Download - DIEDRICH UHLHORN IN NJEGOVE KRIVULJE
Univerza v Ljubljani
Pedagoška fakulteta
Oddelek za matematiko in računalništvo
Marko Razpet
DIEDRICH UHLHORN IN NJEGOVE KRIVULJE
Študijsko gradivo
Zgodovina matematike
Ljubljana, september 2021
Vsebina
Seznam slik 3
Predgovor 5
Kdo je bil Diedrich Uhlhorn? 6
Uhlhornova knjiga 9
Geometrijske sorazmernice 20
Ofiurida 25
Analitična obravnava ofiuride 27
Ofiurida in parabola 33
Ofiurida in hiperbola 38
Inverz hiperbole na krožnici s središčem na njej 42
Reševanje kubičnih enačb 48
Še nekaj jezikovnih 51
Za konec 53
Pomembni znanstveniki, rojeni v 18. stoletju 54
Viri 56
Seznam slik
1 Diedrich Uhlhorn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Bockhorn v 19. stoletju. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Naslovnica Uhlhornove knjige. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
4 Ofiurida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
5 Toksoida, lokarica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
6 Kukumaida, strofoida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
7 Kromioida, čebulnica, Pascalov polž. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
8 Didaktiloida, dvoprstnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
9 Skifoida, čašnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10 Diloboida, dvostročnica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11 Pravokotni trikotnik. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
12 Srednji geometrijski sorazmernici. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13 Heronova konstrukcija srednjih geometrijskih sorazmernic. . . . . . 24
14 Nastanek ofiuride. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
15 Do geometrijskih sorazmernic z ofiurido. . . . . . . . . . . . . . . . . 26
16 Ofiurida v koordinatnem sistemu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
17 Ofiurida in njene značilne točke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
18 Ofiurida in predznaka konstant a in b. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
19 Dioklova cisoida. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
20 Posebni primer: a = 0,b ≠ 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
21 List ofiuride. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
22 Ofiurida in družina premic skozi točki C in D. . . . . . . . . . . . . . 33
23 Ofiurida je nožiščna krivulja parabole. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
24 Ofiuride kot nožiščne krivulje parabole. . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
25 Do ofiuride po cisoidnem postopku. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
26 Ofiurida in hiperbola. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
27 Inverzija hiperbole na krožnici s središčem na tej hiperboli. . . . . . 40
3
28 Inverzija hiperbole na krožnici je lahko strofoida. . . . . . . . . . . . 41
29 Inverz hiperbole na krožnici s središčem na njej. . . . . . . . . . . . . 42
30 Skladni inverzi hiperbole na skladnih krožnicah s središči na njej. . 45
31 Ofiurida v okolici svoje dvojne točke S. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
32 Tangenta hiperbole je lahko pravokotna na njeno asimptoto. . . . . 48
33 Reševanje enačbe y3−2 = 0 z ofiurido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
34 Reševanje enačbe 4y3−13y +6 = 0 z ofiurido. . . . . . . . . . . . . . . 50
35 Tretjinjenje kota z ofiurido. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
36 Načrt Uhlhornove naprave za risanje ofiurid. . . . . . . . . . . . . . . 55
4
Predgovor
V zgodovini matematike zadnjih nekaj stoletij ni prav veliko samoukov
in amaterjev, ki so napisali odmevnejšo matematično knjigo. Eden takih
je bil Diedrich Uhlhorn, doma na severu Nemčije. Znano je, da je veliko
učenjakov različnih civilizacij že od antike naprej poskušalo rešiti zna-
meniti geometrijski problem kvadrature kroga. Poskusili so s šestilom in
neoznačenim ravnilom, to se pravi z evklidskim geometrijskim orodjem,
na kratko po evklidsko, konstruirati kvadrat, ki ima enako ploščino kot
dani krog. Problem so reševali tako matematiki kot amaterji. Problem, ki
je vsem lahko razumljiv, je prišel celo v vsakodnevno besedno zvezo, ko
govorimo o kakšnem težko rešljivem ali sploh nerešljivem problemu.
Šele v 19. stoletju so matematiki dokazali, da to ni mogoče. V želji, da
bi rešili problem, pa so vendarle odkrili marsikaj drugega. Če drugega ne,
so odkrili bolj ali manj natančne približne metode za kvadraturo kroga in
izračunali vedno bolj natančne približke za krožno konstanto π.
Prav tako so se trudili rešiti po evklidsko še dva druga antična ge-
ometrijska problema, in sicer problem duplikacije ali podvojitve kocke ali
deloški problem, poimenovan po otoku Delos, Δῆλος, v Egejskem morju,
in problem trisekcije ali tretjinjenja kota. Več o tem lahko najdemo na
primer v [2, 4, 5]. Tudi ta dva problema sta po evklidsko nerešljiva, kar so
dokazali tudi šele v 19. stoletju.
Pri deloškem problemu gre za konstrukcijo roba kocke, ki ima dvakrat
večjo prostornino kot dana kocka. Pri problemu trisekcije kota pa je treba
konstruirati tretjino danega kota.
S tema dvema problemoma se je ukvarjal Diedrich Uhlhorn in v nekem
smislu v svoji knjigi, ki je izšla leta 1809 in bila ugodno sprejeta, zaokrožil
5
to takrat že nekoliko pozabljeno problematiko. Že od antičnih časov so
si, videč da po evklidsko nikakor ne gre, pomagali s posebnimi ravnin-
skimi krivuljami in posebnimi geometrijskimi orodji. Uhlhorn je dodal
še nekaj svojih krivulj in jim dal grška in nemška imena ter izdelal za
njihovo načrtovanje posebna orodja, kar mu kot spretnemu mehaniku ni
bilo težko. Orodja so pri tej problematiki novost. Največjo pozornost je
posvetil krivulji, ki jo je poimenoval ”ofiurida”, po naše ”kačjerepa črta”
ali ”kačjerepnica”, po nemško ”Schlangenschwanzlinie”. Ofiuridi je v svoji
knjigi posvetil največ prostora, okoli 40 strani. Vključujejo jo tudi naj-
novejša dela, ki obravnavajo ravninske krivulje, čeprav je Uhlhorn manj
znan in že skoraj pozabljen.
Kdo je bil Diedrich Uhlhorn?
Življenjepis in delo Diedricha Uhlhorna je povzet po novejšem delu [5].
Diedrich Uhlhorn (1764–1837) se je rodil v Bockhornu v okrožju Fries-
land, sedaj na Spodnjem Saškem. Kot samouk je napravil nenavadno
kariero. Njegov oče je bil mizar in kmetovalec. Diedrich je celih prvih 38
let svojega življenja prebil v rojstnem kraju, kjer je obiskoval enorazredno
ljudsko šolo, ki je bila zelo natrpana, kajti učitelj je bil plačan glede na
število učencev in si zato zelo prizadeval, da je bilo le-teh čim več. Navaden
obvezen pouk je bil omejen na branje, pisanje in verouk, za otroke pre-
možnejših staršev je bilo na voljo tudi nekaj računstva. Ker je Diedrich v
šoli pokazal, da je nadarjen za matematiko in fiziko, mu je mati uredila
dodaten pouk matematike v sosednjem kraju pri nekem zemljemercu, ki
je obvladal precej matematike in s tem fanta uvedel v svet matematičnih
znanosti in učencu nudil tudi strokovno literaturo za branje. Po končani
6
šoli je Diedricha vzel v uk kar njegov oče. Fanta pa očetovo delo ni kaj
dosti zanimalo. Začel izdelovati različne fizikalne in matematične inštru-
mente, kar očetu ni bilo prav nič všeč, tako da je sina celo razdedinil. Zato
je najel v Bockhornu neko hišo, kjer je lahko kot obrtnik izdeloval inštru-
mente: sončne ure, elektrostatične generatorje, nivelirje in daljnoglede.
Slika 1. Diedrich Uhlhorn.
Diedrich je začel študirati matematiko iz knjige Christana Wolffa, ki
ima naslov ”Auszug aus den Anfangs-Gründen aller mathematischen Wis-
senschaften, zu bequemerem Gebrauche der Anfänger”, kar pomeni ”iz-
vleček iz začetnih osnov vseh matematičnih znanosti, za udobno uporabo
pri začetnikih”. V knjigi je zajetih 19 matematičnih znanosti: aritmetika,
geometrija, trigonometrija, mehanika, hidrostatika, aerometrija, hidrav-
lika, optika, katoptrika, dioptrika, perspektiva, astronomija, geografija,
kronologija, gnomonika, artilerija, nauk o utrdbah, stavbarstvo in alge-
bra. Izšla je leta 1772 v Hallu. Avtor Christian Wolff (1679–1754) je bil
7
nemški matematik in filozof. Leta 1710 je izšla njegova knjiga ”Anfangs-
gründe aller mathematischen Wissenschaften”, kar pomeni ”začetne os-
nove vseh matematičnih znanosti”, iz katere je potem nastal prej omenjeni
”izvleček”.
Slika 2. Bockhorn v 19. stoletju.
Potem ko je bil Diedrich izdelal zelo kvaliteten daljnogled za svojega
deželnega gospoda, vojvodo Petra Friedricha Ludwiga, je bil leta 1797
imenovan za dvornega mehanika vojvode holsteinskega-oldenburškega.
