Download - DSA-Neslihan Serap Şengör-
Devre ve Sistem Analizi
Neslihan Serap ŞengörDevreler ve Sistemler A.B.D.
oda no:1107 tel no:0212 285 [email protected]
Ders Hakkında
• 1 Yarıyıl içi sınavı 5 Nisan 2010 % 20
• 5 Kısa sınav 22 Şubat
8 Mart
22 Mart
19 Nisan
3 Mayıs % 20
• 2 Ödev % 20
• Yarıyıl Sonu Sınavı % 40
Kaynaklar:
Yılmaz Tokad, “ Devre Analizi Dersleri” Kısım II, İ.T.Ü. Yayınları, 1977.
Yılmaz Tokad, “ Devre Analizi Dersleri” Kısım IV, Çağlayan Kitabevi, 1987.
Cevdet Acar, “Elektrik Devrelerinin Analizi” İ.T.Ü. Yayınları, 1995.
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York ( İşlenen Bölümler: 9,10,11,13)
M. Jamshidi, M. Tarokh, B. Shafai. “Computer-Aided Analysis and Design of Linear Control Systems”, Prentice Hall, 1992 ( İşlenen Bölümler: 2,3)
Elektrik Devrelerinin Temelleri dersinde neler öğrendiniz?
Amaç: Fiziksel devrelerin elektriksel davranışlarını öngörme
akım ve gerilim
Devre Teorisinin Aksiyomları:
Devre TeorisindeTanımlanmamış Büyüklükler : akım ve gerilim
Toplu parametreli, KAY, KGY
Eleman Tanım Bağıntıları:Lineer ve lineer olmayan direnç elemanları,Kapasite, Endüktans
Lineer zamanla değişmeyen devrelere özgü yöntemler:
Düğüm gerilimleri, çevre akımları
Bazı Teoremler:Tellegen Teoremi, Toplamsallık ve Çarpımsallık, Thevenin ve Norton Teoremleri
Dinamik Devreler ve Çözümleri
Hatırlatma: Kompleks Sayılar
Kartezyen Koordinatlar
jyxz zjezz
xz Re yz Im
x
y
22 yxz
xy
z arctan
z
z
Polar Koordinatlar
111 jyxz 222 jyxz
1
11zj
ezz
2
22zj
ezz
221121 jyxjyxzz 2121 yyjxx
1221212121. yxyxjyyxxzz
)(2121
21. zzjezzzz
22
11
2
1
jyx
jyx
z
z
2222
2211
jyxjyx
jyxjyx
2
222
12212121
yx
yxyxjyyxx
)(
2
1
2
1 21 zzje
z
z
z
z
xzz 2
jyzz 2
222. yxzzz
Hatırlatma: Dinamik Devrelerin Çözümleri
)()()()()()( 00 txttxtxttx özelözel
)()()()()()( 00 txttxtxttx özelözel
öz çözüm zorlanmış çözüm
öz çözüm zorlanmış çözüm
)()()(
0
)(0
t
t
tAAt dBuetxetx
Durum GeçişMatrisi
Öz çözümü bir daha yazarsak
)(.....)()()( 0)(
022)(
011)( 21 txSetxSetxSetx nn
tttttt onoo
özdeğerler
özvektörler
Öz çözüm, özvektörler ve özdeğerler ile nasıl değişir
.............................................................................................................
Bu durumda lineer sistemin çözümleri neler olabilir?
Tüm bu durum portrelerinde ortak bir şey var, ne? S. Haykin, “Neural Networks- A Comprehensive Foundation”2nd Edition, Prentice Hall, 1999, New Jersey.
Dinamik sistemin özel bir çözümü: Denge noktası
)()( tAxtx dAx0
))(()( txftx )(0 dxf
Kaç tane denge noktası olabilir?
Sistemin davranışını incelemenin bir yolu kararlılığını incelemektir.
Tanım: Lyapunov anlamında kararlılık
sistemine ilişkin bir denge noktası olsun. Verilen herhangi bir için
eşitsizliği
eşitsizliğini gerektirecek şekilde bir bulunabiliyorsa denge noktası Lyapunov anlamında kararlıdır.
))(()( txftx dx0
)()0( dxx
dxtx )(
)( dx
Lineer sistemlerde denge noktasının Lyapunov anlamında kararlılığını incelemek için ne yapılıyor?
Denge noktasının kararlılığı neye denk, neden?
Sürekli Sinüsoidal Hal
Amaç: Özel çözümü belirlemeye yönelik bir yöntem geliştirmek
Neden “sürekli sinüsoidal hal”?
sürekli Kalıcı çözümle ilgileniyoruz
sinüsoidal Devreyi uyaran kaynaklar sinüsoidal
Yöntem sadece elektrik devreleri ile sınırlı değil; kontrol teorisinde, Kuantum elektroniğinde, elektromanyetik teoride de kullanılır.
Araç: Fazör kavramından yararlanılacak
Sinüsoidal
)cos()( wtAtx m
genlik frekans faz
)cos()( wtAtx m
0mA
][:
2 ,2
ˆ ],/[:
Hzf
fww
Tsnradw
Fazör
jmeAA ̂
Fazör verildiğinde sinüsoidal büyüklüğe nasıl geçeceğiz?
