Download - Cursuri- Fiabilitate si risc industrial
Fiabilitate, performabilitateşi risc industrial
1
Bibliografie:
1. D. Ivas, Fl. Munteanu “Fiabilitate, mentenanţă, disponibilitate şi performabilitate”. Ed. Prisma, Rm. Vâlcea, 2000, 422 pag. ISBN 973-99186-5-4.
2. Fl. Munteanu, D. Ivas, C. Nemeş “Ingineria disponibilităţii subsistemelor de distribuţie a energiei electrice”. Ed. Spectrum, Iaşi, 1999, 254 pag. ISBN 973-98335-3-5.
3. Fl. Munteanu “Fiabilitate, performabilitate şi risc industrial”. Note de curs.
4. IEEE Transactions on Reliability. ISSN 0018-9529.
2
1. Relaţia CALITATE - FIABILITATE
2. Noţiunea de FIABILITATE / RELIABILITY / FIABILITÉ
3. Relaţia FIABILITATE – PERFORMABILITATE
4. Noţiunea de MENTENANŢĂ (mentenanţa preventivă planificată, mentenanţa preventivă oportună)
5. Relaţia DISPONIBILITATE – FIABILITATE – MENTENANŢĂ în general
6. Aspecte particulare în energetică (adcvabilitate, securitate statică şi securitate dinamică)
7. Noţiunea de RISC (probabilitate + efect)
3
FIABILITATE
ADECVABILITATE SECURITATE
STATICĂ DINAMICĂ
4
Componentele fiabilităţii în electroenergetică
DISPONIBILITATE
FIABILITATE MENTENANŢĂ
Noţiunea de disponibilitate
Fiabilitatea este• Probabilitatea aspectul cantitativ
• Proprietatea (capacitatea, însuşirea) aspectul calitativ
ca părţile, componentele, produsele sau sistemele să-şi îndeplinească funcţiile pentru care au fost proiectate fără a se defecta, în condiţii specificate, pentru o anumită perioadă de timp şi cu un nivel de încredere dat.
• Ingineria fiabilităţii oferă metodele teoretice şi tehnicile practice conform cărora probabilitatea şi capacitatea părţilor, componentelor, echipamentelor, produselor şi sistemelor de a-şi îndeplini funcţiile pentru care au fost proiectate şi realizate, pe durate prestabilite de timp, în condiţii precizate şi cu nivele cunoscute de încredere pot fi specificate, anticipate, proiectate, testate, demonstrate inclusiv în condiţiile în care au fost depozitate, ambalate, transportate apoi instalate, puse în funcţiune, monitorizate iar informaţiile transmise către toţi cei implicaţi şi interesaţi.
5
Fiabilitatea are ca obiect:• studiul defecţiunilor (cauze, procese de apariţie şi dezvoltare, metode
de combatere); SIEMENS
• aprecierea cantitativă a comportării produselor în timp, ca funcţie de factorii de influenţare interni şi externi;
• stabilirea metodelor şi modelelor de calcul şi de prognoză a fiabilităţii, pe baza încercărilor specifice şi a urmăririi comportării în exploatare a produselor;
• stabilirea metodelor constructive tehnologice şi de exploatare pentru menţinerea şi creşterea fiabilităţii sistemelor, dispozitivelor şielementelor componente;
• stabilirea metodelor de selectare şi prelucrare a datelor privind fiabilitatea produselor;
• determinarea valorilor optime pentru indicatorii de fiabilitate.
6
Fiabilitatea se poate defini în mai multe moduri:• Fiabilitatea estimată rezultată din exploatarea experimentală
controlată şi din încercările de laborator:
- de anduranţă (cu stress nominal);
- accelerate (cu stress crescut);
- la distrugere.
• Fiabilitatea operaţională este rezultatul obţinut din exploatarea experimentală controlată (statistici de exploatare).
• Fiabilitatea preliminată, pentru sisteme, rezultată din calcule pe baza fiabilităţii elementelor şi a structurii sistemului. Mai poate fi numită fiabilitatea structurală a sistemelor.
• Fiabilitatea extrapolată, rezultată din calcule de extrapolare din încercări de laborator accelerate (cu stress sporit). Necesită rezultatele încercării accelerate şi legea de dependenţă dintre fiabilitate şi stress.
7
Obiectele teoriei fiabilităţii :
• Produsul - este rezultatul material al producţiei destinat rezolvării unei anumite probleme practice.
• Dispozitivul - reprezintă o construcţie finită ce înglobează alte produse de forma: piesă, mecanism, bloc, aparat.
• Sistemul - este ansamblul de elemente care funcţionează în comun pentru realizarea în mod independent a unei funcţiuni(monofuncţional) sau a mai multor funcţiuni (multifuncţional).
• Elementul - este o anumită parte din sistem capabilă să îndeplinească o anumită funcţiune în cadrul sistemului. De obicei se consideră că elementul nu este destinat să îndeplinească funcţiuni în afara sistemului.
Principial, sistemul se poate diviza în mai multe elemente.Noţiunile de element şi sistem sunt relative.