Vojvoda ga je tudi gmotno podpiral. Od leta 1801 do 1810 je živel v Old-
enburgu, potem pa se je preselil v Grevenbroich v Porenju. Tu je prišel na
dober glas kot pionir industrijske dobe. Še danes velja za pionirja nemške
industrije. Že v Oldenburgu so bile v težišču njegovega dela konstruk-
cije strojev v suknarstvu. Znan pa je Uhlhorn postal predvsem po razvoju
8
naprave za izdelavo kovancev, stiskalnico s kolenastim vzvodom, ki deluje
podobno kot naprava za zapiranje steklenic s pokrovčki. Izdelanih je bilo
okoli 200 primerkov. Nekateri so se ohranili po muzejih, v Københavnu
so eno tako Uhlhornovo napravo uporabljali vse do leta 1955. Uhlhornu
pripisujejo tudi iznajdbo tahometra, naprave za merjenje hitrosti. Beseda
”tahometer” je izvedena iz dveh grških: τάχος, hitrost, naglica, in μέτρον,
mera, merilo. Leta 1804 je v nekem nagrajenem spisu razložil optimalno
obliko zobnikov pri mlinih. Taki zobniki se s časom zaradi medsebojnega
drgnjenja najpočasneje izrabljajo. S tem je teorija krivulj veliko pridobila
na praktični uporabnosti. Diedrich Uhlhorn je znal svoje izjemne prak-
tične in teoretične sposobnosti uporabiti tako v lastno korist kot v korist
celotne družbe in v življenju mu ni šlo slabo. Umrl je v Grevenbroichu.
Po Uhlhornu so v Grevenbroichu poimenovali realko: ”Diedrich-Uhl-
horn-Realschule”. V rodnem Bockhornu je dobil svojo ulico ”Uhlhorn-
straße” in svojo spominsko ploščo.
Uhlhornova knjiga
Glede na raznolikost njegovih izumov bi marsikdo zaključil, da je bil Uhl-
horn nekakšen ”Jaka Racman”, ki se loti vsega. Na njegovo čisto drugo
plat, katere pomena doslej, kot kaže, niso pravilno ovrednotili, pa se je
popolnoma pozabilo. Ko je živel še v Oldenburgu, je namreč napisal knji-
go z naslovom ”Entdeckungen in der höhern Geometrie, theoretisch und
practisch abgehandelt”, ki je izšla leta 1809 v Oldenburgu.
Naslov in celotno besedilo sta napisana po takratnem nemškem pravo-
pisu. Prevod naslova je ”odkritja v višji geometriji, obravnavana teoretično
in praktično”. Njegovo ime ima v knjigi eno črko več: namesto uveljavljene
9
oblike ”Diedrich” so zapisali, kdo ve zakaj, ”Diederich”. Avtor je knjigo
posvetil vojvodi Ludwigu.
Slika 3. Naslovnica Uhlhornove knjige.
Na začetku knjige se opravičuje, da ima slabo osnovno izobrazbo, da
nikoli ni poslušal kakšnega matematičnega predavanja in da tudi pisanja
besedil in nemškega pravopisa ne obvlada dovolj dobro, zahvaljuje pa se
prijateljem, ki so mu pri tem pomagali.
10
Ocena knjige je možna šele na podlagi novejših raziskav antične ge-
ometrije. Čudimo se lahko širini in globini Uhlhornovega premišljevanja,
polnosti idej, predvsem pa osupljivemu čutu za to, s čim so se ukvar-
jali antični geometri, nič manj pa tudi njegovemu smislu za dostavke tis-
tim, ki so se imeli za obnovitelje antične geometrije, zlasti Descartesu in
Newtonu. Uhlhorn je potemtakem na široko pokazal, da antične rešitve
lahko prilagodimo tem novim zahtevam. Z današnjega stališča moramo v
Uhlhornu na neki način videti celo ”dovršitelja antične geometrije”. Druga
njegova priljubljena krivulja, ”toksoida”, po naše ”lokarica”, po nemško
”Bogenlinie”, se prav tako kot ”ufiurida” pogosto omenja v novejših delih
o krivuljah. Žal ime ”toksoida” ni bilo preveč posrečeno izbrano, ker nas
preveč spominja na zadeve, ki so povezane s strupi. Uhlhorn je vsekakor
reševanje velikih antičnih problemov uskladil z novo Descartesovo ge-
ometrijo, v bistvu z analitično geometrijo.
V svoji knjigi Uhlhorn obravnava več algebrskih krivulj, ki jih tudi po-
imenuje z vrstilnimi števniki: prva krivulja, druga krivulja itd. Nekatere
so bile sicer v času njegovega življenja že znane, morda zanje ni niti vedel,
vendar pa se je trudil pri vseh pokazati, kako se jih konstruira po točkah.
To je bilo zanj bistveno. Ko je enkrat krivuljo znal narisati, jo je znal tudi
uporabiti in zanjo konstruirati geometrijsko orodje.
Prvim sedmim krivuljam je dal Uhlhorn imena, prilagojena nemške-
mu jeziku in pravopisu, in ki izvirajo iz grščine, pa tudi domača nemška
imena. Ker sam ni obvladal grščine in se je zanašal na pomoč prijateljev,
so morda nekatera imena krivulj nekoliko zgrešena. Vsako ime naj bi izvi-
ralo iz asociacij, ki jih doživimo ob pogledu na krivuljo. Pokomentirajmo
nekoliko vsako posebej in jo tudi slikovno predstavimo. Na prvem mestu
je zapisano nemško ime, nato sledi kratka razlaga njegovega izvora.
11
1. Ophiuride — iz ὄφις, kača; οὐρά, rep — Schlangenschwanzlinie iz
Schlange, kača; Schwanz, rep; Linie, črta — ofiurida, kačjerepa črta,
kačjerepnica. Nekateri uporabljajo morda pravilnejšo obliko: ofi-
uroida, tako da upoštevajo še grško besedo εἶδος, oblika, podoba.
Slika 4. Ofiurida.
V Bibliji najdemo besedo ὄφις, kača, na primer v 1 Mz 49, 17:
καὶ γενηθήτω Δὰν ὄφις ἐφv ὁδοῦ, ἐγκαθήμενος ἐπὶ τρίβου, δάκνων πτέρναν
ἵππου, καὶ πεσεῖται ὁ ἱππεὺς εἰς τὰ ὀπίσω
Klasični prevod:
Dan bo kakor kača ob poti, gad bo ob stezi, ki piči konja v kopita, da
pade jezdec vznak.
Dalmatinov prevod:
Dan bo ena kazha na potu, inu enmadras na stèsi, inu bo kojna v’peto
vgrisnil, de njegou iesdez snak bo padèl.
Dan je bil eden od dvanajstih sinov biblijskega očaka Jakoba.
V Bibliji najdemo besedo οὐρά, rep, na primer v Raz 12, 4:
καὶ ἡ οὐρὰ αὐτοῦ σύρει τὸ τρίτον τῶν ἀστέρων τοῦ οὐρανοῦ, καὶ ἔβαλεν
αὐτοὺς εἰς τὴν γῆν
12
Klasični prevod:
Njegov rep je pometel z neba tretjino zvezd in jih vrgel na zemljo.
Dalmatinov prevod Raz 12, 9:
Inu njegou rep je vlejkel tretji dejl teh svesd, inu je nje na semlo
vèrgal.
2. Toxoide — iz τόξον, lok, izstrelek, strela puščica, εἶδος, oblika, po-
doba — Bogenlinie iz Bogen, lok; Linie, črta — toksoida, lokarica.
Slika 5. Toksoida, lokarica.
V Bibliji najdemo besedo τόξον, lok, na primer v 1 Mz 27, 3:
νῦν οὖν λαβὲ τὸ σκεῦός σου, τήν τε φαρέτραν καὶ τὸ τόξον, καὶ ἔξελθε
εἰς τὸ πεδίον καὶ θήρευσόν μοι θήραν
Klasični prevod:
Vzemi zdaj svojo pripravo, tulec in lok, pojdi na polje in ulôvi zame
kako divjad!
Dalmatinov prevod:
Satu vsami tvojo pripravo, tvoj tull, inu tvoj lok, inu pojdi na púle,
inu vlovi meni eno svirino!
Ker beseda τόξον pomeni tudi puščica, puščice pa so bile pogosto
zastrupljene, lahko izvor toksoloških izrazov iščemo v tej besedi.
13
3. Kukumaide — iz κούκκουμα, cucuma (lat.), kuhinjski lonec, kopalni
kotel; εἶδος, oblika, podoba — Querkolbenlinie iz Querkolben, prečni
bet, prečni kij; Linie, črta — kukumaida.
Beseda κούκκουμα se v grških besedilih pojavi v prvem ali drugem
stoletju, ko je rimski imperij v času cesarja Trajana zavzemal naj-
večji obseg. Kot kaže, beseda izvira v orientalskih jezikih: sirijščini,
aramejščini. Pomenil je neko posodo, morda celo nekakšen mešiček,
izdelan iz živalskega mehurja.
Uhlhorn verjetno ni vedel, da gre za znano krivuljo strofoido, ki
sta jo poznala že Evangelista Torricelli (1608–1647) in Isaac Barrow
(1630–1677). Beseda naj bi izvirala iz grške στροφή, zavoj, obrat, in
εἶδος, oblika, podoba.
Slika 6. Kukumaida, strofoida.
V 18. knjigi Odiseje najdemo v 315. verzu besedo, ki ima enak koren:
ἔρχεσθε πρὸς δώμαθv, ἵνv αἰδοίη βασίλεια:
τῇ δὲ παρv ἠλάκατα στροφαλίζετε, τέρπετε δv αὐτὴν
Prevod A. Sovréta:
pojdite v izbo sedaj, h kneginji, gospóji častiti,
sučite prejo ročnó, skušájte gospo razvedriti
14
4. Krommyoide — iz κρόμμυον, tudi κρόμυον, čebula, εἶδος, oblika, po-
doba — Zwiebellinie iz Zwiebel, čebula; Linie, črta — kromioida,
čebulnica.
