Integrali di campi scalari su una superficie
Flusso di un campo vettoriale
Una superficie S ⊆R3 è data da una funzione continuaϕ : T →R3, dove T ⊆R2 ha interno connesso e
ϕ(u,v) = x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k .
La funzione ϕ è detta parametrizzazione di S.
La superficie è detta regolare se ϕ è di classe C1 e i vettori
ϕu = xu(u,v)i+yu(u,v)j+zu(u,v)k ,
ϕv = xv(u,v)i+yv(u,v)j+zv(u,v)k
sono linearmente indipendenti (non sono paralleli), cioè ilprodotto vettoriale ϕu ×ϕv /= 0, per ogni (u,v) interno a T .
ϕu ×ϕv = det
i j kxu yu zuxv yv zv
.
Sia S =ϕ(T) una superficie regolare parametrizzata daϕ : T →R3 e sia g(x,y,z) : S →R un campo scalare (su S) diclasse C1.
Allora definiamo l’integrale di superficieÏS
g(x,y,z)dS =Ï
Tg(x(u,v),y(u,v),z(u,v)
)|ϕu ×ϕv|dudv .
Se S è in forma cartesiana z = f (x,y), alloraÏS
g(x,y,z)dS =Ï
Tg(x,y, f (x,y)
)√1+ f 2
x + f 2y dx dy .
Ponendo g ≡ 1, si hanno le formule per il calcolo dell’area:
Area(S) =Ï
T|ϕu ×ϕv|dudv forma generale ,
Area(S) =Ï
T
√1+ f 2
x + f 2y dx dy forma cartesiana .
Esercizio 1Calcola l’area A della superficie sferica di raggio R > 0.
Esercizio 2Calcola l’area A della porzione di paraboloide
z = 1
2x2 + 1
2y2 , con (x,y) ∈ T = {
(x,y) ∈R2 : x2 +y2 < 8}
.
Esercizio 3Calcola I =
ÏS
x2 dS , dove S è la superficie di equazione
parametrica
r(u,v) = 3cosu i1 +3sinu i2 +v i3 , u ∈ [0,2π], v ∈ [1,5] .
Esercizio 4Calcola I =
ÏS
(2x+ 4
3y+z
)dS , dove S è la porzione di
superficie del pianox
2+ y
3+ z
4= 1
contenuta nel primo ottante
O1 ={(x,y,z) ∈R3 : x Ê 0, y Ê 0, z Ê 0
}.
Esercizio 5Data la superficie cartesiana
S : z = f (x,y) = 2x2 +y2
con (x,y) ∈ T = {(x,y) ∈R2 : x2 É y É |x|} ,
calcolaI =
ÏS
(z−y2)(1+16x2 +16y2)−1/2
dS .
Suggerimenti: da x2 É y É |x|, ricaviamo x2 É |x|, cioè−1 É x É 1. Inoltre, la funzione integranda risulta pari in x, e siottiene
I =Ï
T2x2 dx dy = 2
ÏT+
2x2 dx dy ,
dove T+ è dato da 0 É x É 1, x2 É y É x.
Esercizio 6Data la semisfera S di centro (0,0,0) e raggio 4 contenuta nelsemispazio
{(x,y,z) ∈R3 : z É 0} ,
calcolaI =
ÏS
(x2 +y2 +z2)1/2 dS .
Integrali di campi scalari su una superficie
Flusso di un campo vettoriale
Data una superficie regolare S con versore normale n, il flussodi un campo vettoriale continuo F : S →R3 attraverso S (nelverso di n) è definito da
ΦF (S) =Ï
SF ·n dS .
Se S è parametrizzata da ϕ : T →R3, il versore normale è datoda
n =± ϕu ×ϕv
|ϕu ×ϕv|(il segno dipende dal verso scelto). Dunque
ΦF (S) =±Ï
TF
(ϕ(u,v)
) · ϕu ×ϕv
|ϕu ×ϕv||ϕu ×ϕv|dudv
=±Ï
TF
(ϕ(u,v)
) · (ϕu ×ϕv)dudv .
Esercizio 7Calcola il flusso del campo F(x,y,z) = xyi1 +xyi2 +zi3 , versol’alto, attraverso la superficie
S :
{z = 1−x2 −y2 ,
z Ê 0.
Esercizio 8Calcola il flusso di
F(x,y,z) = 2x
x2 +y2i+ 3y
x2 +y2j+k
attraverso la superficie S di equazioner(u,v) = ucosv i+usinv j+u2 k, con 0 É u É 1
2 e 0 É v É 2π, eorientata in modo che il versore normale punti verso il basso.
Teorema del rotore (di Stokes). Sia S una superficie regolaresemplice (cioè con parametrizzazione iniettiva) e sia F uncampo vettoriale C1 in un aperto contenente S. AlloraÏ
SrotF ·n dS =
∫∂+S
F ·dr ,
cioè il flusso del rotore attraverso S coincide con lacircuitazione di F lungo il bordo di S.Nota. ∂+S è il bordo di S orientato in modo che, percorrendolo,n rimanga a sinistra.
Esercizio 9Calcola il flusso del rotore del campo F(x,y,z) = y i1 +z i2 +x i3 ,verso l’alto, attraverso la superficie
S :
{z = 1−x2 −y2 ,
z Ê 0.
Esercizio 10Verifica, usando la definizione, che il flusso del campo
F(x,y,z) =− y
x2 +y2i+ x
x2 +y2j+2z k
verso l’esterno della superficie
S = {z =−x2 −y2, −1 É z É 0}
è nullo.
Verifica inoltre che l’integrale curvilineo di F lungo il bordo,opportunamente orientato, vale 2π.
Spiega perché non vale il teorema di Stokes.
Teorema della divergenza (di Gauss). Sia D⊆R3 un dominiosolido limitato, con bordo ∂+D formato dall’unione di unnumero finito di superfici chiuse, regolari e orientabili, e conversore normale esterno n.Sia F un campo vettoriale C1 su D. AlloraÑ
DdivF dx dy dz =
Ï∂+D
F ·n dS ,
cioè l’integrale triplo in D della divergenza di F coincide con ilflusso di F uscente dalla superficie che delimita D.
Ricordiamo che la divergenza di un campo vettorialeF = F1i+F2j+F3k è
divF =∇·F = ∂xF1 +∂yF2 +∂zF3 .
Esercizio 11Calcola il flusso del campo F(x,y,z) = y i+x j+z k attraverso lasuperficie data dal bordo della regione
T = {x2 +y2 É z É 1}
con normale rivolta verso l’esterno.