si moltiplica numeratore e denominatore per (1+i) -∆∆∆∆ e si scompone la frazione in due addendi, ottenendo:
Par.7.4
40/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà di convexity, esempio (continua)
Con riferimento al solito esempio, valutiamo l’effetto di uno choc positivo pari all’1% ed uno choc negativo pari a -1% sul valore del portafoglio calcolato in D(10%)=2.144445. Ossia:
(((( ))))
(((( ))))
(((( ))))776.2458116.1274661.1184
09.1500109.10001%9,144445.2
%9
77.2458987.1230782.1227
11.1500111.10001%11,144445.2
%11
395.2458268.1252127.1206
1.150011.10001%10,144445.2
%10
0384.4144445.2178.0144445.2
0384.4144445.2178.0144445.2
0384.4144445.2178.0144445.2
====++++========××××++++××××====
========++++====
====××××++++××××========
====++++========××××++++××××====
====
−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−−−−−−
W
i
W
i
W
i
21
41/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà di convexity, esempio (segue)
Lo choc sui tassi ha prodotto, in entrambi i casi, un pur modesto incremento del valore del portafoglio.
Essendo l’infinitesimo principale nullo, tale incremento è un infinitesimo secondario
42/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà di convexity, formalizzazione (continua)
Sviluppo della funzione W[z*(i 0),i] in serie di Taylornell’intorno di i0, arrestata al termine di 2° ordine:
Poiché, per la proprietà della duration , la derivata prima ènulla, vale l’approssimazione:
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )222
02
00000 00
,*
2
1,*,*,* ioi
i
iizWi
i
iizWiizWiiizW iiii ∆+∆
∂∂+∆
∂∂+=∆+ ==
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] 22
02
0000 0
,*
2
1,*,* i
i
iizWiizWiiizW ii ∆
∂∂
+≈∆+ =
22
43/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà di convexity, formalizzazione (segue)
Per ∆∆∆∆i sufficientemente piccolo, la variazione della funzione W[z*(i 0),i] nell’intorno di i0 ha lo stesso segno della derivata seconda calcolata in i0 e perciò dimostrare la positività della variazione del valore W[z*(i 0),i] equivale a dimostrare il segno positivo della derivata seconda.
In altre parole, la funzione W[z*(i 0),i]presenta un punto di minimo relativo in i=i 0
44/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà di convexity, formalizzazione (segue)
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
+−++−+=
=+−−−+=
=+−−−=∂
∂
=
=
−
=
−−
=
−−
=
−−
∑∑
∑
∑
444 3444 210
11
22*
1
2*
1
2*
2
2
1*1*1
11**1
11***,
n
s
tss
n
s
tss
z
n
s
tsss
z
n
s
tzsss
ss
s
s
iatziatzi
iatztzi
iatztzi
izW
Notazione utilizzata: z* = z*(i0)
23
45/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà di convexity, formalizzazione (segue)
A meno del fattore (1+i) z*-2, l’espressione a secondo membro è la somma ponderata dei quadrati degli scarti delle ts dalla media z*, con pesi positivi a s(1+i)-ts, positiva per n>1.
Si tratta quindi di un indicatore di dispersione co n però un difetto: se ad esempio moltiplicassimo tutti i flus si del portafoglio per 100 l’indicatore aumenterebbe, risu lta necessario quindi dividere la derivata seconda risp etto a i per W al fine di normalizzare tutti i pesi.
( ) ( ) ( ) ( )∑=
−− +−+=∂
∂ n
s
tss
z siaztii
izW
1
22*
2
2
1*1*,
46/-Unità 8.1
-Duration
Proprietà di convexity, rappresentazione grafica
W(z*,i)
2455,00
2460,002465,00
2470,002475,00
2480,00
2485,002490,00
2495,002500,00
2505,00
0,00% 5,00% 10,00% 15,00% 20,00% 25,00%
i
W
24
47/-Unità 8.1
-Duration
Zero Coupon Bond e Duration (continua)
Quanto vale la duration di uno zero-coupon bond?
Evidentemente la duration , essendo una media di scadenze ed essendoci una sola scadenza, coincide con l’unica scadenza disponibile, diciamo t1.
48/-Unità 8.1
-Duration
Zero Coupon Bond e Duration (segue)
Quanto vale la derivata seconda della funzioneW[z*(i 0),i] calcolata per i=i 0 per uno zero-coupon bond ?
Poiché l’unico flusso di cassa viene valutato in corrispondenza della sua scadenza, coincidente con la duration , la funzione W[z*(i 0),i] risulta indipendente dal tasso di interesse e quindi costante e, dunque, la derivata seconda è nulla, coerentemente con il fatto intuitivo che, con un solo flusso, la dispersione è nulla.
Par.7.4
25
49/-Unità 8.1
-Duration
Significato di volatilità
In ambito borsistico la volatilità di un titolo sta ad indicare la sensibilità del prezzo del titolo alle variazioni di tasso di mercato.
