De afgeleide
is
• de snelheid waarmee y verandert voor x = xA
• de richtingscoëfficiënt van de raaklijn van de grafiek van f in het punt A• de helling van de grafiek van f in het punt A.
Werkschema: het algebraïsch berekenen van maxima en minima
1. Bereken de afgeleide
2. Los de vergelijking = 0 algebraïsch op.
3. Schets de grafiek van y en kijk in de schets of je met een maximumof met een minimum te maken hebt.
4. Vul de gevonden x-waarde in de formule van y in.Je weet dan ymax of ymin.
A
dy
dx x x
dy dx
dy dx
dy dx
16.1
opgave 8 a E(n) = 0,48n – 0,006n2 geeftE’(n) = 0,48 – 0,012nE’(40) = 0,48 – 0,012 · 40 = 0Uit de schets volgt dat de effectiviteitmaximaal is bij n = 40.
E(n) = 0,48n – an2 geeftE’(n) = 0,48 – 2anE’(16) = 0 geeft0,48 – 2a · 16 = 00,48 – 32a = 0–32a = –0,48a = 0,015
b
opgave 8 c E’(n) = 0,48 – 2anE’(nmax) = 0 geeft
0,48 – 2anmax = 0
–2anmax = –0,48
nmax =0,24
a
Minimale snelheid waarmee K verandert
In het punt B waar de grafiek van K van afnemend stijgend overgaatin toenemend stijgend, is de snelheid waarmee K verandert minimaal.
De bijbehorende q-waarde volgt uit 0d dK
dq dq
16.1
opgave 10 a23 12 15
6 12
0
6 12 0
6 12
2
dNt t
dtd dN
tdt dt
d dN
dt dt
t
t
t
en
geeft
Uit de grafiek hiernaast volgt dat
voor t = 2 maximaal is.Na 2 uur is de snelheid maximaal.
dN dt
opgave 10 b0
dN
dt t
= –3 · 02 + 12 · 0 + 15 = 15
Los op–3t2 + 12t + 15 = 15–3t2 + 12t = 0–3t(t – 4) = 0t = 0 ⋁ t = 4Dus na 4 uur mag een werknemer pauzeren.
Het verband tussen de grafieken van y en
Ligt de grafiek van boven de x-as, dan is y stijgend.
Ligt de grafiek van onder de x-as en is de grafiek van
bovendien afnemend stijgend, dan is de grafiek van y dalend,waarbij de daling minder snel verloopt naarmate x toeneemt.
Hieronder zie je nog een voorbeeld van het verband tussen
de grafieken van en y.
dy dx
dy dx
dy dx
dy dx
dy dx
16.1
opgave 16 a t = 63 geeft N = 97,63
· 290 ≈ 143 miljoen was man.
= 0,000135t2 – 0,2295
Uit de schets hiernaast van volgt:
• de grafiek van ligt eerst onder de t-as,
dus de grafiek van N is eerst dalend
• de grafiek van snijdt dan de t-as en ligt daarna boven de t-as,
dus de grafiek van N gaat van dalend over in stijgend en heeft dus een minimum.
dN dt
dN dt
dN dt
dN dt
97,63 197,63
b
opgave 16 cdN dt = 0 geeft
0,000135t2 – 0,2295 = 00,000135t2 = 0,2295t2 = 1700t ≈ 41,2Uit de schets van de grafiek van N volgt dat N voor t = 41,2 minimaal is.Nmin = 94,5
Het percentage mannen in 1981 is
× 100% ≈ 48,6%.94,5 194,5
Regels voor het differentiëren
f(x) = axn geeftf’(x) = n · axn – 1
g(x) = a · f(x) geeftg’(x) = a · f’(x)
s(x) = f(x) + g(x) geefts’(x) = f’(x) + g’(x) somregel
p(x) = f(x) · g(x) geeftp’(x) = f’(x) · g(x) + f(x) · g’(x) productregel
geeft
quotiëntregel
kettingregel
( )( )
( )
f xq x
g x
2
( ) '( ) ( ) '( )'( )
( ( ))
g x f x f x g xq x
g x
dy dy du
dx du dx
16.2
opgave 19 a y = (x + 3)(2x – 5)2
= [(x + 3)]’· (2x – 5)2 + (x + 3) · [(2x – 5)]’
Apart de afgeleide van y = (2x – 5)2 = u2 met u = 2x – 5.
