การโกงตวโดยวธคานเสมอน
Deflection of Beam by Conjugate Beam
เสนอ
ผศ.ดร.เรองรชด ชระโรจน
กลมท 5
นายกฤษฎา คามลทา 56010310009
นายสมคด สารลก 56010310280
นายสมหมาย ศรสธรรม 56010310281
นายธวชชย โคตรชมภ 56010315120
นายวระวฒน กรตม 56010315164
นายสทธศกด อนสนน 56010315182
นายอนวต โยธากล 56010315194
นายสนตเทพ ทองสอน 56010315332
รายงานนเปนสวนหนงของวชา 0301214 Structure of Theory ภาคการเรยนท 2 /2557
สาขาวศวกรรมโยธา คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยมหาสารคาม
ค าน า
รายงานเลมนเปนสวนหนงของรายวชาทฤษฎโครงสราง (Structure of Theory) เรอง การโกงตวโดย
วธคานเสมอนศกษาเกยวกบลกษณะการโกงตวของคาน โดยวธคานเสมอน ซงเปนหนงในวธการหา การ
โกงตวของคานโดย คนควาจากหนงสอและอนเตอรเนต จากหนงสอทฤษฎโครงสราง รวมถงการเรยนการ
สอนในหองเรยนท เกยวกบเนอหาเรองคาน คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวารายงานเลมน จะมประโยชน แก
ผสนใจ หรอผทก าลงศกษาอยางมาก
คณะผจดท า
การโกงตวของคานโดยวธคานเสมอน ( Deflection of Beam by Conjugate Beam )
คานเมอมน าหนกบรรทกมากระท านอกจากจะท าใหเกดหนวยแรงดด และหนวยแรงเฉอนในคานแลว
ยงท าใหคานโกงอกดวย การโกงของคานจะมากหรอนอยขนอยกบความแขงเกรง (Rigidity) ของคานนน ๆ
โดยทวไปการออกแบบคานจะขนอยกบความแขงเกรงของคานมากกวาก าลง (Strength) ของคาน เชน การ
ก าหนดระยะโกงทยอมใหโดยค านงถงประโยชนใชสอย เพราะหนวยแรงทเกดขนในคานอาจจะนอยกวา
หนวยแรงทยอมให แตระยะโกงทเกดขนมากกวาระยะโกงทยอมใหกได
การหาระยะโกงทเกดขนในคานมหลายวธ ดงตอไปน
1. วธดบเบลอนทเกรชน (Double Integration Method)
2. วธพนทไดอะแกรมโมเมนตตด (The Area Moment Method)
3. วธคานเสมอน (The Conjugate Beam Method)
วธคานเสมอน (Conjugate beam method)
ซงพฒนามาจากวธพนทไดอะแกรมโมเมนตดด แตวธคานเสมอนไมจ าเปนตองใชเสนโคงอลาสตค Elastic
curve และเหมาะส าหรบคานชวงเดยวทมฐานรองรบแบบธรรมดา วธคานเสมอนแตกตางจากวธพนท
ไดอะแกรมโมเมนตดดคอ คานเสมอนใหคาความลาดและระยะโกงของคานไดโดยตรง ในการค านวณการ
โกงตวของคานโดยวธคานเสมอนนน ท าไดงายกวาวธของพนทของโมเมนต เนองจากไมตองใชเสนโคง
ยดหยนในการค านวณ ส าหรบการค านวณการโกงตวของคานโดยวธคานเสมอนสามารถท าไดดงน
พจารณาคาน AB ทมน าหนกมากระท า เมอตองการหามมเบยงเบนหรอมมลาด (Ө) และระยะโกง (∆) ทจด
C ซงหางจากจด A เปนระยะ X โดยอาศยจากสมการพนทของโมเมนต จะไดวา
ӨAC = ӨA – ӨC ӨC = ӨA – ӨAC
โดย ӨA = ∆BA
L=
1
L(Wb)
เมอ W คอ พนทของโมเมนตระหวาง A และ B
และ ӨAC = W’
เมอ W’ คอพนทของโมเมนตระหวาง A และ C
∴ ӨC = Wb
L− W′ ……… (1)