Uhlhornova kromioida je poseben primer v njegovem času že znanih
krivulj, Pascalovih polžev, imenovanih po Étiennu Pascalu (1588–
1651), ki je bil oče Blaisa Pascala (1623–1662). Pascalovemu polžu na
Zahodu pogosto rečejo ”limaçon”. Pascalove polže lahko uvrstimo
tudi med konhoide krožnice. Za konhoido dane ravninske krivulje
K moramo imeti neko točko O v ravnini te krivulje in neko raz-
daljo a. Na K izberemo točko M in skozi O in M potegnemo pre-
mico p. Od M nato po premici p odmerimo na obe strani a, da
dobimo točki T1 in T2. Ko M preteče K, točki T1 in T2 pretečeta
konhoido krivulje K. Znana Nikomedova konhoida ali školjčnica je
konhoida premice. Ime krivulje izhaja iz gršle besede κόγχη, kar
pomeni školjka. Nikomed, Νικομήδης (280–210 p.n.š.), je bil staro-
grški matematik.
Slika 7. Kromioida, čebulnica, Pascalov polž.
Besedo κρόμυον, čebula, najdemo na primer v 19. knjigi Odiseje, v
15
233. verzu:
οἷόν τε κρομύοιο λοπὸν κάτα ἰσχαλέοιο
Prevod A. Sovréta:
tak nekako na pogled ko lup osušêne čebule
5. Didaktyloide — iz δίς, dvakrat, δάκτυλος, prst, εἶδος, oblika, podoba
— Zweyfingerlinie iz starinsko zwey, moderno zwei, dva; Finger,
prst; Linie, črta – didaktiloida, dvoprstnica.
Slika 8. Didaktiloida, dvoprstnica.
V Bibliji najdemo besedo δάκτυλος, prst, na primer v Janezovem evan-
geliju, 8, 6:
ὁ δὲ ᾿Ιησοῦς κάτω κύψας τῷ δακτύλῳ κατέγραφεν εἰς τὴν γῆν
Klasični prevod:
Jezus se je sklonil in s prstom pisal po tleh.
Dalmatinov prevod:
Iesus pak se je doli pèrpognil, inu je s’pèrstom pissal na semlo.
6. Skyphoide — iz σκύφος, kozarec, čaša, kupa — Becherlinie iz Becher,
kozarec, čaša, kupa; Linie, črta — skifoida, čašnica.
16
Besedo σκύφος, kupa, najdemo na primer v 14. knjigi Odiseje, v 112.
verzu:
καί οἱ πλησάμενος δῶκε σκύφον, ᾧ περ ἔπινεν,
Prevod A. Sovréta:
kupo nalije pastir, leseno, ki sam jo je rabil
Slika 9. Skifoida, čašnica.
7. Diloboide — iz δίς, dvakrat, λοβός, strok, ušesna mečica, jetrno krilo
— Zweyschotenlinie iz starinsko zwey, moderno zwei, dva; Schote,
strok; Linie, črta — diloboida, dvostročnica.
Besedo λοβός, jetrno krilo, najdemo na primer pri Plutarhu, v življe-
njepisu Lucija Kornelija Sule, 27. razdelek, 2. odstavek:
θύσαντος μὲν γὰρ εὐθέως ᾗ διέβη περὶ Τάραντα, δάφνης στεφάνου τύπον
ἔχων ὁ λοβὸς ὤφθη, καὶ λημνίσκων δύο κατηρτημένων.
17
Slika 10. Diloboida, dvostročnica.
Prevod A. Sovréta:
Ko je takoj po prihodu v Italijo opravil v Tarentu daritev, se je pokaza-
lo, da je imelo jetrno krilo obliko lovorovega venca, od katerega sta
visela dva traka.
V grškem besedilu opazimo še eno besedo, ki je odigrala neko vlo-
go v matematiki: λημνίσκων, kar je množinski rodilnik samostalnika
λημνίσκος, kar pomeni volneni trak. To besedo je uporabil Jakob
Bernoulli (1655–1705), da je poimenoval osmici podobno krivuljo
lemniskata, natančneje jo danes imenujemo Bernoullijeva lemniska-
ta, ker obstajajo še druge lemniskate.
V nadaljevanju Uhlhorn obravnava še nekaj drugih algebrskih krivulj,
od tretje do osme stopnje. Ne daje jim imena, ampak le vrstilne števnike.
Zvrstijo se osma krivulja, deveta krivulja, vse do osemnajste krivulje. Sledi
obširna razlaga več načinov, kako konstruiramo Dioklovo cisoido, nato
se vrne k svoji kukumaidi, po naše strofoidi, sledijo Nikomedova kon-
hoida ali školjčnica in kardioida ali srčnica. Nanizanih je veliko primerov
uporabe pri reševanju enačb s pomočjo teh krivulj.
18
V enajstem razdelku Uhlhorn pokaže, kako z Neilovo ali polkubično
parabolo rešimo problem podvojitve kocke. Kot zanimivost povejmo, da
Uhlhorn uporablja nemško starinsko obliko vrstilnega števnika enajsti:
eilfter, moderno je elfter. Ustrezni glavni števnik za enajst je bil eilf.
Nemška števnika elf oziroma eilf in zwölf imata pač svojo zgodovino. Ra-
zlaga obeh tiči v končnici -lf, ki je skrajšana germanska končnica -lif, ki
pa označuje, da je nekaj več, čez. V našem primeru več kot deset, čez de-
set. Johann Wolfgang von Goethe (1749–1832) je uporabljal števnik eilf, ki
izhaja iz ei(n)-l(i)f, torej ena čez, Martin Luther (1483–1546) pa zwolf, ki
izhaja iz zwo-l(i)f, dve čez. Še dandanes slišite nekatere nemško govoreče
šteti: eins, zwo, . . . , namesto standardno eins, zwei, . . . (povzeto po [3]).
Uhlhorn proti koncu knjige uporablja ustrezno besedo Eilfeck namesto
Elfeck za enajstkotnik.
Naslov Uhlhornove knjige [7] ima, kot lahko opazimo na sliki 3, še
nadaljevanje: ”nebst Prüfung, der von A. W. Wlochatius aufgestellten
elementar-geometrischen Auflösung des Delischen Problems u. s. w.”, kar
pomeni ”skupaj s presojo elementarno-geometrijske rešitve deloškega pro-
blema, ki jo je nastavil A. W. Wlochatius itd.” Kdo je bil Wlochatius? Au-
gust Wilhelm Wlochatius (1744–1815) se je rodil v Darkehmenu (sedaj
Ozjorsk) v Prusiji, v vasi, ki leži približno 100 km vzhodno od Königs-
berga (sedaj Kaliningrad). Bil je filozof, matematik in jezikoslovec. Leta
1804 je v Königsbergu objavil članek ”Elementar-geometrische Auflösun-
gen des Delischen Problems, der Aufgabe vom Dreischnitt des Winkels
und einiger anderen Sätzen, als ein reguläres 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Eck
geometrisch zu zeichnen, nebst einer neuen und sehr leichten Methode,
eine Linie proportionaliter ad totam zu theilen”, to se pravi ”Elementarno-
geometrijske rešitve deloškega problema, naloge tretjinjenja kota in nekaj
19
drugih izrekov, kot je geometrijsko načrtovanje pravilnega 7-, 11-, 13-,
17-, 19-, 23-, 29-kotnika, skupaj z novo in zelo preprosto metodo, kako so-
razmerno s celoto razdeliti daljico” (zlati rez). Članek je med drugimi neg-
ativno recenziral matematik in astronom Friedrich Wilhelm Bessel (1784–
1846). Uhlhorn pa mu je posvetil del svoje knjige in dokazal, da Wlochati-
usova metoda podvojitve kocke deluje le v nekaj primerih. Prav tako so
sporne Wlochatiusove metode tretjinjenja kota in konstrukcije pravilnih
večkotnikov. Dal pa je Uhlhorn nasvete, kako bi metode konstrukcije
pravilnih večkotnikov lahko izboljšali. To se mu je zdelo pomembno,
ker se je spoznal na zobnike v urah in strojih, ki morajo biti izdelani
čim natančneje. Glavna zamera je bila, da je Wlochatius uporabljal ne-
dokazane trditve in da je rezultate premalo preverjal na primerih. Ni pa
zaslediti pripomb v zvezi s tem, kako sorazmerno s celoto razdeliti daljico.
Geometrijske sorazmernice
Starogrški matematiki so bili pravi mojstri razmerij in sorazmerij, na ka-
terih je temeljila večina njihove matematike. V razmerjih so bile lahko
samo istorodne količine, na primer dolžine, ploščine in prostornine. Raz-
merja so bila v nekem smislu antična različica realnih števil. Pravokotni
trikotnik in njegove lastnosti so že dobro poznali. Znali so po evklidsko
podvojiti kvadrat, težave pa so nastale s podvojitvijo kocke. Oglejmo si
malo pobliže, kako je bilo s tem.
V pravokotnem trikotniku je višina x na hipotenuzo geometrijska sre-
dina pravokotnih projekcij a in b katet na hipotenuzo. Brez škode za
splošnost vzemimo, da je a ≤ b. Posledica podobnosti dveh pravokotnih
trikotnikov, na katera razdeli višina dani pravokotni trikotnik (slika 11),
20
je sorazmerjeax= xb. (1)
Vpeljanemu x rečemo srednja geometrijska sorazmernica daljic a in b.
Slika 11. Pravokotni trikotnik.
Zato je x2 = ab in x =√ab. To ni nič drugega kot znani višinski izrek
v pravokotnem trikotniku. Pri tem velja relacija a ≤ x ≤ b. Enačaj v njej
velja natanko takrat, ko je a = b. Za b = 2a dobimo x = a√
2. To pomeni,
da ima kvadrat s stranico x ploščino x2 = 2a2, kar je dvakratnik ploščine
kvadrata s stranico a. S tem smo uspeli podvojiti kvadrat. Seveda je bil ves
račun brez potrebe, ker je 2a2 = (a√
2)2, kar pomeni, da ima kvadrat nad
diagonalo kvadrata s stranico a dvakrat večjo ploščino.