Frekans ve fazör biliniyorsaAw
]Re[]Re[ )( wtjm
jwt eAAe
)cos( wtAm
Sinüsoidal Fazör
)cos()( wtAtx mj
meAA
sinsin)(
)cos()cos(
(wt))(A
wtA
m
m
sincos mm jAA
wtAwtAwtAm sin)Im(cos)Re()cos(
Lemma 1: tBeAe jwtjwt ],Re[]Re[
BA Tanıt: BA
tBeAe jwtjwt ,
tBeAe jwtjwt ],Re[]Re[
tBeAe jwtjwt ],Re[]Re[
]Re[]Re[ :01 BAt
jeew
tj
jwt 2
22 :
2
AjAAe
jwtIm]Re[]Re[ 2
BjBBejwt
Im]Re[]Re[ 2
]Im[]Im[ BA
BBjAAjAA ]Im[]Re[]Im[ ]Re[
Lemma 2: ]Re[)( ],Re[)( 2211jwtjwt eAtxeAtx
)( )( 2211 txAtxA
2211221121 )( ,, AaAa(t)xatxaRaa
Tanıt: ]Re[]Re[ )( 22112211jwtjwt eAaeAa(t)xatxa
]Re[]Re[ 2211jwtjwt eAaeAa
]Re[ 2211jwtjwt eAaeAa
])Re[( 2211jwteAaAa
22112211 )( AaAa(t)xatxa
Empedans-Admitans Kavramı
Amaç: Lineer zamanla değişmeyen elemanlardan oluşmuş N devresininiki uçlu olarak tanımlanması
N 1-kapılısı
+
_v
is
ssjwt
ss wtIeIti cos]Re[)(
vjwt wtVVetv cos]Re[)(
N 1-kapılısına ilişkin giriş empedansı
)(
)(ˆ)(
wI
wVwZ
s
)()()( wjXwRwZ
resistans reaktans )()()( wIwZwV s
vjewVwV
)()(
SIwZwV )()( SZv
SZS wtIwZtv cos)()(
N 1-kapılısı
++
_v
i
Ijwt wtIIeti cos]Re[)(
SSjwt
SS wtVeVtv cos]Re[)(
N 1-kapılısına ilişkin giriş admitansı
)(
)(ˆ)(
wV
wIwY
s
)()()( wVwYwI s
IjewIwI
)()(
SVwYwI )()( SYI
SYS wtVwYti cos)()(
)()()( wjBwGwY
kondüktans suseptans
Empedans-Admitans Kavramını kullanarak neler yapabiliriz?
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
)(
)()(
wI
wVwZ
)(
)()( 21
wI
wVwV
)()( 21 wZwZ
)(
)()(
wV
wIwY
)(
)()( 21
wV
wIwI
)()( 21 wYwY
Devre Denklemleri
0AIKAY:
VVA dT KGY:
sUIwNVwM )()(ETB:
s
d
T
UI
V
V
wNwM
IA
A
0
0
)()(0
0
00
)(wT
10ˆ)( jwTTwT
)(
0
0
)(
)(
)(
0
0
00
tuti
tv
tv
NM
IA
A
s
d
T
s
d
T
UI
V
V
wNwM
IA
A
0
0
)()(0
0
00
Direnç Devreleri Sürekli Sinüsoidal Hal
)(wTT
Zamanın fonksiyonu olan vektörler
)(),(),( titvtvd
Elemanları fazör olan vektörler
IVVd ,,
T‟nin elemanları reel sayılar T(w)‟nın son ne satırı kompleks sayılar
Devre reel katsayılı, lineer,cebrik denklem takımı ile tanımlanmıştır.
Devre kampleks katsayılı, lineer,cebrik denklem takımı ile tanımlanmıştır.
Devre Denklemleri: Genelleştirilmiş Düğüm Gerilimleri Yöntemi
0AIKAY:
VVA dT KGY:
sUIwNVwM )()(ETB:
0AIKAY:
VVA dT KGY:
ETB: sUIwNVwM )()(
sIVwYI )(Yöntem:
1. Adım: 1dn düğüm için KAY‟nı yaz 0AI
2. Adım: 1. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yerleştir,
2. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yaz.
SIAI
VAA 1
2
1211 ] (w)Y[
0] [2
121
I
IAA
SUI
VwNwM
2
2)]( )([
3. Adım: eleman gerilimlerini düğüm gerilimleri cinsinden yaz
4. Adım: düğüm gerilimlerini ve ikinci grup elemanların akımlarını bul
s
Sd
T
T
U
IA
I
V
wNAwM
AAwYA 1
22
2111
)()(
)(dTVAV 11
dTVAV 22
Devre Denklemleri: Genelleştirilmiş Çevre Akımları Yöntemi
ÇT IBI KAY:
0BVKGY:
sUIwNVwM )()(ETB:
KAY:
KGY:
ETB: sUIwNVwM )()(
sVIwZV )(
ÇT IBI
0BV
Devre Denklemleri: Genelleştirilmiş Çevre Akımları Yöntemi
ÇT IBI KAY:
0BVKGY:
sUIwNVwM )()(ETB:
KAY:
KGY:
ETB: sUIwNVwM )()(
sVIwZV )(
ÇT IBI
0BV
Yöntem:1. Adım: 1 de nn göz için KGYı‟nı yaz 0Bv
2. Adım: 1. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yerleştir,2. grup elemanların eleman tanım bağıntılarını yaz.
4. Adım: çevre akımlarını ve ikinci grup elemanların gerilimlerini bul
kVBV
IBB 1
2
1211 ] (w)Z[
0] [2
121
V
VBB
SUI
VwNwM
2
2)]( )([
3. Adım: eleman akımlarını çevre akımları cinsinden yaz
4. Adım: çevre akımlarını ve ikinci grup elemanların gerilimlerini bul
S
sç
T
T
U
VB
V
I
wMBwN
BBwZB 1
22
2111
)()(
)(çT IBI 11
çT IBI 22
Toplamsallık ve Çarpımsallık Özelliği
Teorem: (Toplamsallık)
Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları+Bağımsız kaynaklar 1. Grup bağımsız kaynaklar
2. Grup bağımsız kaynaklar
1. Grup bağımsız kaynaklar devrede, 2. grup bağımsız kaynaklar devre dışı iken devre çözülsün
11,VI
2. Grup bağımsız kaynaklar devrede, 1. grup bağımsız kaynaklar devre dışı iken devre çözülsün
22,VI
Devrede tüm bağımsız kaynaklar varken ki çözüm 21
21 ,
VVV
III
T
T
Teorem: (Çarpımsallık)
VI ,Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları elemanları +Bağımsız kaynakların değeri k katına çıkarılsın ve devre çözülsün VI
~,
~
kVV
kII
~
~
Thevenin (1883) ve Norton (1926) TeoremleriAmaç: Lineer, zamanla değişmeyen çok uçlu, iki uçlu direnç kapasite endüktans ve bağımsız akım ve gerilim kaynaklarından oluşmuş bir N 1-kapılısının basit bir eşdeğerini elde etmek.
Thevenin Eşdeğeri:
+
_v
i
N1-Kapılısı
Lineer direnç, kapasite, endüktans elemanları+Bağımsız kaynaklar
+
_
v
i
+_
ZTH
VTH
ZTH Thevenin eşdeğer empedansı
Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı iken 1-1‟ uçlarından görülen eşdeğer empedans
VTH Açık devre gerilimi
1-1‟ uçları açık devre iken 1-1‟ uçları arasındaki gerilim
Thevenin Teorem: N 1-kapılısının uçlarına i değerinde bir akım kaynağı bağlandığında tüm i değerleri için tek çözümü varsa ( tek v değeri belirlenebiliyorsa) Thevenin eşdeğeri vardır.