La volatilità rappresenta un moltiplicatore che trasforma una variazione di tasso nella corrispondente variazione relativa di prezzo.
La variazione relativa di prezzo rappresenta la perdita/guadagno percentuale realizzabile grazie alla variazione di tasso
Premessa
50/-Unità 8.1
-Duration
Volatilità, esempio (continua)
Esempio:
Siano dati due zero-coupon bond di durate, rispettivamente, 4 e 7 anni, aventi oggi entrambi u n rendimento del 10% annuo composto , calcolare le variazioni assolute ∆∆∆∆P e relative ∆∆∆∆P/P di prezzo dei due titoli, per unità di valor nominale, a fronte di una variazione di tasso di ±±±±1% (da 10% a 11% e da 10% a 9%.
26
51/-Unità 8.1
-Duration
Volatilità, esempio (segue)
ZCB 4 annii P(i) ∆P ∆P/P
10% 0,683013
11% 0,658731 -0,0242825 -3,5552%
9% 0,708425 0,0254118 3,7205%
7 annii P(i) ∆P ∆P/P
10% 0,513158
11% 0,481658 -0,0314997 -6,1384%
9% 0,547034 0,0338761 6,6015%
Il secondo ZCB risulta più volatile del primo.
52/-Unità 8.1
-Duration
DEFINIZIONE:
Indice di volatilità ηηηη(i): limite del rapporto fra la variazione relativa di prezzo e la variazione assol uta di tasso, in una parola semielasticità del prezzo rispetto al tasso. In formule, premettendo un segno meno affinchél’indice risulti positivo (come avviene nella definizione di elasticità) e ricordando che P(i) ≡≡≡≡ W0,i), si ha:
( )( )
( ) ( )( )
( )
( )iWi
iW
iP
iP
i
iP
iP
ii ,0
,0'
lim0
∂∂
−≡−=∆
∆
−=→∆
η
27
53/-Unità 8.1
-Duration
Indice di volatilità (continua)
Ricordando che:
( ) ( )( )
( )iWi
iW
iiz,0
,0
1* ∂∂
+−=
( )( )
( )( ) ( )
i
iD
i
iz
iWi
iW
i+
=+
=∂∂
−=11
*
,0
,0
η
Durationmodificatasi ha
54/-Unità 8.1
-Duration
Indice di volatilità (segue)
Invertendo la definizione, si può esprimere la deri vata prima del prezzo rispetto al tasso in funzione del prezzo e della duration modificata :
E’ quindi possibile esprimere l’infinitesimo princip ale di una variazione di prezzo conseguente ad una variazi one di tasso nella forma seguente:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )iWi
iDiWi
i
iW,0
1,0
,0
+−=−=
∂∂ η
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) iiPi
iziiPii
i
iWiPiiPiP ∆
+−=∆−=∆
∂∂≈−∆+=∆
1
*,0 η
28
55/-Unità 8.1
-Duration
Indice di volatilità e approssimazione del prezzo, esempi (continua)
Applichiamo la formula trovata ai due ZCB dell’ulti mo esempio in presenza di una variazione di tasso ∆∆∆∆i = 0.5%.
Si introducono le notazioni:
P∆∆∆∆(i) =P(i) -ηηηη(i)×××× P(i)×××× ∆∆∆∆ i
o(∆∆∆∆i) =P(i+∆∆∆∆i) - P∆∆∆∆(i)
o(∆∆∆∆i) rappresenta l’errore che si commette con l’approssimazione
56/-Unità 8.1
-Duration
Indice di volatilità e approssimazione del prezzo, esempi (segue)
ZCB 4 anni ηηηη(i)= 3,6364
i P(i) ∆∆∆∆P - ηηηη(i)*P(i)* ∆∆∆∆i P∆∆∆∆ (i) o(∆∆∆∆i)
10,0% 68,30135
10,5% 67,07349 -1,2278581 -1,241843 67,05950 0,01398
9,5% 69,55743 1,2560838 1,241843 69,54319 0,01424
29
57/-Unità 8.1
-Duration
Indice di volatilità e approssimazione del prezzo, esempi (segue)
ZCB 7 anni ηηηη(i)= 6,3636
i P(i) ∆∆∆∆P -ηηηη(i)*P(i)* ∆∆∆∆i P∆∆∆∆(i) o(∆∆∆∆i)
10,0% 51,31581
10,5% 49,71232 -1,6034893 -1,632776 49,68304 0,02929
9,5% 52,97868 1,6628721 1,632776 52,94859 0,03010
58/-Unità 8.1
-Duration
Indice di volatilità e approssimazione del prezzo, esempi (segue)
30
59/-Unità 8.1
-Duration
Indice di volatilità e approssimazione del prezzo, esempi (segue)
Confronto prezzi ed approssimazione lineare di uno ZCB
58,0000
63,0000
68,0000
73,0000
78,0000
83,0000
88,0000
4,0% 6,0% 8,0% 10,0% 12,0% 14,0%
i
Par.7.5
60/-Unità 8.1
-Duration
Immunizzazione di un portafoglio mediante l’allineamento della duration all’orizzonte temporal e.