และ ∆C = xӨA - ∆CA
โดย ∆CA = W’z
∴ ∆C = (x)(Wb
L)-W’z …………(2)
สมมตคานเสมอน A’B’ ซงพจารณาเปนคานจรงและรบน าหนกเปนพนทของ M
EI พจารณาแรงตางๆ ท
เกดในคานจะไดวา
R’A
= Wb
L
R’B =
Wa
L
V’C = R’
A – W’ = Wb
L - W’ ………….(3)
M’C = R’A(x) – W’(z) =
Wb
L(x) – W’(z) …………..(4)
จากการเปรยบเทยบสมการท (1) กบ (3) และสมการท (2) กบ (4) แสดงใหเหนวา
V’C = ӨC และ M’
C = ∆C ………. (5)
สรปไดวา
ӨC = คาแรงเฉอนของคานเสมอนทจด C’
∆C = คาโมเมนตดดของคานเสมอนทจด C’
เนองจากคานจรงและคานเสมอนมขอแตกตางกน จากตารางไดสรปการแปลงคานจรงเปนคานเสมอน แต
มขอควรระวงในกาพจารณาวาคานจรงตองมความเสถยร สวนคานเสมอนอาจจะมความเสถยรภาพหรอไมก
ได เนองจากไมใชคานจรง
ตวอยางการแปลงคานจรงไปเปนคานเสมอน
1 คอ คานจรง 2 คอ คานเสมอน
สรปขนตอนการค านวณ
1. เขยน BMD ของคานในรปของ M
EI
2. แปลงคานจรงใหคานเสมอนตามตารางท 5.2
3. ใช M
EI ของคานจรงเปนน าหนกทกระท าตอคานเสมอน
4. ค านวณหาแรงเฉอน และโมเมนตดด ของคานเสมอนโดย
Vคานเสมอน = Өคานจรง
Mคานเสมอน = ∆คานจรง
เครองหมาย (Sign Convention)
1. แรงเฉอนของคานเสมอนเปนบวก (+) มมลาด (Ө) ของคานจรงจะมทศทางทวนเขม
2. โมเมนตดดของคานเสมอนเปนบวก (+) การโกงตว (∆) ของคานจรงมทศทางขน (↑)
โดยสามารถสรปไดดงน
Vคานเสมอน เปนบวก (+) → Өคานจรง ทวนเขม (↺)
Vคานเสมอน เปนลบ (-) → Өคานจรง ตามเขม (↻)
Mคานเสมอน เปนบวก (+) → Δคานจรง โกงขน (↑)
Mคานเสมอน เปนลบ (-) → Δคานจรง โกงลง (↓)
ตวอยาง
1.จงหา θB และ ΔB ของโครงสรางในรปโดยวธคานเสมอน
วธท า เรมจากเขยน MEIและแปลงคานจรงเปนคานเสมอนโดยθB และ ΔB กคอ Vbและ Mbของคานเสมอน
นนเอง
θB = VB′ −
1
2(
PL
EI) (L) = −
PL
2EI
2
∆B = MB′ −
PL
2EI
2(
2
3) (L) = −
PL3
3EI
2. จงหา ∆max และ θmax ของคานในรปโดยวธคานเสมอน
วธท า หาแรงปฏกรยา
∑MA = 0 ; Cy(L) = ω(L) (L
2)
Cy =ωL2
2L
Cy =ωL
2
∑Fy = 0 ; Ay +ωL
2= ωL
Ay =2ωL
2−
ωL
2
Ay =ωL
2
∑MB = 0 ; MB +ω (
L2)
2
2= (
ωL
2) (
L
2)
MA =ωL2
4−
ωL2
8
MA =ωL2
8
θA = VA′ = RA = − 23
(ωL2
8EI) (
L2
)
= −ωL3
24EI
∆max= MA′ = −ωL2
24EI(
L
2) +
2
3(
ωL2
8EI) (
L
2) (
3L
16)
= −5ωL4
384EI
3.จงหา θA , θB ,∆Dและ ∆Maxของโครงสรางในรปโดยใชวธคานเสมอน
วธท า เรมจากหาคา RA และ RB และจากนนเขยน M
EI และแปลงจากคานจรงใหเปนคานเสมอนโดยน าคา
M
EI
เปนน าหนกทกระท าตอคานเสมอน ซงจะไดวาแรงเฉอนและโมเมนตดดของคานเสมอกคอ θ และ ∆ ของ
คานนนเอง
คานจรง
RA = Pb
L=
1,200(4)
6= 800 kg
RB = Pa
L=
1,200(2)
6EI= 400 kg
MC = 800(2) = 1,600 kg ∙ m
MD = 400(3) =1,200 kg ∙ m
คานเสมอน
∑ M′B=0
6R’A =[1
2(
1,600
EI) (2) (
1
3(2) + 4)]+[