Norton Eşdeğeri:
+
_v
i
N1-Kapılısı
+
_
v
i
YNIN
+
_
v
i
+_
ZTH
VTH
Thevenin (1883) ve Norton (1926) TeoremleriAmaç: Lineer, zamanla değişmeyen çok uçlu, iki uçlu direnç kapasite endüktans ve bağımsız akım ve gerilim kaynaklarından oluşmuş bir N 1-kapılısının basit bir eşdeğerini elde etmek. Thevenin Eşdeğeri:
+
_V
I
N1-Kapılısı
+
_V
I
+_
ZTH
VTH
ZTH Thevenin eşdeğer empedansı
Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı iken 1-1‟ uçlarından görülen eşdeğer empedansVTH Açık devre gerilimi
1-1‟ uçları açık devre iken 1-1‟ uçları arasındaki gerilim
+
_V
I
+_
ZTH
VTH
Thevenin Teorem: N 1-kapılısının uçlarına i değerinde bir akım kaynağı bağlandığında tüm Ideğerleri için tek çözümü varsa ( tek V değeri belirlenebiliyorsa) Thevenin eşdeğeri vardır.
Norton Eşdeğeri:
+
_V
I
N1-Kapılısı
+
_
V
I
YNIN
GN Norton eşdeğer admitansı
Devredeki tüm bağımsız kaynaklar devre dışı iken 1-1‟ uçlarından görülen eşdeğer admitans
iN Kısa devre akımı
1-1‟ uçları kısa devre iken 1-1‟ uçlarındaki akım
+
_
V
I
YNIN
Norton Teorem: N 1-kapılısının uçlarına v değerinde bir gerilim kaynağı bağlandığında tüm V değerleri için tek çözümü varsa ( tek I değeri belirlenebiliyorsa) Norton eşdeğeri vardır.
• Thevenin Eşdeğeri: THTH VIZV
N kapılısı akım kontrollü değilse Thevenin eşdeğeri yok
• Norton Eşdeğeri: NN IVYI
N kapılısı gerilim kontrollü değilse Norton eşdeğeri yok
• 0 ,0 VZTHTH
THN
Z
VI
• 0 ,0 IYNN
NTH
Y
IV
,0THZ Norton eşdeğeri yok
,0NY Thevenin eşdeğeri yok
SSH‟de Devre Fonksiyonları
+
_
V1
IS
NLineer
zamanla değişmeyen elemanlar
0
0
0
)()(0
0
00
s
d
T
II
V
V
wNwM
IA
A
)(wT
Vdk „nın Is fazörü sabit iken w ile değişimi nasıldır?
Sdk IwT
wkofaktörTwV
)(det
)()(
)(
)()(
jwQ
jwP
I
wV
S
dk )( jwP ve (jw)‟nın reel katsayılı çok terimlileri
)( jwQ
mm
nn
S
dk
jwbjwbjwb
jwajwajwa
I
wV
)(...)()(
)(...)()()(2
21
221
Sadece N devresine
bağlı, Is „den bağımsız.
İlgilenilen her büyüklük için benzer fonksiyonlar tanımlanabilir:
)(
)(
wI
wV
S
dk Empedans Fonksiyonu
)(
)(1
wI
wV
S
Giriş Empedans Fonksiyonu
)(
)(
1 wV
wVdk Gerilim Transfer Fonksiyonu
Devre Fonksiyonlarının Simetri Özellikleri
Ön Bilgi:
Lemma: kompleks değişkeninin reel katsayılı çok terimlisi olsun
1)
2) z n(z)‟nin sıfırı olarak isimlendirilir.
jwssn ),(
)()( snsn
0)(0)( znzn
Tanıt: 011
1 ...)( nsnsnsnsn kk
kk
Rnnnn kk 011 ,,...,
1) ...)( 011
1 nsnsnsnsn kk
kk
011
1 ... nsnsnsn kk
kk
011
1 ... nsnsnsn kk
kk
)(sn
2) 00)(0)( znzn
0)(0)()()( znznznzn(1)‟den
Devre Fonksiyonu: )(
)()(
jwd
jwnjwH
)()()(
jwj HejwHjwH
)(
)()(
jwd
jwnjwH
Özellik: Herhangibir devre fonksiyonunun genliği w‟nın çift fonksiyonudur,fazı da her zaman w‟nın tek fonksiyonudur.
Tanıt:
)(
)()(
jwd
jwnjwH
)(
)()(
jwd
jwnjwH
)(
)(
jwd
jwn
jwjw ve Lemma‟dan )(
)()(
jwd
jwnjwH
)( jwH
)()( )()( jwHjwHjwHjwHw
‟nin fazı seçilebildiğinden ss
)()( jwjw HH
+_ Vk (t) N-Devresi )cos()(
kVkk wtVtv
kd VjwHVj
)(
)cos()()(kj VHkd wtVjwHtv
kd VjwHVj
)(
kdj VHV
Sonuç:Devrenin w frekansındaki davranışını belirlemek için genlikleri ile fazlarını belirlemek yeterli.