Ker se pa rešitev podobnega problema, to je problema podvojitve kocke,
nikakor ni posrečila, je v 5. stoletju p.n.š. živeči Hipokrat z otoka Hios, v
grščini ῾Ιπποκράτης ὁ Χῖος, prišel na idejo, da bi problem rešil z dvema
srednjima geometrijskima sorazmernicama, prva naj bo x, druga y, za
daljici a in b, kjer je a ≤ b. Mimogrede: Hipokrat je reševal tudi prob-
lem kvadrature kroga. Srednji geometrijski sorazmernici x in y morata
zadoščati relacijiax= xy= yb, (2)
21
ki je analogna relaciji (1). Če označimo te tri kvociente z λ in jih med seboj
zmnožimo, dobimoax⋅ xy⋅ yb= ab= λ3.
To pomeni, da je
λ = 3
√ab, x = 3√
a2b, y = 3√ab2.
Pri tem velja relacija a ≤ x ≤ y ≤ b, ki je posledica relacije
a3 = a2a ≤ a2b = aab ≤ abb = ab2 ≤ bb2 = b3,
iz katere sledi po kubičnem korenjenju a < 3√a2b ≤ 3√
ab2 ≤ b. Zato lahko
rečemo, da sta x in y sredini daljic a in b, saj sta med a in b. Enačaji v
zgornjih relacijah veljajo natanko tedaj, ko je a = b.
Za b = 2a je x = a 3√
2 in y = a 3√
4. To pomeni, da se s tem posreči pod-
vojiti in početveriti kocko. Kocka z robom x ima namreč dvakrat, kocka z
robom y štirikrat večjo prostornino kot kocka z robom a in dvakrat večjo
kot kocka z robom x, ker je x3 = 2a3 in y3 = 4a3 = 2x3. Podvojitev je sicer
uspela, a le računsko, ne pa geometrijsko, po evklidsko.
S tem Hipokratovim odkritjem je postal problem podvojitve kocke ena-
kovreden iskanju dveh srednjih geometrijskih sorazmernic daljic a in b.
Kaže, da se je problem s tem poenostavil, a to še zdaleč ni res. Kubičnih
korenov, ki nastopajo v izrazih za obe sorazmernici, se namreč ne da kon-
struirati po evklidsko, kvadratne pa se da, na primer z uporabo višinskega
izreka v pravokotnem trikotniku.
Poskušali so na več načinov. Načrtali so pod pravim kotom daljici a =∣BO∣ in b = ∣AO∣ (slika 12). Nato so na premici skozi A in O izbrali točko
C′, na daljico BC′ v C′ postavili pravokotnico, ki preseka premico skozi B
in O v točki D′. V D′ so na daljico v C′D′ postavili še eno pravokotnico, ki
22
seka premico skozi A in O v točki A′. Nato so točko C′ premikali sem in
tja po premici skozi A in O, dokler A′ ni pokrila A. Pri tem ves čas velja
∣OB∣ ⋅ ∣OD′∣ = ∣OC′∣2 in ∣OC′∣ ⋅ ∣OA′∣ = ∣OD′∣2 oziroma
∣OB∣∣OC′∣ =
∣OC′∣∣OD′∣ =
∣OD′∣∣OA′∣ .
Slika 12. Srednji geometrijski sorazmernici.
Ko je A = A′, je C′ = C in D′ = D. Za ta primer označimo x = ∣OC∣ in
y = ∣OD ∣, iz česar slediax= xy= yb,
kar pomeni, da sta x in y srednji geometrijski sorazmernici daljic a in b.
V praksi je težko doseči, da je A = A′, zato velja zgornja relacija le prib-
ližno. Da bi dosegli čim boljši rezultat, so si pomagali z mehanskim orod-
jem, na primer z dvema kotnikoma. Tak način pripisujejo filozofu Platonu
(427–347 p.n.š.), Πλάτων, je pa malo verjetno, da ga je on odkril, ker je bil
naklonjen samo konstrukcijam z neoznačenim ravnilom in šestilom.
23
Preprosta in razumljiva je rešitev problema srednjih geometrijskih so-
razmernic je poznal Heron iz Aleksandrije, ῞Ηρων ὁ Αλεξανδρεύς, ki je živel
v 1. stoletju. Podobno rešitev sta našla tudi Apolonij iz Perge (265–170
p.n.š.), Απολλώνιος ὁ Περγαῖος, in Filon iz Bizanca (280–220 p.n.š.), Φίλων
ὁ Βυζάντιος.
Slika 13. Heronova konstrukcija srednjih geometrijskih sorazmernic.
Heron je načrtal pravokotnikABCD in poiskal njegovo središče S (slika
13). Nato je skozi C potegnil premico in presečišči s premicama skozi A
in B ter skozi A in D označil z E in F. To premico je prilagajal toliko časa,
dokler ni dosegel enakost ∣SE∣ = ∣SF∣. Tedaj sta x = ∣DF∣ in y = ∣BE∣ srednji
geometrijski sorazmernici daljic a in b.
Kako to vidimo? Najprej zaradi podobnosti trikotnikov DCF in BEC
velja relacija a/x = y/b oziroma xy = ab, po Pitagorovem izreku za pra-
vokotna trikotnika GES in HSF pa
(a/2+y)2 + (b/2)2 = (a/2)2 + (b/2+x)2,
24
kar da po poenostavitvi relacijo y(a+y) = x(b+x), iz katere sledi:
xy= a+yb+x =
y(a+y)y(b+x) =
y(a+y)by +xy = y(a+y)
by +ab = y(a+y)b(a+y) =
y
b.
Ko rezultate lepo zložimo skupaj, dobimo
ax= xy= yb,
kar smo želeli dokazati.
Uhlhorn ni bil navdušen nad reševanjem problemov s poskušanjem
in uravnavanjem. Zanj je bilo bistveno, da je po točkah znal konstruirati
primerno krivuljo, da je izdelal primerno mehansko orodje, s katerim je to
krivuljo lahko narisal, tako kot narišemo s šestilom krožnico in z ravnilom
daljico, nato pa na krivulji poiskal točke, ki določajo obe srednji geometri-
jski sorazmernici. Takih krivulj je našel več, kaže pa, da je bil najbolj
ponosen na prvo, ki jo je imenoval ofiurida, kateri je posvetil največ pros-
tora v svoji knjigi. V nadaljevanju si bomo pobliže ogledali le ofiurido.
Toksoido je avtor tega gradiva predstavil v [6].
Ofiurida
Ponovimo Uhlhornovo konstrukcijo ofiuride, izhajajoč iz slike 12.
Na premici skozi točki A in O izberemo točko C in načrtamo daljico
BC (slika 14). Skozi C postavimo pravokotnico na BC, skozi A pa BC
vzporednico, ki jo seka v točki D. Ko C spreminjamo po premici skozi A
in O, točka D opiše ofiurido, ki pripada daljicama a in b.
Ko ofiurido za a in b imamo, poiščemo njeno presečišče D′ s premico
skozi B in O (slika 15). Nad BD′ načrtamo polkrog s središčem v točki S.
Polkrog preseka premico skoziA inO v točki C′, daljici BC′ in C′D′ tvorita
25
Slika 14. Nastanek ofiuride.
pravi kot z vrhom v C′, daljici AD′ in D′C′ pa pravi kot z vrhom v D′, ker
je D′ na ofiuridi. Daljici x = ∣OC′∣ in y = ∣OD′∣ sta, kot nam je že znano,
srednji geometrijski sorazmernici daljic a in b. Za b = 2a dobimo x = a 3√
2,
kar pomeni, da se nam s tako ofiurido posreči podvojiti kocko.
Uhlhornov načrt orodja za risanje ofiuride kaže slika 36.
Slika 15. Do geometrijskih sorazmernic z ofiurido.
26
Analitična obravnava ofiuride
Diedrich Uhlhorn je s svojim znanjem matematike svojo ofiurido že kar
dobro obdelal tudi analitično, v smislu Descartesove geometrije. Najlaže
jo obravnavamo, kot smo vajeni, v pravokotnem kartezičnem koordinat-
nem sistemuOxy. Dvojno točko ofiuride, na sliki 14 je toA, bomo postavili
v koordinatno izhodišče O. Točka B bo imela koordinati (b,a), kjer je a > 0
in b > 0, gibljiva točka C na abscisni osi pa koordinati (τ,0) (slika 16).
Slika 16. Ofiurida v koordinatnem sistemu.
Premica skozi B in C ima enačbo y(b − τ) = a(x − τ), pravokotnica p
skozi C nanjo enačbo ay = (τ −b)(x− τ) in vzporednica prvi premici skozi
O enačbo y(b−τ) = ax. Presečišče T dobimo kot rešitev sistema enačb
ay = (τ −b)(x−τ), y(b−τ) = ax,
ki se glasi:
x(τ) = τ(b−τ)2
a2 + (b−τ)2 , y(τ) =aτ(b−τ)a2 + (b−τ)2 .
27
To sta parametrični enačbi ofiuride. Lepšo obliko dobimo, če vpeljemo
nov, številski parameter t z relacijo b−τ = at:
x(t) = t2(b−at)1+ t2 , y(t) = t(b−at)
1+ t2 . (3)
Ker je x(t) = ty(t), lahko iz (3) izločimo parameter t. Dobimo implicitno
enačbo ofiuride:
y(x2 +y2) = x(by −ax). (4)
Ofiurida je algebrska krivulja tretje stopnje. Včasih je ugodnejša oblika,
urejena kot kubična enačba spremenljivke y:
y3 +x(x−b)y +ax2 = 0. (5)
Iz oblike (4) lahko razberemo enačbi tangent v dvojni točkiO. Za točke,
ki so dovolj blizu O, lahko kubični del na levi zanemarimo v primerjavi
s kvadratnim delom na desni strani enačbe. Ofiurida se tam obnaša kot
x(by − ax) = 0, to pa pomeni, da ima tam tangenti x = 0 in by = ax. Prva je
kar ordinatna os, druga pa premica skozi A in B z naklonskim koeficien-
tom a/b.