Dato un orizzonte di pianificazione, una durata in corrispondenza della quale vogliamo che il portafoglio di più attività finanziarie negoziabili sul mercato in quantità continue sia immunizzato rispetto al rischio di tasso, quale composizione di portafoglio permette di realizzare l’obiettivo sopra descritto, effettuando acquisti e vendite di attività senza alterare il valore complessivo del portafoglio?
Descrizione del problema
31
61/-Unità 8.1
-Duration
Immunizzazione di un portafoglio mediante l’ allineamento della duration all’orizzonte temporale,esempio (continua)
Un portafoglio del valore di € 1 000 000 viene investito in due ZCB di durate residue (e duration) 2 e 5 anni in percentuali 40% e 60%.
La struttura dei tassi di interesse sia piatta a tasso i = 8%.
62/-Unità 8.1
-Duration
Immunizzazione di un portafoglio mediante l’ allineamento della duration all’orizzonte temporale,esempio (segue)
Calcoliamo i valori in portafoglio V 1 e V2 investiti nei due titoli ed i corrispondenti valori nominali N 1 e N2:
V1 = 40%€ 1 000 000 = € 400 000
V2 = 60%€ 1 000 000 = € 600 000
N1 = V1(1+8%)2 = € 400 000××××1.1664 = € 466 560
N2 = V2(1+8%)5 = € 600 000××××1.4693 = € 881 597
32
63/-Unità 8.1
-Duration
Immunizzazione di un portafoglio mediante l’ allineamento della duration all’orizzonte temporale,esempio (segue)
Graficamente…
-1.000.000
-800.000-600.000
-400.000
-200.000
-
200.000
400.000
600.000
800.000
1.000.000
€
0 1 2 3 4 5
Portafoglio (40% , 60%), tasso i = 8%
64/-Unità 8.1
-Duration
Immunizzazione di un portafoglio mediante l’ allineamento della duration all’orizzonte temporale,esempio (segue)
La duration del portafoglio si può calcolare facendo riferimento ai flussi di cassa {{{{(€ 466 560,2),( € 881 597,5)}}}} della rendita generata dal portafoglio:
Poiché 466 560 = 400 000 ××××1.082 e 881 597 = 600 000××××1.085 , si ha, 466 560××××1.08-= 400 000 e 881 597××××1.08-5 = 600 000, che porta a semplificare il calcolo della duration in modo banale:
( )52
52
08.159788108.1560466
08.1597881508.15604662%8 −−
−−
×+×××+××=D
( ) 80.3%605%402000600000400
00060050004002%8 =×+×=
+×+×=D
33
65/-Unità 8.1
-Duration
Immunizzazione di un portafoglio mediante l’ allineamento della duration all’orizzonte temporale,esempio (segue)
Alcuni dati sono risultati superflui ed altrettanto alcuni calcoli:
• il tasso di interesse della struttura dei tassi piatta è irrilevante
• è stato inutile calcolare i valori nominali
• è stato inutile calcolare i i valori monetari in portafoglio
La formula contiene solo le durate dei due ZCB e le percentuali di tali titoli presenti in portafoglio, ma facciamo notare tuttavia che questo è vero perché il tasso di mercato al quale si scontano i flussi è lo stesso che era in vigore al momento dell’acquisto degli ZCB.
66/-Unità 8.1
-Duration
Immunizzazione di un portafoglio mediante l’ allineamento della duration all’orizzonte temporale,esempio (segue)
Se intervenisse una variazione del tasso di mercato e volessimo ricalcolare la duration del portafoglio in base al nuovo tasso, diventato, poniamo, 9%, essa varrebbe:
(((( ))))
3.7859,335%40,665% ====××××++++××××====++++
++++++++
====
====++++
××××++++××××====××××++++××××
××××××××++++××××××××==== −−−−−−−−
−−−−−−−−
52977572694392
9775725
977572694392694392
2
97757269439297757256943922
09.159788109.156046609.1597881509.15604662
%952
52
D
34
67/-Unità 8.1
-Duration
Immunizzazione di un portafoglio mediante l’ allineamento della duration all’orizzonte temporale,esempio (segue)
Riscontriamo che:
- il valore del portafoglio è diminuito, ma in modo non omogeneo, essendo diminuito di più lo ZCB di più lunga durata, più volatile, nel senso appena definito;
- la composizione percentuale del portafoglio è variata, anche se non si sono effettuate operazioni di acquisto o di vendita;
- la duration del portafoglio è diminuita, coerentemente col fatto che la duration è funzione decrescente del tasso.