jdk VV ,HVk
,
Hatırlatma
)cos()cos(coscos2
sinsincoscos)cos(
)2cos1(2
1cos2
yxyxyx
yxyxyx
xx
*
**
***
SSH‟de Güç ve Enerji Kavramları
Tüm akım ve gerilimler “w” frekanslı sinüsoidaller
Ani Güç ve Ortalama Güç
R 2- uçlu direnç elemanı
)cos()( ImR wtIti IjmR eII
Kaynak tarafından dirence aktarılan güç:
)cos()cos()()()( ImImRR wtIwtRItitvtp
* bağıntısından )](2cos1[2
1)()()( 2
ImRR wtRItitvtp
wT
2Ani güç peryodu boyunca iki kere ve arasında değişiyor
2mRI0
Bir peryod boyunca ortalama güç:2
02
1)(
1m
T
ort RIdttpT
p
C kapasite elemanı
)cos()( vmc wtVtv vjmC eVV
Kaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:
)2
cos()cos()()()(
vmvmccc wtwCVwtVtitvtp
*** bağıntısından
Bir peryod boyunca ortalama güç: 0)(1
0
T
ort dttpT
p
vjmCC ejwCVjwCVI
)]sin()cos(Re[
))]sin()(cos(Re[]Re[)(
vmvm
vvmjwtj
mc
wtwCVwtjwCV
wtjwtjwCVeejwCVti v
)2
cos()(
vmc wtwCVti
}2
cos]2
)(2{cos[2
1)( 2
vmc wtwCVtp
)4
(2cos2
1 2 vm wtwCV
wT
2Ani güç peryodu boyunca iki kere ve arasında
değişiyor
2
2
1mwCV 2
2
1mwCV
L endüktans elemanı
Kapasite için elde edilen bağıntılara benzer şekildeKaynak tarafından kapasiteye aktarılan güç:
Bir peryod boyunca ortalama güç: 0)(1
0
T
ort dttpT
p
)4
(2cos2
1)( 2
ImL wtwCItp
1-Kapılı
i
+
_v N-Devresi
SSH G
Iti
Vtv
)(
)(
T anında G kaynağı tarafından N devresine aktarılan ani güç:
)cos()cos()()()( imvm wtIwtVtitvtp
*** bağıntısından )2cos(2
1)cos(
2
1)( ivmmivmm wtIVIVtp
Bir peryod boyunca ortalama güç: )cos(2
1)(
1
0
ivmm
T
ort IVdttpT
p
)cos(2
1ivmmort IVp
Ortama güç v(.),i(.) sinüsoidallerinin sadece genliğine değil fazına da bağlı
)cos( iv Güç faktörü (güç çarpanı) olarak adlandırılır
V=ZI bağıntısı ile belirlenen N 1-kapılısına ilişkin giriş empedans fonksiyonu Z‟ye ilişkin faz „dir.
ivZ
900 Zortp
)Re(2
1cos
2
1
)Re(2
1cos
2
1
2
2
YVIVp
ZIIVp
mYmmort
mZmmort
Kompleks Güç
i
+
_v N-Devresi
SSH G
1-kapılı N devresine G kaynağı tarafından aktarılan kompleks güç:
IVP2
1̂
vjmeVV
ijmeII
)sin(2
1)cos(
2
1ivmmivmm IVjIVP
ortp Q
jQpP ort
AktifGüç
[Watt]
Reaktif Güç
[VAR] [VAR]-VoltAmperReaktif
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
mmort IVp2
1 0Q
0ortpmmIVQ
2
1
0ortpmmIVQ
2
1
Kompleks Gücün Sakınımı
KAY+KGY Tellegen
Teoremi Herhangi bir devrede enerji sakınımı geçerlidir
Teorem: Hep aynı w frekanslı sinüsoidal kaynaklarla sürülen lineer zamanladeğişmeyen devrenin SSH‟de çalıştığını varsayalım. Kaynaklar tarafından devreye aktarılan kompleks güçlerin toplamı devredekielemanlar tarafından çekilen kompleks güçlerin toplamına eşittir.
Tanıt:
neVVVV ,....,,, 321
L.O. Chua, C.A. Desoer, S.E. Kuh. “Linear and Nonlinear Circuits” Mc.Graw Hill, 1987, New York
neIIII ,....,,, 321
KGY‟yi sağlayan gerilim fazörleri KAY‟yi sağlayan akım fazörleri
00 IAAIKAY
Tellegen teoreminden 02
1
1
ne
k
kk IV
ne
k
kk IVIV2
112
1
2
1
Maksimum Güç Transferi Teoremi
Amaç: Devre SSH‟de çalışıyor; ZL „nindeğerini, çektiği aktif gücün maksimum olmasını sağlayacak şekilde belirlemek.
ZL =?
mGG
GGG
EE
jXRZ
Varsayımlar:
Kompleks gücün sakınımı Aktif gücün sakınımı2
2
1}Re{
2
1LGLGL IRIEP
Kaynağa ilişkin aktif güç
ZG ‟de harcanan aktif güç
2
2
1cos
2
1mLGILGL IRIEP
Lm
PL , ØIL ve ILm „nin fonksiyonu (RG >0 ve EG baştan belirli)
2
2
1cos
2
1mLGILGL IRIEP
Lm
PL „yi maksimum kılmak için 1cos LI
mLGG
L
L IREI
P
m
2
1
G
L
L RI
P
m
2
2
0
0
IL „nin maksimum değeri: oL
I
m
jo
Lo
L eII
02
1 o
GGmL
IRE
G
Go
R
EI
mL 2
1
1cos o
LI
0o
LI
GoL ZZ
GGoL jXRZ
G
GoL
R
EP
8
2
Sonuç: SSH‟de kaynakları w frekanslı 1-kapılı ZL yük empedansını beslesin. Bu 1- kapılı Thevenin eşdeğeri ile
verilsin.Yük empedansının bu 1-kapılıdan maksimum ortalama güç çekmesi için gerek ve yeter koşul olmasıdır.
0 , , GGGGG RjXRZE
GoL ZZ
Bu durumda yüke aktarılan maksimum aktif güç: G
GoL
R
EP
8
2
GoL ZZ , „ye eşit olduğundan kaynağın enerjisinin %50‟si
yüke aktarılıyor. „yi kontrol etmek imkanımız olmadığından bu elde edilebilecek en iyi sonuç.
GL RR
GZ
Hatırlatma: Durum Denklemleri
nRx durum değişkenleri - kapasite gerilimleri, endüktans akımları rRy çıkış büyüklükleri - ilgilenilen eleman akımları ve gerilimleri pRu giriş büyüklükleri - bağımsız akım kaynağının akımı ve bağımsız
gerilim kaynaklarının gerilimleri
0)0( , xxDuCxy
BuAxx
EDT dersinde n=2 için çözümler bulundu
00
2
1
2
1
2221
1211
2
1)( , xtxu
b
b
x
x
aa
aa
x
x
2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
)()()( txtxtx özelhT
tth e
S
SSetx
2
1)(
Homojen kısım:
Çözüm Tahmini
00)( , xtxAxx
ASS
ASeSe tt
belirlememiz gereken kaç büyüklük var?
0 SAI sıfırdan farklı çözümlerin olması nasıl mümkün olur?
0det AI 02 baKarakteristik
Denklem
21,Karakteristik denklemin kökleri: özdeğerler
SBelirlememiz gereken özvektör
011 SAI
Hangi uzayın elemanı?O uzaya ait neyi belirlersek
aradığımızı bulmuş oluruz?
022 SAI
„e ilişkin özvektör 1
„e ilişkin özvektör 2
111 VcS
222 VcS
2
121
21)(c
cVeVetxtt
h
)(tMTemel Matris
2
1)(
c
ctM
)(
)()(
2
1
tx
txtx
özel
özel
özel
Özel çözüm:
Tam çözüm: )()()( txCtMtx özel
Nasıl belirleyeceğiz?