Točko O ofiuride dobimo, ko je t = 0 in t = b/a. Vmes opiše zanko v
prvem kvadrantu. Za t < 0 so točke v četrtem kvadrantu, za t > b/a pa v
tretjem. Takoj tudi opazimo, da ∣x(t)∣ → ∞ in y(t) → −a, ko ∣t∣ → ∞. To
pomeni, da je premica y = −a vodoravna asimptota ofiuride (3). Ofiurida
svojo asimptoto preseka v točki F(a2/b,−a).
Pri ofiuridi naletimo na kopico kvadratnih in kubičnih enačb. Kje ima
ofiurida vodoravni tangenti? V ta namen je treba rešiti enačbo y(t) = 0. S
piko je označen odvod po parametru t. Iz
y(t) = b−2at −bt2(1+ t2)2 = 0
28
dobimo rešitvi t± = (−a ± c)/b, kjer je c =√a2 +b2 (na sliki 16 je c = ∣OB∣).
Ustrezni točki na ofuiridi sta
Y−((c+a)2
2b,−c+a
2) , Y+(
(c−a)2
2b,c−a
2) .
Da je odstopanje največje, spoznamo iz sprememb predznakov odvoda
y(t) pri parametru t±.
Kje ima ofiurida navpični tangenti? Eno navpično tangento, x = 0, že
poznamo, in sicer v dvojni točki O. Da bi poiskali drugo, moramo najprej
izračunati
x(t) = t(2b−3at −at3)(1+ t2)2 .
Pogoj x(t) = 0 je izpolnjen za t1 = 0, ki nam da prvo, že znano tangento x = 0
v točki O. Za drugo pa moramo rešiti kubično enačbo at3 +3at −2b = 0, ki
ima realno rešitev, ki je presenetljivo enostavna:
t2 =3
√c+ba
− 3
√c−ba.
Ker je at32 + 3at2 − 2b = at2(1 + t22) − 2(b − at1) = 0, dobimo y(t2) = at22/2in x(t2) = t2y(t2) = at32/2. Nazadnje dobimo na ofiuridi drugo točko X z
navpično tangento:
X (b− 32( 3√a2(c+b)− 3
√a2(c−b)) ,−a+ 1
2( 3√a(c+b)2 + 3
√a(c−b)2)) .
Ofiurida ima tudi prevoj. Pogoj zanj je
x(t)y(t)− x(t)y(t)x3(t) = 2(1+ t2)3(abt3 +3a2t2 −3abt +b2)
t3(at3 +3at −2b)3 = 0.
Prevoj P nastopi za parameter t, ki ustreza enačbi
abt3 +3a2t2 −3abt +b2 = 0.
29
Ker je t = x/y, velja enačba
abx3 +3a2x2y −3abxy2 +by3 = 0,
v katero vstavimo y3, ki ga izrazimo iz (5). Dobimo lep rezultat:
x(ax−by)(bx+3ay −b2) = 0.
Prva dva faktorja nam dasta tangenti v točki O, na katerih ne leži prevoj,
drugi faktor pa premico bx+3ay−b2 = 0. Ofiurida ima prevoj P v presečišču
s to premico.
Koordinati prevoja P se izražata zapleteno:
P (3 3√a4c2(3 3√
a4c2 +d2)+d4
b(6a2 +d2) ,a(b2 −3a2)− 3√
ac2(3 3√a4c2 +d2)
6a2 +d2 ) ,
pri čemer je c2 = a2 +b2 in d2 = 3a2 +b2.
Slika 17. Ofiurida in njene značilne točke.
V enačbi (4) pravzaprav lahko dovolimo tudi negativne konstante a ali
b. Toda če ohranimo njuni absolutni vrednosti, dobimo še vedno ofiurido,
le da je glede na tisto z a > 0 in b > 0 prezrcaljena: za a > 0 in b < 0 čez os
30
y, za a < 0 in b > 0 čez os x ter za a < 0 in b < 0 čez koordinatno izhodišče
(slika 18). To ustreza izbiri točke B. Zato je dovolj obravnavati primer
a > 0, b > 0.
Slika 18. Ofiurida in predznaka konstant a in b.
Kaj pa, če dovolimo, da je v enačbi (4) katera od konstant a in b enaka
0? Za a = b = 0 dobimo kar abscisno os, y = 0. Za a ≠ 0 in b = 0 pa x2(y +a) =−y3, kar je enačba Dioklove cisoide, ki ima v točki O namesto zanke ost
z navpično tangento ter vodoravno asimptoto y = −a. Ugotovitvi nista v
nasprotju s prvotno definicijo ofiuride (slika 19).
Za a = 0 in b ≠ 0 dobimo iz enačbe (4) enačbo y(x2 + y2 − bx) = 0, ki
predstavlja unijo premice y = 0 in krožnice x2 + y2 − bx = 0 s središčem v
točki S(b/2,0) in polmerom % = ∣b∣/2. Tudi ta ugotovitev ni v nasprotju
z uvodno definicijo ofiuride. Točka B ≠ O v tem primeru leži na osi x.
Za C ≠ B dobimo vse točke T na osi x. Za C = B pa je treba upoštevati
vse premice skozi B, vse pravokotnice skozi B nanje in vse pravokotne
projekcije točke O na slednje. S tem dobimo točke T , ki ležijo na krožnici
31
Slika 19. Dioklova cisoida.
s središčem v središču daljice OB in polmerom % = ∣OB∣/2.
Slika 20. Posebni primer: a = 0,b ≠ 0.
Za a > 0,b > 0 izračunajmo še ploščino S(a,b) lista ofiuride (slika 21).
Če je le-ta dana parametrično z enačbama (3), točka obkroži list v nega-
tivni smeri, ko se t spreminja od 0 do b/a. Uporabimo formulo
S(a,b) = −12 ∫
b/a0
(x(t)y(t)−y(t)x(t))dt.
Po daljšem računu dobimo:
S(a,b) = 12 ∫
b/a0
t2(b−at)2
(1+ t2)2 dt = 14(b2 −3a2)arctg
ba+ 3ab
4−ab ln
ca.
V posebnem primeru a ≠ 0,b = 0 je S(a,0) = 0, kar ni presenetljivo, saj
ofiurida, ko b→ 0 pri a ≠ 0, preide v Dioklovo cisoido, zanka ofiuride pa se
stisne v točko.
32
Slika 21. List ofiuride.
Ofiurida in parabola
Vrnimo se k sliki 16. Kaj se dogaja s premicami p skozi točkiC in T , ko teče
C po abscisni osi? Točka T opiše ofiurido, premice p pa izrazito ogrinjajo
neko krivuljo (slika 22).
Slika 22. Ofiurida in družina premic skozi točki C in D.
Enačba enoparametričnie družine premic p je pri danih konstantah a
in b ofiuride
F(x,y,τ) = ay + (τ −b)(τ −x).
33
Parameter je tu τ . Da bi našli njihovo ogrinjačo ali envelopo (več o tem na
primer v [8]), to je krivuljo, ki se v vsaki točki dotika ene članice družine,
v različnih točkah pa različnih članic, moramo obravnavati sistem enačb
F(x,y,τ) = 0,∂F∂τ
(x,y,τ) = 0.
Če se posreči izločiti parameter τ iz sistema, dobimo iskano krivuljo, po
navadi v implicitni obliki. Če pa sistem razrešimo na x in y, pa najdemo
parametrični enačbi ogrinjače. V našem primeru je
∂F∂τ
(x,y,τ) = 2τ −x−b = 0
in rezultat izločanja parametra τ je parabola
4ay = (x−b)2. (6)
Os parabole je premica x = b, teme ima v točki B′(b,0), gorišče v točki
B(b,a), za vodnico pa premico y = −a, asimptoto ofiuride.
Slika 23. Ofiurida je nožiščna krivulja parabole.
Lahko pa povemo tudi obratno. Če na tangente parabole (6) pravokotno
projiciramo točkoO, ki jo imenujemo pol, potem njene projekcije ali nožišča
34
T sestavljajo ofiurido. Ofiurida je zato nožiščna krivulja parabole (6) glede
na polO, koordinatno izhodišče. Bolj splošno: ofiurida je nožiščna krivulja
parabole glede na pol na njeni temenski tangenti. Če je pol teme, je nožišč-
na krivulja Dioklova cisoida. Slika 24 kaže nekaj nožiščnih krivulj, ofi-
urid, glede na nekaj različnih leg polov na temenski tangenti parabole, ki
je dana z goriščem F in vodnico v.
Slika 24. Ofiuride kot nožiščne krivulje parabole.
Kje se dotikata ofiurida (4) in parabola (6)? Če v (6) upoštevamo (3),
dobimo po preureditvi enačbo za t:
(at3 +2at −b)2 = 0,
ki ima dvojni koren
t0 =√
3 3√
46
⎛⎝
3
√δ+3b
√3
a− 3
√δ−3b
√3
a
⎞⎠,
pri čemer je δ2 = 32a2 + 27b2. Ker je at30 + 2at0 − b = at0(t20 + 1)− (b − at0) =0, dobimo takoj z uporabo (3): x(t0) = at30 ,y(t0) = at20 . Točka, v kateri se
35
dotikata ofiurida in parabola, je torej T0(at30 ,at20) oziroma T0(b−2at0,at20).
Ker je vrednost polinoma at3+2at−b v krajiščih intervala [0,b/a] različno
predznačen, je točka T0 na zanki ofuride.
Točka T0 je na zanki ofiuride od koordinatnega izhodišča najbolj oddal-
jena. Kvadrat razdalje D(t) točke T (x(t),y(t)) ima, če uporabimo enačbi
(3), preprosto obliko
D2(t) = x2(t)+y2(t) = t2(b−at)2
1+ t2 .
Potreben pogoj za nastop ekstrema je (D2(t)) = 0. Po krajšem računu do-
bimo za ta pogoj enačbo
t(at −b)(at3 +2at −b) = 0.