8
9
Sistem energetic
N4
Tranfsormator
N1
Linii
N1
Transport
N2
Producere şi transport
N3
GRUP
N1
GRUP
N1
GRUP
N1
Centrală
N2
Transformator
N1
Linii
N1
Distribuţie
N2
Nivele de analiză a fiabilităţii
sistemelor energetice
10
Clasificarea elementelor şi sistemelor din punct de vedere al fiabilităţii:
după numărul de stări (elemente şi sistem);
după reparabilitate (elemente);
după dependenţă (sisteme);
după structură (sisteme);
după gradul de redondanţă (sisteme);
după durata misiunii (elemente şi sistem);
Continuă
Durata
misiunii
Dependente
Dependenţă
reciprocă
Intermitentă
Independente
Reparabile
Reparabilitate
Nedecompozabil
(buclate)
Nereparabile
Număr de
stări
De deservire
De producţie
Parametrice
Multivalente
Bivalente
(informaţionale)
La cerere
Ciclică
Paralel
Serie
Structură
Cu elem.
nerezervate
Complexe
Dec.serie Dec.paralel Dec.mixt
Decompozabil
Rezervabilitate
Majoritară
Cu elem.
rezervate
Cu rez. individuală
Cu rez. comună
Activă
Alunecătoare
Pasivă
(stand-by) Structural
Dimensional
Mono
parametrice
Multi
parametrice
Semiactivă
11
Clasificarea
elementelor şi
sistemelor din punct de
vedere al fiabilităţii
12
Clasificarea după structura externă:
bipolar (biterminal) simplu:
intrare ieşire
bipolar, multiplu (o intrare)
intrare
ieşire
ieşire
ieşire
ieşire
Vector
bipolar, multiplu (1 ieşire)
ieşire
intrare
intrare
intrare
intrare
Vector
multipolar
intrare
intrare
intrare
intrare
ieşire
ieşire
ieşire
ieşire
13
Clasificarea după structura internă:
1 2 3 i n
Structură serie
1
2
3
i
n
Structură de tip paralel
m.n m
1.1 1.2 1.i 1.n 1
2.1 2.2
j.1 j.2 i.j
m.i
2.i 2.n 2
j.n j
m.2m.1
I Ie
Structură simplu decompozabilă paralel
(cale minimala, drum minimal, tie set)
m.n m
1.1 2.1 j.1 m.1
1.2 2.2
1.i 2.i j.i
j.n j
j.2 m.2
m.i
2.n 21.n 1
I Ie
Structură simplu decompozabilă serie
(secţionări minimale, întreruperi minimale,
grupuri de defectare, cut set)
14
a)exemplu de sistem nedecompozabil;
b) sistem echivalent simplu decompozabil paralel;
c) sistem decompozabil serie
A B
C D
E
I E
3
4 D
A
B E
C E
C D
B A
I E
D
A
C
B
D
E
B
I E
C
E
A
a) b)
c)
15
7 2
6 1
4
8 3
5
I Ie
a)
6
2 7
1
8 3
4 1 7
4 2 6
5 2 8
5 3 7
5 8 1 4
4 6 3 5
I Ie
b)
6
2 7
1
83
11 2
24 3
57 4
88 6
4 4
2 7
3
5
6
7
5 5
8 3
6 1
I Ie
c)
Sistem nedecompozabil complex (a), căile (b) şi secţionările (c) sale minimale
16
pasivă
semiactivă
activă
activă
pasivă
Tipuri de rezervare
Forme de exprimare a structurii
Structura, din punct de vedere al fiabilităţii şi definită ca relaţia dintre fiabilitatea elementelor şi a sistemului, poate fi exprimată prin diverse forme din care vom evidenţia în continuare:
Pentru sisteme binare formate din elemente binare:• schema bloc;• funcţia de structură;• tabelul Karnaugh;• funcţia de fiabilitate.
Pentru sisteme binare sau multivalente formate din elemente binare saumultivalente:• tabelul de adevăr;• graful stărilor.
Fiecare dintre aceste forme de exprimare este adecvată pentru un anume scop.
17
18
19
20
Indicatori de fiabilitate pentru elemente şi sisteme
În general, indicatorii de fiabilitate reprezintă măsura fiabilităţii evidenţiind aspecte particulare sau globale ale acesteia. Există, pentru fiecare categorie de sisteme, indicatori reprezentativi unii dintre ei fiind consideraţi pentru diferite scopuri:
• proiectare;• aprecierea strategiilor de exploatare;• relaţii contractuale, etc.
În continuare se vor evidenţia indicatori de fiabilitate pentru:
• elementul simplu binar nereparabil;• elementul simplu binar reparabil;• sisteme multivalente bipolare;• sisteme multivalente de deservire (la care se va considera simultan performanţa
sistemului şi cererea de la ieşirea din sistem).
21
22
Indicatorii de fiabilitate pentru elementul binar simplu nereparabil
Fiabilitatea elementului nereparabil este caracterizată de variabila aleatoare “timp de funcţionare
neîntreruptă până la prima defectare” (Tf), variabilă care poate fi cunoscută prin funcţia de repartiţie:
şi prin funcţia de distribuţie sau densitatea de probabilitate a timpului de funcţionare:
Timpul de funcţionare pentru elemente nereparabile
t
t
t
t
t
Tf1
Tf2
Tf3
Tf4
Tf5
1
2
.