1
2(
1,600
EI) (4) (
2
3(4))]
6R’A = 7,466.697
EI+
8,533.33
EI
R’A = 2,666.67
EI
∑ Fy=0
R’B = [1
2(
1,600
EI) (6)] − [
2,666.67
EI]
= 2,133.33
EI
θ A = V’A = R’A = -2,666.67
EI
θ B = V’B = R’B = 2,133.33
EI
∆ D = M’D = [−2,133.33
EI (3)] − [
1
2(
1,200
EI) (3) (
3
3)]
= -4,600
EI
∆Max เกดทต าแหนง x’ ใด ๆ โดย V’x =0
V’x = -2,133.33
EI +1
2(
1,600
EI) (
x′
4) (x′) =0
X’ = 3.27 m
∆Max = M’x= [−2,133.33
EI(3.27)]+[
1
2(
1600
EI) (
3.27
4) (3.27)
3.27
3]
=-4,644.94
EI
4. จงหา θA, θB, θC, θD, ∆B และ ∆D ของโครงสรางในรปโดยวธคานเสมอน
หาแรงปฏกรยา ของคานจรง ∑ Mc = 0 1000 + 1500(3) = 500 + Ay(5) Ay = 1000 kg ↑ ∑ 𝐹𝑦 = 0
1000 + Cy = 1500 Cy = 500 kg ↑ หาโมเมนต ของคานจรง MA = -1500(2) - 500 + 500(5) = -1000 kg.m MB = -1000 + 1000(2) = 1000 kg.m MC = -1000 + 1000(5) -1500(3) = -500 kg.m
พอเราได คาโมเมนตของคานจรงแลว เรากน าคาโมเมนตนนมาสวนดวย EI เพอทจะน าไปเปนแรงทกระท าตอคานเสมอน โดยมทศทางพงออกจากคานเสมอน
หาแรงปฏกรยา ของคานเสมอน โดยพจารณาทอน A′C′ เพอทจะหาคา R′
A เรากจะมาเทคโมเมนตทจด C′ ∑ M′
C = 0 (และใหโมเมนตลงเปนลบ) จะไดวา
[1
2(
1000
EI) (2) (
2
3(2) + 1)] + [
1
2(
1000
EI) (1) (
1
3+ 3)]
= [1
2(
500
EI) (1) (
1
3)] + [
1
2(
1000
EI) (1) (
2
3+ 4)] + [R′A (5)]
R′A(5) =
2,333.33
EI+
1,666.67
EI−
2,333.33
EI−
83.33
EI
R′A =
316.67
EI kg ↓
เรากจะได R′A =
316.67
EI kg ↓
ตอมาเรากจะใช ซมเมชน Fy = 0 เพอทจะหา 𝑉′𝐶
∑ Fy = 0
(1
2) (
1000
EI) (1) + (
1
2) (
1000
EI) (2) =
316.67
EI + (
1
2) (
1000
EI) (1)
+ (1
2) (
500
EI) (1) + V′
C
V′C =
1000
EI −
500
EI −
316.67
EI
เรากจะได V′C =
433.33
EI kg ↓
ตอมาเรากมาพจารณาทอน C′D′
เพอทจะหาคาของ R′D เรากใช ∑ Fy = 0 จะไดวา
∑ Fy = 0
R′D = V′
C = 433.33
EI kg ↓
เมอเราไดแรงปฏกรยาครบหมดแลว เรากจะมาหาแรงเฉอน ทจด A′, B′, C′, D′ จะไดวา
V′A = R′
A = −316.67
EI
V′B = −
316.67
EI −
1
2(1) (
1000
EI) +
1
2(1) (
1000
EI)
= −316.67
EI
V′C =
433.33
EI (ซงเราหาไดแลวกอนหนาน)
V′D = V′
C =433.33
EI
เมอ V′A = θA
V′B = θB
V′C = θC
V′D = θD
ดงนน จะไดวา
θA = −316.67
EI Ans.
θB = −316.67
EI Ans.
θC =433.33
EI Ans.
θD =433.33
EI Ans.
ตอมาเรากมาหา ∆B และ ∆D
เมอ ∆B= M′B
∆D= M′D
จะไดวา
∑ M′B = 0 (โดยใหโมเมนตลงเปนลบ)
∆B= 𝑀′𝐵 = −316.67
EI(2) −
1
2(
1000
𝐸𝐼)(1) (
2
3+ 1) +
1
2(
1000
𝐸𝐼)(1) (
1
3)
= −1,300
EI ↓ Ans.
และ ∑ M′D = 0
∆D= M′D = V′C (1.5)
= 433.33
EI(1.5) =
650
EI ↑ Ans.
