Download - Dist. normal
Universidad Nacional Experimental
“Francisco de Miranda”
Dpto. de Física y Matemática
Unidad Curricular: Estadística
Tema VDistribución de Probabilidad
Normal
Profa. Ing. Maryorys
Polanco
Coro, julio de 2013
Contenido
Introducción.
Teorema Central del Límite.
Área de distribución normal.
Aproximación de la Binomial a la
Normal.
Solución de problemas.
Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Introducción
Algunas características:
La curva es simétrica alrededor de un eje vertical
a través de la media 𝜇
La curva se aproxima al eje horizontal de forma
asintótica, conforme nos alejamos de la muestra.
El área total bajo la curva y sobre el eje horizontal
es 1.
𝜇
𝜎
La función de densidad de probabilidad de una v.a normal x, con media 𝜇 y varianza 𝜎2es,
𝑓(𝑥: 𝜇, 𝜎)=1
2𝜋𝜎2𝑒−(𝑥−𝜇)2
2𝜎2 con - ∞ <x<∞
y su función de distribución acumulativa es,
𝐹(𝑥: 𝜇, 𝜎)=1
2𝜋𝜎2 𝑥
𝑒−(𝑥−𝜇)2
2𝜎2 𝑑𝑥
Walpole, 2007.
Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
-∞
Teorema del Limite Central
Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Definición: Sea 𝑥 la media de una m.a. de tamaño ntomada de una población con distribución desconocida ymedia 𝜇 y varianza 𝜎2 definidas , entonces la forma límitede la distribución de
z = 𝑥−𝜇𝜎
𝑛
, conforme 𝑛 → ∞
es la distribución normal estándar 𝑛 𝑧: 0,1 . Esto es,
lim𝑛→∞
𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 − 𝜇𝜎𝑛
≤ 𝑏 =1
2𝜋
𝑎
𝑏
𝑒−𝑧2
2 𝑑𝑧
Es decir, la variable aleatoria Z es asintóticamente normalSpiegel,
2009
Teorema del Limite Central
Para n = 1, 2,…., n tenemos 𝑆𝑛 = 𝑋1 + 𝑋2 +⋯+ 𝑋𝑛. Ahora 𝑋1, 𝑋2, … , 𝑋𝑛, tienen
cada una media 𝜇 𝑦 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑛𝑧𝑎 𝜎2. Asi,
𝐸(𝑆𝑛) = 𝐸(𝑋1) + 𝐸(𝑋2) + ⋯+ 𝐸(𝑋𝑛) = 𝑛𝜇
𝑉𝑎𝑟 𝑆𝑛 = 𝑉𝑎𝑟 𝑋1 + 𝑉𝑎𝑟 𝑋2 +⋯+ 𝑉𝑎𝑟 𝑋𝑛 = 𝑛𝜎2
La variable aleatoria estandarizada correspondiente a 𝑆𝑛 es
𝑆𝑛∗ =
𝑆𝑛 − 𝑛𝜇
𝜎 𝑛
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Normal
Teorema del Limite Central
La función generadora de momento para 𝑆𝑛 es
𝐸 𝑒𝑡𝑆𝑛 = 𝐸 𝑒𝑡(𝑆𝑛−𝑛𝜇)/𝜎 𝑛
𝐸 𝑒𝑡𝑆𝑛 = 𝐸 𝑒𝑡(𝑋1−𝜇)/𝜎 𝑛𝑒𝑡(𝑋2−𝜇)/𝜎 𝑛 …𝑒𝑡(𝑋𝑛−𝜇)/𝜎 𝑛
= 𝐸 𝑒𝑡 𝑋1−𝜇
𝜎 𝑛 𝐸 𝑒𝑡 𝑋2−𝜇
𝜎 𝑛 ⋯𝐸 𝑒𝑡 𝑋𝑛−𝜇
𝜎 𝑛
= 𝐸 𝑒𝑡 𝑋1−𝜇
𝜎 𝑛
𝑛
Expansión de Taylor n=2
𝐸 𝑒𝑡 𝑋1−𝜇
𝜎 𝑛 = 𝐸[1 +𝑡 𝑋1 − 𝜇
𝜎 𝑛+𝑡2 𝑋1 − 𝜇
2
2𝜎2𝑛+ ⋯
Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Teorema del Limite Central
= 𝐸 1 +𝑡
𝜎 𝑛𝐸 𝑋1 − 𝜇 +
𝑡2
2𝜎2𝑛𝐸(𝑋2 − 𝜇)
2⋯
= 1 +𝑡
𝜎 𝑛0 +
𝑡2
2𝜎2𝑛𝜎2 +⋯
= 1 +𝑡2
2𝑛+⋯
𝐸 𝑒𝑡𝑆𝑛 = (1 +𝑡2
2𝑛+⋯ )𝑛
Como el limite 𝑛 → ∞ es 𝑒𝑡2
2 , lo cual es la función generadora de momentos de
la distribución normal estandarizada, la variable 𝑆𝑛 converge en distribución a
una v.a. n(Z;0,1)
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Normal
Áreas de la Distribución
normal
El área bajo la curva normal es igual a
1. Esto por,
P(−∞ < 𝑥 < ∞)=1
2𝜋𝜎2 ∞
𝑒−(𝑥−𝜇)2
2𝜎2 𝑑𝑥 = 1-∞