.
n
tTPtF f
t
ttTtP
dt
dttTtPtf
f
t
f
0lim
23
Indicatorii folosiţi pentru caracterizarea fiabilităţii elementului simplu nereparabil sunt de fapt
indicatorii pentru capacitatea de a se defecta a elementelor:
1. Probabilitatea ca elementul să funcţioneze neîntrerupt cel puţin până la momentul t numită şi funcţie de
siguranţă sau probabilitate de supravieţuire notată cu P(t) şi definită astfel:
tTPtP f
2. Probabilitatea ca elementul să se defecteze până la momentul t şi care este, de fapt,
funcţia de repartiţie a lui Tf:
tFtTPtQ f
3. Intensitatea sau rata de defectare sau de avarie ca funcţie de timp (t) definită ca probabilitatea
condiţionată de defectare în intervalul (t, t+dt) cu condiţia ca elementul să fi funcţionat neîntrerupt în
intervalul (0, t), care este funcţia hazard a variabilei aleatoare (Tf):
tTdttTtPdtt ff )(
)(
1 tP
dt
tdP
tF
tft
24
Variabila aleatoare "timp de funcţionare" mai poate fi caracterizată parţial şi prin:
1. Media timpului de funcţionare neîntreruptă (M[Tf]) care este momentul de ordinul 1 a variabilei aleatoare
timp de funcţionare:
dttftTM ff
0
][
2. Dispersia timpului de funcţionare este momentul centrat de ordinul doi al abaterii faţă de medie. Se
exprimă cu relaţia:
dttfmtD )()(0
2
3. Abaterea medie pătratică a timpului de funcţionare :
D
25
Indicatori de fiabilitate pentru elementul binar simplu reparabil
t
Tf1
Tr1
Tf2
Tr2
Tfn
TrnTri
Trf
T
Variabilele aleatoare care descriu, sub forma cea mai generală, această succesiune sunt:
- durata de funcţionare neîntreruptă M[Tf];
- durata de defectare (refuz) neîntreruptă M[Tr]
cu ajutorul cărora se definesc:
- intensitatea de defectare:
- intensitatea de reparare:
Ipoteza, acceptată în energetică şi nu numai, este legată de exponenţialitatea distribuţiei celor două variabile
aleatoare:
t
f etf )( t
r etf )(
][
1
fTM
][
1
rTM
26
Indicatori de fiabilitate pentru elementul binar simplu reparabil
t
tttPth r
tr
,lim
0
densitatea defectărilor, definită similar:
t
tttPth d
td
,lim
0
coeficientul de disponibilitate:
][][
][
fr
f
TMTM
TMA
rata repunerilor în funcţiune (restabilirilor)
t
tTttTtPtr rr
t
)/(lim)(
0
Timpul de funcţionare neîntreruptă poate fi caracterizat prin aceeaşi indicatori ca şi cei de la elementul
simplu nereparabil. În plus, pentru elementele nereparabile se mai introduc următorii indicatori:
densitatea restabilirilor ca limita raportului dintre probabilităţi a uneia sau mai ultor intrări în funcţiune în
intervalul (t,t+t) şi mărimea intervalului, când t0:
27
Metode de calcul a indicatorilor de fiabilitate şi performabilitate
1. Metode bazate pe funcţia de structură (pentru elemente şi sisteme bivalente)
2. Metode bazate pe spaţiul stărilor:
- metode combinaţionale (consideră numai spaţiul stărilor)
- metode bazate pe procese Markov (consideră spaţiul stărilor şi al timpului)
Metodele combinaţionale pornesc de la faptul că spaţiul stărilor unui sistem are un caracter discret iar
fiecare stare a acestuia reprezintă o combinaţie a stărilor elementelor sale.
Sistematizarea stărilor sistemului în funcţie de stările elementelor sale se face exprimând structura
sistemului sub forma tabelului de adevăr.
Există două metode de tip combinaţional:
- metoda binomială
- metoda polinomială
28
Metoda binomială pentru calculul indicatorilor de
fiabilitate şi performabilitate
(Giuseppe Calabrese, 1947)
Se aplică în cazul sistemelor (cu elemente identice sau neidentice):
1. Binare, cu elemente binare
2. Multivalente, cu elemente binare exemple ?
3. Multivalente, cu elemente multivalente
Nota : metodele bazate pe funcţia de structură se aplică numai în cazul 1.
DATE DE INTRARE RELAŢII DE CALCUL MĂRIMI DE IEŞIRE
-sistemul tehnic;
-funcţia scop;
-numărul elementelor (n);
-MSEF (tabelul de adevăr);
-probabilităţile de funcţionare
(pi);
-probabilităţile de defectare
(qi).
n
ssn 2
mnmm
n
m
n qpCp
29
Metoda binomială pentru calculul indicatorilor de
fiabilitate şi performabilitate
)!(!
