Introduzione alla Teoria dei GiochiNozioni Preliminari
Lorenzo Rocco
Scuola Galileiana - Università di Padova
25 marzo 2010
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 1 / 25
Giochi.
Dilemma del prigionieroprigioniero2
n.c. c.prigioniero1 n.c. -1,-1 -4,0
c. 0,-4 -3,-3
Corsa agli armamentiURSS
disarma riarmaUSA disarma 2,2 0,3
riarma 3,0 1,1
Bach o Stravinskydonna
Bach Strav.uomo Bach 2,1 0,0
Strav. 0,0 1,2
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 2 / 25
L�obiettivo
FactL�obiettivo della teoria dei giochi è quello di prevedere l�esito (o gli esiti)"ragionevoli" di un gioco.
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 3 / 25
La Teoria dei Giochi
La teoria dei giochi studia situazioni di interazione strategica tra decisorirazionali con conoscenza comune delle regole e della struttura del gioco
De�nitionSi parla di interazione strategica quando la "vincita" (payo¤) del giocatorei dipende sia dalle sue scelte (strategie) che da quelle degli altri giocatori(�i).
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 4 / 25
Giochi
Economia:
1 competizione tra oligopolisti2 competizione elettorale (ma anche scelta del manager)3 negoziazione4 aste5 ...
Biologia
1 Selezione naturale (giochi evolutivi)Università di Vienna
2 Cooperazione e competizione tra i lievitiLieviti
Filoso�aFiloso�aRocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 5 / 25
Giochi
Giochi
1 testa o croce (matching pennies)2 morra cinese3 scacchi4 ...
testa crocetesta -1,1 1,-1croce 1,-1 -1,1
forbice sasso cartaforbice 0,0 -1,1 1,-1sasso 1,-1 0,0 -1,1carta -1,1 1,-1 0,0
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 6 / 25
Razionalità e common knowledge
Ogni giocatore i è caratterizzato da una funzione di payo¤ de�nita sul setA dei possibili esiti del gioco, che associa valori più alti a esiti per lui"preferibili".
De�nitionUn individuo è razionale se punta a massimizzare il suo payo¤
De�nitionCommon knowledge: la struttura del gioco, le regole, i giocatori, le lorofunzioni di payo¤ e le strategie che possono adottare sono conosciute1) da tutti i giocatori2) tutti i giocatori sanno che i loro avversari le conoscono3) tutti i giocatori sanno che i loro avversari sanno che loro conoscono4)...
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 7 / 25
Giochi in Forma Normale
De�nitionUn gioco in forma normale è composto dall�insieme dei giocatori, dallospazio delle strategie disponibili per ogni giocatore e dalle funzioni dipayo¤ di ogni giocatore: ΓN = (I , fSig, fuig)
Le tre "matrici" viste all�inizio sono rappresentazioni della forma normaledi alcuni giochi.
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 8 / 25
Funzioni di payo¤
Il vettore delle strategie giocate dai giocatori si chiama pro�lostrategico
Ad ogni pro�lo strategico corrisponde un esito del gioco. Es: (forbice,sasso)!vince Mr. 2Ad ogni esito corrisponde un payo¤
ui : S1 � ...� SI ! R
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 9 / 25
Il primo concetto di soluzione
Il primo e più debole concetto di soluzione di un gioco in forma normale èquello di eliminazione iterata delle strategie strettamente dominate.
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 10 / 25
Strategie dominate I
De�nitionUna strategia si 2 Si è strettamente dominata per il giocatore i nel giocoΓN se esiste una strategia s 0i 2 Si tale che
ui (si , s�i ) < ui (s 0i , s�i ) per tutti s�i 2 S�i
De�nitionUna strategia si 2 Si è debolmente dominata per il giocatore i nel giocoΓN se esiste una strategia s 0i 2 Si tale che
ui (si , s�i ) � ui (s 0i , s�i ) per tutti s�i 2 S�i .
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 11 / 25
Strategie dominate II
Strategie strettamente dominate possono essere eliminate sulla basedel principio di razionalitàDopo avere eliminato alcune strategie strettamente dominate, altrestrategie strettamente dominate possono emergere e possono essereulteriormente eliminate
L C RU 4, 3 3, 5 2, 4M 9, 4 2, 5 3, 4D 5, 3 0, 2 2, 3
L�eliminazione iterata su basa sulla common knowledge dellarazionalità: ogni iterazione richiede che tale CK sia più profonda.Se i sa che gli altri giocatori sono razionali, allora i può prevedere chei suoi rivali cancelleranno le loro strategie dominate che emergonodopo la sua eliminazioneMa solo se gli altri sanno che i è razionale, si può prevedere che essicancelleranno le strategie dominate che emergono.Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 12 / 25
Strategie dominate III
Quanto i giocatori "credono" nella razionalità altrui? E se gliavversari sbagliassero con una piccola probabilità?