)()()( 000 txCtMtx özel )()()( 001
0 txtxtMC özel
)()()()()()( 0001 txtxtxtMtMtx özelözel
)()()()()()( 0001 txtxtxtMtMtx özelözel
Durum Geçiş Matrisi
)(),()()(),()( 0000 txtttxtxtttx özelözel
),( 0tt
)(),()()(),()( 0000 txtttxtxtttx özelözel
öz çözüm zorlanmış çözüm
öz çözüm zorlanmış çözüm
)()()(
0
0 )(0
)(
t
t
tAttAdBuetxetx
Yüksek Mertebeden Devrelerin Durum Denklemlerin Çözümü
nnn RARxxtxAxx , ,)( , 00
2
121
21)(c
cVeVetxtt
h
)(tMTemel Matris
2
1)(
c
ctM
2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
iki sütunu var ve her sütun lineer
bağımsız ve çözüm
nnRtX )(
Temel Matris
n sütunu var ve sütunları lineer
bağımsız çözümler
Temel Matris- • tersinir matris• diferansiyel denklemi sağlar• temel matrisler birbirlerinden bir sabit çarpımı ilefarklıdır
• verilen ilk koşul için tek olarak belirlenir.
n. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümüne dönersek
2. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümü
)()()()( 001 txtMtMtx
Durum Geçiş Matrisi
),( 0tt
Ne yapmakta?
CtttX ),()( 0
n. Mertebeden Diferansiyel Denklemlerin Çözümüne dönersek
Durum Geçiş matrisi
),(),( 00 ttAtt
Itt ),( 00
C tersinir matris
)(),(),()( 000 txttctttx i Gerçekten çözüm mü, nasıl anlayacağız?
Durum geçiş matrisinin özellikleri
Durum Geçiş matrisi
),(),( 00 ttAtt
Itt ),( 00
nnn RARxxtxAxx , ,)( , 00
İlgilendiğimiz Sistemler
210011202 ),,(),(),( ttttttttt
00)( xtx 0011 ),()( xtttx
11)( xtx 1122 ),()( xtttx
001122 ),(),()( xtttttx
0022 ),()( xtttx ),(),(),( 011202 tttttt
1-
2- ),(),( 001 tttt
210011202 ),,(),(),( ttttttttt
20011000 ),,(),(),( tttttttt
),(),( 0110 ttttI
),(),( 001 tttt
nnn RARxxtxAxx , ,)( , 00
İlgilendiğimiz Sistemler
)(),()( 00 txtttx
Çözüm
pnnnn RBRARxxtxBuAxx , , ,)( , 00
İlgilendiğimiz Sistemler
Yarsayım: )(),()( 0 tytttx
)(),()(),())(),(()( 000 tytttytttyttdt
dtx
)(),()(),( 00 tyttAtytt
BuAxx
Yarsayımı yerleştirirsek ButyttAx )(),( 0
*
**
* ve **‟dan )(),()(),()(),( 000 tyttAtyttButyttA
)(),( 0 tyttBu
Buttty ),()( 01
)()(),()( 001
0
tydButty
t
t
00001
0 ),()( xxttty
t
t
dButttxtttx
0
)(),(),(),()( 01
000
)(),()( 0 tytttx
t
t
dButxtttx
0
)(),(),()( 00
Lineer Zamanla Değişmeyen Sistemler için:
At
ttA
et
ett
)0,(
ˆ),()(
00
Çözümü bulmak için „nin belirlenmesi gerekiyor.)( 0ttAe
Ön bilgi: Laplace dönüşümü
3- Laplace Dönüşümü
Pierre-Simon,marquis de Laplace
1749-1827
Tanım: 0 ),( ttf için sürekli ya da parça parça
sürekli bir fonksiyon olsun,
koşulunu sağlıyorsa „nin Laplace dönüşümü aşağıdaki bağıntı ile tanımlanır:
0,)(),(
dtetftf t
)(tf )(sF
dtetfsF st)(ˆ)(
0
)(ˆ)( dtetfsF st
)()( tfsF L ile „nin Laplace dönüşümünü )(tf
)()( 1 sFtf -L ile ters Laplace dönüşümünü belirteceğiz
Laplace dönüşümünün özellikleri
1- Teklik
2- Lineerlik
)()()(
)()()(
222
111
sFtftf
sFtftf
L
L1c ve sabit büyüklük olmak üzere 2c
)()()()( 22112211 sFcsFctfctfc L
Tanıt:
0
22112211 )]()([)()( dtetfctfctfctfc stL
0 0
2211 )()( dtetfcdtetfc stst
0 0
2211 )()( dtetfcdtetfc stst
)()( 2211 sFcsFc
3- )()()( tfsFtf L
)0()()()(
fssFdt
tdf
dt
tdfL
Tanıt: dtdt
tdfe
dt
tdf st
0
)()(L
udv
dtsetftfe stst
00
))(()(
dtetfsf st
0
)()0(
)()0( ssFf
)0()( fssF
4- )()()( tfsFtf L
)()()(ˆ)()(ˆ asFtfesFtfetf atat L
Tanıt: dttfeetfe atstat
0
)()(L
dttfe tas
0
)( )(
asS ̂ )()(
0
SFdttfe St
)( asF
5- )()()( tfsFtf L
)()(1)()(1)( 1
1111 sFeTtTtfTtTtfsT
L
Tanıt: dteTtfdteTtTtf
T
st
T
st
1
1
)(0)(1)( 1
0
11L
1ˆ Tt
dtd ̂ def
T
Ts
1
1)()(
defe
T
ssT
1
1 )(
)(1 sFesT
6- )()()( tfsFtf L
Tanıt:
dv
)(1
)()(
00
sFs
dfdf
tt
L
0 00
])([)( dtedfdf sttt
L
u
000
)(])([ dts
etf
s
edf
ststt
u v
0
00
00
)(1
])([])([ dtetfss
edf
s
edf st
t
0 0)(1
sFs
7- )()()( tfsFtf L
a
sF
aatfatf
1)()( L
Tanıt:
0
)()( dteatfatf stL
pat ̂
dpadt ̂
0
1)( dp
aepf a
sp
0
)(1
dpepfa
a
sp
a
sS ̂
0
)(1
dpepfa
Sp
a
sF
aSF
a
1)(
1
)()()(
)()()(
222
111
sFtftf
sFtftf
L
L8-
dftf
dtffdtff
t
tt
)()(
)()()()(
2
0
1
2
0
12
0
1
L
L
)()( 21 sFsF
)(*)( 21 tftf
Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Öz Çözümün Bulunması
0)0(, xxAxx -
)()( 0 sAXxssX
0)()( xsAXssX
0)(][ xsXAsI
01][)( xAsIsX
)(s
01 )()( xstx - L öz çözüm
0)( xetx At
Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Zorlanmış Çözümün Bulunması
0)0(, xxBuAxx
)()()( 0 sBUsAXxssX
)()()( 0 sBUsAXxssX 0
)()(][ sBUsXAsI
)(][)( 1 sBUAsIsX
)(s
)()()( sBUssX
)}()({)( 1 sBUstx - L zorlanmış çözüm
t
dButtx
0
)(),()(
Laplace Dönüşümünden Faydalanarak Tam Çözümün Bulunması
0)0(, xxBuAxx
)()()()( 0 sBUsxssX
tAt dButxetx
0
0 )(),()(
Çıkışın Belirlenmesi
DuCxy
)()()( sDUsCXsY
)()]()()([)( 0 sDUsBUsxsCsY
)(])([)()( 0 sUDBsxsCsY
)()(),()(
0
0 tDudButCxCety
tAt
Özdeğerler, Sıfırlar ve Kutuplar
0)0( , xxDuCxy
BuAxx
(1)
mrn RuRyRx ,,
Tanım (1) ile verilen sistemin özdeğerleri A‟nın karakteristik çok terimlisinin kökleridir.