!
mnm
nCm
n
n
m
mnmm
n qpCXxp0
)(
B) Sistem cu elemente neidentice
A) Sistem cu elemente identice
n
i
ii qp1
1)(
Ps - probabilitatea de succes a
sistemului;Qs - probabilitatea de insucces (de
refuz) a sistemului;
M[α(t)] = PsT– durata totală de
succes a sistemului într-un
interval de referinţă T;
M[β(t)] =QsT– durata totală de
insucces a sistemului într-un
interval de referinţă T;
Funcţia de repartiţie a mărimii de
ieşire p(x ≤ X)
30
Metoda binomială pentru calculul indicatorilor de
fiabilitate şi performabilitate
Etapele aplicării metodei:
1. Cunoaşterea sistemului tehnic şi a funcţiei sale
2. Întocmirea MSEF
3. Întocmirea tabelului de adevăr
4. Calculul probabilităţii fiecărei stări folosind teorema produsului de probabilităţi:
Probabilitatea producerii simultane a două sau mai multor evenimente independente este egală
cu produsul probabilităţilor cu care se realizează fiecare dintre evenimente
5. Gruparea stărilor (sisteme bivalente sau multivalente)
6. Calculul probabilităţii fiecărei grupe de stări folosind teorema sumei de probabilităţi:
Probabilitatea producerii oricăruia dintre două sau mai multe evenimente incompatibile este egală
cu suma probabilităţilor cu care se realizează fiecare dintre evenimente
7. Calculul indicatorilor de fiabilitate
Care indicatori de fiabilitate nu se pot calcula cu metoda binomială?
Moga Corina
)},0(;,1;)({ TtNiitx
31
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
Un proces aleator este o familie de variabile aleatoare
unde: x(t) - starea procesului la momentul t;
i - mulţimea stărilor posibile ale procesului;
(0,T) – durata de analiză (timpul de referinţă).
1. Un proces aleator este un proces Markov de gradul k dacă starea lui la un moment t
depinde numai de ultimile k stări.
2. În domeniul fiabilităţii în energetică, cel mai frecvent se folosesc procesele Markov de
gradul I. Astfel de procese se numesc “fără istorie” deoarece toată evoluţia lor din trecut este
concentrată în ultima stare.
3. Dacă mulţimea stărilor procesului este discretă, procesul se numeşte lanţ (lanţ Markov).
})()({})({ jsxitxPitxP
32
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
4. Dependenţa faţă de starea anterioară este definită de proprietatea lui Markov:
unde x(s) este starea imediat anterioară.
5. Spre deosebire de metoda binomială, la care stările erau total independente, la procesele de tip
Markov stările nu mai sunt independente. → Se pot modela un număr mare de tipuri de procese.
6. Un proces Markov este caracterizat de:
a) matricea probabilităţilor de stare [pi(t)], unde pi(t) este probabilitatea ca procesul să se afle în
starea i la momentul t;
b) matricea probabilităţilor de tranziţie între stări [pij(t,s)] unde este probabilitatea ca procesul aflat
în starea j la momentul s să fie în starea i la momentul t;
7. Procesul Markov la care tranziţiile se pot produce în orice moment de timp se numeşte proces
Markov cu timp continuu.
tq
iiijeptp
][)]0([)]([
)0(ip
33
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
8. Un proces de tip Markov cu timp continuu, omogen, este determinat de ecuaţia matricială
şi de condiţiile iniţiale , unde este matricea intensităţilor de tranziţie, notată cu )]0([ '
ijp ][ ijq
Soluţia ecuaţiei matriciale (*) este
(*))]([)]0([)]([ '' tpptp iiji
Pentru perioade mai lungi de timp procesul devine staţionar iar probabilităţile absolute de stare tind
către valori constante, independente de timp. Ecuaţia (*) devine:
]0[][][ iij pq
Pentru a evita soluţia banală, se mai adaugă condiţia care reprezintă probabilitatea
evenimentului sigur.
n
i
ip1
1
34
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
UTILIZAREA METODEI ÎN CAZUL ELEMENTULUI SIMPLU REPARABIL
Ipoteze de bază:
1. Un element simplu reparabil este caracterizat de o succesiune de perioade de funcţionare şi reparare care
reprezintă un proces aleator de trecere din starea de funcţionare în cea de defect şi invers.
2. Fluxul defectărilor este un flux cu post-acţiune alimitată → probabilitatea de apariţie a defectării sau a
reparării depinde numai de perioada neîntreruptă în care se află elementul şi nu depinde de momentele în
care s-au mai produs şi alte defectări sau reparări (proprietatea proceselor de tip Markov)
3. Elementul analizat are proprietăţile:
- independenţa perioadelor neîntrerupte de funcţionare şi reparare → absenţa fenomenelor de uzură şi
îmbătrânire;
- reparaţiile aduc elementul la capacitatea iniţială de funcţionare;
- într-un interval de timp Δt foarte mic nu poate să aibă loc decât o singură tranziţie: elementul fie rămâne în
aceeaşi stare fie trece în cealaltă posibilă (proprietatea de ordinaritate a lanţurilor Markov;
- dacă perioadele de funcţionare şi reparare neîntreruptă au funcţii de repartiţie exponenţiale, este evident că
tranziţiile se fac cu intensităţi constante în timp.