Rešitvi t = 0 in t = b/a ne prideta v poštev, ker nam dasta dvojno točko O
ofiuride. Pravilna rešitev je realni koren enačbe at3 +2at −b = 0, ki je t0, to
je tisto število, ki smo ga našli pri računanju dotika ofiuride in parabole.
Ustrezna točka T0 je seveda na zanki ofiuride. Za razdaljo dobimo
∣OT0∣ =√
(b−at0)(b−2at0).
Do enakega rezultata pridemo, če zapišemo ofiurido v polarnih koordi-
natah, ki se glasi
%(ϕ) = asinϕ +bcosϕ − asinϕ
,
in poiščemo lokalni ekstrem funkcije ϕz→ %(ϕ).
Do ofiuride pridemo tudi po tako imenovanem cisoidnem postopku.
Tako se postopek imenuje zato, ker se tudi običajno, Dioklovo cisoido dobi
na podoben način. Posplošiti se ga da na dve krivulji in izbrano točko.
V koordinatnem sistemu Oxy izberemo točko B(b,a). Spet se bomo
ukvarjali s primerom, ko je a > 0 in b > 0. Določimo središče S(b/2,a/2)
36
daljice OB in načrtamo krožnico s središčem v S skozi B. Krožnica ima
polmer % =√a2 +b2/2 = c/2 in poteka skozi koordinatno izhodiščeO. Skozi
B načrtamo vzporednico p z osjo x, na p pa poljubno izberemo točko M.
Nato načrtamo skoziM inO še premico q, ki preseka krožnico, ki ji odvza-
memo točko O, v točki N . VektorÐÐ⇀MN premaknemo vzdolž q, tako da nje-
gov začetek pade v O, konec pa v točko T . S tem jeÐÐ⇀MN =Ð⇀OT . Ko točka M
potuje po premici p, točka T opiše ofiurido s konstantama a in b.
Slika 25. Do ofiuride po cisoidnem postopku.
Krožnica ima enačbo (x−b/2)2+(y−a/2)2 = c2 oziroma x2+y2 = bx+ay,
premica p pa y = a. Premica q ima enačbo x = ty in preseka p v točki
M(ta,a). Pri tem je t parameter, natančneje kotangens naklonskega kota
premice q. Ko t preteče vse realne vrednosti, M preteče premico p. Da bi
določili koordinati točke N , vstavimo x = ty v enačbo krožnice in dobimo
t2y2 + y2 = tby + ay. Rešitev y = 0 ne pride v poštev. Na koncu dobimo
koordinati točke N :
xN = t(bt +a)1+ t2 , yN = bt +a
1+ t2 .
37
Koordinati vektorjaÐÐ⇀MN v standardni bazi sta potem
t(bt +a)1+ t2 − ta = t
2(b−at)1+ t2 ,
bt +a1+ t2 −a =
t(b−at)1+ t2 .
Zato sta koordinati vektorjaÐ⇀OT :
x(t) = t2(b−at)1+ t2 , y(t) = t(b−at)
1+ t2 ,
kar se ujema z enačbama ofiuride (3).
Ofiurida (4) s konstantama a in b je cisoida premice y = a in krožnice
x2 + y2 = bx + ay glede na koordinatno izhodišče O. Do istega sklepa bi
prišli, če bi zapisali enačbo ofiuride v polarnih koordinatah:
%(ϕ) = asinϕ +bcosϕ − asinϕ
.
Prva dva člena dasta %1(ϕ) = asinϕ+bcosϕ, kar je enačba krožnice x2+y2 =bx+ay v polarnih koordinatah, tretji člen pa %2(ϕ) = a/sinϕ, kar je enačba
premice y = a v polarnih koordinatah.
Ofiurida in hiperbola
Kaj dobimo, če ofiurido (4) zrcalimo na krožnici x2+y2 = r2? Zrcaljenje ali
inverzija na taki krožnici je preslikava
ι ∶ (x,y)z→ ( r2xx2 +y2 ,
r2y
x2 +y2) .
Do rezultata pridemo najhitreje, če enačbo (4) prepišemo v obliko
r2y
x= b r2y
x2 +y2 −ar2x
x2 +y2
in upoštevamo, kako deluje preslikava ι. Takoj imamo
r2y
x= by −ax
38
in nato enačbo bxy −ax2 = r2y, iz katere sledi
y = ax2
bx− r2 = axb+ ar
2
b2 + ar4
b2(bx− r2) .
Iskana krivulja je stožnica, in sicer hiperbola z asimptotama
x = r2
bin y = ax
b+ ar
2
b2 .
Presečišče asimptot je središče Sh(r2/b,2ar2/b2) hiperbole (slika 26).
Slika 26. Ofiurida in hiperbola.
Poševna asimptota hiperbole je vzporedna tangenti na ofiurido v točki
O. Inverzija ι seveda preslika hiperbolo nazaj v ofiurido. Kaj pa asimp-
toti? Navpična asimptota, ki je vzporedna tangenti na ofiurido v točki
O, se preslika v krožnico x2 + y2 = bx s središčem v točki S1(b/2,0) in
polmerom %1 = b/2 in se dotika navpične tangente na ofiurido vO, poševna
pa v krožnico a(x2 + y2) = b2y − abx s središčem v točki S2(−b/2,b2/(2a))in polmerom %2 = bc/(2a), kjer je c =
√a2 +b2. Ta krožnica se v O dotika
poševne tangente na ofiurido v O. Središče S2 leži namreč na premici
39
ay = −bx, ki je pravokotna na poševno tangento na ofiurido v O. Opazimo
tudi, da je prvi polmer odvisen le od konstante b.
Obe krožnici, inverzni sliki asimptot hiperbole, sta tudi pritisnjeni
krožnici na ofiurido v točki O. Kako to vidimo? V točki, ki jo določa
parameter t v parametrizaciji (3), je krivinski polmer
ρ(t) = (x2(t)+ y2(t))3/2
∣x(t)y(t)− x(t)y(t)∣ =(b2 −4abt +4a2t2 +a2t4)3/2
2∣b2 −3abt +3a2t2 +abt3∣ . (7)
Za t = 0 in t = b/a res dobimo
%1 = ρ(0) = b2, %2 = ρ(b/a) =
bc2a.
To ni nič čudnega in je v soglasju s tisto lastnostjo inverzije na krožnici,
ki pravi, da inverzija ohranja kote med krivuljami. Ofiurida s pritisnje-
nima krožnicama v O vred se z inverzijo preslikajo v hiperbolo in njeni
asimptoti. Asimptoti sta v bistvu tangenti na hiperbolo v neskončnosti.
Slika 27. Inverzija hiperbole na krožnici s središčem na tej hiperboli.
Če zrcalimo hiperbolo na krožnici, ki ima središče S na tej hiperboli,
lahko v izjemnem primeru dobimo ofiurido, v splošnem pa krivuljo, ki se
40
nam zdi podobna ofiuridi (slika 27).
Da bi se prepričali, da ne dobimo vedno ofiuride, zrcalimo hiperbolo
(x+a)2−y2 = a2 na krožnici x2+y2 = r2. Hiperbola poteka skozi koordinatno
izhodišče O, kjer ima krožnica središče. Zrcalna slika hiperbole na tej
krožnici je strofoida y2(r2 − 2ax) = x2(r2 + 2ax), ki ni ofiurida (slika 28).
Strofoida ima dvojno točko v O, navpično asimptoto x = r2/(2a) in teme v
točki A(−r2/(2a),0). Simetrična je glede na os x.
Slika 28. Inverzija hiperbole na krožnici je lahko strofoida.
Če zrcalimo na krožnici x2 + y2 = r2 hiperbolo ax2 − bxy + d2y = 0 ali
pa hiperbolo, ki se z rotacijo okoli O da prevesti na tako obliko, dobimo
ofiurido y(x2 + y2) = x(br2y/d2 − ar2x/d2). To vemo, ker preslikava ι na
krožnici x2+y2 = r2 tako ofiurido preslika v hiperbolo ax2−bxy+d2y = 0. To
nas napelje na misel, da mora središče krožnice, na kateri zrcalimo hiper-
bolo, da dobimo ofiurido, ležati na hiperboli v ostrem kotu med asimp-
totama. To pa pomeni, da pridejo v poštev samo hiperbole, ki imajo tako
imenovano imaginarno polos krajšo od realne polosi. Središče krožnice se
prezrcali v dvojno točko nastale krivulje.
41
Inverz hiperbole na krožnici s središčem na njej
Da bi lahko to raziskali, vzemimo enačbo hiperbole v standardni obliki
b2x2−a2y2−a2b2 = 0. Pri tem je a realna, b pa imaginarna polos hiperbole.
Njeni asimptoti sta premici bx ± ay = 0. Zaradi simetrije glede na koordi-
natni osi je dovolj obravnavati desno vejo te hiperbole, ki jo parametrizira-
mo s x(t) = a/cost,y(t) = b tgt, kjer je −π/2 < t < π/2. Na hiperboli izbe-
remo središče S(p,q) krožnice s polmerom r, na kateri bomo zrcalili. Vzeli
bomo p = a/cost,y = b tgt za neki t in hiperbolo vzporedno premaknili
tako, da bo točka S padla v koordinatno izhodišče. Naredili bomo torej
zamenjavo: koordinato x bomo nadomestili z x+p, koordinato y pa z y+q.
Enačba hiperbole po tej zamenjavi je
b2(x+p)2 −a2(y +q)2 −a2b2 = 0, (8)
enačbi njenih asimptot pa sta b(x+p)±a(y +q) = 0.
Slika 29. Inverz hiperbole na krožnici s središčem na njej.