))...()(()det()( 21 nAIp karakteristikçok terimli
n1,2,...,i ,iözdeğerler reel, kompleks, katlı olabilirler.
01][)( xAsIsX 0
]det[
)(x
AsI
AsIek
n
i i
i xs
R
1
0)(
nxn sabit matris
n
i
iit
i xRetx i
1
0ˆ,)( nx1 sabit
vektör
Tanım: (1) ile verilen sistemin kutupları
DBAsICsU
sYsG 1)(
)(
)()(
)][det(
)][det()]([
AsI
AsIDBAsIekC
)(
)(
s
sW
kökleridir.))...()(()( 21 sssssss
Sonuç: Kutuplar özdeğerlerin bir alt kümesidir n
Tanım: (1) ile verilen sistemin sıfırları, ( sabit nx1
vektör) girişine çıkışı veren s değerleridir. 0)( uetu st 0u
0)( ty
)()()(
0)()()(
sYsDUsCX
sBUsXAsI
Bir şey ihmal edilmiş ,ne?
0)(sY
0
0
)(
)()(
)()(
sU
sX
DC
BAsI
mnrnmrnr
mnnn
)}(),min{()(
mnrnDC
BAsIrank
Girişler çıkışlara eşit ise m=r 0
)(detˆ)(
DC
BAsIs
Sistemin sıfır çok terimlisi
Girişler çıkışlara eşit ise „in kökleri (1) sisteminin sıfırlarıdır)(s
])(det[)det()( 1 DBAsICAsIs
)(spKarakteristik çok terimli
)(sG
)](det[)()( sGsps
Sistem Özellikleri: Yönetilebilirlik, Gözlenebilirlik ve Kararlılık
Yönetilebilirlik: ilk koşulu verilen bir sistemi sonlu zaman içinde durumuna götüren bir girişi bulunabilinir mi?
)( 0tx *x )(tu
Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında çıkışlarını gözleyerek sistemin ilk koşulu belirlenebilir mi? )( 0tx
)(ty
Kararlılık: Denge durumunda bulunana bir sistem, bu durumda uyarıldığında, sistem tekrar denge durumuna mı döner, yoksa denge durumundan uzaklaşır mı?
Lineer, zamanla değişmeyen sistemlerde, durum denklemlerini belirleyen (A,B,C,D) matrislerinden faydalanarak bu sorular yanıtlanır.
Önbilgi
Cayley-Hamilton Teoremi: nxn kare A matrisine ilişkin karakteristik çok terimli
olsun. A matrisi karakteristik çok terimlisini sağlar.nn
nnn ppppAsI 1
22
11 ...)det(
0... 12
21
1 IpApApApA nn
nnn
Önbilgiye devam
Zamana bağlı fonksiyonların lineer bağımsızlığı
Tanım: 1xm boyutlu, elemanları zamanın fonksiyonu olan bir vektör olmak üzere fonksiyonlar kümesi aralığında lineer olarak bağımsızdır.
nitfi ,...,2,1),(
nitfi ,...,2,1),( ],[ 10 tt
],[,...,2,10,0)( 10
1
ttnitfn
i
iii
t
Biraz daha açık yazarsak
m
mnn
nn
tf
tf
tf
1
2
1
121 0
)(
)(
)(
...
0)(...)()( 2211 tftftf nn
0)](...)()([...
)](...)()([)](...)()([
21
222212112111
tftftf
tftftftftftf
nmnnn
mm
Dikkat!!
Teorem: 1xm boyutlu fonksiyonları
aralığında lineer bağımsızdır tersinir
nitfi ,...,2,1),( ],[ 10 tt
dttFtFttG
t
t
T
1
0
)()(ˆ),( 10
nxn matris
nf
f
f
tF2
1
ˆ)(
Tanıt: „lerin aralığında lineer bağımsız iken „in tersinir olduğu gösterilecek.
)(tfi ],[ 10 tt ),( 10 ttG
Varsayım: „ler aralığında lineer bağımsız olsun, ama tekil olsun.
)(tfi ],[ 10 tt ),( 10 ttG
),( 10 ttG tekil 0),(,0 101 ttGn 0),( 10 TttG
dttFtFttG T
t
t
TT 1
0
)()(),( 10 0])()][([1
0
dttFtF T
t
t
negatif olmayan skaler bir fonksiyon
0)( tF )(tfi „ler lineer bağımsız değil
),( 10 ttGVarsayıma aykırı tersinir
Teorem: 1xm boyutlu fonksiyonları
aralığında lineer bağımsızdır tersinir
nitfi ,...,2,1),( ],[ 10 tt
dttFtFttG
t
t
T
1
0
)()(ˆ),( 10
nxn matris
nf
f
f
tF2
1
ˆ)(
Tanıt: „lerin aralığında lineer bağımsız iken „in tersinir olduğu gösterilecek.
)(tfi ],[ 10 tt ),( 10 ttG
Varsayım: „ler aralığında lineer bağımsız olsun, ama tekil olsun.