1 2
μ
-λ μ
-μ λ
1 2
1
2
][ ijq
(*))]([)]0([)]([ '' tpptp iiji
35
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
UTILIZAREA METODEI ÎN CAZUL ELEMENTULUI SIMPLU REPARABIL
Etapele care trebuie parcurse pentru determinarea indicatorilor de fiabilitate sunt următoarele:
a) Stabilirea stărilor posibile ale elementului
b) Analiza tranziţiilor între stări
c) Scrierea ecuaţiei matricii intensităţilor de tranziţie
d) Rezolvarea ecuaţiei matriciale
e) Calculul indicatorilor de fiabilitate
)(
)(
)(
)(
2
1
'
2
'
1
tp
tp
tp
tp
36
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
UTILIZAREA METODEI ÎN CAZUL ELEMENTULUI SIMPLU REPARABIL
)()()(
)()()(
21
'
2
21
'
1
tptptp
tptptp
Aplicând transformata Laplace, rezultă:
)()()0()(
)()()0()(
2122
2111
spsppsps
spsppssp
Ţinând cont de condiţiile iniţiale
)()(0)(
)()(1)(
212
211
spspsps
spspssp
rezultă
sssp
sssp
11)(
11)(
2
1
t
t
etp
etp
)(
2
)(
1
1)(
)(
37
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
UTILIZAREA METODEI ÎN CAZUL ELEMENTULUI SIMPLU REPARABIL
Revenind în domeniul real, rezultă:
Probabilităţile absolute ale stărilor în regim staţionar sunt:
t
tt
t
tt
etpq
etpp
)(
2
)(
1
1lim)(lim
lim)(lim
qp
38
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
UTILIZAREA METODEI ÎN CAZUL ELEMENTULUI SIMPLU REPARABIL
Calculul indicatorilor de fiabilitate:
1. Probabilităţile absolute ale stărilor
2. Timpul total de funcţionare într-un interval de referinţă dat, T:
TTptM
)]([
3. Timpul total de nefuncţionare (defectare, de reparare) într-un interval de referinţă dat, T:
TTqtM
)]([
4. Numărul de defectări într-un interval de referinţă dat, T:
TTptM
)]([
1
)]([
)]([][
tM
tMTM f
39
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
UTILIZAREA METODEI ÎN CAZUL ELEMENTULUI SIMPLU REPARABIL
5. Durata medie de funcţionare neîntreruptă:
6. Durata medie de defectare (reparare) neîntreruptă:
1
)]([
)]([][
tM
tMTM d
]0[][][ iij pq
40
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
UTILIZAREA METODEI ÎN CAZUL SISTEMULUI SERIE CU n ELEMENTE DIFERITE
i S
R
0
f.f.f
n
end
i
1
i
eid
2
e2d
1
e1d
1 2
2
n
n
1 2 3 i n
Structură serie
nn
i
ni
n
i
i
ij
n
i
ni
q
..
.
..
1
.0
210
2
11
21
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1101
11
0
n
i
i
nnn
iii
n
i
ii
n
i
i
p
pp
pp
pp
pp
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
i S
R
0
f.f.f
n
end
i
1
i
eid
2
e2d
1
e1d
1 2
2
n
n
41
UTILIZAREA METODEI ÎN CAZUL SISTEMULUI SERIE CU n ELEMENTE DIFERITE
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
0
0
0
1
11
1
0
.......................
.......................
......................
1
1
pp
pp
pp
p
n
nn
i
ii
n
i i
i
Gruparea stărilor: S = [S0] R = [S1, S2, …..,
Sn]
Calculul probabilităţilor grupelor de stări:
Ps = po PR = pi, i = 1, 2, …., n
42
UTILIZAREA METODEI ÎN CAZUL SISTEMULUI SERIE CU n ELEMENTE DIFERITE
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
n
i i
i
ss pP
1
0
1
1
n
i i
in
i
iss ppQ1
0
1
TTPTMn
i i
i
ss
1
1
1)]([
TpTQtMn
i i
iss
1
0)]([
TptMn
i
i
1
0)]([
n
i
i
n
i
i
f
Tp
Tp
tM
tMTM
11
0
0 1
)]([
)]([][
n
i
i
n
i i
i
n
i
i
n
i i
i
r
Tp
Tp
tM
tMTM
1
1
1
0
1
0
)]([
)]([][
n
i
i
f
esTM 1][
1
n
i i
i
n
i
i
r
esTM
1
1
][
1
43
UTILIZAREA METODEI ÎN CAZUL SISTEMULUI SERIE CU n ELEMENTE IDENTICE
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
nes
n
nes
n
i
i
f
esTM 1][
1
n
i i
i
n
i
i
r
esTM
1
1
][
1
44
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
Utilizarea metodei în cazul unui sistem format din două elemente diferite conectate în paralel