= ·
= 2u · 2
= 4(2x – 5)
= 1 · (2x – 5)2 + (x + 3) · 4(2x – 5)
= (2x – 5)2 + 4(x + 3)(2x – 5)
dy dx
dy dx
dy dx
dy dx
dy dx
dy dx
dy du
du dx
opgave 24 a
2
( ) 3 2
'( ) ' 3 2 3 2 '
3 2
12
21
3 21
'( ) 1 3 23 2
'( ) 3 23 2
( 3 2 )'( )
3 23 2
'( )3 2
3 3'( )
3 2
f x x x
f x x x x x
y x u
dy dy du
dx du dxdy
dx udy
dx x
f x x xx
xf x x
x
x xf x
xx x
f xx
xf x
x
Apart de afgeleide van
met u = 3 + 2x
opgave 24 b
3 + 3x = 03x = –3x = –1Uit de schets volgt dat f minimaal is voor x = –1f(–1) = –1Dus het minimum van f is –1
k: y = ax + b
met a = f’(3) =
k: y = 4x + byA = f(3) = dus A(3, 9)
Dus k: y = 4x – 3
3 30
3 2
x
x
3 9 124
3 6 9
3 9 9 4 · 3 + b = 9b = –3
c
opgave 29 a P(4,5) ≈ 140,91P(6,5) ≈ 143,33
De procentuele toename is
Uit de schets hiernaast van volgt:
• de grafiek van ligt boven de x-as,
dus de grafiek van P is stijgend.
• de grafiek van is bovendien dalend,
dus de grafiek van P is afnemend stijgend.
dP dx
dP dx
dP dx
dP dx
(6,5) (4,5)100% 1,7%
(4,5)
P P
P
2 2
(1 ) 0 50 1 50
(1 ) (1 )
x
x x
b
opgave 29 c < 0,8 geeft
< 0,8
Voer in y1 = en y2 = 0,8.
De optie intersect geeftx ≈ 6,9
Uit de schets volgt dat
< 0,8 voor
x > 6,9
dP dx
2
50
(1 )x
2
50
(1 )x
dP dx x
dP dx
O
0,8
6,9
opgave 35 a2
2
2 2
2
2
2
2
2
2
( 2) 2 1
( 2)
2 4
( 2)
4
( 2)
40
( 2)
4 0
( 4) 0
0 4
x x x
x
x x x
x
x x
x
x x
x
x x
x x
x x
dy dx
dy dx = 0 geeft
Uit de schets volgt• y is maximaal voor x = 0 en ymax = y(0) = 0
• y is minimaal voor x = 4 en ymin = y(4) = 8.
16.3
opgave 35 b y = ax + b met a =
y = –3x + b
yA = = 9, dus A(3, 9)
Dus y = –3x + 18.
2
23
3 4 33
(3 2)x
dy
dx
23
3 2
–3 · 3 + b = 9–9 + b = 9b =18
16.3
t = 0 geeft V ≈ 54,9Dus de verkoop was ongeveer 55 stuks per maand.
3,9 > 0 dus op t = 0 stijgt de verkoop nog.
dV dt
2
2 2
2 2
2 2
2
2 2
20
( 16 64) 1000 (1000 3000)(2 16)
( 16 64)
1000 16000 64000 2000 16000 6000 48000
( 16 64)
1000 6000 16000
( 16 64)
16000
64t
t t t t
t t
t t t t t
t t
t t
t t
dV
dt
b
a
opgave 38 c
2
2 2
2
2
1000 6000 160000
( 16 64)
1000 6000 16000 0
6 16 0
( 8)( 2) 0
8 2
t t
t t
t t
t t
t t
t t
= 0 geeftdV dt
Uit de schets volgt dat V maximaal is voor t = 2,dus na 2 maanden gaat de omzet dalen.
V(10 000) ≈ 8,10V(50 000) ≈ 8,02V(100 000) ≈ 8,01Dus op den duur is de verkoop 8 stuks per maand.
d
2 2 2
2 2 2
2 2
2
2
2
200
40000
40000
2000
65 40000 50(2000 )
65 40000 50 100000
EP AP EA
EP x
EP x
EP x
FP x
K x x
K x x
In ΔAEP is
Voor de kosten K geldt
opgave 47 b Apart de afgeleide vanmet u = x2 + 40 000.
Uit de schets volgt dat de aanlegkosten minimaal zijn voorx = 241Dus in het geval AP ≈ 241 meter.
265 40000 65y x u
dy dx
dy du
du dx
2
652
265
40000
xu
x
x
= ·
dK dx
2241
65 24150 0
241 40000x
dK
dx
2
6550
40000
x
x