)(tfi ],[ 10 tt ),( 10 ttG
),( 10 ttG tekil 0),(,0 101 ttGn 0),( 10 TttG
dttFtFttG T
t
t
TT 1
0
)()(),( 10 0])()][([1
0
dttFtF T
t
t
negatif olmayan skaler bir fonksiyon
0)( tF )(tfi „ler lineer bağımsız değil
),( 10 ttGVarsayıma aykırı tersinir
Hatırlatma
tersinir , ‟lerin aralığında
lineer bağımsız olduğu gösterilecek.
),( 10 ttG ],[ 10 tt)0),((det 10 ttG )(tfi
Varsayım: tersinir ancak „ler aralığında lineer bağımlı)(tfi ],[ 10 tt),( 10 ttG
0)(,01 tFn dttFtF
t
t
T
1
0
)()( 0),( 10 ttG
),(0),( 1010 ttGttG tersinir değil, varsayıma aykırı
„ler aralığında lineer bağımsız)(tfi ],[ 10 tt
Lemma: 1xm boyutlu fonksiyonlarının aralığında sürekli türevleri olsun
sağlayan bir var ise
nitfi ,...,2,1),( ],[ 10 tt
ntFtFtFrank an
aa ])(...)()([ )1(
],[ 10 ttta „ler aralığında lineer bağımsızdır)(tfi ],[ 10 tt
Teorem: 1xm boyutlu fonksiyonlarının aralığında (n-1). mertebeye kadar sürekli türevleri olsun,
sağlayan bir var ise „ler aralığında lineer bağımsızdır.
nitfi ,...,2,1),( ],[ 10 tt
ntFtFtFrank an
aa ])(...)()([ )1(
],[ 10 ttta )(tfi ],[ 10 tt
Tanıt: varsayımancak „ler aralığında lineer bağımlılar.
ntFtFtFrank an
aa ])(...)()([ )1(
)(tfi ],[ 10 tt
],[,0)(,0 101 ttttFn
],[1,...,2,1,0)( 10)( tttnjtF j
],[],)(...)()([ 10)1( ttttFtFtF aa
naa
satırları lineer bağımsız değil
ntFtFtFrank an
aa ])(...)()([ )1( varsayımı ile çelişiyor
„ler aralığında lineer bağımsız olmalı. )(tfi ],[ 10 tt
Yönetilebilirlik: ilk koşulu verilen bir sistemi sonlu zaman içinde durumuna götüren bir girişi bulunabilinir mi?
)( 0tx *x )(tu
Tanım: Yönetilebilirlik:1) Durum denklemleri ile verilen dinamik sistem aralığında
yönetilebilir. ],[ 10 tt
2) anındaki herhangi bir başlangıç durumunu anındaki bir durumuna götüren aralığında tanımlı bir giriş vardır.
0t 0x 1t 1x ],[ 10 tt
Lineer sistemler için :
3) anındaki başlangıç durumunu anındaki herhangi bir durumuna götüren aralığında tanımlı bir giriş vardır.
0t 0 1t 1x ],[ 10 tt
4) anındaki herhangi bir başlangıç durumunu anındaki durumuna götüren aralığında tanımlı bir giriş vardır.
0t 1t 0 ],[ 10 tt
0x
1
0
101 )()(
0)(
1
t
t
tAttAdBuexex
1
0
101 )()(
0)(
1
t
t
tAttAdBuexex
1̂x
1
0
1 )(ˆ )(1
t
t
tAdBuex
başlangıç durumunu durumuna götüren giriş1̂x 0
1
0
101 )(0)(
10)(
t
t
tAttAdBuexxe
1
0
101 )()(
0)(
1
t
t
tAttAdBuexex
1
0
10101 )(][0)(
1)(
0)(
t
t
tAttAttAdBuexexe
0x̂
1
0
101 )(ˆ0)(
0)(
t
t
tAttAdBuexe
başlangıç durumunu durumuna götüren giriş0x̂ 0
Teorem: Lineer zamanla değişmeyen sistemi anında yönetilebilir matrisinin satırları
aralığında lineer bağımsızdır.
)()()( tButAxtx
],[ 10 ttBetF
ttA )( 0ˆ)(
0t
Tanıt: )(tF „ nin satırları lineer bağımsız kabul edilip sistemin yönetilebilir olduğu gösterilecek
anındaki çözüm1tt
1
0
101 )()()()(
0)(
1
t
t
tAttAdBuetxetx
1
0
00101 )()()()()(
0)(
1
t
t
tAttAttAdBueetxetx
matrisinin satırlarının aralığında lineer bağımsızolduğunu hipotezden dolayı söyleyebiliyoruz. Teorem 1‟den yararlanarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz
],[ 10 ttBetFttA )( 0ˆ)(
deBBettG TtA
t
t
TtA)(),(
)()(10
0
1
0
0
tersinirdir.
başlangıç durumunu durumuna götüren giriş aşağıdaki ifade ile belirlenebilir,
)( 0tx 0)( 1 tx
)(),()()( 0101)( 0 txttGeBtu TttAT
1
0
000101 )(),()()()( 0101)()()(
0)(
1
t
t
TtATtAttAttAdtxttGeBBeetxetx
1
0
000101 )(),()()()( 0101)()()(
0)(
1
t
t
TtATtAttAttAdtxttGeBBeetxetx
1
0
000101 )(),()()()( 0101)()()(
0)(
1
t
t
TtATtAttAttAtxttGdeBBeetxetx
),( 10 ttG
)()()( 0)(
0)(
10101 txetxetx
ttAttA
0)( 1 tx
)(tF „ nin satırları lineer bağımsız ise başlangıç durumunu durumuna götüren girişin var olduğu dolayısıyla lineer zamanla değişmeyen sistemin yönetilebilir olduğu gösterildi.
0)( 1 tx)( 0tx
Lemma: 1xm boyutlu fonksiyonlarının aralığında sürekli türevleri olsun
sağlayan bir var ise
nitfi ,...,2,1),( ],[ 10 tt
ntFtFtFrank an
aa ])(...)()([ )1(
],[ 10 ttta „ler aralığında lineer bağımsızdır)(tfi ],[ 10 tt
Hatırlatma
Teorem 2: Lineer zamanla değişmeyen sistemi anında yönetilebilir matrisinin satırları
aralığında lineer bağımsızdır.