42
Pri zrcaljenju na krožnici se asimptoti hiperbole preslikata v krožnici,
ki se sekata v točki S, tangenti nanju pa sta vzporedni z asimptotama
hiperbole. Krožnici sta v S pritisnjeni krožnici na dobljeno krivuljo. Zanka
ofiuride, kot vemo, leži v ostrem kotu med njenima tangentama v dvojni
točki oziroma med slikama asimptot. Zato morata asimptoti hiperbole ok-
lepati oster kot, v katerem leži hiperbola. To pa gre le, če je v enačbi (8)
izpolnjen pogoj b < a. Toda tudi tedaj še ne dobimo ofiuride kot zrcalne
slike hiperbole za vsako središče S na njej. Zagotovo ne, če je S v temenih
hiperbole.
Enačba (8) ima z upoštevanjem parametrizacije točke S obliko
(b2x2 −a2y2)cost −2a2by sint +2ab2x = 0,
krivulja, dobljena z zrcaljenjem na krožnici x2 +y2 = r2, pa enačbo
r2(b2x2 −a2y2)cost −2ab(x2 +y2)(ay sint −bx) = 0. (9)
Dobili smo enačbo algebrske krivulje tretje stopnje. Kdaj je ta ofiurida, pa
je odvisno od parametra t. Zato bomo zadnjo krivuljo zavrteli okoli točke
S za kot ϕ, ki ga bomo skupaj s t določili tako, da bo enačba dobila tako
obliko, kot jo ima ofiurida, to se pravi obliko (4). Naredimo torej v (9)
zamenjavo: koordinato x nadomestimo z xcosϕ − y sinϕ, koordinato y pa
z xsinϕ +y cosϕ. Dobimo nekoliko bolj zapleteno enačbo:
r2 cost[(b2x2 −a2y2)cos2ϕ)+ (b2y2 −a2x2)sin2ϕ)−xy(a2 +b2)sin2ϕ]−
−2ab(x2 +y2)(ay sint cosϕ +axsint sinϕ −bxcosϕ +by sinϕ) = 0.
Ker v (4) ni člena z y2, mora, da dobimo ofiurido, veljati enačba
−a2 cos2ϕ +b2 sin2ϕ = 0.
43
Iz tega sledi za kot rotacije:
tg2ϕ = a2
b2 .
Pred x2 + y2 v (4) lahko nastopa le y, pomnožen s faktorjem, ki ni odvisen
od koordinat x in y, zato mora veljati enačba
asint sinϕ −bcosϕ = 0,
iz katere dobimo
sint = batgϕ
= ±b2
a2 , cost = ±√a4 −b4
a2 , tgt = ± b2√a4 −b4
.
S tem imamo koordinati točke S v začetnem koordinatnem sistemu Oxy:
p = ± a3√a4 −b4
, q = ± b3√a4 −b4
. (10)
Z upoštevanjem dobljenega kota rotacije in parametra t ima krivulja v
zasukanem sistemu enačbo
2a2b2√a2 +b2y(x2 +y2) = x(±2abr2y
√a4 −b4 ± r2x(a2 −b2)
√a4 −b4),
kar je do konstantnega faktorja na levi enako enačbi ofiuride
y(x2 +y2) = x(βy −αx).
Konstanti dobljene ofiuride sta torej
α = ± r2
2a2b2 (a2 −b2)
√a2 −b2, β = ± r
2
ab
√a2 −b2. (11)
Ugotovili smo naslednje. Na hiperboli b2x2−a2y2−a2b2 = 0 pri pogoju b < aobstajajo natančno štiri točke (v vsakem kvadrantu po ena), ki so središča
krožnic, na katerih se ta hiperbola prezrcali v ofiurido. Koordinate središč
44
so dane z izrazi (10), konstanti ofiuride pa z izrazi (11). Asimptota vsake
ofiuride je pravokotna na eno od asimptot hiperbole (slika 30). V koor-
dinatnem sistemu Oxy imajo asimptote ofiurid za naklonske koeficiente
števili a/b in −a/b. Polmeri krožnic, na katerih zrcalimo hiperbolo, so
lahko različni.
Slika 30. Skladni inverzi hiperbole na skladnih krožnicah s središči na
njej.
Oglejmo si nekoliko natančneje obnašanje dobljenih ofiurid v okolici
točke S v koordinatnem sistemu Sxy tako kot na sliki 29. Zaradi simetrije
je dovolj obravnavati primer, ko je S v prvem kvadrantu koordinatnega
sistema Oxy. Vemo že, da se asimptoti hiperbole z inverzijo na krožnici
x2 + y2 = r2 preslikata v pritisnjeni krožnici ofiuride v njeni dvojni točki
S in da zanka ofiuride leži med tema krožnicama. Zanju bomo poiskali
45
središče in polmer. Asimptoti hiperbole, ki imata enačbi b(x+p)+a(y+q) =0 in b(x+p)−a(y +q) = 0, se z inverzijo ι preslikata v krožnici
x2 +y2 + r2(bx+ay)bp+aq = 0, x2 +y2 + r
2(bx−ay)bp−aq = 0.
Prva je slika asimptote z negativnim naklonom in ima središče S1 in polmer
ρ1, druga pa je slika asimptote s pozitivnim naklonom in ima središče S2
in polmer ρ2. Središči in polmera se takole izražajo:
S1(−br2
2(bp+aq) ,−ar2
2(bp+aq)) , S2(−br2
2(bp−aq) ,ar2
2(bp−aq)) ,
ρ1 =r2
√a2 +b2
2∣bp+aq∣ , ρ2 =r2
√a2 +b2
2∣bp−aq∣ .
Če upoštevamo izraza za p > 0 in q > 0 v (10), dobimo za središči v koor-
dinatnem sistemu Sxy in polmera, izraženo vse samo z a in b oziroma s
konstantama α in β ofiuride:
S1⎛⎝− r
2
2a
√a2 −b2
a2 +b2 ,−r2
2b
√a2 −b2
a2 +b2
⎞⎠, S2
⎛⎝− r
2
2a
√a2 +b2
a2 −b2 ,r2
2b
√a2 +b2
a2 −b2
⎞⎠,
ρ1 =r2
√a2 −b2
2ab= ∣β∣
2, ρ2 =
r2(a2 +b2)2ab
√a2 −b2
= ∣β∣γ2∣α∣ .
Pri tem je γ =√α2 +β2. V prvotnem koordinatnem sistemu Oxy imata
središči krožnic koordinate:
S1(2a4 − r2(a2 −b2)
2a√a4 −b4
,2b4 − r2(a2 −b2)
2b(a2 +b2)√a4 −b4
) ,
S2(2a4 − r2(a2 +b2)
2a(a2 −b2)√a4 −b4
,2b4 + r2(a2 +b2))
2b√a4 −b4
) ,
46
Slika 31. Ofiurida v okolici svoje dvojne točke S.
Središča krožnic, na katerih zrcalimo hiperbolo, da dobimo ofiuride,
in ta središča ležijo na njej, imajo tudi drug pomen. To so točke hiperbole,
v katerih so njene tangente pravokotne na eno od njenih asimptot (slika
32). Take točke ima samo hiperbola b2x2−a2y2−a2b2 = 0, pri kateri je b < a.Kako to dokažemo?
Asimptoti hiperbole b2x2−a2y2−a2b2 = 0 sta premici bx∓ay = 0 s smern-
ima koeficientoma ±b/a. Brez škode za splošnost je dovolj poiskati tako
točko, ki je očitno ena sama, na hiperboli v prvem kvadrantu. Hiperbolo
parametrizirajmo z x(t) = a/cost,y(t) = b tgt, kjer je 0 < t < π/2. Parameter
t iskano točko natančno določa. Strmina tangente v tej točki je
y′(x) = y(t)x(t) =
basint
.
Tangenta je lahko pravokotna na tisto asimptoto, ki ima smerni koeficient
−b/a. Pogoj pravokotnosti tangente in te asimptote je
basint
= ab,
47
kar pomeni
sint = b2
a2 , cost =√a4 −b4
a2 , tgt = b2√a4 −b4
.
Iz tega je tudi razvidno, zakaj mora za eksistenco iskane točke biti b < a.Iskana točka je
S ′( a3√a4 −b4
,b3
√a4 −b4
) ,
to je središče krožnice, na kateri se hiperbola prezrcali v ofiurido. Z zrca-
ljenjem le-te prek koordinatnih osi dobimo še preostale tri točke s to last-
nostjo na hiperboli.
Slika 32. Tangenta hiperbole je lahko pravokotna na njeno asimptoto.
Reševanje kubičnih enačb
Za kubično enačbo x3 + ax2 + bx+ c = 0 so matematiki hitro ugotovili, da v
njej kvadratni člen odpade z uvedbo nove neznanke y, ki jo z x povezuje
relacija y = x+a/3. Enačba s tem dobi obliko y3 +py +q = 0.
Uhlhorn je pokazal, kako se ofiurido lahko uporabi za reševanje ku-
bičnih enačb oblike
y3 +py +q = 0.
48
V ta namen je treba uporabiti ofiurido v implicitni obliki (5), to se pravi
y3 +x(x−b)y +ax2 = 0.
Ko primerjamo koeficiente, vidimo, da je treba vzeti p = x(x−b) in q = ax2.
Z izbiro primernega x = x0 določimo konstanti a in b ofiuride, jo načr-
tamo in krivuljo presekamo s premico x = x0. Ordinate presečišč so realne
rešitve dane enačbe.
Slika 33. Reševanje enačbe y3 −2 = 0 z ofiurido.
Poglejmo primer enačbe y3−2 = 0, ko je p = 0 in q = −2. Izberemo x0 = 1.
Pri tej izbiri mora biti a = −2 in b = 1. V koordinatnem sistemu načrtamo
ofiurido y(x2 +y2) = x(y +2x), jo presekamo s premico x = 1, ordinata pre-
sečišča A je rešitev. Precej natančno to ordinato lahko odčitamo: yA = 1.26
(slika 33).