1
2
I. Datele de intrare: primul element: 1 şi 1; al doilea element: 2 şi 2.
II. Graful stărilor: f = funcţionare şi d = defect.
1
1
S
R
1
f f
2
f d
3
d f
4
d d
1
1
2
2
2
2
III. Întocmirea matricii qij
)(
)(
)(
)(
2121
2211
1122
1221
ijq
45
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
IV. Sistemul de ecuaţii (în ipoteza ergodicităţii, sistemul este de forma):
1
0)(
0)(
0)(
0)(
4321
213221
4232111
4121212
3122121
pppp
pp
ppp
ppp
ppp
Renunţând la una din primele patru ecuaţii şi rezolvând sistemul rezultă:
11
22
1
2
2
21
2
1
14
1
1
13
1
2
22
21
1
2
2
21
2
1
1
2
2
1
11
1
1
ppp
pp
pp
p
Utilizarea metodei în cazul unui sistem format din două elemente diferite conectate în paralel
1
1
S
R
1
f f
2
f d
3
d f
4
d d
1
1
2
2
2
2
46
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
V. Gruparea stărilor:
S = [S1, S2, S3] R = [S4]
VI. Calculul probabilităţilor grupelor de stări
PS = p1 + p2 + p3
PR = p4
VII. Calculul indicatorilor de fiabilitate:
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
Utilizarea metodei în cazul unui sistem format din două elemente diferite conectate în paralel
47
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
1
1
2
21 1
pPss
14 ppQss
TpTPtM sp
1
1
2
21 1)]([
TpTptM 14)]([
TpTpTpTptM 2
1
111
2
212312)]([
12
21
1
1
2
2
1
21
2
211
1
1
2
21
11
11
)]([
)]([][
Tp
Tp
tM
tMTM f
12
21
1
21
2
211
1
11)]([
)]([][
Tp
Tp
tM
tMTM r
1
1
2
2
21
21
21
1
)(
][
1
f
esTM
)(
][
121
21
21
r
esTM
Utilizarea metodei în cazul unui sistem format din două elemente diferite conectate în paralel
1
1
S
R
1
f f
2
f d
3
d f
4
d d
1
1
2
2
2
2
48
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuuUtilizarea metodei în cazul unui sistem format din două elemente identice conectate în paralel
I. Datele de intrare: 1 = 2 =
1 = 2 =
II. Graful stărilor
S
R
1
2f
23
1f1d
4
2d
2
2
graful stărilor, elemente diferite
S
R
1
2f
23
1f1d
4
2d
2
2
49
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuuUtilizarea metodei în cazul unui sistem format din două elemente identice conectate în paralel
III. Întocmirea matricii qij
24
2)(223
21
4231
ijq
IV. Sistemul de ecuaţii în ipoteza ergodicităţii
1
0
02)(2
02
4231
4223
423
231
ppp
pp
pp
pp
S
R
1
2f
23
1f1d
4
2d
2
2
50
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuuUtilizarea metodei în cazul unui sistem format din două elemente identice conectate în paralel
Soluţiile sistemului sunt:
12
2
4
123
2
21
2
21
1
pp
pp
p
V. Gruparea stărilor S = [S1, S23] şi R = [ S4]
VI. Calculul probabilităţilor grupelor de stări PS = pS1 + p23 şi PR = pS4
51
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuuUtilizarea metodei în cazul unui sistem format din două elemente identice conectate în paralel
VII. Calculul indicatorilor de fiabilitate
211pPsp
2
2
1
pQsp
TPtM
21)]([ 1
TptM2
2
1)]([
TpTpTptM
2
1123 22
)]([
22
1
1
2
21
2
21
)]([
)]([][
Tp
Tp
tM
tMTM f
1
2
2
)]([
)]([][
2
1
2
2
1
Tp
Tp
tM
tMTM d
2
1
2
][
1
2
f
esTM
][
1
d
esTM
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuuUtilizarea metodei în cazul unui sistem format din două elemente identice conectate în paralel
52
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuuUtilizarea metodei în cazul unui sistem format din două elemente din care unul aflat în rezervă
Sistemele cu elemente în paralel sunt sisteme prevăzute cu rezerve.
Rezerva este un element care poate prelua parţial sau total funcţiile elementului aflat în funcţionare (element
de bază).
Rezervarea este una din metodele de creştere a fiabilităţii sistemelor.
Rezervele se diferenţiază în funcţie de:
- modul de defectare în perioada de aşteptare;
- durata necesară intrării în regim de bază (durata de comutare).
Rezervele pot fi:
- active;
- semiactive;
- pasive.
Parametrii ce caracterizează o rezervă sunt:
- intensitatea de avariere a rezervei în perioada de aşteptare λrz;
- intensitatea de avariere în regim de bază, λ;
- durata necesară intrării în funcţiune din momentul solicitării până la atingerea parametrilor nominali, tcrz;
- probabilitatea de răspuns a rezervei la o solicitare, inclusiv sistemul de automatizare, pa.
RA RSA RP
În funcţionare λ λ λ
În rezervă λ αλ ; 0 < α < 1 0
Durata de comutare tcRA≈ 0 tcRSA tcRP
53
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuuUtilizarea metodei în cazul unui sistem format din două elemente din care unul aflat în rezervă
Caracteristicile diferitelor tipuri de rezerve sunt următoarele:
Rezerva semiactivă permite particularizarea celorlalte tipuri:
- pentru α = 1 rezerva este de tip activ:
- pentru α = 0 rezerva este de tip pasiv.
