Dahn 2009
Offener Unterricht und LehrerausbildungStD Hürter
Fachleiter MathematikStudienseminar für das Lehramt an
Gymnasien Kaiserslautern
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Offener Unterricht :Möglichkeiten
und Schwierigkeiten(in einer Lehrprobe
und im Alltag)
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7 Offener Unterricht
Merkmale offenen Unterrichts: Organisatorisch
Schüler bestimmen Zeit, Raum und Partner der Bearbeitung mit
Ermöglichung von Einzel-, Partner-, und Gruppenarbeit
Methodisch Schüler bestimmen Medien und Methoden der
Bearbeitung mit Methodenvielfalt Betonung von experimentellem, entdeckendem,
kreativen Lernen Inhaltlich
Schüler bestimmen Thema und Gegenstand der Bearbeitung mit
Reihenfolge der Bearbeitung ist nicht fest Sozial und Persönlich
Schüler bestimmen Regeln der Bearbeitung und Werte mit
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Der Lehrer bestimmt Thema, Lernort, Lernzeit, Methoden, …
http://bidok.uibk.ac.at/library/raidel-analyse-dipl.html
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Schüler bestimmen Thema und Partner
Schüler bestimmen Lernort und Medien
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10 Offener Unterricht im Alltag und in Lehrproben
Ziel:
Statt eines Plädoyers für offene Formenwill ich am Beispiel einer Unterrichtsstunde
die ich vor kurzem in als Lehrprobe gesehen habeauf viele kleine Gelegenheiten
einer Unterrichtsgestaltung zur Diskussion stellen, die sich unter dem Oberbegriff Öffnung subsumieren
lassen.
HH
11 Mögliche Themen heute
Eine Lehrprobenstunde:Es wird die Planung von Lehrprobenstunden an einem
Beispiel aufgezeigt, um Alternativen zur vorhandenen Planung unter dem Aspekt der Öffnung zu reflektieren und zu diskutieren.
Variation nach Schupp:Die Methode „Aufgabenvariation im Mathematikunterricht“
wird an einem Beispiel erläutert und diskutiert.
Computereinsatz:Nach Wahl können einige Dateien (Dynageo,
Tabellenkalkulation, Präsentationssoftware, …) präsentiert und diskutiert werden.
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12 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11 (LK)
Lehrprobenstunde:Einstiegsfolie
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13 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Verlaufsplan
Hinweise auf „Öffnungsmöglichkeiten“
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14 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Lehrprobenstunde: Arbeitsauftrag auf dem Arbeitsblatt
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15 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Lehrprobenstunde: Hilfen
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16 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
Alternativen zur Problemauswahl
Vorstellen verschiedener Probleme (eventuell schon in der vorangegangenen Stunde)Auswahl des zu bearbeitenden Problems durch die Schüler (nach Neigung) oder durch den Lehrer
Die oben vorgestellte Methode findet je nach Schulbuch mehr oder weniger Unterstützung. Cornelsen blaue Reihe verwendet „Aufträge“ (folgende Folie).
Andere Präsentation und Bearbeitung des gegebenen Problems wird im folgenden auch genauer untersucht.
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17 Extremwertaufgaben: „Aufträge“
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18 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
Problemgrund:Im Unterricht wurde zu der abgebildeten Situation eine Geschichte vorgelesen.
„Ich erzähle euch mal eine Geschichte. …“
„Schaut mal. Wer erfindet eine Geschichte zu der Abbildung.“
Alternativen:
--- Stiller Impuls ---
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19 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
Problemfindung und Problemerkenntnis:Im Unterricht wurde nach kurzem Warten der kürzeste Weg als Lösung vorgeschlagen. Der Lehrer lies ihn einzeichnen und fragte: Warum ist das der kürzeste Weg? Danach wurde kurz über die vorliegenden Geschwindigkeiten diskutiert. Die Schüler vermuteten an Land 4m/s bis 8m/s. Der Lehrer teilte mit: „Die gehen von 10m/s und 2m/s aus.“
Diskussion über mögliche Wege ohne Kommentar weiter laufen lassen.
Geschwindigkeiten nach Wahl der Schüler übernehmen. Dies ermöglicht eher eine anschließende Diskussion und Variation.
Alternativen:
Computereinsatz: Recherchieren von Geschwindigkeiten (falls nötig)
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20 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
Überlegungen zur Problemlösung:
Wird die Gradlinigkeit der Bewegung problematisiert?
Alternativen und Fragen:
Wird die Konstanz der Geschwindigkeit problematisiert?
Soll man Beispiele rechnen lassen für die Schülervorschläge: Direkter Weg, Abbiegen nach 25m, Abbiegen nach 50m („schlechter Schwimmer bleibt so lange wie möglich an Land“).
Wird eine Koordinatensystem zu Grunde gelegt?
Wird die Geschwindigkeit in km/h umgerechnet?
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21 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
C
F
Durchführung der Problemlösung:
Alternativen und Fragen:
Wird ein Lösungsschema verwendet/vorgegeben?
Soll das Arbeitsblatt eine Skizze enthalten?
Werden C und die Verbindungsstrecke vorgegeben?
Kann C auch links von A oder rechts vom Lotfußpunkt F liegen?
Wird die Variable x für AC oder für CF eingeführt?
Differenzierung: Welche Hilfen werden auf welche Art gegeben?
Differenzierung: Welche Hilfen werden auf welche Art gegeben?
Frontalunterricht, Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit?
Ist Computereinsatz möglich? Kurzer Blick auf Geogebra?
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22 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
C
F
Größe, die extremal werden soll:
Zeit beim Zurücklegen von AC+CB
Term für die zu optimierende Größe:
Aufstellen von Nebenbedingungen:
AC CBt t t
2 2AC AC CB CB
2 2
AC CB
ss v t t
v
AC x s , v 10, s 40 (50 x) , v 2
40 (50 x)xt , t
10 2
2 2AC AC CB CB
2 2
AC CB
ss v t t
v
CF x s 50 x, v 10, s 40 x , v 2
50 x 40 xt , t
10 2
Öffnen würde bedeuten, beide Alternativen zuzulassen.
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23 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
C
F
Aufstellen einer Funktion für die zu optimierende Größe:
2 22 2
AC CB
50 x 40 x 1t(x) t t (50 x 5 40 x )
10 2 10
Berechnen von Beispielenmit oder ohne Computer.
x t(x)-5 25,660 25,005 24,66
10 24,6215 24,8620 25,3625 26,0830 27,0035 28,0840 29,2845 30,6050 32,0255 33,50
0,00
10,00
20,00
30,00
40,00
-50 0 50 100
Alternativ:
HH
24 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
C
FNotation der Definitionsmenge der Zielfunktion unter Beachtung der Randbedingungen des Problems
2 22 2
AC CB
50 x 40 x 1t(x) t t (50 x 5 40 x )
10 2 10
ffD ? D 0;50 ?
Alternativen und Fragen:
HH
25 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
C
F
Durchführung der Problemlösung:
Alternativen und Fragen:
Wird ein Lösungsschema verwendet/vorgegeben?
Soll das Arbeitsblatt eine Skizze enthalten?
Werden C und die Verbindungsstrecke vorgegeben?
Kann C auch links von A oder rechts vom Lotfußpunkt F liegen?
Wird die Variable x für AC oder für CF eingeführt?
Differenzierung: Welche Hilfen werden auf welche Art gegeben?
Differenzierung: Welche Hilfen werden auf welche Art gegeben?
Frontalunterricht, Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit?
Ist Computereinsatz möglich? Kurzer Blick auf Geogebra?
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26 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
C
FUntersuchung der Zielfunktion auf lokale Extremstellen: Notwendige Bedingung
2 2
2 2
2
2
2 2 2 2
1t(x) (50 x 5 40 x )
101 1 1 5x
t (x) ( 1 5 2x) ( 1)10 102 1600 x 1600 x
1 5xt (x) 0 ( 1) 0 5x 1600 x
10 1600 x200
25x 1600 x 24x 1600 x3
200 200x oder x
3 3x 8,16 oder x 8,16
Probe in der Ausgangsgleichung zeigt, dass -8,16 keine Lösung ist (man braucht dazu keinen Vergleich mit der Definitionsmenge).
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27 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
C
F
Berechnung der 2. Ableitung …
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1 5xt (x) ( 1)
10 1600 x1
t '(0) 0101 250
t '(50) ( 1) 010 1600 2500
Alternativen und Fragen:
Berechnung von t‘(x+h) und t‘(x-h) für kleine h (Vorzeichenwechsel)
Argumentieren: t‘(0) ist negativ, t‘(50) positiv. t‘ hat also einen Vorzeichenwechsel in [0;50]. Da t‘ in [0;50] nur eine Nullstelle hat, muss dieser Vorzeichenwechsel bei dieser Nullstelle vorliegen.
Untersuchung der Zielfunktion auf lokale Extremstellen: Hinreichende Bedingung
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28 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
C
FUntersuchung der Zielfunktion am Rand
Für D=[0;50] erhält man t(0)=25 und t(50)32 (s.u.),für D=R muss man das Verhalten von f(x) für x gegen + und - betrachten. Der „Grenzwert“ ist jeweils +.
Alternativen je nach Rand
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29 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
C
FUntersuchung der Zielfunktion auf lokale Extremstellen: Ergebnis
Die Funktion hat eine lokale Extremstelle bei x8,16.Es handelt sich um einen Tiefpunkt.Das Minimum ist t(8,16) 24,6
2 2
2
1t(x) (50 x 5 40 x )
10
200 1 200 200t( ) (50 5 40 )
3 10 3 3
1 200 5000 1 10 50(50 5 ) (50 6 5 6)
10 3 3 10 3 31
(50 80 6) 5 8 6 24,610
1t(0) (50 5 40) 25
101
t(50) 5 4100 3210
Man macht keinen großen Fehler, wenn man bis F läuft und dann erst ins Wasser geht.
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30 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
Sicherung: Präsentation der Ergebnisse, Reflexion der Lösungen
Alternativen und Fragen:
Wie viele Schüler präsentieren?
Wie viele verschiedene Präsentationen werden durchgeführt?
Wer moderiert die Präsentation?
Wann unterbricht der Lehrer die Präsentation (wenn überhaupt)?
Wie wird bei Fehlern reagiert?
Welche Möglichkeiten der Vertiefung bieten sich (im Zusammenhang mit der Präsentation)?
Welche Möglichkeiten der Vertiefung werden genutzt?
Wie werden die präsentierenden Schüler ausgewählt?
HH
31 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
Möglichkeiten zur Vertiefung:
Alternativen :
Geringfügig ändern: Variation der Geschwindigkeitsparameter Ersetzen von Bedingungen: Statt Minimum wird Maximum gesucht …Verallgemeinern:
Lösung mit Geschwindigkeiten vL=u und vW=wA vom Ufer wegbewegen
Spezialisieren (Hinzufügen von Bedingungen): vL=vW, vL=2vW …Grenzfälle betrachten: vL=vW …Vergleichen: Vergleich von Lösungswegen mit x und 50-xUmorientieren/Ziel ändern:
Möglichst wenig nass werdenGibt es u und v, so dass kein Minimum existiert?
Kontext ändern: Lichtstrahl in zwei Medien… (Schupp nennt insgesamt 24 Möglichkeiten; Hans Schupp: Thema mit Variationen, franzbecker Verlag 2002)
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32 Beispiel: Extremwertaufgabe Klasse 11
Wo gibt es Möglichkeiten der Öffnung?
Erhält jeder Schüler alle Hilfen sofort oder bei Bedarf?
Welche Hilfen sind wirklich notwendig?
Wo werden die Hilfen ausgelegt?
Inhaltlich könnte man die Hilfen reduzieren (keine Nummern, nur Formeln, …)
Statt Hilfen könnte man auch Lösungskontrollen zur Verfügung stellen.
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Teil 2Aufgabenvariation
im Mathematikunterricht
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34 Variationen nach Schupp
Vorgehensweise im Unterricht
Vorgabe der Einstiegsaufgabe, z.B. auf einem Arbeitsblatt
Schüler bearbeiten und lösen diese Aufgabe in Einzel- oder Partnerarbeit, möglicherweise auf verschiedene Art.
Besprechung der Lösungen der ersten Aufgabe, z.B. an der Tafel, möglicherweise alternative Lösungswege
Schüler werden zum Variieren der Einstiegsaufgabe aufgefordert (eventuell kennen sie dazu schon Regeln) und erfinden veränderte Aufgaben in Einzel- oder Partnerarbeit
Die Vorschläge der Schüler werden (z.B. mit Hilfe der Tafel) aufgegriffen, bewertet, strukturiert, geordnet und ausgewählt (z.B. im Unterrichtsgespräch).
Gemeinsam ausgewählte Aufgabenvorschläge werden gelöst.
Die Lösungen der variierten Aufgaben werden vorgestellt.
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35 Beispiel: Auftrag
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36 Beispiel: Ergebnisse
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37 Beispiel: Ergebnisse
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38 Beispiel: Ergebnisse
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39 Beispiel: Ergebnisse
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40 Beispiel: Ergebnisse
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41 Beispiel: Ergebnisse
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42 Beispiel: Ergebnisse
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Bei Interesse:Computereinsatz
zum EntdeckendenLernen:
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Sechs kleine Dateien zum Thema Winkelsumme im Dreieck, als Versuch entdeckenden Lernens
Dazu passend: Arbeitsblätter zu Winkeln in Klasse 7
Weniger offen, bei den Schülern aber extrem beliebt: Kleine Powerpointpräsentationen
Dazu passend: Arbeitsblätter zur Multiplikation von Brüchen: Teilweise offen
Zu guter Letzt: Doch noch ein Lernzirkel (Lernzirkel zur Addition von Brüchen)