Naslednji primer naj bo enačba 4y3 − 13y + 6 = 0. V tem primeru je
p = −13/4 in q = 3/2. Podobno kot v prejšnjem primeru morata veljati
49
zvezi x(x − b) = −13/4 in ax2 = 3/2. Izberemo x0 = 1/2 in dobimo a = 6 in
b = 7. V koordinatnem sistemu načrtamo ofiurido y(x2+y2) = x(7y−6x), jo
presekamo s premico x = 1/2, ordinate presečišč A,B in C so rešitve. Odči-
tamo: yA = −2, yB = 1.5 in yC = 0.5 (slika 34). To so tudi točne vrednosti.
Slika 34. Reševanje enačbe 4y3 −13y +6 = 0 z ofiurido.
Taka metoda reševanja kubičnih enačb, česar se je zavedal D. Uhlhorn,
ni posebno praktična, saj je za vsako enačbo posebej treba določiti kon-
stanti a in b ofiriude.
Tretjinjenje kota lahko obravnavamo v okviru kubičnih enačb. Če je
namreč α = 3β, velja enakost 4cos3β − 3cosβ = cosα, kar pomeni, da pri
znanem kotu α število y = cosβ zadošča kubični enačbi
y3 − 34y − 1
4cosα = 0,
ki je oblike (5) in jo lahko rešujemo z ustrezno ofiurido. Dovolj je, da
znamo tretjiniti oster kot. Topi kot bi tretjinili tako, da bi ga najprej
50
razpolovili, dobljeni ostri kot tretjinili, nazadnje pa dobljeni rezultat pod-
vojili.
Pri izbrani enoti cosα oster kot α enolično določa. Isto velja za kot β.
Zato vzamemo x(x−b) = −3/4 in ax2 = −(1/4)cosα. Za x0 = 1/2 dobimo b =2 in a = −cosα. Načrtamo ofiurido s konstantama a in b ter jo presekamo s
premico x = 1/2. Dobimo tri presečišča. V poštev pride A, ki ima pozitivno
ordinato, to je cosβ, kot β pa se potem zlahka določi (slika 35).
Slika 35. Tretjinjenje kota z ofiurido.
Še nekaj jezikovnih
V besedilu pogosto uporabljamo besedo parameter. Je grškega izvora,
sestavljena iz predloga πάρα, kar pomeni poleg, pri, zraven, in samostal-
nika μέτρον, kar pomeni merilo, mera. V matematiki običajno parameter
pomeni neko pomožno spremenljivko.
51
Krivulja Dioklova cisoida, s katero se da podvojiti kocko, je dobila ime
po bršljanu, grško κισσός. Končnica besede izhaja iz εἶδος, kar pomeni
podoba, oblika. Dioklova pa je zato, ker jo je uvedel grški matematik
Diokles (240–180 p.n.š.), Διοκλῆς. O njem ne vemo veliko. Znano je prek
drugih antičnih in arabskih matematikov, da se je ukvarjal poleg podvo-
jitve kocke tudi s stožnicami in s konkavnimi zrcali. Omenjajo njegovo
delo ”O zažigalnih zrcalih”, Περὶ πυρεῖων. Beseda πῦρ pomeni ogenj.
Večkrat smo omenili besedo parabola, v grščini παραβολή, kar pomeni
med drugim primera, prilika, zgled. Besedo je laže razumeti skupaj s pre-
ostalima dvema stožnicama, elipso in hiperbolo. Prva je v grščini ἔλλειψις,
po naše zaostajanje, pomanjkanje, druga pa ὑπερβολή, kar pomeni med
drugim tudi pretiravanje, prekašanje. Imena stožnic najlaže razumemo,
če jih zapišemo v enotni obliki v polarnih koordinatah:
%(ϕ) = p
1+ εcosϕ.
Za ε = 1 je to parabola, za 0 ≤ ε < 1 elipsa (za ε = 0 je to krožnica kot poseben
primer elipse), za ε > 1 pa hiperbola. Število ε je numerična ekscentričnost
stožnice. Navedena imena je uporabljal Apolonij iz Perge v svoji razpravi
o stožnicah, Κωνικά. Slednja beseda izvira iz κῶνος, kar pomeni smrekov
storž, pa tudi smreka.
Beseda asimptota je grška. Nastala je iz grške ἀσύμπτωτος, kar pomeni
nesovpadajoč. Analizirajmo! Predpona ἀ- je nikalna, po naše ne-, brez-.
Beseda σύν pomeni hkrati, vkup, s kom ali s čim vred, πτωτος pa pride iz
glagola πίπτω, kar pomeni padam, zlagam se, ujemam se. Zlog πί mu čr-
tamo in dodamo končnico -τος in imamo pridevnik ἀ-σύμ-πτω-τος v moški
obliki, v ženski pa ἀ-σύμ-πτω-τη. Če dodamo še besedo γραμμή, črta, imamo
polno obliko ἀσύμπτωτη γραμμή, asimptotska črta. Iz praktičnih razlogov
52
so γραμμή začeli opuščati in ἀσύμπτωτη je postala samostalnik, asimptota.
Beseda σύν kot predpona συν- preide v določenih okoliščinah v συμ-,
tako kot v latinščini in- v im-. To so soglasniške spremembe. Vsak jezik
jih ima. Primeri v grščini:
συν-γ → συγγ,συν-κ → συγκ,συν-χ → συγχ,συν-π → συμπ,συν-β → συμβ,συν-φ → συμφ,συν-λ → συλλ,συν-μ → συμμ.Navedimo nekaj besed te vrste. Besedo simfonija smo prepisali iz grške
συμφωνία, ujemanje, soglasje, ki pa je nastala iz συν- in φωνή, kar pomeni
glas, zvok, šum. Italijani, Španci in Luzitanci rečejo sinfonia, torej ne
uporabljajo glasovne spremembe.
Beseda simbol prihaja iz grške σύμβολον, znak, znamenje. Nastala je
iz συν- in βάλλω, mečem, lučam. Podobno razložimo besede simpozij,
grško συμπόσιον, silogizem, grško συλλογισμός, simetrija, grško συμμετρία,
ter manj znan izraz singonija, po grško συγγωνία, ki ga dobro poznajo
kristalografi, obstaja pa tudi syngonium, rastlina, imenovana po domače
oslovska glava. Glasba pozna besedo sinkópa, po grško συγκοπή. Sočasen
ali sinhron pa je po grško σύγχρονος. Pri tem ne pozabimo, da se γγ, γκ,
γξ, γχ v grščini berejo kot ng, nk, nks, nh.
Za konec
Videli smo, kaj vse se da povedati o neki krivulji, če obvladamo infinitez-
imalni račun in algebro. Seveda nam je to sedaj, ko imamo na voljo na-
jnovejše pripomočke in obsežno ter dostopno matematično literaturo, ve-
liko laže, kot je bilo matematikom v 17., pa tudi v 18. stoletju, ko so v
marsičem še orali ledino.
53
Pomembni znanstveniki, rojeni v 18. stoletju
Navedimo nekaj pomembnih znanstvenikov, predvsem matematikov, fizikov
in astronomov, rojenih v 18. stoletju. Navedeni so po letnicah rojstva. Ve-
liko podatkov dobimo v [1, 4] in na svetovnem spletu.
Gabriel Cramer (1704–1752)
Leonhard Euler (1707–1783)
Alexis Claude Clairaut (1713–1765)
Caspar Wessel (1745–1818)
Jean de Rond d’Alembert (1717–1783)
Louis de Lagrange (1736–1813)
Georg Simon Klügel (1739–1812)
Gaspard Monge (1746–1816)
Pierre-Simon de Laplace (1749–1827)
Adrien-Marie Legendre (1752–1833)
Lazare Nicolas Carnot (1753–1823)
Jurij Vega (1754–1802)
Marc-Antoine Parseval (1855–1836)
Christian Kramp (1760–1826)
Diedrich Uhlhorn (1764–1837)
Paolo Ruffini (1765–1822)
François-Joseph Servois (1767–1847)
Jean Baptiste Joseph Fourier (1768–1830)
Jean-Robert Argand (1768–1822)
Carl Friedrich Gauß (1777–1855)
Jozéf Maria Hoëné-Wroński (1778–1853)
Bernard Bolzano (1781-1848)
54
Friedrich Wilhelm Bessel (1784–1846)
Georg Simon Ohm (1789–1854)
Augustin Louis Cauchy (1789–1857)
August Ferdinand Möbius (1790–1868)
Charles Babage (1791–1871)
John Herschel (1792–1871)
Martin Ohm (1792–1872)
Nikolaj Ivanovič Lobačevski (1792–1856)
Andreas von Ettingshausen (1796–1865)
Slika 36. Načrt Uhlhornove naprave za risanje ofiurid.
55
Viri
[1] I. Asimov, Biografska enciklopedija znanosti in tehnike, Tehniška za-
ložba Slovenije, Ljubljana 1978.
[2] H. Hischer, Die drei klasischen Probleme der Antike, Franzbecker,
Hildesheim 2018.
[3] K. Menninger, Zahlwort und Ziffer, Vandenhoeck & Ruprecht, Göttin-
gen 1958.
[4] U. C. Merzbach, C. B. Boyer, A History of Mathematics, John Wiley &
Sons, Hoboken, New Jersey 2011.
[5] B. von Pape, Von Eudoxus zu Uhlhorn, Books on Demand, Norderstedt
2019.
[6] M. Razpet, De Sluse in njegove krivulje, spletni vir:
http://www.pef.uni-lj.si/matwww/De_Sluze_02.pdf (videno 24.
8. 2021)
[7] D. Uhlhorn, Entdeckungen in der höhern Geometrie, theoretisch und
practisch abgehandelt, Schulze’sche Buchhandlung, Oldenburg, 1809.
[8] I. Vidav, Višja matematika 1, DZS, Ljubljana 1968.
Avtor se zahvaljuje prof. dr. Milanu Hladniku za strokovni pregled.
©(2021) Marko Razpet
56