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P(𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2)=1
2𝜋𝜎2 𝑥1𝑥2 𝑒
−𝑥−𝜇 2
2𝜎2 𝑑𝑥
𝑃(𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2)
𝑥1 𝑥2
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Normal
Sea Z una v. a. definida por la relación
Z =𝑥−𝜇
𝜎con 𝜇 = 0 𝑦 𝜎 = 1.
Siempre que X tome un valor x, el valorcorrespondiente de z será el dado por larelación anterior. En consecuenciapodemos escribir,
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P(𝑥1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑥2)= P(𝑧1 ≤ 𝑍 ≤ 𝑧2)=1
2𝜋 𝑧1𝑧2 𝑒−
𝑧 2
2 𝑑𝑥
A la distribución de la v.a. normal con 𝜇 =0 𝑦 𝜎 = 1 se le conoce como Distribución
Normal Estándar.
Aproximación de la Binomial a la
Normal
La distribución normal es una buena
aproximación para una distribución
discreta cuando esta adquiere una
forma de campana.
Debido a que su F se tabula muy
fácilmente.
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Normal
Definición: Si x es una v. a. binomial
con 𝜇 = 𝑛𝑝 𝑦 𝜎 = 𝑛𝑝𝑞 entonces la
forma límite de la distribución de la
variable
Conforme 𝑛 → ∞ es la distribución
normal estándar 𝑛 𝑧: 0,1
Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
Aproximación de la Binomial a la Normal
Z =𝑥 − 𝑛𝑝
𝑛𝑝𝑞
Esta aproximación puede escribirse la
siguiente forma:
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Normal
lim𝑛→∞
𝑃 𝑎 ≤𝑥 − 𝑛𝑝
𝑛𝑝𝑞≤ 𝑏 =
1
2𝜋
𝑎
𝑏
𝑒−𝑧2
2 𝑑𝑧
Esto quiere decir que la v. a. Z es
asintóticamente normal.Spiegel,
2009
Cuando se aproxima una distribución discreta a
una continua es preciso usar la corrección de
continuidad x ± 0,5
Solución de Problemas
1. El volumen de llenado de una maquinaautomatizada utilizada para llenar latas de unabebida carbonatada tiene una distribuciónnormal con 𝜇 = 12,4 onzas líquidas y una 𝜎 =0,1 onzas líquidas.
a. Calcule la probabilidad de que el volumende llenado sea menor a 12 onzas.
b. Si se desechan todas las latas con menosde 12,1 onzas y mas de 12,6 onzas, calculela proporción de latas que se desecharía.
c. Determine las especificaciones simétricasalrededor de la media que incluyen el95%de las latas.
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Normal
2. Evalúe la 𝑃(1 ≤ 𝑥 ≤ 4) para un
variable binomial con n=15 y p=0,2
a. A través de la distribución binomial
b. Usando la aproximación a la
distribución normal.
Solución de Problemas
Tema V. Distribución de Probabilidad
Normal
3. El peso de los frutos del melón de
una siembra en la península de
Paraguaná es una v. a. distribuida
normalmente. Calcule el tamaño de
muestra aleatoria que debe
seleccionarse para que con una
probabilidad de 98,42% su media
difiera de la media poblacional en 1/3𝜎o menos.
Solución de Problemas
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