A Ba 1000, 0 1, 1b �1000, 0 2, 1
Spesso non esitono strategie dominate ! nessun esito può essereescluso usando questo concetto (es. Bach vs Stavinsky)
La soluzione del dilemma del prigioniero si ottiene per eliminazionedelle strategie dominate
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 13 / 25
Strategie dominate IV
Vi convince la soluzione prevista per il dilemma del prigioniero?
Voi come giochereste?
Sperimentalmente: il 40% gioca "non confessare"
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 14 / 25
Strategie dominate IV
Vi convince la soluzione prevista per il dilemma del prigioniero?
Voi come giochereste?
Sperimentalmente: il 40% gioca "non confessare"
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 14 / 25
Strategie dominate IV
Vi convince la soluzione prevista per il dilemma del prigioniero?
Voi come giochereste?
Sperimentalmente: il 40% gioca "non confessare"
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 14 / 25
Il secondo concetto di soluzione
Il secondo concetto di soluzione di un gioco in forma normale è quello dieliminazione iterata delle strategie non razionalizzabili (never bestresponse).(ovvero: spingere ancor più sul pedale della razionalità)
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 15 / 25
Strategie Razionalizzabili I
De�nitionNel gioco ΓN la strategia si è una risposta ottima (best response) per ilgiocatore i rispetto alle strategie degli altri giocatori s�i se
ui (si , s�i ) � ui (s 0i , s�i ) per tutte s 0i 2 Si
De�nitionUna strategia si non è mai risposta ottima (never a best response) se nonesiste alcun s�i per il quale si sia una risposta ottima.
Qualsiasi sia l�aspettativa del giocatore i circa le strategie dei suoiavversari s�i , una never best response è sempre peggiore di un�altrastrategia. Quindi una never best response non può essere giusti�cata,qualsiasi siano le aspettative del giocatore sul comportamento degli altri.
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 16 / 25
Strategie Razionalizzabili II
De�nitionNel gioco ΓN le strategie in Si che sopravvivono all�eliminazione iteratadelle strategie never best response sono de�nite come strategierazionalizzabili del giocatore i .
Il set di strategie razionalizzabili è un sottoinsieme del set delle strategienon strettamente dominate. Quindi l�insieme degli esiti ragionevoli delgioco si restringe.
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 17 / 25
Strategie Razionalizzabili III
b1 b2 b3 b4a1 0, 7 2, 5 7, 0 0, 1a2 5, 2 3, 3 5, 2 0, 1a3 7, 0 2, 5 0, 7 0, 1a4 0, 0 0,�2 0, 0 10,�1
Qual è l�insieme della strategie razionalizzabili?
1) b4 è never best response; 2) a4 diventa never best response
Qual è l�insieme delle strategie non dominate?
non ci sono strategie strettamente dominate
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 18 / 25
Strategie Razionalizzabili III
b1 b2 b3 b4a1 0, 7 2, 5 7, 0 0, 1a2 5, 2 3, 3 5, 2 0, 1a3 7, 0 2, 5 0, 7 0, 1a4 0, 0 0,�2 0, 0 10,�1
Qual è l�insieme della strategie razionalizzabili?
1) b4 è never best response; 2) a4 diventa never best response
Qual è l�insieme delle strategie non dominate?
non ci sono strategie strettamente dominate
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 18 / 25
Strategie Razionalizzabili III
b1 b2 b3 b4a1 0, 7 2, 5 7, 0 0, 1a2 5, 2 3, 3 5, 2 0, 1a3 7, 0 2, 5 0, 7 0, 1a4 0, 0 0,�2 0, 0 10,�1
Qual è l�insieme della strategie razionalizzabili?
1) b4 è never best response; 2) a4 diventa never best response
Qual è l�insieme delle strategie non dominate?
non ci sono strategie strettamente dominate
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 18 / 25
Strategie Razionalizzabili III
b1 b2 b3 b4a1 0, 7 2, 5 7, 0 0, 1a2 5, 2 3, 3 5, 2 0, 1a3 7, 0 2, 5 0, 7 0, 1a4 0, 0 0,�2 0, 0 10,�1
Qual è l�insieme della strategie razionalizzabili?
1) b4 è never best response; 2) a4 diventa never best response
Qual è l�insieme delle strategie non dominate?
non ci sono strategie strettamente dominate
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 18 / 25
Il terzo concetto di soluzione
Il terzo concetto di soluzione di un gioco in forma normale è quello diEquilibrio di Nash.
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 19 / 25
Equilibrio di Nash
Il concetto di Equilibrio di Nash è il concetto di soluzione più famoso eapplicato
De�nitionUn pro�lo strategico s è un equilibrio di Nash del giocoΓN = (I ; fSig ; ui (�)) se per ogni giocatore i 2 I
ui (si , s�i ) � ui (s 0i , s�i ) per tutte s 0i 2 Si
Ogni giocatore adotta la sua best response, non rispetto a unqualsiasi pro�lo strategico adottato dai suoi avversari, ma rispetto allestrategie giocate dai sui avversari in equilibrio.
Non basta solo la razionalità: il concetto di EN richiede che igiocatori prevedano correttamente quali strategie saranno adottatedagli avversari.
In equilibrio di Nash, nessun giocatore ha un incentivo a deviare.
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 20 / 25
Equilibrio di Nash - Esempi
S C Da 4, 4 5, 3 1, 2b 3, 2 4, 5 3, 6
L RU 3, 4 4, 6D 2, 6 5, 4
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 21 / 25
Equilibrio di Nash III
Ogni strategia parte di un equilibrio di Nash è razionalizzabile (è unabest respose): quindi ci sono almeno tanti esiti in strategierazionalizzabili quanti sono gli equilibri di Nash
Possono esistere più equilibri di Nash (Bach vs Stravinsky). In questocaso l�assunzione di aspettative corrette è molto forte: i giocatoridevono prevedere correttamente quale equilibrio sarà giocato, mentrela teoria dei giochi è incapace di "selezionare" un equilibrio.
B SB 2, 1 0, 0S 0, 0 1, 2
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 22 / 25
Equilibrio di Nash IV
De�nizione alternativa
De�nitionLa corrispondenza di risposta ottima (best response correspondence) delgiocatore i , bi : S�i ! Si nel gioco ΓN = (I , fSig, fuig) è lacorrispondenza che assegna a ogni pro�lo s�i 2 S�i l�insieme delle risposteottime di i
bi (s�i ) =�si 2 Si : u(si , s�i ) > u(s 0i , s�i ) for all s 0i 2 Si
De�nitionIl pro�lo (s1, ...sI ) è un Equilibrio di Nash del gioco ΓN = (I , fSig, fuig)se e solo se
si 2 bi (s�i ) per i = 1, ..., I
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 23 / 25
Interpretazione del concetto di E.N. I
Il concetto di Equilibrio di Nash è ragionevole? Ecco alcune possibiligiusti�cazioni
Giocatori razionali devono necessariamente capire qual è l�esitoragionevole del gioco e devono giocarlo. (Falso: abbiamo visto che larazionalità consente solamente di identi�care le strategierazionalizzabili)
Se esiste un unico modo ovvio ed evidente per giocare, questo deveessere un equilibrio di Nash (giocatori razionali devono individuarequesto modo ovvio e aspettarsi che anche i loro avversari loindividuino)
Se un esito è un focal point questo è un equilibrio di Nash: certi esitisono "attrattivi" per ragioni culturali, oppure potrebbero avere unqualche natural appeal (Shelling)
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 24 / 25
Interpretazione del concetto di E.N. II
L�equilibrio di Nash può essere pensato come un self-enforcingagreement (i giocatori comunicano prima del gioco, si accordano"senza impegno" su un esito e si aspettano che gli altri giochinosecondo l�accordo - accordo credibile solo se non ci sono deviazionipro�ttevoli)
L�equilibrio di Nash può essere visto come lo steady state di unprocesso di aggiustamento dinamico, dove i giocatori formanoaspettative "ingenue" sul comportamento degli avversari (ad esempio:Cournot tatonnement - i giocatori si aspettano che l�avversario giochioggi come ha giocato ieri).
L�equilibrio di Nash come esito evolutivo: i geni determinano lastrategia che un giocatore adotta (non ci sono più rational decisionmakers): la popolazione dei giocatori che scelgono le strategiesbagliate scompare
Rocco (Padova) Giochi 25 marzo 2010 25 / 25