)()()( tButAxtx
],[ 10 ttBetF
ttA )( 0ˆ)(
0t
Tanıt: )(tF „ nin satırları lineer bağımsız kabul edilip sistemin yönetilebilir olduğu gösterilecek
anındaki çözüm1tt
1
0
101 )()()()(
0)(
1
t
t
tAttAdBuetxetx
1
0
00101 )()()()()(
0)(
1
t
t
tAttAttAdBueetxetx
matrisinin satırlarının aralığında lineer bağımsızolduğunu hipotezden dolayı söyleyebiliyoruz. Teorem 1‟den yararlanarak aşağıdaki ifadeyi yazabiliriz
],[ 10 ttBetFttA )( 0ˆ)(
deBBettG TtA
t
t
TtA)(),(
)()(10
0
1
0
0
tersinirdir.
başlangıç durumunu durumuna götüren giriş aşağıdaki ifade ile belirlenebilir,
)( 0tx 0)( 1 tx
)(),()()( 0101)( 0 txttGeBtu TttAT
1
0
000101 )(),()()()( 0101)()()(
0)(
1
t
t
TtATtAttAttAdtxttGeBBeetxetx
1
0
000101 )(),()()()( 0101)()()(
0)(
1
t
t
TtATtAttAttAdtxttGeBBeetxetx
1
0
000101 )(),()()()( 0101)()()(
0)(
1
t
t
TtATtAttAttAtxttGdeBBeetxetx
),( 10 ttG
)()()( 0)(
0)(
10101 txetxetx
ttAttA
0)( 1 tx
)(tF „ nin satırları lineer bağımsız ise başlangıç durumunu durumuna götüren girişin var olduğu dolayısıyla lineer zamanla değişmeyen sistemin yönetilebilir olduğu gösterildi.
0)( 1 tx)( 0tx
Varsayım: sistem yönetilebilir ancak „nin satırları lineer bağımlı)(tF
0)(,01 tFn Ttx )( 0 alırsak
1
0
00101 )(0)()()(
t
t
tAttATttAdBueee
1
0
00101 )(0)()()(
t
t
tAttATttAdBueee
1
0
0 )(0)(
t
t
tAT dBue
1
0
0 )(0)(
t
t
tAT dBue
1
0
0 )(0)(
t
t
tAT dBue 0)( tF
T0
0 varsayım ile çelişiyor
)(tF „ nin satırları lineer bağımsız
Teorem 3: Lineer zamanla değişmeyen sistemi anında yönetilebilir
)()()( tButAxtx
nBAABBrankrank n ]...[ˆ)1(C
yönetilebilirlik matrisi
Tanıt: Teorem 2 yönetilebilir „nin satırları lineer bağımsız
)()()( tButAxtx BettA )( 0
Lemma nBAeABeBerank nAtnAtAt aaa ]...)1(...[ 11
nBAABBrankt nna ]...)1(...[0 11
Cayley-Hamilton Teoreminden „nın lineer kombinasyonu olarak yazılabilir ve (-) işareti rankı değiştirmez
11 ,...,,...., nnn AAIAA
nBAABBrank n ]......[ 1
Gözlenebilirlik: Sonlu zaman aralığında çıkışlarını gözleyerek sistemin ilk koşulu belirlenebilir mi? )( 0tx
)(ty
Tanım: Gözlenebilirlik
aralığındaki giriş-çıkış çiftinden tek olarak belirlenebiliyorsasistem aralığında gözlenebilirdir.
)( 0tx ],[ 10 tt ],[ 10 tt
Du(t)dBueCtxCety
t
t
tAttA
0
10 )()()()(
0)(
Du(t)dBueCtyty
t
t
tA
0
1 )()(ˆ)(ˆ)(
)()(ˆ 0)( 0 txCety
ttA
Teorem 4: Lineer zamanla değişmeyen
sistemi gözlenebilir matrisinin sütunları aralığında lineer bağımsız.
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxtx
)( 0ˆ)(~ ttA
CetF
],[ 10 tt
Yönetilebilirlik ve Gözlenebilirlik Hatırlatma
)()()(
)()()(
tDutCxty
tButAxtx
Yönetilebilirlik
matrisinin satırları aralığında lineer bağımsızdır. ],[ 10 ttBetFttA )( 0ˆ)(
başlangıç durumunu durumuna götüren giriş)( 0tx 0)( 1 tx
)(),()()( 0101)( 0 txttGeBtu TttAT
nBAABBrankrank n ]...[ˆ1C
Gözlenebilirlik
matrisinin sütunları aralığında lineer bağımsızdır. ],[ 10 tt)( 0ˆ)(~ ttA
CetF
n
CA
CA
C
rankrank
n
1
ˆO
1
0
0 )(ˆ),()()(
101
0
t
t
TTttAdttyCettMtx
Du(t)dBueCty
t
t
tA
0
1 )()()(
1
)()( 0
1
0
0
deCCe
tA
t
t
TTtA
Frekans Tanım Bölgesinde Yönetilebilirlik ve Gözlenebilirlik
Varsayım: A‟nın özdeğerleri lineer katsız n ,...,, 21
0D
‟ler birbirinden .......ix
ise .................................dolayısıyla sistem...........0ib ix
ise .................................dolayısıyla sistem...........0ic ix
xcccy
u
b
b
b
xx
n
nn
...
0
0...
0...00
0...00
0...00
21
2
1
3
2
1
(*)
(*) sistemine ilişkin transfer fonksiyonu:
n
n
n
b
b
b
s
s
s
s
ccc
BAsICsG
2
1
3
2
1
21
1
10
0...
0...1
00
0...01
0
0...001
...
)()(
n
i i
ii
s
bcsG
1
)(
0jb 0jcve/veya ise sistem yönetilemez ve/veya gözlenemez
n
jii i
ii
s
bcsG
1
)(
Lemma: sisteminin özdeğerleri katsız ise, sistemin yönetilebilir olması için gerek ve yeter koşul transfer fonksiyonunda sıfır kutup sadeleşmesi olmamasıdır.
),,( CBA
BAsICsG 1)()(
Gözlenebilirliği ve yönetilebilirliği ayrı ayrı incelemek istiyorsak:
BAsIsGc1)()( Yönetilebilirlik için
1)()( AsICsGo Gözlenebilirlik için
BetFttA )( 0ˆ)(
)( 0ˆ)(~ ttA
CetF
t-tanım bölgesinde yönetebilirlik ve gözlenebilirlik için baktığımız matrisler
Bir sistemin yönetilebilir ve gözlenebilir altsistemlerinin ayrıştırılması