Nr.crt.Stare
elementeStare sistem
1 1F, 1R F
2 1F, 1A F
3 2A A
54
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuuAnaliza fiabilităţii sistemului de tipul 2 x 100%
Rezerva (λRZ = αλ, μ)
Baza (λ, μ)
Comutator
k
1. MSEF 2.Tabelul de adevăr
3.Graful stărilor
2 1f,1d
1 1f,1rez
3
2d
2
(1+)
S
R
4. Matricea qij
55
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuuAnaliza fiabilităţii sistemului de tipul 2 x 100%
5. Sistemul de ecuaţii
2 1f,1d
1 1f,1rez
3
2d
2
(1+)
S
R
56
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuuAnaliza fiabilităţii sistemului de tipul 2 x 100%
6. Calculul indicatorilor de fiabilitate
6.1 Probabilitatea de succes şi de refuz a sistemului
a) Rezerva activă: α = 1, rezultă:
b) Rezerva pasivă: α = 0, rezultă:
57
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuuAnaliza fiabilităţii sistemului de tipul 2 x 100%
6.2 Durata totală de succes a sistemului în intervalul de referinţă T
în cazul care durata de comutare a rezervei tcrz = 0.
Dacă tcrz ≠ 0, din durata totală de succes a sistemului, M [α(t)], trebuie scăzută durata totală de manevră
(de comutare a rezervei), TM:
Durata totală de manevră se calculează cunoscând durata de comutare a rezervei tcrz şi numărul de
solicitări ale acesteia:
Pentru diferitele tipuri de rezervări, TM se particularizează astfel:
58
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuuAnaliza fiabilităţii sistemului de tipul 2 x 100%
6.3 Durata totală de defect (insucces) a sistemului în intervalul de referinţă T
În cazul în care durata de comutare a rezervei nu se poate neglija şi, ca urmare, nici durata totală de
manevră, se foloseşte relaţia:
6.4 Numărul mediu de treceri în starea de refuz (de defectări, de reparaţii) al sistemului:
Întrebare: care tip de rezervă are cel mai mare număr de refuzuri (defectări ?)
59
Analiza fiabilităţii sistemului de tipul 2 x 100%
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
În cazul în care rezerva (incluzând şi dispozitivul de comutare) are o probabilitate de funcţionare pa
( qa = 1 – pa) cunoscută, există un număr suplimentar de defecţuni ale sistemului M[ν(t)]s.
Acesta se determină cunoscând numărul de solicitări a rezervei în intervalul de referinţă T, determinat
anterior:
Din acest număr de solicitări, o parte, proporţională cu … rămân fără răspuns, conducând sistemul în
starea de defect:
Rezultă că, dacă se consideră probabilitatea de nefuncţionare a rezervei atunci când este solicitată,
numărul total de defecţiuni al sistemului este:
60
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuuAnaliza fiabilităţii sistemului de tipul 2 x 100%
6.5 Durata medie de funcţionare neîntreruptă:
care, pentru diferitele tipuri de rezervare, devine:
a) RA, α = 1:
b) RP, α = 0:
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
61
Analiza fiabilităţii sistemului de tipul 2 x 100%
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
6.6 Durata medie de defectare (reparare) neîntreruptă:
care, pentru diferitele tipuri de rezervare, devine:
a) RA, α = 1:
b) RP, α = 0:
Concluzie?
62
3 STUDII DE CAZ
Analiza fiabilităţii sistemelor cu ajutorul proceselor
aleatoare de tip Markov cu timp continuu
63
Principii noi de mentenanţă a componentelor sistemelor tehnice
Funcţionarea fără defecţiuni a unui sistem este strâns legată de posibilitatea de menţinere în
funcţiune sau de readucere în stare de funcţionare a acestuia în caz de defectare.
Pentru un sistem reparabil fiabilitatea este o condiţie necesară dar nu şi suficientă. Pentru
a fi disponibil în orice moment un sistem trebuie să fie uşor de întreţinut, uşor de reparat, uşor
de menţinut în stare de funcţionare. Această caracteristică, denumită mentenabilitate, depinde
de:
- accesibilitatea sistemului, adică de uşurinţa demontării oricărui element component;
- existenţa pieselor de schimb necesare reparaţiei;
- activitatea de reparare atât în perioada de garanţie a sistemului cât şi după.
Mentenabilitatea unui sistem reparabil se bazează de asemenea pe activitatea de menţinere a
caracteristicilor lui calitative. Această activitate, denumită mentenanţă, comportă
două aspecte:
-aspectul preventiv sau de întreţinere;
- aspectul corectiv (de reparare sau de restabilire).
64
Principii noi de mentenanţă a componentelor sistemelor tehnice
In funcţie de obiectivele urmărite, de natura sistemelor, de intensitatea de avariere, de modul de
apariţie a defecţiunilor şi de criteriile economice stabilite, se disting trei tipuri de mentenanţă:
- preventivă;
- corectivă;
- complexă.
Activitatea de mentenanţă implică anumite cheltuieli.
Creşterea cheltuielilor aferente mentenanţei preventive atrage reducerea cheltuielilor pentru
mentenanţa corectivă precum şi, indirect, micşorarea pierderilor provocate de întreruperea
serviciului sau producţiei chiar până la anularea acestora.
Ca urmare, teoretic, disponibilitatea sistemului este maximă dar cu cheltuieli pentru mentenanţa
preventivă foarte mari. In consecinţă, trebuie să existe un optim economic între mentenanţa
preventivă şi cea corectivă, pentru care cheltuielile totale de mentenanţă sunt minime, aşa cum
rezultă din fig. următoare:
65
Principii noi de mentenanţă a componentelor sistemelor tehnice
Cheltuieli
Optim Disponibilitate
Cheltuieli totale
Cheltuieli cu mentenanţa corectivă
Cheltuieli cu mentenanţa preventivă
Fig. 1 Cheltuielile de mentenanţă şi disponibilitatea optimă
66
Principii noi de mentenanţă a componentelor sistemelor tehnice
Pe de altă parte, activitatea de mentenanţă implică ieşirea din funcţiune a sistemului pentru o
anumită perioadă de timp. In scopul micşorării acestei perioade, trebuie să existe de asemenea
un optim economic între durata necesară mentenanţei preventive şi respectiv corective pentru
care durata totală a opririlor să fie minimă, fig.2.