5.จงหา ∆max ของโครงสรางในรปโดยวธคานเสมอน
วธท า
คานจรง
พจารณาทอน BC
∑ MB = 0 ; 6RC = 3000(4)
RC = 300(4)
6
RC = 2000 kg ↑
∑ Fy = 0 ; VB + RC = 3000
VB = 3000-2000 = 1000 kg ↑
พจารณาทอน AB
VB = 1000 kg
∑ Fy = 0 ; RA = 1000+ VB
RA = 1000+ 1000
RA = 2000 kg ↑
∑ MA = 0 MA = 1000(1)+1000(2) = 3000 kg-m
คานเสมอน
∑ M′B = 0 ;
6RC’ =[1
2(
4000
EI)(2)(2
2
3+ 4)] + [
1
2(
4000
EI)(4)(
8
3 )]
+ [ (1000
EI)(1)(1 + 0.5)]+ [
1
2(
2000
EI)(1)(
2
3+ 1)]
R’C = 𝟕𝟐𝟓𝟎
𝐄𝐈 ↓
ให VX’ มคาเทากบ 0 ณ ต าแหนง x’ ซงวดจาก B’ มา C ‘
0 = 𝟕𝟐𝟓𝟎
𝑬𝑰 - [
1
2(
4000
EI)(2)]- [
1
2(
4000
EI) (4) −
1
2(
1000
EI)(x′)(x′)]
X’ = 3.08 m ( วดจาก B’ มา C’ )
∆max = M’x = [−𝟕𝟐𝟓𝟕.𝟓
𝑬𝑰(2.92)]+[
1
2(
4000
EI) (2) (
2
3+ 0.92)]
+ [3080
EI((
0.922
2))] +[
1
2(
3080
EI) (0.92) (
2
3(0.92))]
= - 13260
EI ↓
6.จงหา θ A และ Δ C ของโครงสรางในรปโดยวธคานเสมอน
วธท า
คานจรง
พจารณาทอน AC
ΣMC = 0; 2RA = 4000(1)
RA = 2000 kg
พจารณาทงระบบ
ΣMD = 0; 1.5RE + 4000(2) = 2000(3) + 1500(2.5)
RE = 1166.67 kg
จากนนวาด M
EI Diagram และแปลงคานจรงเปนคานเสมอน แลวหาคา R A’ ซงกคอ θ A และหา M C’ ซงก
คอ Δ C นนเอง
คานเสมอน
พจารณาทอน A’D’
ΣM D’ = 0; 3RA’ + 1RC’ + 12
(1)(2000
EI)(1
3) = 1
2(2)(1000
EI)(1+1)
RA’ + RC’ = 5000
3EI ……………….(1)
พจารณาทอน A’E’
ΣME’ = 0;
4.5 RA’+2.5 RC’+ (12
)(1)(2000
EI)( 1
3 + 3
2) + (1500
EI)(1.5)( 1.5
2) + (1
2)( 500
EI)(1.5)(2
3)(1.5) =
1
2(2)(1000
EI)(1+2.5)
4.5 RA’ + 2.5 RC’ = - 395.83
EI ……………….…(2)
จาก (1) และ (2) จะได
RA’ = 1520.83
EI ↓
θ A = - RA’ = - 1520.83
EI
MC = - 1520.83
EI(2) +
1
2(1000
EI)(2)(1)
= - 2041.66
EI
Δ C = 2041.66
EI ↓
7.จงหา ∆C ของโครงสรางในรปโดยวธคานเสมอน
วธท า จากวธการแยกสวนผงโมเมนตและการแปลงคานจรงใหเปนคานเสมอนโดย M
EI คอน าหนกทกระท า
ตอคานเสมอนจะไดวา ∆c กคอ MC ‘ นนเอง โดยเรมจากตองหา RA ‘ จากนนหา RB ‘ เพอใชหา MC ‘
ตอไปพจารณาทอน A’ B’
หา BMD ของคานจรง โดยใชวธ Superposition โดยแบงออกเปน 3 รป จะได
M = PL
MB M = 2600(3) = 7800 kg.m
M = - 𝑊(L)2
2
MB =2000(3)2
2 = -9000 kg.m
M = -PL
MB = -1200(1) = -1200 kg.m
หาแรงปฏกรยาทจดรองรบ
∑ MA = 0 ; 3By = 2000(3)(1.5) + 1200(4)
By = 4600 kg
∑ Fy = 0 ; Ay = 2000(3) + 1200 -4600
Ay = 2600 kg
หา ∆c กคอ MC ‘ นนเอง โดยเรมจากตองหา RA ‘ จากนนหา RB ‘ เพอใชหา MC ‘
ตอไปพจารณาทอน A’ B’
∑ MB ‘ = 0 ; 3RA ‘ +[1
3 (
9000
EI)(3)(
3
4)] =
1
2 (7800
EI) (3) (1)
RA ‘ = 1650
E𝐈 ↓
∑ Fy = 0 ; VB ‘ + 1
2 (7800
EI) (3) =
1050
EI +[
1
3 (
9000
EI)(3)]
= -1050
EI
VB = 1050
EI ↓
พจารณาทอน B’C’
∑ MC ‘ = 0; MC‘+[1
2 (
1200
EI)(1)(
2
3)] =
1050
EI (1)
MC ‘ = 650
EI
∆c =650
EI ↑
เอกสารอางอง
-Hibbeler R.C., Structural Analysis, Eight Edition, 2012.
-ผศ.ดร.เรองรชด ชระโรจน , Structure of Theory, คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยมหาสารคาม