Download - Distribution Probability
Probability & StatisticsBinomial, Normal Standard & Poisson Distribution
Dibuat oleh: Bayu Rima Aditya
Aku gagal! Aku barusaja gagal lulus ujikelayakan pilot!!!
Apa yg harus Anak itu lakukan??
Ia bisa mengulangi eksperimennya..berkali-kali..
Eksperimen yang bisa diulang dikenal jg dengan Percobaan Bernoulli
Sifat-sifat Percobaan Bernoulli:1. Hasil setiap percobaan adalah sukses atau gagal.2. Probabilitas p sukses sama besar untuk setiap percobaan.3. Percobaan bersifat independen: hasil dari satu percobaan tidak
mempengaruhi hasil percobaan berikutnya.
Berapa kali Anakkecil itu bisa lulus n
kali uji kelayakanpilot??
Peubah Acak Binomial X adalah jumlah keberhasilan Percobaan Bernoulli denganprobabilitas keberhasilan p yang diulang sebanyak n kali.
xnx
xn ppCpnxbxfxXP )1.(.),,()()(
Probabilitas seorang calon pilot dapat lulus uji kelayakan terbang pesawat
Mas MH370 adalah 0.8. Jika terdapat 4 calon pilot yang akan diuji, berapa
probabilitas bahwa tepat 2 calon pilot yang akan berhasil?
CONTOH:
1536.0)8.01.()8.0.()8.0,4,2()2()2( 242
24 CbfXP
xnx
xn ppCpnxbxfxXP )1.(.),,()()(
p = 0.8
n = 4
x f(x)
0 0.0016
1 0.0256
2 0.1536
3 0.4096
4 0.40960
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
f(x)
x
Distribusi Probabilitasnya jika p=0.8:
Pertanyaan lanjutan:
a. Berapa probabilitas bahwa tidak ada calon pilot yang diuji akan berhasil?
b. Berapa probabilitas bahwa minimal terdapat 1 calon pilot yang akan
berhasil?
Jawab:
a. f(0) = 0.0016
b. f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 0,9984 atau cara lainnya 1 – f(0)
Distribusi Probabilitasnya jika p=0.5:
p = 0.5
n = 4
x f(x)
0 0.0625
1 0.25
2 0.375
3 0.25
4 0.06250
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
f(x)
x
Jika p=0.5, distribusiprobabilitas
binomialnya menjadisimetris sempurna
Distribusi Probabilitasnya jika p=0.9:
p = 0.9
n = 4
x f(x)
0 0.0001
1 0.0036
2 0.0486
3 0.2916
4 0.65610
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
f(x)
x
Distribusi Probabilitasnya jika p=0.99:
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5
f(x)
x
p = 0.99
n = 4
x f(x)
0 0.00000001
1 0.00000396
2 0.00058806
3 0.03881196
4 0.96059601
Mean dan Variansi Distribusi Binomial
np
)1(2 pnp
Membaca tabel kumulatif binomial x=0 ; n= 4; p=0.8
Jika p=0.5 dan n yang sangat besar, maka distribusi binomial bisadidekati dengan sebuah fungsi kerapatan kontinu yang dinamakandistribusi normal standar dengan meletakkan pusat atau µ = 0 danmenjadikan simpangan baku atau σ = 1.
2
2
2
1)(
z
exf
2)(2
1
2
1),(
x
exf
Rumus ini menggambarkan distribusi berbentuklonceng simetrik yang berpusat pada mean µ dan
simpangan baku σ
np
)1( pnp
Central Limit Theorem
Normal baku cocok dengan binomial (yang telah dinormalkan) yangmemiliki p = 0.5. Distribusi binomial tidak simetris jika p ≠0.5. Akantetapi dalam prakteknya normal baku ternyata cocok juga untuksembarang nilai p. Semakin bertambah nilai n maka bentuk asimetrisbinomial menjadi hilang. Sehingga semua binomial akhirnya pastimenjadi normal.
Transformasi Z
Mengubah suatu variabel acak normal dengan mean µ dan simpanganbaku σ menjadi suatu variable acak normal standar dengan mean 0 dansimpangan baku 1.
xz
X z
Tabel Normal Standar Untuk Mencari Nilai ProbabilitasSembarang Distribusi Normal
)()()(
aF
bFbXaP
Distribusi Binomial dengan pendekatan Distribusi Normal
Kita harus memasukkan koreksi kontinuitas untuk mendapatkanpendekatan kontinu variable yang bagus untuk variable acak binomialdiskrit X. Sehingga rumus akan menjadi:
))1(
21
)1(
21
()(pnp
npbZ
pnp
npaPbXaP
Pendekatan ini menjadi “cukup bagus” ketika np ≥ 5 bila p ≤ 0.5
Distribusi Poisson
Distribusi Poisson menunjukkan perilaku sebuah peubah acak binomial dengan jumlah eksperimen yang sangat begitu besar dan denganprobabilitas keberhasilan yang begitu kecil.
!
.),()()(
x
tetxpxfxXP
xt
npt
dengan
Distribusi Normal
Jika variabel acak kontinu X mempunyai fungsi densitas pada X=x dengan persamaan
e 2
1 = ) x f(
2
21
- x -
0 2 4 6 8 10
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x
dn
orm
(x, 5
, 1
)
Distribusi Normal
Gambar Kurva normal dengan simpangan baku sama
-4 -2 0 2 4
0.0
0.5
1.0
1.5
x
dn
orm
(x, 0
, 0
.25
)
Distribusi Normal
Gambar Kurva normal dengan rata-rata sama
-6 -4 -2 0 2 4
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
x
dn
orm
(x, 1
, 0
.5)
Gambar Kurva normal dengan mean dan standart deviasiyang berbeda
Distribusi Uniform
Bila X merupakan variabel random uniform kontinu yang terdefinisi pada selang (A,B) maka fungsi peluang dari X adalah
lainnya
BxAAB
BAxf
0
1),;(
ABXE 2
1 212
1ABXVar
Rata-rata dan variansi distribusi uniform adalah
Distribusi kumulatif dari peubah acak X yang berdistribusi uniform didefinisikan sebagai berikut
Bx
BxAAB
AxAx
xXP
1
0
)(
Distribusi Eksponensial
Perubah acak kontinu X terdistribusi eksponensial dengan parameter, , jika fungsi padatnya berbentuk:
10
0
0
x
e ; xf(x)
; x yanglain
dengan
Rata-rata dan variansi distribusi eksponensial adalah
2 2dan
26
Distribusi gamma
Peubah acak kontinu X berdistribusi gamma dengan parameter >0 dan β>0, bila fungsi padatanberbentuk
untuk X>0 dan bernilai nol untuk X yang lainnya.
Rataan dan variansi distribusi gamma adalah
dan
Catatan: Bila =n, n bil bulat positif maka Γ(n) = (n-1)!
xxxf exp
1)( 1
22
27
Distribusi Weibull
Peubah acak kontinu X berdistribusi Weibull dengan parameter dan β, bila fungsi padatanberbentuk
untuk X>0 dan bernilai nol untuk X yang lainnya.
Rataan dan variansi distribusi Weibull adalah
dan
xxxf exp)( 1
1
1/1
2
/22 11
21