Indisponibilitate
a
Optim Frecvenţa opririlor
Durata totală a opririlor
Durata opririlor pentru mentenanţa preventivă
Durata opririlor pentru mentenanţa corectivă
Fig.2 Durata totală şi frecvenţa optimă a opririlor
67
Principii noi de mentenanţă a componentelor sistemelor tehnice
În concluzie, mentenanţa are o influenţă favorabilă asupra disponibilităţii sistemelor dar trebuie
să existe un echilibru între costul fiabilităţii şi cel al mentenanţei pentru care costul
disponibilităţii sistemului să fie minim, fig.3.
Costul mentenanţei
Costul fiabilităţii
Costul disponibilităţii
Fiabilitatea
Mentenanţa
Fig.3 Costul mentenanţei şi costul fiabilităţii
68
Principii noi de mentenanţă a componentelor sistemelor tehnice
Există mulţi factori care influenţează nivelul acţiunilor de mentenanţă:
Fig.4 Factorii care influenţează organizarea mentenanţei preventive
69
Principii noi de mentenanţă a componentelor sistemelor tehnice
Optimizarea intervalelor de mentenanţă
Pentru determinarea intervalului optim de mentenanţă se porneşte de la ipoteza că prin
mentenanţa preventivă a unei componente, intensitatea sa medie de defectare pe durata de viaţă,
se reduce.
70
Principii noi de mentenanţă a componentelor sistemelor tehnice
Procedura de optimizare este dependentă de cunoaşterea unei funcţii care să exprime legătura
dintre intensitatea de defectare a componentei şi intensitatea de scoatere din serviciu pentru
mentenanţa preventivă (vom numi λmp - intensitatea de mentenanţă).
Vom presupune iniţial că intensitatea de defectare a unei componentei oarecare şi intensitatea sa
de mentenanţă sunt legate printr-o funcţie exponenţială de forma
λfm - intensitatea de defectare a componentei
fără mentenanţă preventivă;
λmp - intensitatea medie de mentenanţă
preventivă;
λ - intensitatea medie de defectare a
componentei;
α - constantă depinzând de tipul componentei şi
de eficacitatea mentenanţei preventive;
λomp - valoarea intensităţii mentenanţei de la
care relaţia de exponenţialitate a dependenţei nu
mai este valabilă.
71
Principii noi de mentenanţă a componentelor sistemelor tehnice
Optimizarea intensităţii de mentenanţă se poate în funcţie de mai multe criterii
Criteriul 1: Intensitatea totală minimă de defectare
Pentru ca λT să fie minim trebuie ca
Rezultă
72
Principii noi de mentenanţă a componentelor sistemelor tehnice
Criteriul 2: Durata totală minimă de ieşire din serviciu a componentei
Se fac notaţiile următoare:
Tr - durata medie de reparare a componentei;
Tm - durata medie de mentenanţă a componentei.
Timpul total de ieşire din serviciu a componentei va fi:
Valoarea minimă a lui T rezultă din
73
Principii noi de mentenanţă a componentelor sistemelor tehnice
Criteriul 3: Costul minim al reparării şi mentenanţei componentei
Fie costurile anuale asociate reparaţiei componentei date de relaţia
k1r - constantă reprezentând costul pe unitatea de timp de reparaţie;
k2r - constantă reprezentând costul pe reparaţie.
Fie costurile anuale asociate mentenanţei componentei date de relaţia
k1m - constantă reprezentând costul pe unitatea de timp de mentenanţă;
k2m - constantă reprezentând costul pe mentenanţă.
Costurile totale pentru reparaţii şi mentenanţe sunt
74
Principii noi de mentenanţă a componentelor sistemelor tehnice
Criteriul 3: Costul minim al reparării şi mentenanţei componentei
Dacă se ţine cont de ipoteza iniţială, rezultă:
Valoarea optimă (minimă) este dată de
Rezultă, în final:
75
Principii noi de mentenanţă a componentelor sistemelor tehnice
Observaţii:
1. Toate valorile optime determinate anterior au la bază o dependenţă exponenţială între
intensitatea de defectare fără mentenanţă şi cea cu mentenanţă.O altă dependenţă va conduce la
determinarea altor valori optime ale intensităţii de mentenanţă.
2. Pentru stabilirea unei relaţii mai exacte, eventual alta decât cea exponenţială, între intensitatea
de reparare şi cea a mentenanţei, este imperios necesară culegerea de informaţii detaliate din
activitatea practică, informaţii care actualmente sunt incomplete.
3. Optimizarea parametrilor individuali de fiabilitate a unei componente (de exemplu,
intensitatea de avariere sau durata medie a scoaterii din funcţiune) nu conduce la optimizarea
indicatorilor de fiabilitate a sistemului.